2022年初升高数学衔接讲义10圆（教师版含解析）（第1套）.pdf

《2022年初升高数学衔接讲义10圆（教师版含解析）（第1套）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初升高数学衔接讲义10圆（教师版含解析）（第1套）.pdf（53页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题10圆名敢保述平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.常用的结论包括：1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项5.割线定理：从圆

2、外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等锦程要求 初中课程要求1、圆的基本性质2、垂径定理3、点与圆的位置关系4、点、直线与圆的位置关系5、正多边形与圆、弧长、扇形面积 高中课程要求1、握圆的标准方程与一般方程2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题知徂椭第高中必备知识点1:直线与圆的位置关系设有直线/和圆心为。且半径为八的圆，怎样判断直线/和圆。的位置关系？图 3.3-1观察图3 3 1,不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d r 时，直线和圆相离，如圆。与直线4；当圆心到直线的距离d=尸时，直线和圆相切，如圆。与直

3、线4；当圆心到直线 的 距 离 时，直线和圆相交，如圆0 与直线图 3.3-2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、8.若直线经过圆心，则 A 8 为直径；若直线不经过圆心，如 图 3 3 2,连结圆心。和弦4 8 的中点M 的 线 段 垂 直 于 这 条 弦.且 在 放中，0/为圆的半径r,0 M 为圆心到直线的距离d,M 4为 弦 长 的 一 半，根据勾股定理，有/_/=（丝）22当直线与圆相切时，如 图 333,P4,PB为圆0的切线，可得P4=PB,0A 1 PA.,JLL RtPOA中，PCP=PA?+OA?.如 图 3.3-4,P T为 圆。的 切 线，P/8 为 圆。的 割 线，

4、我 们 可 以 证 得AP/T 以，因而PT?=PA-PB.高中必备知识点2:点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为厂的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于厂；同时，到定点的距离等于尸的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长卜的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何

5、一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.龚俐剧行高中必备知识点1：直线与圆的位置关系【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5 个点：A(l,1),6(03,01),C(03,1

6、),D(02.02).画出4A B C的外接圆。P,并指出点D与0 P相的位置关系；E点是y轴上的一点，若直线DE与。P相切，求 点E的坐标.【答案】见解析，点D在。P上：(2)E(0,团3).【解析】(2)连接PD,.直线DE与。P相切，：.PDJ_PE,利用网格过点D做直线的DF_LPD,则F(06,0),设过点D,E的直线解析式为：y=kx+b,V D(02,02),F(06,0),-2 k+b=-2-6fc+h=0 1解得：仁b=-3二直线DE解析式为：y=01xE33,二x=0 时，y=03,.,.E(0,03).【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义若点P

7、到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y在点(0,3)、F(3,03)、G(2,中，点A的 等 距 点 是；若点8在直线y=x+6上，且A、8两点为 等距点”，则点8的坐标为：(2)直线/：y=k词3(k0)与x轴交于点C,与y轴交于点。.若G(回1,“)、T2(4,t2)是直线/上的两点，且 丁】、心为“等距点，求k的值；当k=l时，半径为r的。上存在一点M,线段C。上存在一点N,使得M、N两点为 等距点，直接写出r的取值范围.3【答案】E、F；(03,3)：(2)k的值为1或2：然N 3#.【解析】；点4回3,1)到x、y轴的距离中最大值为3,与A点是“等距点”的点是E、F.点B在直线y

8、=x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有(3,9)、(回3,3)、(09,S3),这些点中与A符合 等距点”的是但3,3).故答案为E、F；(2)(03,3)；(2)VT1(01,t j、可*t2)是直线/上的两点，.0=团熠3,t=4俎3.V k 0,，|团 姆3|=k+33,4幽3团3.依据 等距点”定义可得：当 回3.点A关于x轴的对称点为点B,1A B(0,跖),.AB=1,点D到点A的距离等于线段A B长度，1.,.x2+(yfflj)2=l,故答案为：x2+(y定)2=1；(2：过点B作直线I平行于x轴，二直线I的解析式为y=或，VC(x,y),A(0,2)-

