2022年初升高数学衔接讲义09三角形（教师版含解析）（第1套）.pdf

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1、专题0 9 三角形名敢保述三角 形 的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.1.四心的地位所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点,它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何

2、特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.2.四心的概念与常用性质内 心 三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等垂 心 三角形的三条高的交点通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2 倍；外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，

3、以形助数,以数解形.德程夏或 初中课程要求1、三角形及其性质2、全等三角形3、相似三角形4、直角三角形 高中课程要求1、三角变换与解三角形的综合问题2、解三角形与平面向量结合3、以平面图形为背景的解三角形问题知徂雅神高中必备知识点1:三角形的“四 心 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图 3.2-1图 3.2-2图 3.2-3如 图 3.27,在三角形/BC中，有三条边AB,BC,CA,三 个 角 乙 三 个 顶 点 4 民。，在三角形中，南平分线、中线、高（如 图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重

4、心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝前三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点4 B、C有且只有一个圆，该圆是三角形48c的外接圆，圆 心0为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.高中必备知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形A8C中，三角形的内心

5、/、重心G、垂心必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、夕 卜 4）合一，该点称为正三角形的中心.典例剧所高中必备知识点1:三角形的“四 心【典型例题】如图，在。中，A 8是的直径，PA与。相切于点A,点C在。上，且PC=PA,求证PC是。的切线；（2）过点C作C D LA8于点E,交。于点。，若CD=PA=2、0，求图中阴影部分面积：连接A C,若PAC的内切圆圆心为/,则线段/的长为.4 I-【答案】（1）详见解析；（2）5阴 影=万一J3.出.【解析】证明：连接OGOP,点C在。上，：.o c为半径.：PA与。相切于点4：.OALPK.：.Z

6、PAO=90.,/OC=OA,OP=OP,PC=PA,.PC。也PA。.；.NPCO=NPA。=90.APCIOC.；.PC是。的切线.fi(2)作CM LA P于点M,：CDAB,：.CE=DE=yJj,Z CEA=90.四边形C/WAE是矩形.百.PM=AM.：.PC=AC.：PC=PA,：./PCA是等边三角形.：.ZPAC=60.：.ZCAB=30.A ZCOF=60./.Z C O D=120.在 RtACOf 中，sin600=,o c，0C=2.4 r-5阴 影=兀-V3：AP=2 百,AH=CE=V3.CH=V3 AH=3又 为 正4PAC的内心1Cl=-CH=23;M C E

7、2+C=V3+4【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2.Z A D C=60,等边4 A E F两边分别交边DC、CB于点E、F。特殊发现：如图，若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点。即为等边4 A E F的外心；(2)若点E F始终分别在边DC、CB上移动.记等边4 A E F的外心为点P.猜想验证：如图.猜想4 A E F的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图，当4 A E F面积最小时，过 点P任作一直线分别交边D A于点M,交边DC的延长线于点N,试判断一+击是否为定值.若是.请求出该定值：若不是.请说明理由。【答案】见解析；(2)外心

8、P 一定落在直线DB上，见解析；而+而为定值，而+而=L【解析】(1)证明：如图I,分别连接OE、OF.四边形ABCD是菱形.A C B D,BD 平分NADC.AD=DC=BC,ZCOD=ZCOB=ZAOD=90.1 1Z ADO=2 Z ADC=5X6O=3O,又；E、F分别为DC、CB中点1 1 1；.C)E=2CD,0F=2BC,AO=/D,；.OE=OF=OA,二点O即为AAEF的外心，猜想：外心P 一定落在直线D B上，证明：如图2,分别连接PE、P A,过点P分别作PI_LCD于I,P JL A D于J/./PIE=NPJD=90,:ZADC=60ZIPJ=360o-ZPIE-Z

9、PJD-ZJDI=120o;点 P 是等边4AEF 的外心，.,.ZEPA=120,PE=PA,/.ZIPJ=ZEPA,；./IPE=N JPA.PIE 丝 ZXPJA,，PI=PJ,.点P在N AD C的平分线上，即点P落在直线D B上,的+而为定值当AE_LDC时.4AEF面积最小,此时点E、F分别为DC、CB中点.连接BD、AC交于点P,由可得点P即为4A E F的外心，解法：如图3.设M N交BC于点G设 DM=x,DN=y(x#O.y#0),则 CN=y-2由 BCDA 易证GBPgZkMDP.A BG=DM=x./.CG=2-%,V BC/7DA,.ANCGANDM.CN _ CG

