2023年九年级数学中考：猜想证明压轴题.pdf

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1、2023年九年级数学中考专题：猜想证明压轴题1 .如图所示，点 P在/A 0 8内，点 ，N分别是点P关于A。，8。的对称点，M N分图 1 图 2(1)猜想 M Q V 是哪种类型的三角形，并说明理由.(2)!的周长与MN的长有什么关系，请说明理由.(3)拓展：若Z A O B=3 0,。尸=。c m,点p 在/A OB 内，点M,N分别是点P 关于A。，B O 的对称点，点E,F 分别是射线。4、0 8 上的一点，连接P E、P F E F.求！PEF周长的最小值.(用含。的代数式表示)2 .探索归纳：(1)如 图 1,已知.A B C 为直角三角形，Z A=90,若沿图中虚线剪去NA,则

2、N l +N 2 =(2)如图2,已知.A B C 中，Z A =3 0,剪去NA 后成四边形，则N l +N2=；(3)如图2,根 据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想4+N2与NA 的关系是；(4)如图3,若没有剪掉，而是把它折成如图3 形状，试探究N 1+N 2 与NA 的关系，并说明理由.3 .某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：A【观察与猜想】(1)如图，在正方形A8C中，点E、F 分别是43、AO上的两点，连接OE,CF,O E L C R,则D=E的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.Cr【类比探究】(2)如图，在矩形A5

3、CO中，AD=7,CO=4,点 E 是边上一点，连接CE,BD,CE且C E J.M,求胃的值.【拓展延伸】(3)如图，在 用 A8C中，NAC8=90,点。在 8 c 边上，连结A O,过点C 作CE_LA)Q于点E,CE的延长线交A3边于点尸.若AC=3,BC=4,BF=则CZ)=.4.如 图 1和图2,点A 在数轴上对应的数为1 6,过原点。在数轴的上方作射线。8,且tanZAOB=.点E 从点A 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点。运动，同时点厂从点。出发，沿 0B方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点E 到达点。时，点E,F 都停止运动.以点F 为圆心，。尸为半径的半圆与数轴正

4、半轴交于点C,与射线0B 交于点。，连接O E,设运动时间为r秒(f 0),点 E在数轴上对应的数为x.若。E 与半圆尸相切，求x；(3)如图2,当 好 学 时，半圆F 与短的另一个交点为G,猜想线段0G 与GE的数量关系，并说理；(4)若半圆F 与缱尊上只有一个公共点，直接写出x 的取值范围.5.综合与实践试卷第2 页，共 10页【知识呈现】两块等腰直角三角板一 4 3 c 和.DEC如图摆放，其中NAC3=/DCE=90。，F 是 DE的中点，是 AE的中点，G 是 8。的中点.E(1)如图1,若点O,E 分别在AC,BC的延长线上，通过观察和测量，猜想尸和FG的 数 量 关 系 为，位置

5、关系为【拓展巩固】(2)如图2,若将三角板OEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；【探究提升】(3)如图3,将图1中 的 QEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3,(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.6.如图，以直线4 8 上一点。为端点作射线0 C,使 NBOC=70。，将一个直角三角形的直角顶点放在点。处.(注：N/)OE=90。)(1)如图，若直角三角板。OE的一边0。放在射线。8 上，则/COE=；(2)如图，将直角三角板。OE绕点。逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分Z B O

6、E,求 NCOD的度数；(3)如图，将直角三角板。OE绕点。转动，如果0。始终在/B O C 的内部，试猜想/B O D 和 NCOE有怎样的数量关系？并说明理由.7.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧.MBNB(1)【阅读理解】如 图 1,在；ABC中，若 旗=10,8C=8.求 AC边上的中线3。的取值范围.小聪同学是这样思考的；延长8。至 E,使 D E =B D，连接C E.利用全等将边AB转化到C E,在二BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过 程 中 小 聪 同 学 证 三 角 形 全 等 用 到 的 判 定 方 法