9、；.AC2=x2+(4)2,点c到直线I的距离为：(y+动点C(x,y)满足到直线I的距离等于线段CA的长度,；2+(局 2=(y+/动点C轨迹的函数表达式y=|x2;如图，设点 E(m,a)点 F(n,b),1:动 点C的轨迹与直线y=kx+2交于E、F两点，y=|x2,1，y=fcx 4-2.,.x202kx01=O,/.m+n=2k,mn=01,过E、F作直线I的垂线，垂足分别是M、N,1 1/.M(m,%),N(n,匹)，VA(O,|),/.AM2+AN2=m2+l+n2+l=m2+n2+2=(m+n)202mn+2=4k2+4,MN2=(man)2=(m+n)2?4mn=4k2+4,

10、AAM2+AN2=MN2,AM N是直角三角形，M N为斜边，取M N的中点Q,点Q是4A M N的外接圆的圆心，1A Q(k,生)，1VA(O,5),直线AQ的解析式为y=lx+1,1 直线EF的解析式为y=kx+,.AQ1EF,AEF是aA M N外接圆的切线；,点 E(m,a)点 F(n,b)在直线 y=kx+1,1 1/.a=mk+2，b=nk+2VME,NF,EF是aA M N的外接圆的切线，1 1/.AE=ME=a+2=mk+l,AF=NF=b+-=nk+l,1 1 1 1(m+n)/c+2 2k2+2 4E+HF-mk+1+n/c+1-m nk2+(m+n)k+1-k2+2k k

11、+1-2【能力提升】在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹.例如：动点P的坐标满足(m,m E ll),所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=xEKL的图象.即点P的轨迹就是直线y=x01.(1)若m、n满足等式mn团m=6,则(m,n回1)在平面直角坐标系xOy中 的 轨 迹 是；(2)若点P(x,y)到点A(0,1)的距离与到直线y=01的距离相等,求点P的轨迹;若抛物线y 1/上有两动点M、N满 足MN=a(a为常数，且a 4),设线段M N的中点为Q,求点Q到x轴的最短距离.【答案】(l)y =1;(2)y=12；点Q到x轴

12、的最短距离为L【解析】设 m=x,n01=y,:m n团m=6,m(n l 21 1)=6,x y 6,6/.(m,n l)在平面直角坐标系x O y中的轨迹是y =故答案为：y =l，,(2).点 P(x,y)到点 A(0,1),.点P(x,y)到点A(0,1)的距离的平方为x 2+(y叫2,:点、P(x,y)到直线y=0 1的距离的平方为(y+l E 点P(x,y)到点A(0,1)的距离与到直线y=(3 1的距离相等,/.x2+(y 0 1)2=(y+l)2,1 7-,-y =4x；(3)设直线 M N 的解析式为 y=k x+b,M(xn y j,N(x2,y2),V i +y?线 段M

13、 N的中点为Q的 纵 坐 标 为 一.1 9=f c x +6,A x20 4k x 0 4b=O,xx+x2=4k,X i X2=0 4b,+y 2 1 r、+b+k x2+b)=#(必 +%2)+2b =2 k2+b.M N2=(X 1 -x2)2+(y i -y 2)2=(f c2+1)(X 1 -X2)2=(f c2+1)(X 1 +x2)2-4%1 X2，=1 6(/+1)(/+b)1 6：k 2 +b-+i,y i +y?7 7,1 (,1 -=k2+k2+b k2+-=f c2-1 +-12-1=12k2+l k2+1/.点Q到x轴的最短距离为1.对直柏称1.如图，将。沿弦4 B

14、折叠，标恰好经过圆心0,若。的半径为6,则 功 的 长 为（A.47 B.nC.2万D.6兀【答案】A连接 0A、0 8,作。CJ_48 于 C,、OC 1 sinN0AC-二 一，OA 2：.Z0AC=3Qf.。4二。8,：.ZOBA=ZOAC=30f：.乙408=120,G n7ir：.AB=1 801 20 4 x 61 80=4乃，故选A.2.如图，I B为。的直径，直线E尸与。相切于点。，直线4 c交E F于点H、交。于点C,连接A.若AH H O D ,则4。平分/历1 ；B.若A D平分NBAH,则4 1 尸：C.若 4 H L E F，则。平分/历1 ；D.若 DH?=CH M