10、.y-2 _ 2TD N =DMf 7，x+y=xy.1 1 1 1七+1=1,即 丽+而=1.【能力提升】定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1,PDAC,P E A B,垂足分别为点D、E,若PD=P E,则点P为AABC的准内心应用：如图2,CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD=：A B,求NAPB的度数.（2）探究：如图3,已知A B C为直角三角形，斜边BC=5,AB=3,准内心P在AC边上（不与点A、C重合）,求PA的长.3【答案】NAPB=90。；（2）P 4=【解析】(1)：准内心P在高CD上，点P为NCAD的角平分线与CD的交点

11、，ABC是等边三角形，./P A D=/P A C =30,VC D为等边三角形ABC的高，;.AD=GDP,AD=BD,1与已知PD=,AB矛盾，.点P不可能为/C A D的角平分线与CD的交点，同理可知点P不可能为/C B D的角平分线与CD的交点,；CD_LAB,.点P为NBCA的平分线，此时，点P到AC和BC的距离相等，1P D=/B,APD=AD=BD,.*.ZAPD=ZBPD=45,A Z APB=90；(2)VBC=5,AB=3,.AC=J叱=4 7=4,准内心在AC边上，(不与点A,B重合),点P为/C B A的平分线与AC的交点，作PDJ_BC与点D,APA=PD,BD=BA

12、=3,设 P A=x,则 x2+22=(40 x)2,3 3 x=2,即 PA=Q月高中必备知识点2：几种特殊的三角形【典型例题】问题发现如图1,ZXABC是等边三角形，点D是边A D上的一点，过点D作DEBC交AC于E,则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2,将4 A D E绕点A逆时针旋转角a（T a ,CD=3,：.AB+CD=.(3)如图，作 PQ_LBC.V ZABP=ZQBP,/B A P=/B Q P,BP=BP.二ABPg/8QP(AAS).同理PQC/PCD(AAS),Sgcp=Szx8PQ+SpQc=S/4gp+Spco o+b=c.【能力提升】如图，ZXABC、A

13、DCE.AFEG是三个全等的等腰三角形，底 边BC、CE,EG在同一直线上，且AB=,BC=1,连结B F,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.求证：BFGsFEG（2）求 sinZFBG 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）亚.6【解析】解：依题可得：BC=CE=EG=1,FG=AB=73:.BG=3,在4BFG 和ZSFEG 中,FGEGZ G=Z G,/.BFGAFEG.过点F作FH B G于点H,如图,贝 lNFHG=90。,.,FEG是等腰三角形,EG=1,/.EH=G H=-E G =,2 2 FH=VFG2-GH2=，2V A B FG A FE G,.*.ZBFG=ZFEG

14、=ZG,.BF=BG=3BC=3,在 RtAFBH 中，FH _ VTT VnAsinZFBG=BF-2-6.3.对直椭秣1.如图，等边 力 8C的顶点”(1,1),8(3,1)；规定把 N 8 C 先沿X轴翻折，再向左平移1 个单位”为一次变换，这样连续经过20 21 次变换后，等边力3c的顶点。的坐标为().A.(-20 20,7 3 +1)B.(-20 1 7,-7 3-1)C.(20 1 8,6 +1)D.(-20 1 9,-7 3-1)【答案】D过点。作C D 1 Z B交A B于点D：.A D =B D =-A B =-A C2 25（3,1）A C =AB=24 D =L 4B=

15、12*-C D =yAC2-A D2=G/.C（2,V 3 +1）第一次把 3C先沿x轴翻折，再向左平移1个单位，得 即C（T+2,6-1）；第二次把 N8C 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”，得。（1-1,百+1）,即C（2+2,百+1）；第 三 次 把 先 沿x轴翻折，再向左平移1个单位，得C（0 1,一0一1）,即C卜3 +2,一 百一 1卜当为奇数时，第次把AZBC 先沿X轴翻折，再向左平移1个单位，得C(一 +2,-6-1)当为偶数时，第 次把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位，得。(一”+2,6 +1).20 21为奇数.第20 21次把A/B C 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位

