2022年初升高数学衔接讲义01数与式的运算（教师版含解析）（第1套）.pdf

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1、专题0 1 数与式的运算名取保述初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是 对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充,对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充：二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可 用“夹逼”的方法推出，两个被开方

2、数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数基运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数暴逼近无理数指数基），掌握运算性质，能够区别7与（后 的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数事的概念，进而学习指数基的性质，掌握分数指数幕和根式之间的互化，掌握分数指数罂的运算性质.福程要求 初中课程要求1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无

3、理式的概念；了解了整数指数基的含义 高中课程要求1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数暴的运算及其性质推广到分数指数嘉知徂雅神高中必备知识点1:绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即：a,a 0,a=0,Q=0,Q,Q -戈,2v 与2V3+3V2,等等

4、.一般地，“右 与 G,a&+b 6 与 a&-b 6,a&+b 与 a&-b 互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式4a4b=4ab(a0,b0)-,而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2.二次根式后的意义=同=U1 1-a,a 2的解集为8 一1或 x 3.白 圈 算 感

5、 既 照例 3 解方程|X-1|+|X+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1 和一 2 对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值.因为在数轴上1 和一2 对应的点的距离为3(如图)，满足方程的x对应的点在 1的右边或一2 的左边.若x对应的点在1的右边，可得x=2；若 x对应的点在一2 的左边，可得x=-3,因此方程|x 一l|+|x+2|=5 的解是x=2 或 x=-3.参考阅读材料，解答下列问题：方程|x +2 1 =3 的解为；解不等式：|工一2|6；解不等式：|X-3|+|X+4|2 9；解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.月勖 在 狗【答案】X =1

6、或 x=5；(2)4 V x 8；X 2 4 或 X 4 5；X =-或=一.3 3【解析】由已知可得x+2=3 或 x+2=-3解得x =l 或 x=-5.在数轴上找出|X 2|=6 的解.在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为一4或 8,，方程I 尤一2|=6 的解为x=-4 或 x=8,.不等式|一2|6 的解集为-4 V x 8.(3)在数轴上找出|X 一3|+|X+4|=9 的解.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和一4对应的点的距离之和等于15 的点对应的x的值.在数轴上3和一4对应的点的距离为7,.满足方程的x 对应的点在3的右边或一4的左边.若X对应的点在3

7、的右边，可得x=4；若X对应的点在一4的左边，可得x=-5,二方程|x-3|+|x+4|=9 的解是x=4或x=-5,二不等式|x-3|+|x+4|2 9的解集为盾4或XS5.在数轴上找出I x-2|+|x+2|+|x-51=15的解.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和一2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值.在数轴上-2和5对应的点的距离为7,.满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边.若x对应的点在5的右边，可得x =三；若x对应的点在一2的左边，可得 =-!，3 3方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15 的解是x=-与 或x=g.【变式训练】实数。、8在数轴

8、上所对应的点的位置如图所示化简“(12+佃-匕|-|6-。|.【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a0,|a|b|,所以 b-a0,a-b0原式二|a|-(b-a)-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】己知方程组K邛二需的解X、y的值的符号相同.求a的取值范围：(2)化 简:|2a+2|-2|a-3|.【答案】(l)-l a 0,解得(2)V-la3,当lak 2)(2)化简：(a+2b)(a 2力)一(。26)2【答案】(1)3(2)4ab-8b2【解析】解：原式=4+1+卜8)+4=5-2=3(2)原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)=a2-4b2-a2+4ab

9、-4b2=4ab-8b2【变式训练】计算：(万一3.14)。+(4)2(9 2(2)(X-3)2-(X+2)(X-2)【答 案 8(2)-6x+13【解析】原 式=1+16-9=8；(2)原式=X2-6X+9-(X24)=x2-6x+9-x2+4=-6x+13.【能力提升】已知 1 0 x=a,5x=b,求：50*的值；(2)2的值；(3)20,的 值.(结 果 用 含a、b的代数式表示)2【答 案】ab乂2)2(3)0-.b b【解 析】解：(l)50 x=10 xx5x=ab；高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题.(2)yj4x+2 J2 x J8 x _ 4y/X2【答 案

10、】-66;(2)岳-2&【解 析】A(1)(76-2715)x73 06=3后团6逐 回3后=0675;(2)历+2岳 回;痴 团4=2五+2 岳 岳 骷正V2x 02 yx-【变式训练】小 颖 计 算 而:(9+七)时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:解：原 式=1日方1+1=V15xV3+V15xV5=3 Vs+5 5/3 她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：原 式=疥+摩 叵V1515V5+V3_ 1575-15732【能力提升】先化简，再求值：（至 孚-占 卜 土1型，其 中a=7I+VL b=V2-V3.

