2022届四川省南充市高三下学期高考适应性考试（三诊）数学（理）试题（解析版）.pdf

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1、南充市高2022届高考适应性考试(三诊)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U=x|-lxW 4,A=x|0WxW4,则跖A=()A.-1,0)B.-1,0 C.(-1,0)D.(-1,0【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据已知集合，应用集合的补运算求孰A即可.【详解】因为。=x-lx4,A=x|0 xW4,所以用A=x|-l x则sin 6 01 8 7 1A.5【5题答案】【答案】A【解析】x+3 y 6 4 0【分析】由原点为圆心的圆全部在区域 r 内，画出可行域，根据圆心到直线x +3 y-6

2、=0 x-y +2 y 2 0相切时，圆的半径最大从而求解.【详解】据条件画出线性可行域，结合图形，要使得以原点为圆心的圆的半径最大，根据点到直线的距离公式可知,原点到直线x+3y-6=0的距离为：4=普=争，原点到直线x-y +2 0 =O的距离为：d,=?VT+T 5以原点为圆心的圆的半径大于2时，由所画图中的阴影部分的可行域可知此时圆有部分面积不在此可行域内，即R =5此时圆的最大面积为S=7t(独O =71.I 5 J 5故选：A.6.函数g(x)=/(x)-/(-x)+l的图象可能是()【6题答案】【答案】C【解析】【分析】令(x)=/(x)-4 T),可判断出g(X)的图象就是将

3、贴)的图象向上平移一个单位，由图像的对称性即可得到答案.详解 令(力=/(力_%)贝|g(x)=/z(x)+l,即g(x)的图象就是将a(x)的图象向上平移一个单位即可.因为/2(-幻=7(幻/幻=-。),即函数(犬)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)=f(x)-F(-X)+l的图象关于(0,1)对称.故选：C7.已知等差数列 为 的公差为，有下列四个等式：q=T d=lq+g=0%=3;若其中只有一个等式不成立，则不成立的是()A.B.C.D.【7题答案】【答案】B【解析】【分析】假设其中一个等式不成立，结合等差数列的通项公式判断其他三个等式是否成立即可.【详解】假设q =T不成立时，

4、d=l成立，则由4+生=0 nq+q+d =0=4=-；，此时1 3a3=ai+2d=一 一+2=显然不成立，故本假设不成立；2 2假设d=l不成立，6=-1成立，则由q+4 =。=6+q+d =0=2,此时%=4+24=7 +2x 2=3显然成立，故本假设成立，符合题意；假设%+=。不成立，即q +q +d工0=d丰 2q ,则由4=-1,d=l,可知%=%+2 =1#3,故本假设不成立；假设的=3不成立，即。3H 3,由q=-1。=1,可得4+%=6+4+4 =-1工0，故本假设不成立，故选：B8.在中，ZA=90,A B=2,A C =3,A M =2 M C，AN =；A8,CN与 B

5、 M交 于 点、P,则co s N BP N的 值 为()A R 2后5 5有 n 25/55 5【8题答案】【答案】D【解析】【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.【详解】解：建立如图直角坐标系,则5（）,2）,N（）,l）,C（3,（）,M（2,0）,得 CN=(3,1),MB=(-2,2),uuw uumf C N M B所以cos4B P N =|UutrCN-MB8 _ 2百V10-2V2-5故选：D.9.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧

6、化碳日平均最高容许浓度应小于0.1 5%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间/（单位：分钟）的变化规律可以用函数丁 =0.05+/（/16尺）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间r（单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据In2 0.693,In3 1.098）A.7 B.9 C.10 D.11【9题答案】【答案】A【解析】【分析】由/=（）时，y=0.25可求得之；由y=（）（）5+（）2 e （）.15可解不等式求得/的范围，由此可得结果.【详解】由题意知：当，=0时，y=0.05+2=0.2 5,解得：2=

7、0 2,.y=oo5+O.2e4；/,t 1令 y=0.05+0.2e-m 0.15，即正 6.93,.所需时间f（单位：分钟）的最小整数值为7.故选：A.1 0.设 a =0.5 2,b=log0 2 0.5 ,c=log0 5 0.2 ,则 a,b,c 的大小关系为()A.a b c B.c h aC.c a b D.b c a【1 0题答案】【答案】c【解析】【分析】根据对数函数，指数函数的单调性，即可求解.【详解】解：=0.5 2 0.5 =-,2b=log0 2 0.5 =log0 2 V o.2 5 log0 5 0.5 =1,所以cl a,。，2故选：C.1 1.已知P为椭圆T+