16、，得。(一20 21 +2,-6-1),即C(-20 1 9,-V 3-l)；故选：D.2.如图，在中，点。是边力6上的中点，连接CD,将8C。沿着 8翻折，得到AECQ,C E与 A B 交于点F,连接Z E.若 A B =6,CD=4,AE=2,则点C到2 3的 距 离 为()EB-CA.2 B.4 V 2 c.纪1 D.27 22 3【答案】C连接8E，延长8交8于G点，过C作C H _ L A 8于”，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED,CB=CE；.C G是线段B E的垂直平分线1BG=BE2点是A B的中点*,BD=ADf=S&ACD：.AD=ED：./D A E;N DEABD

17、=ED NDEB二NDBE,?ZDAE+ZBEA+ZDBE=180即 ZDAE+Z DEA+Z DEB+Z DBE=180：.2ZDEA+2ZDEB=130：.ZDEA+ZDEB=90即 ZAEB=9Q在 RtzXAEB 中，由勾股定理得：BE=yAB2-A E2=7 3 6-4=472*-BG=2A/2,SBCD+S“C0-S“BC/.2x-CDBG=-AB-C H2 2.2CDBG 2x4x2/872 CH=-=-=-AB 6 3故选：c.3.在 中，AC=BC,点。为 48 中点，NGDH=90。,NGDH 绕点 D 旋 转,OG,。“分别6与边 Z C,BC 交于 E,F 两点，下列结

18、论：A E +BF=AB-,AE2+BF2=EF2-2-0 0 CEDF=150 Jflc;A。后 尸始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）GEHAD BA.B.C.D.【答案】D解：连接 CD，:4 C =B C,点D 为 4B 中点,ZACB=90,AD=CD=BD=AB.NA=/B =NACD=/BCD=45。,ZADC=ZBDC=90.：.NADE+NEDC=90,;ZEDC+ZFDC=ZGDH=90,/.ADE=NCDF.在M DE和bCDF中，NN=NDCB故选：B6.已知。、b、4分别是等腰三角形三边的长，且。、b是关于x的一元二次方程2一6+2=0的两个根，则左的值等于（）A.

19、6B.7C.-7 或 6D.6 或 7【答案】D解：a、b、4分别是等腰三角形三边的长，当 0=4 或 b=4 时，即：4 2-6 x4+k+2=0,解得：k=6,此时，f6x+8=0的两个根为：x尸2,X2=4,符合题意；当。=b 时，即=(-6)2-4x(k+2)=0,解 得:k=7,此时，工2 一61+9=0的两个根为：XI=X2=3,符合题意；综上所述，k的值等于6或7,故选：D.7.如图，在锐角 ABC中，A B=O，N8AC=45,N8AC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是()A.B.1 C.V2 D.62【答案】B如图，作8 L/C于 点

20、/交N O于点，作州于点N,则即r +M M为所求最小值.由角平分线的性质可知M州=朋77,/.B M +M N =B M +M H =B H,即 5/7 长为所求最小值.,/N B A C =45,:.“B H为等腰直角三角形.B H =AB*s m 45=V 2 x=1.2CH故选B.8.如图所示的网格是正方形网格，点4 3,C,D,E是网格线交点，则乙B/C-N D/E的度数为（）【答案】A解：如图，连接CG、AG,由勾股定理得：AC2=AG2=l2+22=5,CG2=l2+32=10,：.AC2+AG2CG2,：.ZCAG=90,.CAG是等腰直角三角形，：.ZACG=45,：CF/A

21、B,ZACF=ABAC,在 ACFG 和中,C F=A DAD：.ED+ACADC.4 D 平分 NEDC D.ED+A C A D故选项D正确:若 D E 平分/4 D 8贝 I 有 N80 E 二 NA D E*.Z ADE=Z ADC：.Z ADE=Z ADC=Z BDEV Z ADEZ ADC+Z BDE=1 80 A Z BDE=60 ：.ZB=90 -Z BDE=30 显然这里N 8 是不一定为3 0 故选项A错误.故选：A.1 0.如图，一艘轮船在A处测的灯塔。在北偏西1 5。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20 海里到达 B 处,测的灯塔。在北偏西6 0。的方向上，则轮船