11、a+b a-b a+b【解 析】解:(=wa+b a-b a+b(2a-b)(a-b)-b(a+b)a+ba+b)(a-b)a-2b2a之 一 3ab+b2-a b-b2a-2b2a(a-2b)1a-b a-2b2a-，a-b当 a=0 +5 b=V-石 时，H,2（应+6）2（V2+V3）C +3原式地 丁-高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再 求 值（土 已 一 叶2）+/1 ,其 中X满 足X 2+X 01=O.【答 案】【解 析】解：原 式=-2x-l(x-1)_ l-xx(x-l)x(2x+l)x x2+x-l=O,x2=l-X,原 式=1.【变式训练】化简:4x2-4xy+

12、y22 x-yv(4x2 y2)【答 案】2x+y【解 析】4x2-4 xy+y2,c/+(4x2y2.x-y)(2 x-1=-X-2 x-y (2x+y)(2x-y)1=2x+y【能力提升】已知：1-1 =2,则的值等于多少?a h 2a-2b+lab4【答 案】一彳.3【解 析】解：:=2,a b.a-b=-2ab,门 2ab 2ab 4则-=一-4ab+7ab 3M对直搬体1.下列运算正确的是()A.肛 2=B.V3+V7=Viox y-y x-yC.3x3团5x3=团2 D.8x3-r4x=2X3【答 案】A解：4,xy _ xy _ xx y-y2 y(x-y)x yB,V 3+V

13、7=V 3+V 7，不正确.C,3x3团53=团2*3,不正确.。，8x3-r4x=2x2,不正确.故选：A.2.下列计算结果正确的是()3 2 1A.-+-=-x 2 2 x x 2C.(-A y)5(-x y)3=-X2y2正确.B.(X2)3=X5D.3x2y-5xy2=-2xy【答案】A3 2 1-1-=-,x 2 2.-x x 2二选项A计算正确；V(x2)3=x6,选项8计算错误：V(-xy)s(-xy)3=x2y2,.选项C计算错误；3/乂-5 9 2不是同类项，无法计算,选项D计算错误；故选AX3.若 式 子 一；有意义，则下列说法正确的是()X+1A.工 一1 且 xw O

14、B.x -l C.x w-l D.xw O【答案】C解：由题意可知:x+1 wO:x#1故选：C4.计 算 型 L的结果是（）a-a-1a1A.3 B.0 C.-D.-a-a-【答案】A3a-3-a-.3（a-l）a-=3.故选45.若|a|=4,传|=2,且a+Z的绝对值与相反数相等，则a 力的值是（）A.-2 B.-6 C.-2或一6 D.2 或 6【答案】C解：|方|=2,，Q=4,6=2,+的绝对值与相反数相等，二 +力bc（ac0）,且同 例 b c,，Q0,c 0,又；卜|问|4,-a-b c 0-c b a,又,；X-a+b|+|x-b1+一 Ci|+I x +一a+:一c 表不

15、_ 到-a-+-b-，-b-+-c，-a-+-c 二_点.的,距 nr居.的和r,2 1 2 1 1 2 2 2 2当x在时距离最小，2即最小，最 小 值 是*与-*之 间 的 距 离，即网等.2 1 1 2 1 2 2 2 2故选：C.a b c abc7.如果。，b,c是非零有理数，那 么 同+同+时+的 的 所 有 可 能 的 值 为（）.A.4 ,2,0,2,4 B.4 ,2,2,4C.0 D.-4,0,4【答案】Da、b、c均是正数，原式=1+1 +1 +1 =4 ；a、b、c均是负数，原式-1 =-4：a、b、c中有一个正数，两个负数，原式=1-1-1 +1 =0；a、b、c中有两

16、个正数，一个负数，原式=1+1 -1 一1 =0；故选D.8.如图是一个按某种规律排列的数阵：1G第 1行Q2&R第2 行J72及3/ioJiT2j3第 3 行ZB J14万43j2719 275箫4 行根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且*4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）.A.1 B.yj fj2 2 C.J 2 3 D.yjfl2-4【答案】c由图中规律知，前(n-1)行的数据个数为2+4+6+.+2(n-l)=n(n-l),.第n(n是整数，且 n )行从左向右数第(n-3)个数的被开方数是：n(n-l)+n-3=n2-3,.第n(n是整数，且*4)行从左向