8、#=l(a h 0)上任意一点，点N分别在直线4 =与 ：了二一：上，且P M /2，P N 1、,若|P M+|P N为定值，则椭圆的离心率为()C.D.好2 2【I I题答案】【答案】D【解析】【分析】设P(x。，%),由两直线平行的条件可得直线PM，PN的方程，求出 ，N的坐标，得出|PM+|PN关于七,九 的式子，根据P在椭圆上得出a,。的关系，再由离心率公式，可得所求值.【详解】解：设P 5,%),则 直 线 的 方 程 为 =g x +为，直线PN的方程为y =联立方程组1 1，=丁+产+为J ，解 得 知e+%,申+学y=x2联 立 方 程 组 1 xny=T -+y0i,解得q

9、+y =x2”团2+|取|2=弓一%)2+(5一尹+侍+%)2+(5 +争2=/+|尤,P（x（）,为）在椭圆上，.,方x；+a 2 y：=a 2,5 o 5 .7不 巧+彳/为定值，o Z5.8 12a2-b2 3才4a2 4 42e=B2故选：D.1 2.已知函数x）=x +L 过点尸（1,0）作 函 数y =/（x）图象的两条切线，切 点 分 别 为M,N.则下列X说 法 正 确 的 是（）A.PM VPNB.直 线MN的方程为2 x-y +l=0C.|M 2 V|=2A/1OD._PMN的面积为3 J 5【1 2题答 案】【答 案】C【解 析】【分 析】设 切 点 坐 标（a,）（4，

10、（），利 用/，（。）=1 =_也a a a+-=b,可求出切点坐标,a计 算%“X A取 可 判 断A；求出尤VM，直 线MN的方 程 可 判 断B；求出可 判 断C；求 出P到 直 线MN的 距 离d ,计 算 出|M N d可 判 断D.【详解】因为/(1)=1 +1 =2,所以P(1,O)没有在函数的图象上,1 丫 2 _ 1r(力=1 一 二=二，设切点坐标为(a (a w 0),当 a =l 时，/(1)=2,x =l 不与/(x)=x+J 相切，所以a wl,又因为。+,=6,a解得。=一1/,B|J 1 5/2,2 5/2 j1 +/2,2 5/2 j ,r-r-hl .2 V

11、 2 2A/2 4 4rA z 处、口所以左P M XAO N=-产x=4w 1,故 A 与H 庆；2+及 V 2-2%N M=|芸 也=2,所以直线MV的方程为y=2(x l),即2x y+2=0,故 B 错误:=2 可，故 c正确;P(l,0)到直线MN的距离为d|2-0+2|V 4+14石所以_ P M/V 的面积为L|M N|4 =-x 2而 x 加=4 亚，故 D错误.2 1 1 2 5故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.若复数z=,则 z 在复平面内对应的点在第 象限.1 +1【1 3 题答案】【答案】一【解析】【分析】先利用复数的除法法则化简复数，再

12、利用复数的几何意义进行求解.2i【详解】因为z=izr2i(l-i)(l +i)(l-i)2i(l-i)2所以z 在复平面内对应的点(1,1)在第一象限.故答案为：一.1 4.若等比数列“的前项和为S“，且 S 3 =7,品=6 3,则$9=【1 4 题答案】【答案】51 1【解析】分析】利用等比数列的性质可得S3,S6-S 3,59-S6成等比数列，代入数据即可求解.【详解】因为等比数列中s a,S2-S,S3-S 2,成等比数列，所以S 3,S 6-$3,9 -6成等比数列,所以（S 6 S 3）2=S 3（SS 6），即（63 7=7x0 63）,解 得:$9=51 1.故答案为：51

13、1【点睛】本题考查等比数列性质的应用，熟练掌握各个性质，可大大简化计算步骤，节约时间，提高正确率.考查计算化简的能力，属基础题.1 5.正方形ABC D边长为3,P为正方形ABC O边界及内部的动点，且|川=2|/%|,则动点P的轨迹长度为.【1 5题答案】【答案】【解析】【分析】先求出尸点的轨迹，又因为尸为正方形A8C D边界及内部的动点，所以动点尸的轨迹长度为圆弧M N,求出圆弧MN对应的圆心角，由弧长公式即可求出答案.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则A（0,0）,3（3,0）,设P（x,y）,又因为忸4=2|PA|,所以J（x-3 y+y2=2&2 +y2,化简为：/+y2+2%-3