22、在8 处时与灯塔。之间的距离（即5 C的长）为（）A.40G海里 B.侬 6+1 0）海里C.4 0 海里 D.（lOG+l O 卜每里【答案】D解：过 A作 4 O _ L 8 C 于。，如图所示：在 中，Z A B D=3 0 ,Z 8 =20 海里，1C，/。=4 8 =1 0（海里），8。=百/0=4/6=1 0 百（海里）,22V Z A B C =3 0,N A 4 C =90 +1 5 =1 0 5,Z C=1 80o-1 0 5-3 0o=4 5,N C D是等腰直角三角形，。=力。=1 0 海里，8 c=8 0 +CO=0 0百+1 0）海里,故选：D.1L如图,在正方形AB

23、CD中，4B=8,点、P是线段Q C上的动点，将A D P沿直线AP翻折,得到&AEP,点H是B C上 一 点,且BH=3,连接HE,当。尸的长为 时，是直角三角形.答案】8或1 1当E在AH的上方时，且N4”=90。，根据折叠的性质，ZAEP=ZD=90,AD=AE,DP=PE,：.ZAEP=ZAEH=90,AD=AE=AB,.点P、E、H在同一直线上，在 RtAABH 和 Rt/AEH 中，AH=AH AB=AE：.Rt/ABH RtZAEH(HL),:.EH=BH=3,设 D P=x,则 P C=8 x,H C=8-3=5,PH=PE+HE=x+3,在 N Q C P H 中，HC2+P

24、C2=P H2 即 52+(8-，=(X+3)2,解得X =H ,即D P=；当后在A”的下方时，且/A E H=90。，如图:B H C（P）此时，点E与点B重合，则点P与点C重合，D P=8；40综上，当D P的长为8或 元 时，&1是直角三角形.40故答案为：8或 .1 2.如图，点4（2,2）在直线V =x上，过点作同用U y轴交直线y =gx于点与，以点4为直角顶点，为 直 角 边 在 的 右 侧 作 等 腰 直 角 4 8 C ,再过G点作过点&B J/y轴交直线 =x和直线y =于4，与 两点，以点4为直角顶点，4鸟 为 直 角 边 在 的 右 侧 作 等 腰 直 角 4与6，.

25、，按此规律进行下去，则等腰直角/“纥G的边长4G为.（用含正整数的代数式表示）【答案】（27 2解：.点4（2,2）在直线卜=上,点与横坐标为2,将x =2代入=；x得y =l,点与 坐标为(2,1).Z4 G为等腰直角三角形，/.AB=4G =2 1 =1 ,点(坐 标为(3,2).B G=O.,过G点作4层/丁轴，1 3二4，层的横坐标为3,将x =3分别代入歹=与 =QX中得儿，质 的纵坐标分别为3,-3 3 3即4(3,3),B2(3,-),A2B2=3-=-,.-.52C2=V 2 J252=|V 2.点G坐标为g，3).同理可得8 3 G=(|y&，8 4 c 4 =gr V 2

26、故答案为：血.1 3.如图，在平面直角坐标系中，点4,4,4,，4在龙轴上，点4,8 2，员，纥 在直线y =乎 上.若4(1,0),且纥4山 都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别解：由等边三角形可知:A1B1/A2B2/./AnBnf8 3 2 82A 3 BnAn 直线 y=x 与 x 轴的夹角/B Q 4 =30。，N O 48i=120。，3.NOB3i=30,*OA-AB19 4(1,0),4 Bi=L同理NOB2A2 =30.NO8nAi=30,/.B2A2 OA22,8/3=4,8fAi=2叫可知/。814=90,N。8fAl+i=90,.8 1 8 2=6，

27、8283=26，BnBn+1=2n MV 3 -.,.Si=lx lx V 3 =-(s2=-x 2 x 2 V 3 =273,Sn=22nB3y/3.2 2 2当 n=2021 时，5202l=24039 V3故答案为：24039V3.14.如图，四边形 ABCD 中,AD BC,连接 AC,AUL8C,N8AD=135。,E 为 AC 上一点，连接 8E,N8EC=2CD,A。=2,C E=3,则线段 BE=_.【答案】5解：如图，过点E作EFC。交8 c于点F,作FGL8E于点G,EF/CD,：.ZFEC=ZACD9,/Z BEC=2ZACD=Z BEF+Z CEFf:/BEF=/CEF