17、右数第(n-3)个数是：二5故选：C.9.与 百(加-百)最 接 近 的 整 数 是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B解：原式=病-3，V495464,7 V54 8-,:7S=56.25，7 V54 /6+2-V2-l=:/6-/2+l,b a V6-2 V2-1故选：B.11.,若,1 一一1 7 =c 3,nl则/k 分式2 a-3ab-2 ba b a-2 ab-b3【答案】一解：!5 =3两边都乘a b,得：a bh-a=3 ab2 a+3 ab-2 bQ 2 ab b2（a-b）+3 aba-b-2 ab2（”3+3而 a-b-2 ab、口 -6ah+3 ah-3 ab

18、3将代入得：-3 ah-2 ab-Sab 53故答案为：-012.若分式X：二 X二2 的值为零,则X的值为x 2【答案】-1解：.分式r2-r-2X X/的值为零,x-2x-X 2 =0 L L x 2#0,解方程得，X =-1,Z=2;解不等式得，X W 2,故答案为：-1 .(2、c i1一一 二的值为a J a-4(答案 a(a +2)(a-2)1a+2 ,由题意awO且t?一4/0 ,所以awO且4工2且4*一2,又.整数。满足l 09abab0:.3a2h2f ah 3a2b2 /-3a2b,i-/-r-yj ab-7 ab abyj ab9a2b2 3ab-3ab故答案为：-ab

19、4 ab.17.化 简-痴 的 结 果 为.【答案】V 5-1解：原式=4 6-2 6=J(V5)2-2V 5+(V1)2=J回 I)?=V 5-1 .故答案为：V 5-1 .18.若有理数 x,y,z满足(|x+l|+|x02|)(|绢I|+|y03|)(|z03|+|z+3|)=3 6,则 x+2y+3z 的最小值是【答案】08解：当 x3,当 1女42 时，|x+l|+|x02|=x+ll3(xa2)=3,当 x2 时，卜+1|+|%02|=*+1+质2=2姬13,所以可知|x+l|+|x02|23,同理可得：|阳1|+|阳3怯2,|泪3|+|z+3|26,所以(Ix+l|+|x02|)

20、(|y01|+|y03|)(|z03|+|z+3|)23x2x6=36,所以|x+l|+|x02|=3,|附1|+|阳3|=2,|阖 3|+|z+3|=6,所以01女42,14ys3,03z3,，x+2y+3z 的最大值为：2+2x3+3x3=17,x+2 y+3 z 的最、值为：01+2x1+3x(03)=08.故答案为：08.1 9.已知|x+2|+|l-x|=9-J(y-5)2 +,则x+V 的最小值为【答案】3.|x+2|+|l-x|=9-J(y-5)2 -J(l+,.|x+2|+|x _ l|+|y+l|+|y_ 5|=9,.I x+2 1 +1 x-11可理解为在数轴上，数X的对应

21、的点到-2和1两点的距离之和；IV+11 +1V-51可理解为在数轴上，数歹的对应的点到-1和5两点的距离之和，当 一2W W 1，|x+2|+|x-l|的最小值为 3；当一快区5时,|y+i|+|y-5|的最小值为6,.X的范围为一2 W x(，N的范围为T&3,当x=-2,y =-1时，x+V的值最小，最小值为一3.故答案为：-3.20.已知式子|x+l|+|x回2|+|y+3|+|y（3 4|=1 0,则x+y的最小值是【答案】-4解：.卜 +1降_2|+b+3|+3-4|=10,A-l x 2,-3 y +4=5.22.计算：(百+.【答案】3-V 2解：原式二3 J J =3-V 3

22、+V 3-V 2=3 2 2 3.已知a,b,3 荫足|4+3|+跖1 +(。5)2=0,请回答下列问题:直接写出a,b,c 的 值.。=,b=,c=.并在数轴上表示.(2)a,b,c 所对应的点分别为4 B,C,若点A 以每秒1 个单位长度向右运动，点 C 以每秒3 个单位长度向左运动；运 动 1.5秒后，A,C两点相距几个单位长度.几 秒后，4 C两点之间的距离为4 个单位长度.【答案】-3,1,5,数轴见解析；(2)2：1 秒或3 秒解：,|a+3|+V T +(c-5)2=0，a+3=0,b-l=O,c-5=0,a=-3,b=l,c=5,数轴表示如下：n 图嚼噢阉嚼片扇 T 忠寓一“飞

23、(2)由题意可得：1.5秒后，点 A表示的数为：-3+1.5xl=-1.5,点 C表示的数为：5-3x1.5=050.5-(-1.5)=2,二4 C两点相距2 个单位长度；设 t 秒后，A,C两点之间的距离为4 个单位长度，若点A在点C左侧，贝 lJ-3+t+4=5-3t,解得：t=l；若点A在点C右侧，则-3+t=5-3t+4,解得：t=3,综上：1 秒或3 秒后，A,C两点之间的距离为4 个单位长度.2 4.同学们都知道，|4-(-2)|表示4 与-2 的差的绝对值，实际上也可理解为4 与-2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|-3|也可理解为x 与 3 两数在数轴上所对应的两点之