15、 H，则 4/1 E/L【答案】D解：A、：AH/OD,ODLHF,ZCAD=ZADO,：AO=OD,ZHADZDAO=ZADO,平分N 8A H,故正确，不合题意；B、平分/8AH,；.NHAD=NDAO,：AO=DO,：.ZDAO=ZADO,：.ZADO=ZHAD,J.AH/OD,V ODA.HF,H A I.H F,故正确，不合题意；C、：AHEF,ODLEH,：.AH/OD,由A得：AD平分/8 H A,故正确，不合题意；D、由。2 无法证明4也L E F,故错误，符合题意;故选D.3.如图，在（D O中，点C在优弧薪上，将弧前沿8 c折叠后刚好经过4 8的中点.若。的半径为5,AB=

16、a 4 i,则7 3的长是（）A.2【答案】A25乃B.-410%c.3D.44OD、CD,作 CF 1 AB 丁 点 F,作 OE CF 于 点 E,由垂径定理可知OD AB于点D,AD=BD=-A B =2 JS2乂.：OB=5OD=yjOB2-BD2=J 2 5-20=石-.-CA.CD 所对的圆周角为 N C 8/、4CBD,且 NCB4=NCBD：.CA=CD,ZCAD为等腰三角形CF ABAF=DF=-AD =y/52又四边形ODFE为矩形且OD=DFf1四边形ODFE为正方形：.OE=4S:.CE=JCO2-OE2=J 2 5-5=2V5：.CF=CE+EF=3/5=BF故ACF

17、B为等腰三角形，ZCBA=45.ZC所对的圆心角为90。AC=90%x 51805乃T故选A.4.如图，已知/5 C,。为/C 上一点，以0 8 为半径的圆经过点A,且与5 C、O C 交于点E、D,设 NC=a,/A =0,贝 i ()A.若a+4=8 0,则弧O E 的度数为10。B.若 +4=8 0 ,则弧O E 的度数为20。C.若 a/=80。，则弧Q E 的度数为30D.若a/=80。，则弧。E 的度数为40。【答案】B设 族 的 度数是X,则E /D8C=1X,2 C 过。，/.ZABD=90,V N4=6,，Z ADB=9 Q-6f,.,/C=a,Z ADB=Z C+Z DBC

18、./.90-6=a+x,2解得：x=180-2(a+6),即D E的度数是180-2(a+8),A.当 a+6=80时，6 0的度数是180。-160。=20。，故本选项不符合题意；B.当 a+6=80时，D E的度数是180-160=20,故本选项符合题意；C.当 a-6=80。，即 a=80+6 或 6=a-80,D E 的度数是 180。-2(80。+6+6)=20。-46 或 180-(a+a-80)=260-2a,故本选项不符合题意；D.当 a-6=80。时，D E的度数是20-46或260-2a,故本选项不符合题意；故选：B.5.如图，A B为O O的直径，C为圆上一点，过点C的切

19、线与直径A B的延长线交于点D,若ZA D C=20,A.45 B.40 C.35 D.30【答案】C解：如图，连接。C,为 的 切 线，A O CLCD,.ZCOD=90o-ZD=70,?O A=O C.：.ZBAC-ZBOC=35.2故选：c6.如图，4 1 8 c 是等腰直角三角形,A C=8C=2,以斜边AB上的点。为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F,与A B分别相交于点G、H,且E H的延长线与C B的延长线交于点D,则C D的长为（A.2 g lM【答案】CB.272C.V2+1D.2 7 2-2解：如右图所示，连接。E、O F,；。与 AC、BC 切于点E、F,：.Z O

20、E C=ZOFC=90,O E=O F,又 ”BC是等腰直角三角形，NC=90。，四边形CEOF是正方形，J.O E/BC,又；以斜边AB上的点。为圆心的圆分别与AC、8 c 相切于点E、F,O E=O F,二。在N4C8的角平分线上，：AC=BC,，。是 48 中点，：.AE=CE,又：AC=2,.AE=CE=1,：.OE=OF=CE=1,：.OH=1,：OE/CD,.OE _ BD又：A B=ylAC2+BC2=2V 2,.0 8=7 2 1 BDT T T T/.8 0=7 2 0 1-.CD=2+8 =逝+1,故选：C.7.如图，已知。的半径为1 0,A、8 是。上的两点，4。8=9