28、,yACl.BC,FG1.BE,：.CF=GF,:AD/BC,：.ZDAC=4 c B=90,.ZBAC=ZBAD1ZCAD=13509O=45,:.N48C=45。，48C是等腰直角三角形，：.AC=BCf设八E=x,AC=8C=4E+C=x+3,在 RtAEGF 和 RtAECF 中，EF=EF FG=FC：.RtAEGFRtACF(H),：.EG=ECt丁 NDAC=NFCE=90,ZACD=NCEF,：.4DCMCFE,tAD ACCFCEJ.2 x+3,CF 3/.CF=6x+36：.G F=-x+3：ZBGF=ZBCE=90,ZFBG=ZEBC,:.ABFGsdBEC,.FG BG

29、ECBC6x+33BGx+3BE=BG+GE=BG+EC=2+3=5.故答案为：5.1 5.如图，ZVIBC中，ZC=90,AC=4,8c=3,将ABC绕点8逆时针旋转一定的角度a（T a 9 0。），直线4 c l分别交AB,AC于点G,H.当41GH为等腰三角形时，则CH的长为.【答案】丽1或L解：如图1中，当AG=AH时,图1,AG=AHt：.NAHG=NAGH,V 乙4GH=N4G8,/.ZAHG=ZA1BGf：.Z A1GB=ZA1BGi.AiB=A1G=5f:.GCi=AG-CiG=l,N8GG=90,.BG =JcF+CG=J 3 2+F =V10.AH=AG=A B-B G =

30、5-M，C/7=C-T4/7=4-(5-7 1 0)=7 1 0-1,如图2中，当GA=GH时，过点G作GMYAH于M.图2同法可证，G 8=G 4,设 G8=G4产x,则有 X2=32+(4-X)2,解得x=25，0/.BG=-,A G 5-=8 8 8G4=G，GM_L4H,AGAMABAC158=AM,54AM=32：.AH=3,：.CHAC-AM=1.当 G=AH时，NHGAnNHAGaSY/ABC（大边对大角，小边对小角），Z A1HC=Z HGA+Z HAG90。，即旋转角度大于90。，不符合题意.综上所述，满足条件的C”的值为厢-1或1.故答案为：厢1或L1 6.如图，在4/台。

31、中，Z 5 =18,N C =41。，点。是6 C的中点，点E在上，将AADE沿。E折叠，若点8的落点8 在射线。上，则 4与 所 夹 锐 角 的 度 数 是.【答案】80.如下图，连接D E,以 与5Z相交于点。,B将 ZiB DE 沿DE折叠，/BD E/BD E,BD=BD,又丁。为 8 c 的中点，BD=DC,：.BD=BD，：.ZDBC=ZC=4l,ZBDB=ZDBC+ZC=82,/BOD=180-ZS-ZBD B=80,即BA与BD所夹锐角的度数是80.故答案为：80.1 7 .如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,D是网格线交点，则8 c 与D8 C面积的大小关系为S w c（

32、填 或【答案】1号 生=5 X 2x3=3，S g =XV5X75=|故填：.1 8 .如图，ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=BAE【答案】180V ZBAC和ZDAE分别是AACE 和A8。的外角,：.ZBAC=ZC+ZE,ZDAE=ZB+ZD,：.NC4Z)+N8+NC+ZD +NE=/CAD+/8AC+NCME=180,故答案为:1801 9.如图，在 中，ZC =90,BC=3,AC=4,BD 平分乙4BC,AD!IBC,则/。的长是.【答案】5在中，NC=90,BC=3,AC=4,AB 7 4 c 2+B C?=+3 2 =5,.B D平分/A B C ,，NABD二NDBC,AD