14、 =。即（+1 7+/=4，所 以0点的轨迹是以Q（-L O）为圆心，半径为2的圆.又因为P为正方形A8C D边界及内部的动点，所以动点P与 轴正半轴的交点为M（0,e），动点P与x轴正半轴的交点为N（1,O）,则动点P的轨迹长度为圆弧M N,在三角形QM4中，AM =Q A=2,所以s i n N M Q 4 =丝=/，Z M Q A=-,所以圆弧M Q 2 3 一 兀 c 2万MN=x2=.3 3故答案为：-1.X1 6.如图，在三棱锥O A B C中，三条侧棱。A,OB,OC两两垂直，且 O A=QB=OC=2,M 为A B C内部一动点，过 M 分别作平面0 A 8,平面。8 C,平面

15、OAC的垂线，垂足分别为P,Q,R.直线P R与直线B C是异面直线；为定值；三棱锥M-P Q A 的外接球表面积的最小值为47三r；2当MP=时，平面PQR与平面0 2 c 所成的锐二面角为45.则 以 上 结 论 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据匕即可判断；由题意可知 两 两 垂 直，由2结合基本不等式求出三棱锥M-P Q R 的外接球半径的最小值，即可判断；当=时，M为ABC的中心，以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断；当M 为4 A B e的中心时，利用向量法证明P R/B C，即可判断.【详解】解：对于，TcME=a,

16、MP=b,MQ=c,即一x-x2 x2 x2 =x x2 x2 x0+x x2 x2 x+x x2 x2 xc,3 2 3 2 3 2 3 2所以+/?+c=2,即|MH+|MQ|+|MR|=2为定值，故正确；对于，设三棱锥M-PQR的外接球的半径为R,由题意可知MR,MP,M Q两两垂直，则 2R=y l M P f+M +M R f =Ja2+b2+c2=yja2+Z 2+2 -(+Z?)=J，+1 2 +4 -4(a+/7)+(a+】y当且仅当。=。=一 时，取等号,3所以2 R的最小值为2叵，即R最小值为也,3所以三棱锥M -P Q R的外接球表面积的最小值为4 x-，故正确;3对于，

17、如图，以。为原点建立空间直角坐标系,2?因 MP=M =-f 所以|M R|二 ,此时，为一A B C的中心,222 2p r3 3t r?,/?T3I3A(0,0,2),因为 O A_L O B,O A O C Q B cO C =O,所以Q4_L平面O BC,故。4=(0,0,2)即为平面03C的一条法向量,PQ=0,|,押=一设平面PQR的法向量为n=(x,y,z),则有，2 2n，PQ=_ y一z=03 32 2n-PR=x+y=03 3可取=(L U)，则,小吁瑞邛，所以平面PQR与平面08c所成的锐二面角的余弦值为正手3也，故错误,2(2 2由可知，当M为_A5C的中心时，PR=一

18、，亍5(2,0,0),C(0,2,0),则 BC=(-2,2,0)=3PR,所以PRB C，所以直线PR与直线8C共面，故错误.故答案为：.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.1 7.已知:ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且。=2后，b=5,Z C =-.（1）求sin求的值;（2）求sin（3 A+B）的值.【1 7题答案】【答案】（1）sin A =名 叵1 3 一 迪2 6【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出c,再由正弦定理

19、即可求解.由（1）得co s A =34,再求出sin 2 A co s2 A,即可求解.1 3【小 问1详解】（1）已知a=2&，b=5,Z C =-.由余弦定理得：4=2 5 +8 -2 x5 x2 岳 O S 工=1 3,4c Vo 由正弦定理得:a.71sin4sin A 13【小问2详解】因为。=2正 5，故A为锐角.A 3后 cos A-1312 5sin 2A=2sin Acos A=,cos2A=2cos2 A-l =一 ,13 13所以 sin（3A+8）=sin 2A+弓），交 sin2A+旦。s2A=一 迪I 2 J 2 2619.2022年春节后，新冠肺炎的新变种奥密克

20、戎在我国部分地区爆发.该病毒是一种人传人，不易被人们直接发现，潜伏期长且传染性极强的病毒.我们把与该病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者.一旦发现感染者，社区会立即对其进行流行性病医学调查，找到其密切接触者进行隔离观察.调查发现某位感染者共有10位密切接触者，将 这10位密切接触者隔离之后立即进行核酸检测.核酸检测方式既可以采用单样本检测，又 可以采用 合1检 测 法 气 合1检测法”是将4个样本混合在一起检测，若混合样本只要呈阳性，则该组中各个样本再全部进行单样本检测；若混合样本呈阴性，则可认为该混合样本中每个样本都是阴性.通过病毒指标检测，每位密切按触者为阴性的概率为P（0。1）,且