21、0。，C 是射线。8 上一个动点，连结A C 并延长交。于点D,过点。作 0 E1。交 0 8 的延长线于点.当 从 3 0。增大到6 0。时，弦 A D在圆内扫过A100万.,I-50)64万 ，/-50万.r-A.-25V3 B.-C.-16V 3 D.-25V33 3 3 3【答案】B解：过点D作4。的垂线，交A。的延长线于F.当 NCMQ=30 时,根据题意可知：NDOF=60。，Z 4 0 D=120/.DF=ODsin600=10 x亚=5 6,2.c _c g _120万 Z。？1 zc 八 *120)X 102 1 ._ 1 0 0 cv A S弓形3 =S扇形/如-=-AOD

22、F=-X10X5A/3 25。3,Jot)2 36U 2.3当 NA=60 时，过点D作。尸L O A于尸，连接。D,根据题意可知：/。尸=60,DF=ODsin60=5,S弓 形 皿=S由*-S AOD.=6 0 1-OZ),F =-xlO O-xlO x5V 3=2 5 g ,弓形 4)屈形力 Q e.A O D 360 2 6/2.3 弓形力8。一 D弓形故选：B.8.如图，在矩形ABCD中，8c=8,以A 8为直径作。0,将矩形A8CD绕点8旋转，使所得矩形48C”的边C。与。相切，切点为E,边4 B与。相交于点F.若8 F=8,则CD长为（）DA.9 B.10 C.8 G【答案】B连

23、接O E,延长EO交BF于点M,D.12.c”与。相切，：.ZOEC90,又矩形 ABC。中，AB/CD,：.ZEMB=90,：.BM=FM,.,矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为ABCD1,.*.ZC=ZC=90,AB=CD,BC=BC=8,四边形EMBC为矩形，：.ME=8,设 OB=O E=x,则 OM=8取，,/OM2+BM2=OB2,(80 x)2+42=x2,解得x=5,：.AB=CD=10.故选：B.9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2 的。与X轴的负半轴交于点A ,点 5 是 0(94上一动点，点P 为弦4 8 的中点，直线y =-x +4 与 x轴、N 轴分别交

24、于点C,E，则 尸 C E 面积的4 2【答案】D解：连接。尸，如图,点尸为弦4 5 的中点,O P L A B,Z AP O =9 0 ,点。在以0A 为直径的圆上，以0A 为直径作。N,过 N 点作直线N F _ L C E 于尸，交。N 于M，则QN上到直线C E上最短的距离是E ,此时，AMCE即APCE的面积最小，4、当 x=0 时，y-x+4=4,贝！J (0,4),34当歹=0时，一一x+4=0,3解得x=3,则 C(3,0),.OE=4,OC=3CE=yloC2+OE2=732+42=5，O O的半径为2,OA 2,：.NM=N0=1 ,NC=ON+OC=3+1 =4由等积法可

25、知：LNCOE=LECNF2 2NCOE 4x4 16EC 5 5MF=NF-NM=-1 =,5 5SAMCE=；CEMF=；X5X*=,即 PC E的面积最小是U,2故选：D.i o.如图，A/b。内接于o o,其外角平分A。交。于D,八0 _ 1 4。于“，则结论 。8=r cAC+AB=2CM(3)A C-A B =2AM S BD=S.BC 中正确的是()A.B.C.D.【答案】B解：过点。作DF_LB于F,：A、B、C、。四点共圆，：.ZFAD=ZBCD,.外角平分线A D交。于D,：.ZFAD=ZDAC,又,:NDBC=NDAC,:.NBCD=NCBD,.D 8=D C,故此选项正