33、I IBC,ZADB=ZDBCf：.ZABD=ZADB,：.AB=AD=5,故答案为：5.2 0.如图，将一个含3 0。角的三角尺A B C绕点4按顺时针方向旋转得到ZV1 DE,使点8的对应点D恰好落在BC边上，若A B=6 ,则C D的长为.【答案】拒解：由旋转得：AD=AB=y/3，;在去 4 8 C中，ZC=3 0,ZC4 B=9 0,AZ 8=6 0,9：AD=AD,：.ZADB=ZB=60/ZDAB+ZADB+ZB=18Q,：.ZDAB=ZADB=ZB=60f：.AD=AB=DB=yfj,在中，ZC=3 0,ZC4 B=9 0,1：.AB=BCf2：.BC=2AB=2y/3：.CD

34、=BC-BD=2 V3-V3=V3.故C D的长为J J.2 1.如图1,在比 ZB C中，ZACB=90,/8 =/C,点。是的中点，连接点E是/。上一点，连接8E并延长交Z C于点尸.EC D B C D B图1 图2若点尸是/C 中点，求证：NABE=NBAE；(2汝 口 图 2,若 NDBE=4D EB.求证：AE=C F；猜 想 受 的 值并写出计算过程.CF【答案】见解析；见解析；叵 口2解：(1)证明：/C =5 C,ACAB=NCBA,点。是 8 C 的中点，点F 是 Z C 中点，CF=CD,ZC=ZC,&BCF=MCD(SAS),ZCBF=ACAD,ZABE=ZBAE；证明

35、：连接C,BD=DE=CD,/B E C =90,ZFCE=NCBF=/BED=AAEF,ZFAE=NEAC,/.k E A F s C A E,.A E _ A F,就 一 布 即 A E2=A C -AF,jr2 J/72A F =-f CF=A C -AF=A C 一 一 ；A C A C设 NC =8C =2x,则8O=CZ)=x,A D =0，AE=(45-)x,CF=2x-V)-=(V5 -l)x ,2xD AE=CF-猜想：竺=必 二 1,CF 2理由如下：CF=(y/5-)x,J F =2 x-(V5-l)x =(3-V5)x,AF(3-V5)x 7 5-1CF (/5-l)x

36、-2 2 2.如图，边长为1的正方形Z 8 C。中，点K在/。上，连接8K,过点A,。作 5K的垂线，垂足分别为M，N,点。是正方形/BCD的中心，连接O M,O N.求证：A M=B N ；请判断AOMN的形状，并说明理由；若点K在线段ZD上运动（不包括端点），设ZK=x,AOMN的 面 积 为 求 关于x 的函数关系式（写出x 的范围）；若点K在射线力。上运动，且AOWN的面积为请直接写出/K长.Y2 _ 7 Y 4-1 1【答案】见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）=,（0 x ）,ZK长为一或34x2+4 ）3解：证明：AM A.BM,CN1BN,：.NAMB=ZBNC=9

37、0.又N/8C=90,A ZMAB+ZMBA=90,CBN+ZMBA=90,.ZMAB=NCBN.在 A M B 和 8 N C 中NAMB=ZBNC ZMAB=4CBN,AB=BC：.蛇BNC(AAS),AM=BN.(2)AO M N是等腰直角三角形,理由如下：连接0 3,.。为正方形的中心：.OA=OB,NOBA=NOAB=45=NOBC,AO 1 BO,：ZMAB=ZCBM,NMAB-NOAB=ZNBC-4OBC,即 ZMAO=ZOBN.在 A M。和8 N。中AM=BN AMAO=NOBN,OA=OB：.丝BNO(SAS),/.OM=ON,ZAOM=ZB ON,：NAOB=ZAON+Z

38、BON=90,ZAON+ZBON=90,NAON+ZAOM=90,4MON=90,.AO M M是等腰直角三角形.在 中，BKNAK+AB?=JX2+I,1 1V S/ABK=xAKxAB=xBKxAM,2 2AK,AB _ xBM ABc o s NABK=-=-AB BKAB AB-BM=BK1-x:.MN=BM-BN=/,V x2+1/n 1OM=ON=M N，S&OMN=OM-ON,2 21 r2 S/OMN=MN4(1 7)24x2+4 y=x-2.x+14X2+4 x 2 x”l,解得：玉=3（不分题意舍去），x2=,1 0 4 x2+4 3丫2 _ 7 Y -I _ 1当点K在线