21、每位密切接触者病毒指标是否为阴性相互独立.（1）现 对10个样本进行单样本检测，求检测结果最多有2个样本为阳性的概率/（）的表达式；（2）若 对10个样本采用“5合1检测法”进行核酸检测.求某个混合样本呈阳性的概率；设总检测次数为X,求X的分布列和数学期望E（X）.【19题答案】【答案】/()=3 6 4 -8 0/+4 5/（2）I /；分布列见解析，E（X）=12-10p5【解析】【分析】（1）对10个样本进行逐个检测属于独立重复试验，利用独立重复试验概率即可求解;（2）采 用“5合1检测法”，“某个混合样本呈阴性”仍然属于独立重复试验，可求出该事件的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可

22、求出；此时总检测次数X可能为2,7,1 2,列出分布列，计算数学期望.【小 问1详解】由题意可知，对1 0个样本进行逐个检测属于独立重复试验，所以最多有2个阳性样本的概率为：/（0=小（1 -0 /。+C o （1 -4 /+G 1 _ 0 2 /=3 6/。8 0/+4 5 p8【小问2详解】设“某个混合样本呈阳性”为事件A ,则4表示事件“某个混合样本呈阴性”，而混合样本呈阴性即为该混合样本全部为阴性，尸（4）=5.故 P（A）=1-P（可=1 p 5X的可能取值为2,7,1 2.当两个混合样本都呈阴性时，X =2.P（X =2）=p5-p5=p当两个混合样本一个呈阳性，一个呈阴性时，X=

23、7.P（X=7）=C；p 5 4 p 5）=2 p 5 2/0当两个混合样本都呈阳性时，x=n.P（X =1 2）=（1-5）.（l-p 5）=l 2 p 5 +p i。故X的分布列为：X2712P泮2 P 5-2 p i。1-2 +p 0X 的数学期望 E（X）=2，+7（2 p 5-2 o）+1 2（l-2 p 5 +p i o）=1 2 T O p 52 1.下图甲是由直角梯形4 8 C 和等边三角形C Z）E组成的一个平面图形，其中6 C A D,A B BC,A =2 3 C =2 A B =2,将沿C。折起使点E到达点P的 位 置（如图乙），使二面角P C D B为直二面角.p(1

24、)证明：A C r P D；(2)若平面PCD与平面加8 的交线为/,求/与平面以。所成角的正弦值.2 1 题答案】【答案】(1)证明见解析；2百7.【解析】【分析】(1)取 中 点 为 F,连接AC,C F,证明AC_L平面P C D,即得证；(2)如图，延长A 8和。C交于点G,连接G P,取 8 中点为0,连接OF,0 P,如图，以 0 为坐标原点，OF,0 D,。尸分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小 问 1详解】证明：取 A。中点为凡 连接4C,C F,由AZ)=2B C 得 4 尸B C 且 A尸=BC./.四边形A B C F为平行四边形，CF=AF

25、=DF,：.A C L C D,又因为二面角尸-C。一B 为直二面角，且平面平面ABCD=CD,AC_L平面PC。，因为P D u 平面PCD,所以 AC_LP；【小问2 详解】解：如图，延长AB和。C 交于点G,连接G P,则 GP为平面PCO与平面丛8 的交线/,取C。中点为O,连接OF,OP,VOP 1 A C,O F/A C,：.OP LOF,O F LCD,OP A.C D如图，以。为坐标原点，OF,OD,OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,A D =(-V2,V2,0)尸石=设平面P A D的法向量为m =(a,/?,c)，P D -m =c=0 =,-.4 4 2 2

26、4【小问2详解】（r2A（2 /2 UIT （丫2、UL T （丫2设 户，寸j B，由尸（0,1）,则尸尸二卜（）,才-1 ,F A=xx,10,函数/z(x)=g(x -k 有唯一零点.2 5题答案】【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求导，通过讨论。的范围研究导函数的符号变化，进而研究函数的单调区间；(2)求导，构造函数p(x)=l n x-手-1 +加，再次求导研究.p(x)的单调性，再利用放缩法进行转化求证.小 问1详解】解：/(x)=(-l)x2+ax-2nx 的定义域为(0,+8),且/,3 =(1)仁=(4 1)+2 2,当a =l时,尸(x)=一，则

27、/(力 在(0,2)单调递减，(2,+8)单调递增;“I I rf/zi-t-4 J。+8。-8 c 8 c当Q 1时，由/（工）=0得 工=-X7 0,/2（a-l）2（a-l）z.c i+J er+8 a 8 a+J 4-+8 a 8所以/（%）在 0,-7-单调递减，-,+8 单调递增;I 2（1）J I 2（-1）J当a 1时，当a 4 0时，/（x）在（0,+8）单调递减；当0 a l 时，当=4 2+8（。-1）=（。+4）2240时，即0 0时，即4 +2遥 a l时,z x 八3 a-Ja2+8 a 8 a+d a+8 a 8由/=得 寸 2（a-l）=2（”），所以/（x）在