26、确；外角平分线，D F _ L8E,D M_ LAC 于 M,：.DF=DM,在BF D丝 CMD中，ZFBD=ZACD=1 5 0-6 0 =90 阴影部分的面积为：S =S&ABC+S 扇形CD S 扇 形=-x 4 x 2 V 3 +290 x 42 6 0 x 423 6 03 6 0=4 7 3+-3故答案为：4-/3 H-7 131 2.如图，48C内接于。，E是边8 c的中点，连接。E并延长交。于点D,连接C D,若48CD=26。,则乙4=_.【答案】52。解：连结。8、0C,V ZB C D=26,N8OD=2N8CD=2x26=52,：OB=OC,E是边8 c的中点，AOE

27、BC,ZBOE=ZCOE=S2,：.ZBOC=ZDOS+ZCOD=520+52=104,ZA=-NCOB=1x104=52.22故答案为：52.ED1 3.如图，在边长为4的正方形4 8 C。中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以8 C为直径画半圆,若阴影部分的面积分别为E，$2,则S2-St=.DC【答案】6万 一 16由图形可知，扇形A8D的面积+半圆B C的面积+阴影部分的面积-正方形A8CD的面积=阴影部分的面积,.52-SF扇形ABD的面积+半圆B C的面积-正方形A8CD的面积907rx 4?1=-+TIX22-42360 2=6-16,故答案为：6万-16.14.如图，是0 O的

28、直径，弦C0_L4B,ZC=30,CD=2 6.则图中阴影部分的面积为S阴影一解：设线段CD、相交于点,v A B是OO的直径，弦C D工A B .；N4EC=NOED=9Q,CE=ED=、CD=62ZC=30:.ZAOD=2ZC=60：.NODE=30RtAACE 与 Rt/XODE 中，NC=ND CE=DENAEC=4OEDRtACE M RtODE(ASA)s阴影=s扇形=607TQD2360T2故答案为：-71.315.如图，在扇形O4S中，已知NNO8=90,OA=2,过 标 的中点C作CO _ L 04,CE LOB,垂足分别为。、E，则图中阴影部分的面积为【答案】万一2解：连接

29、OC,；04=2,OC=OA=2,2AOB=90,C为彘 的中点，ZAOC=ZBOC=45,：CD LOA,CE LOB.：.ZCDO=NCEO=90,ZDCO=Z.AOC=NECO=NCOE=45,CD=OD,CE=OE.25=22,2OE2=22.即 CD=OD=OE=CE=也,S阴影部分的面积=S扇形X O B _ SC D O -SCEO -X 叵 X V2 X y/2 X /2=%2,360 2 2故答案为：7 T 2 .1 6.己知，如图,A B 是。的直径，点P 在8A的延长线上,弦CD交A8 于E,连接。D、P C、BC,O D=2 B C/P=N D,过 E 作弦GF1 8C

30、交圆于G、F 两点，连接CF、B G.则下列结论：C D M 8；P C 是。的切线；（3）O D GF；弦 CF的弦心距等于g 8 G.其中正确的是（只需填序号）【答案】连接 8。、O C、A Gf 过。作 O Q _ L CF 于 Q,O Z _ 1 _ 8G 于 Z,0。=0 8,，Z A B D=Z O D BfZ A O D=Z O BD+Z O DB=2 Z O BD,?Z A O D=2 Z A B Cf：.Z A B C=N ABD,弧 4。二弧AD,9JA B是直径，：.CD.LABf即正确；VCD 48,NP+N PCD=90,/0。=。&:.ZOCD=ZODC=Z P9.

31、ZPCD+ZOCD=90,：.ZPCO=9Qt PC是切线,即正确；彳 段 设 ODG F,贝lN4OD=NFE8=2N/ABG,GF IB C,：./ABC+/FEB=90。,即 3 NA8c=90,N48C=30。，已矢口没有给出NA8c=3 0 ,即错误;*AB是直径，ZACB=90,VEFJ_BC,：.AC/EFf，弧 CF=MAG,：.AG=CFfV OQ1CF,OZ18G,1 1 1A CQ=AGf OZ=AG,BZ=BG,2 2 2：.OZ=CQ,V OC=OB,NOQC=NOZ8=90,.,.OCQABOZ(H),AOQ=BZ=BGf即正确.2故答案为：.-/1 7.如图，锐角