39、段AD的延长线时，同理可求得y =，；（x1），.1 2 x+1历 4X24-4，解得：石=3,9=；（不合题意舍去），综上所述：ZK氏为一或3时，AOA/N的面积为.3 1023.如图，在正方形/8 C 0中，动点E，尸分别在边。C,C 8上移动（不与顶点重合）,且满足QE=61尸.连接4E和。尸，交于点尸.请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由;由于点E，尸的移动，使得点P也随之运动.请用文字描述并且在图中画出点P的运动路径；若NO=1 0,请求出线段C尸的最小值.【答案】（1）ZE=）F,4 E 1 Q F,见解析；点P的运动路径是以/O为直径的圆的圆弧。尸。（去除端点O，。

40、）；5 6-5解：（1）4E=F,AELDF,理由是：.四边形/BCD是正方形，AD=DC,ZADE=ZDCF=90,DE=CF,AD=DC在d D E 和 ADCF 中 ().如图，当点。在线段NC上时.求 点C的坐标:当A C P。是等腰三角形时，求f的值:是否存在时刻，使得尸。_148,若存在，直接写出，的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)。(-3,0 ；Z =l；(2)存在，t=1.9 6 2 J解：d()百：.O B =-s/3,2.,.在 中，A O=1AB2-B O?=1 3T1 3 3 AC=5,：.C O =A O-A C =-5 =-22 c-1，0；3O C =-2B

41、 o 3在 R t B O C 中，ta n Z B C O -=-=V 3OC 32/.NB C O=6 0 ,在 R t C O B 中，B C3co=5=3c o s 6 0 J2：BP=t,AQ=3t,：.CP=3-t,CQ=5-3t,当ACP。是等腰三角形时,C P =C Q,A3-t=5-3t,A t=l；(2)如图，设运动 t 秒时，PQJLA B,则 P8=t,PC=3-t,AQ=3t,13*0*Q的坐标为3t-；23,.，s in/C B O=1 _ L2AZCBO=30,过点P作P E LO C,垂足为E:PEOB,，ZC8O=ZCPE=30,PE=PCcos30=当(3-

42、t),CE=PCsin300=g (3-t),H 1 点F(t,0),13 1 7 13 QE=3t-(-t)=-t-,2 2 2 2延长 QP 交 48 于点 D,；PQ1_AB,N A=N 4 AAD Q AAO BfJ ZAQD=ZABOf/.tan N4QD 二 tan ZABO,根据知。4二 ，OB=-y/3,2 2OA 13 3 8 1373tan Z/4QD=tan A ABO-=一J3 二-，OB 2 2 9,竺 13GQE=T.巫（3孙 乙 当=巨 色2 2 2 9解得 t=1.96.2 5.如图，在4/台。中，点。，E分别在边8 C,A C .,且C 0=C E,点P与点C

43、关于直线。E成轴对求作点P;（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）连接E P,若 吗=空=工,判断点P是 否 在 直 线 上，并说明理由.CD AE 2【答案】见解析；（2）点P在宜线幺5上，见解析 如图点P即为所求.解法一：解法二：(2)点P在直线N 8上，理由如下：如图，连接Q P，设线段EP S AB 交于点Q.点P与点C关于直线DE成轴对称,二ED垂直平分CP./.EP=CE,DP=CD.：CD=CE,：.EP=CE=CD=DP.四边形EPOC是菱形.EP/CD,ZAQE=ZB,ZAEQ=NC.：.AAQES4ABe.AE _QE,就 一 记,.BD _EP设 6。=a,则 CO=

44、2a.CE=EP=2a BC-3a.AE=4a.AC=6a.QE AE,B C 7C.QE _ 4a3a 6a/.Q E =2a.：.QE =EP.又.点Q在E P上，点Q与点P重合.二点P在直线45上.26.如图，在矩形中，点E是8c边上一点，A D =D E.A D过A作4F IDE于点尸.（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；求证：A F =C D .【答案】（1）见解析；（2）见解析解：（1）解：如图，在DE另一侧取点K,以A为圆心，以AK为半径画弧，交DE于点M、N,分别以M、N为圆心，以大于L/W N为半径画弧，两弧交于点G,连接AG交。E与F,线段AF即为所求作线段；2