28、（。,工李李、（土/Q,+oo单调递减,综上所述：l时，/（X）在0,二y+g二8单调递减,I 2（a-1）J-ci+J a +8 4 8在-n-,+8 单调递增；I 2（“-1）I当a =l时，/（x）在（0,2）单调递减，在（2,+8）单调递增;aS-4+2新 时，.f（x）在（0,+回 单调递减；_ 当一4 +2 I a。_，a+2（a+.l8 a）8 J、a 2（，+-S1e）t 8、a+J矿+8 a 8 -a-j c i +8 o 8 单调递减，在 三-,匕一-单调递增；I 2（-0 2（a-1）J【小问2详解】解：当 a=l 时，(x)=/(V xj=Vx-lnx,ln x-1 +

29、m(x)=-令 p(x=n x-1 +m，则 p(x=-=r=、2、，x 4 4x则p(x)=lnx手一1 +加在(0,16)单调递增，(16,+)单调递减.所以/?(%)=n x-+m p(16)=41n2-2-l+/n0所er-p以i 如)=In x-l+m0h(x)=Tn”一-一七 在(0,+“)单调递减.当0 c x k -n x-m-k -In得(9力0当x l时，X X X yjx y/x(n+同 Y 得 h -+1 I l k(i+|?|Y /、存在唯一x e/i,+1,使得函数人(%)=0.所以对于任意女0,函数Mx)=g(i-左有唯一零点.X(-)选考题：共 10分.请考生在

30、第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程27.如图是以等边.0 A B的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形，记为勒洛右。钻（勒洛三角形是德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）.在平面直角坐标系x Oy中，以坐标原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（规定：极径夕2 0,极角夕目一兀,可），已知A,3两点的极坐标分别为小,一 言），（1）求48和0 8的极坐标方程;兀n6J3夕=4 c o s e +J,0 e（2）已知M点的极坐标五J,。是AB上的动

31、点，求|M。的取值范围.27题答案】兀 兀【答案】（1）夕=2,_ 6 6 6-4 7 2,2【解析】【分析】（1）先写出圆弧的普通方程，再利用转化公式求出极坐标方程；（2）利 用 两 点的 极 坐 标 和 余 弦 定 理 得 到 的表达式，再利用三角函数的性质进行求解.【小 问1详解】解：因为A B所在圆的直角坐标方程为X?+V =4,兀 7 C所以A 8的极坐标方程为夕=2 ,6 e ；6 6因为A（2,仁）的 直 角 坐 标 是 所以0 8的所在的圆的直角坐标方程为卜 一 百+(y+l)2 =4,(兀、71 71所以。8的极坐标方程为夕=4cos 6+工，0&.k 6；L6 3J【小问2

32、详解】解：因为。是 上 的 动 点，j r j r所以设。(2,8)=(2,e),Oe,在 OM Q中，由余弦定理得知2 2 =。2 2+。用2-2 0。.0河4 0 5g可，=4 +2-4夜 cos 任 一 可=6一4夜 cos住一可，兀无,目 无 兀兀由，e ,得-0 e-,L 6 61 2 L 1 2 4所以cos(。)-,1 ,故|MQe 6-40,2 .选修4-5：不等式选讲2 9.设函数/(x)=|x-2|+|x+l|(1)求函数/(x)的最小值及取得最小值时x的取值范围；(2)若集合卜(司+1 0=尺，求实数”的取值范围 2 9题答案】【答案】(1)最小值为3,-1,2(-1,2

33、)【解析】【分析】由|x-2|+|x+l (x2)(x+l)|=3,即可得函数/(x)的最小值及相应的x的值;(2)根据题意转化为V x w尺/(切 一 依+1作出函数y=.f(x)和g(x)=T i x+l的图象，结合图象,得出不等式，即可求解.【小 问1详解】解：因为|x-2|+|x+l|之|(大-2)(x+l)|=3,当且仅当(x-2)(x+l)0=R,所以 Vxw-or+l.1 -2元,x 1由 函 数/(力=,_2|+,+1|=2令g(x)=-o r+l,其图像为过点尸(。1),斜率为一。的一条直线.如图所示，点A(2,3),3(-l,3),则直线R4的斜率为占=1,直线网的斜率为&2=-2,因为/(x)g(x)，所以一2。1,即一J a 2,所以。的取值范围为(-1,2).