32、A/B C内接于。，4H LB C于点H,直径M N工BC,M N交AB于息D,4 0:8 0 =5:1 2,连结/A/,BM,已知圆的半径为13,8 c=2 4,则C H=,四 边 形 的 面【答案】7 255解：作Z E J.JW,垂足为E，作垂足为尸，连接。B,:直径 M NJ.8C,8C=24,二 BG=CG=、BC=2,2AE 上 MN,BG 工 MN：.AEIIBG,.AE AD _ 5：.AE=BG=5,12V AH YBC,MN BC,：.AHUMN.四边形AHGE为平行四边形，GH=AE=5,：.CH=CG-GH=12-5=1,：O5=13,8G=12,0G=ylOB2-BG

33、2=V132-122=5，MG=。河+OG=13+5=18,SALSDnIrJwIVI =2 BGxMG=2 xl2xl8=108,OF A.AH,OGLBC,AH LBC,：.AOGH=NOFH=ZFHG=90,四边形OGHF为矩形，FH=OG=5,OF=GH=5,AF=s/OA2-O F2=V132-52=12 二 AH=AF+FH=12+5=17,S&ACH=CHxAH=-x7xJ7=,5梯 形9=；(AH+MG)xGH=1x(17+18)x5 S四 边 形 4MBe=S 4BGM +S 4 ACH+AHGMH9 175108+=255,2 2故答案为:7；255.18.如图，。的弦4

34、8、CD相交于点E，。为弧4 8的中点，过点。作。的切线交2 8的延长线于25 3点、F,连接 Z C,若 AC/DF,OO 的半径为 丁，BE=-A E ,则 CE=【答案】V10解：连接OC、OA.OD,OC与AF交 于 点、H,如图,OC_L/48,AH=BH,9：AC/DF,：./A C D=/C D F,V O D是切线，A OD1DF,NODF=90,.ZODC+ZCDF=90o,OC=ODf：.ZOCD=ZODCtZ OCE+ZCEA=Z OCE+Z FED=90,ZCDF=ZDEF=ZACD=ZAEC,：.AC=AEt设AE=5儿 则8E=3儿A4C=5A,48=8儿.-.Z1

35、H=4A,HE;人,在灰4C H中，由勾股定理得CH=3L25OH=OC-CH=-3A,6在RtAHCE中，由勾股定理得CE2=/2+以。=9储+42=10人2,Z.CE=ViO A,在RtZ”O A中，由勾股定理得，OA2=AH2+OH2t25 25B|J()2=(4A)2+(-3A)26 6解得4=1,.,.CF=VIOA=VIO，故答案为：y/10.1 9.如图，在半径为3近 的o。中，4 8是直径，AC是弦，。是 死 的 中 点，AC与8。交于点E.若E是8D的中点，则AC的长是.【答案】8解：连接。D,交AC于F,是I e的中点，：.OD1AC,AF=CF,：.ZDFE=90,：OA

36、=OB,AF=CF,1，0F=BC,2是直径，ZACB=90,在AEFD和ECB中，ZDBE=ZBCE=90 NHDF.点G在点E,D之间.即点G被外接圆覆盖，此时该圆为能完全覆盖该四边形的最小圆.因此，此基站应建在 加/的外心处.2 3.已知，如图，A 8是。的直径，点C为。上一点，0F18C于点F,交。于点E,AE与BC交于点”,点。为。E的延长线上一点，且NODB=EC.求证：8。是。的切线；3若。的半径为5,s in 4=-,求8”的长.【答案】证明见解析；(2)BH=.2证明：；NODB=NAEC,/AEC=/A 8C,：.ZODB=ZABC,OFBC,：.ZBFD=90Q,：.ZO

37、DB+ZDBF=90,；.NABC+NDBF=90,即/。8。=90,BDOB,是(D。的切线；(2)解：连接8 E,如图2所示:；AB是。的直径,/.Z4EB=90,3,/OO 的半径为 5,sin/BAE=3：.AB 10,BE=ABsinZBAE=W x-=6,5BE=CE：.NCBE=N4,3:.sin NCBE=sin NA=一,5.EH 3*.-=一,BH 5设 BH=5x,EH=3x,在 Rt/BEH 中 B H2-E H2=BE2，3(5x)2(3x)2=6 2,解得，x=-15BH=.22 4.如图，N O是。的半径，且=8是半圆。上一点，连接4 8,作 口ABCD,过点C作