45、AD证明：四边形ABC。是矩形，J.AD/BC,ZB=90,AB=CD.:.NAEB=NDAE,：DA=DE,:.NDAE=NDEA,：.ZAEB=ZAED,：ABBE,AF1ED,：.AB=AF,：.AF=CD.2 7.如图，M B C 中,Z.ACB=90,BC=2,/C =3,点。在 M/U 5 C 的边 4 c 上，DC=m,以8。为直角边在/C同侧作等腰直角三角形3 Q E，使=，过后作E E L/C于点尸，连接A E.求证：AEDF知DBC；(2)求/后的最小值;(3)若S四 边 形AEBC=w,求S四 边 形 A E B C 的值.6 2 9【答案】(1)证明见解析；(2)注；(

46、3).2 4解：(1)证明：/E O F +/8 Z)C =N8 Z)C +Z D 8 C =9 0 ,NEDF=ZDBC,N/C 8 =9 0。，E F l AC，：.NF=NC,又8 O E是等腰直角一角形，,DE=DB,NEDF=NDBC在 AEDF 和OBC 中 AF=(DF+DC)-AC=m-1,(i 1 2 1 1 5当加=一时，/后2的最小值为./E的最小值为 力;2 2 2由(1)得 EF=DC=m,S四 边 形/6 c =S.DB+S&B D C，1 2 1r 、1 r 5n+一 加(3?)+x 2 z =，2 2 2 2整理得 2 一 加2 +5加 一 5 =o ,(/?-

47、m)(n+m)-5(一 加)=0 ,(-m)(n+加 -5)=0 ,/n m,工 一 次 w 0 ,I.+加 一 5 =0,；机 +=5 ,在中，|勾股定理得,由勾股定理得，AE2=EF2+AF2=m2+1-=2 y m-+-,BD2=BC2+DC2.n2=4 +w2.A (M+/M)(M-W)=4,4n-m =,5n+m=54，n m=52 9=一1 02 1m=一1 0，$四边形XEBC5 5 2 9 2 9=n=x =2 2 1 0 428.如图，Z 8 =/C,直线/过点A,8 M L直线/,C N L直线/，垂足分别为/、N,且BM=AN.求证(2)求证 N 8 4 C =90.【答

48、案】证明见解析.证明：直线/,CN_L直线/,ZAMB=ZCNA=90,在 RtA4/WB 和 RtAC/V4 中,AB=CABM=A N：,M/CNA(HL)；(2)由得：RtA4/V/BRtAC/V4,：.ZBAM=ZACN,：ZCAN+ZACN90.二 ZCAN+ZBAM=90,A Z B 4 C=1 8 0 1 3 9 0 =9 0 2 9.如图，在ABC 中，ZB4C=90,A。是 BC边上的中线，2印8C,CE|AD.求证：四边形A D C E是菱形；连接B E,若乙4 8 c=3 0。，A C=2,求B E的长.【答案】见解析；2 J 7证明：AE/BC,CE/AD,四边形A D

49、 C E是平行四边形.V ZBAC=90,AD是8 C边上的中线，.AD=BD=CD.四边形A D C E是菱形.解：过点E作EH_ L8 A交B A的延长线于点H.在 RtZ k A B C 中，NA 8 c =3 0。，AC=2,：.BC=2AC=4,AB=742-22=2G -AD=B C=2,2.四边形A D C E是菱形，：.AE=AD=2,.AE/BC,：.ZEAH=ZABC=30.在 RtzXAEH 中，H=AExsin30=2x-=l,2AH=AE cos 30=2 x=73-2HB=AH+AB=3S/3.在 Rt/BEH 中，BE=J 2 +(3 扬 2 =2A/7.1 1H3 0.如图，在中，Z A C B =90,NN=60,A C =2,将绕点C 按逆时针方向旋转得到 N 8 C,此时点H 恰 好 落 在 边 上，则AC44周长为.将4 A 8 c绕点C按逆时针方向旋转得到ABC：.ACA C,ABA B1,N A=/C 48=60,.AAC是等边三角形，V A C=2,.,.AC A C -AA 2 C 4 4 周长为 2+2+2=6.故答案为：6