24、间的距离，试探索:(1)1 4-(-2)|=.找出所有符合条件的整数x,使 口-4|+次+2|=6成立，并说明理由由以上探索猜想，对于任何有理数x,|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有,说明理由.【答案】(1)6；-2,-1,0,1,2,3,4,理由见解析：(3)有最小值为3解：(1)原式=|4+21=6,故答案为：6；令 x-4=0 或 x+2=0 时，则 x=4 或 x=-2,当x V-2时,.,.-(x-4)-(x+2)=6,-X+4-X-2=6,，x=2(范围内不成立)；当2 V x V 4时，-(x-4)+(x+2)=6,.-x+4+x+2=6,A 6=6

25、,0,1,2,3；当x 4时，A(x-4)+(x+2)=6,:.x-4+x+2=6,.x=4(范围内不成立)，综上所述，符合条件的整数x有：2,0,1,2,3,4；|x-3|+|x-6|表示数轴上到3和6的距离之和,.当x在3和6之间时(包含3和6),|x-3|+|x-6|有最小值3.2 5.已知Y-5 x-石=0,求代数式2X2-1 0X-6 的值；(2)化简:x2+6x+9 xx2-9 x-3【答案】(1)君；(2)x 3.解：由已知得：X。-5 x =#)，原式=2 卜-5 x)-=2亚-亚=亚(2)原式=5+3)2(x +3)(x-3)Xx-3x +3 xx 3 x 33x 32 6.

26、先化简，再求值:1+仝X+12X-XX +1其中x =s.【答案】w-1 +生 生X +1解:x2 xx +1_x_-_ _ 1_+_ _ 2_ _ 2_ _x x _ _ _x_+_ _1_ _x +1 x(x-l)X+x +1 x(x-l)X 1X当工=近 时，原式=要=三立yj 5 52 7.如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚.Az/一 4。+6 +2。-3甲乙嘉嘉认为污染的数为-3 ,计算 4 +5 的结果；若Q=3 +6,淇淇认为存在一个整数，可以使得力-g 的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数.【答案】(1)一2a2 2

27、。+3；(2)0.解：(1)4+8=。-4a+6+(-3。+2a-3)ci-4。+6 3Q +2Q 3 2Q -2Q+3;设污染的数字为2,，.4-B=(a?-4a+6)-(fnci+2a-3)=a2-4 a+6-ma2 一 2。+3=a2-6(7+9-ma2=(Q-3 -ma2 Q=3+G.(4 3)2=(3+百 一3=3 是整数 /一8的结果是整数是整数 /=(3+0=12+6 6是无理数，加是整数/.m=0即存在整数。满足题意.28.计 算：-12022+|-3|+V 3-tan 30。圾(2021-%)。+先化简再求值：1(3 x2+4 广77rm卜一，其中、=近 一2 2 x【答案】

28、F，2g解：产22+1 _31+G.tan 30。我(2021 万)+(；)=-l+3+V3x 3-2-1+2=-14-3+1-2-1+2=2/J 3)x2+4x+4(X+1)x+l=_J_(x+l)(x-l)x+1.x+l X+I J(x+2)2_ 3-(x2-1)x+1x+l(x+2)2_(2+x)(2-x)x+1x+1 (x+2)2_ 2-xx+2 当 工=收 一 2 时，府 十 2-拒+2 4-收 /-原式=El TF-=2 五一 L2 9.已知/+2 a i=o,求代数式4 厂 2的值.a【答案】a2+2a，1a2-4 a2-X-a a-2(a+2)(2)a2a a-2=a(a+2)=/+2。,cr+2a-1 =0,a?+2a=1.原式=a2+2a=30.计算：(叫3):(_叫5(2)(-3 a)2-a4+(-2 a2)3(3)(x-y)3-(y-x)4(4)(-l)2 0 l 9+(-3.1 4)0-【答案】/：d；(x -y)7解：(/J，.(叫4 +(_/)5 ,=/.八0),(4)-9.,_ 6+8-1 0-Q(2)(-3Q)2 +(-2Q2),=9 a2-a4-8 a6.=9d酎，(3)(X-J)3.(J-X)4,=(x-y)3-(x-y)4,=(x ；（1严9+（乃_ 3.1 4）。一（；）,=-1+1-9,-9