38、半圆。的切线C E,交Z O的延长线于点P,切点为E，连接5 E.当8 E IIN P时，求证：CE=O P；(2)当 度时，口ABCD为菱形.【答案】见解析；(2)60证明：延长CB交AP于点F,连接。8、0E,：ADAO,AD/BC,J.CF1AP,：BE/AP,CF1AP,：.CBrBE,gJZCSf=90,：CE 是。的切线，则/。=90。=NC8E,四边形ABCD是平行四边形，：.AD=BC=AO=OE,：BE/AP,:.NP=NCEB,在C8E和OEP中，Z.CBE=NOEP NCEB=NP,CB=OE：.ACBE/OEP(AAS),：.CE=OP-,(2)解：.,ABC。为菱形，

39、：.DA=AB=AO=OB,.BA。为等边三角形，.N8AP等于60度时，口A8CD为菱形，故答案为：60.2 5.如图，已 知 以 为直径的。中，点。，。在4 8的同侧，点。是 就 的中点，连接3。，过点。作8 c于点E，DF上4B于点F.D.C求证：D E是 的 切 线;已知1 8 =10,BD=8,求6 c的长.14【答案】（1）证明见解析；（2）二.解：如图1,连接。，则 NODB=ZOBD，由点。是 左 的中点得NABD=NEBD，NODB=NDBE,.OD/BE,：DE LBE,/.OD1DE.：.D E是。的的切线；(2)如图 2,连接0。,AD，DC,：.ZADB=90,依据勾

40、股室理得，AD=Y1AB2-BD2=A/102-82=6 DF L AB,SLMADBDD=2-A B D F =2-A D B D ,“ADBD 6 x8 2 4/.DF=-=-=,AB 1 0 5:.DE=DF=丝,5；四边形ADCB是。的内接四边形,ZECD=NDAB,RtAADBsRtKED,CE _ DEAD1D(2 4：.C E_AD DEBD 81 8,TBC=BE-CE=-=5 5 52 6.如图，在四边形/B C D中，AB=AC,ZADB=9 0,过三点的圆交3 c边于点E.(1)求证：E是3 c的中点；(2)若 8C =2 C O,求证：NBCD=2NABD.【答案】见解

41、析；(2)见解析证明：连接NE,ZADB=90，：.AB为直径，NAEB=90,AE L BC,v AB=AC,/E是A/B C的中线,.1是8 c的中点.(2)连接 E是 的 中 点,BC=2CE.：BC=2CD,CE=CD，NCDE=4CED.四边形NOE5是圆的内接四边形，ZBAD+ZBED=Q.:NCED+NBED=180。,NBAD=NCED.:NABD=900-NBAD,ZBCD=180-NCED-ZCDE=180-2ZBAD,:BCD=2NABD.B2 7.如图，点。为上一点，点C在直径8/的延长线上，且NC7M=/C 8O.判断直线CD和。的位置关系，并说明理由.（2）过点8作

42、OO的切线8E交直线CD于点E，若4C=2,OO的半径是3,求N8EC的正切值.4【答案】（1）相切，见解析；（2）理由：连接0。，如图所示：解：（1）直线CD与。的位置关系是相切.是。的直径,.4 0 8 =90,NDAB+NDB4=90,：NCDA=NCBD,二 ZDAB+ZCDA=90,：OD=OA,：.NDAB=NADO,NCDA+ZADO=90,即：OD IC E,直线C D是。的切线.即：直线CD 4 00的位置关系是相切；（2Y：AC=2,。的半径是 3,/.OC=2 +3 =5,0D=3 ,在中，由勾股定理得：CD=4.；CE 切 0O 于 D,EB 切（DO 于 B,:.DE

43、=EB,NCBE=90,设 DE=EB=x,在.RMCBE中,有勾股定理得：CE?=BE?+BC?,则（4+X）2=/+（5+3）2,解得：x=6,即 B E =6，8 4t a n NBEC=-=-,6 34即：t a n ZBEC=.32 8.如图，48是 的 直 径，点。在。上（点。不与A ,8重合），直 线 交 过 点8的切线于点C,过点D作。的切线DE交BC于点E.求证：BE=CE；B）若DE/AB,求s i n/4 c o 的值.【答案】见解析；（2）叵1 0证明:连接0D,如图,DE4 JB,:EB、Z为(DO的切线，:.EB=E D，OD ID E,AB LCB,：.ZADO+

44、ZCDE=90。，ZA+ZACB=90,OA=OD,：.ZJ=ZADO,ZCDE=NACB,EC=ED,BE=CE-,(2)解：作于”，如图，设OO的半径为，DEHAB,NDOB=ZODE=NDEB=90,.四边形O8E。为矩形，而 OB=OD、，四边形O8E。为正方形，二 DE=CE=BE=r,则 BC=2r,：.AA O D 和X C D E都为等腰直角三角形，OH=DH=r，CD=旧，2在RtOCB中，0C =丫+尸=后，在R t C 中,sinNOC=空=9=巫,OC 屈 10即s in/CO的值为叵.102 9.如图，/台。中，以8 c为直径的OO交4 8于点D，NA=NBCD.求证

45、：ZC为。的切线；（2）在8 c上取点E,使BE=BD,【答案】（1）见解析；（2）近 二1.2解：（1）证明：；6C为直径，4BDC=90,ZA+ZACD=90.N4=4BCD,/.ZBCD+ZACD=90.二 4 c 8=90,/./C为。的切线.（2）解：V EF/AB,NZ=ZFC.NA=NBCD,：.4 BCD=NEFC.过点E作七尸/Z 8交ZC于点若EF=BD,求sin N的值.设 CE=x,BE=y,则 BC=x+y,EF=BD=y.A sinZEFC=,sin NDCB=吧=上-y BC x+yy歹x+y/.x2+xy-y2=0,xY+y jy)-1 =0sin Ax Vs

46、1二 丁 丁、x3 0.如图，。的直径/5 =4,点P为弧ZB上一点，连接P/、P O,点C 为劣弧4P上一点（点。不与点A、尸重合），连接8 c交P/、PO于点、D、E.7当c o s N C 8 O =时，5C 的长度为_ _ _ _ _ _8当点。为劣弧力P的中点，且A40P s AEDP时,求乙48 c的度数；（3）当4。=2。P，且 8E。为直角三角形时，求四边形N O E。的面积（直接写出结果）.【答案】（1）一；（2）1 8。；（3）一或之6.2 3 6解：（1）如图，过点O 作。G_L8 C 于点G,BG=-B C2,j AB=4OB=27v cos ZCBO=8BG _17B

47、C=2BG=-27故答案为：一；2(2)如图，连接O C,乙B =aOB=O C,Z.AOC=2a,.点C为弧”尸中点，RtA4O H ,ZAOC=APOC=2a,O P A E D P，：.ZA=APED=（3,在ACOE中，由外角定理夕=3。（或在0 8OE中，由外角定理4a=a+）在 RtZNO 中，2a+/?=90由解得ZABC=a=18；分两种情况讨论，当NEOB=90时，过点D作DH L A B于点H,C/DA H O B.DH/PO.AD AHPDOH.AD=2PD.AH=2Ho：AB=4AH=-,O H =-,BH =-3 3 3:AO=PO,ZAOP=90.AA=45AD=2

48、DPAH=DH=3OE/DHOE OBOE 2丁=B3 3/.OE=1 V -c,0 四边形一 葭A B D当NOE8=90时,A0;NC=NOEB=90。:.ACHOE,CE=BEMEB 2 3 2 3 3连接NC,B同理得ZC=2PEv AO=BO：.AC=2OE：.OE=PE=-OP2:.AC=-AB2:.AABC=30：AB=4(95=2=AC,OE=1,BE=6 BC=742-22=26:.CE=6 AC/PECD AD-=2DE DP:CD+DE=6:.CD=-3 Q四边形NOEO=SABC_SGOEB_S“CD=-x 2 x 2 V 3-x lx V 3-x 2 x -=Z22 Jo综上所述，四边形AOEB的面积为工或2G.3 6