7、是:;中线3。的取值范围是(2)【理解与应用】如图2,在 ABC中，?B 9 0?,点。是 AC的中点，点 M 在 AB边上，点 N 在 8 c 边上，若 D M 工D N.试猜想线段AM、C N、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论.(3)【问题解决】如图3,在 JU3C中，点。是AC的中点，AB =MB,B C =B N ,其中Z A B M =4 N B C =9CP,连接M N,探索8。与M N的关系，并说明理由.8.【问题初探】(1)如 图 1,在 A8C中，A B A C =90,45=A C,点。是3 c 上一点，连结A D,以AO为一边作VAE,使NZME=90。，A D =

8、A E,连结8E,猜想8E和CO有怎样的数量关系，并说明理由；【类比再探】(2)如图2,在 ABC中，A B A C =90,AB=AC,点 M 是 A 8上一点，点。是3C上一点，连结以为一边作使/用 =90,M D =M E,连结B E,贝 U/EBD=(直接写出答案，不写过程)；【方法迁移】(3)如图3,在 ABC是等边三角形，点。是 BC上一点，连结A D,以AD为一边作等边三角形A D E,连结5 E,则BE,BC之间有怎样的数量关系？答案：(直接写出答案，不写过程)；【拓展创新】(4)如图4,ABC是等边三角形，点”是 A 3上一点，点。是 BC上一点，连结M D,以 为 一 边

9、作 等 边 三 角 形 M D E,连结B E.猜想ZEBD的度数，并说明理由.试卷第4 页，共 10页图1 图2 图3 图49.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如 图1,中，若A B =6,A C =4,求8 c边 上 的 中 线 的 取 值 范 围.小 丽 在 组 内 经 过 合 作 交 流，得到了如下的解决方法：如 图2,延长A到 点 例，使=连接可证人4。以 M B D,从而把A 8,A C,2 A O集 中 在A 8 C中，利用三角形三边的关系即可判断中线AQ的取值范围.M图1 图2 图3【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线(

10、或与中点有关的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中.我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法【问题解决】(1)直接写出图1中AO的取值范围：(2)猜想图2中AC与8M的数量关系和位置关系，并加以证明.(3)如图 3,A。是,A B C 的中线，A B =AE,A C=A F ,Z B A E =.CAF=9Q,判断线段AO和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明.1 0.综合与实践.项目式学习小组研究了一个问题，如 图1,在矩形中，A B =4,A Z)=6,E,F分别是A 8,AO的中点，四边形A E G F是矩形，连接C G.E(1)请直接写出CG与。尸的长度比为

11、；(2)如图2,将矩形AEGF绕点4按顺时针方向旋转至点G落在AB边上，求点尸到的距离；(3)将矩形AEGF绕点A按顺时针方向旋转至如图3所示的位置时，猜想CG与O F之间的数量关系，并证明你的猜想.1 1.已知：A5C 中，记N84C=a,NACB=/3.如图1,若AP平分NBAC,BP、CP分 别 平 分ABC的外角和ZBCN,B_LAP 于点 O.用a的代数式表示/3 P C的度数；用 夕 的 代 数 式 表 示 的 度 数；(2)如图2,若点尸为二/W C的三条内角平分线的交点，且于点。.请补全图形；猜想(1)中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论

12、.12.问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如 图1,在RtZVlBC中，ZACB=90,ZABC=3 0 ,则 AC=A2.2试卷第6页，共10页p探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.(1)如 图1,作A 3边上的中线C E,得到结论；ZXACE为_ _ _ _ _三角形；仍 与CE之 间 的 数 量 关 系 为.如 图2,CE是一 ABC的中线，点。是边C5上任意一点，连接A O,作等边ADP,且点尸在/A C B的内部，连接 肝.试 探 究 线 段 与OP之间的数量关系，写出你的猜想

13、并加以证明.(3)当点。为边CB延长线上任意一点时，按 照(2)中的其它条件，在图3上画出图形，并判断线段B P 与DP之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可.13.如图 1,在一ABC 中，AEJ.BC 于，A E=B E,。是 AE 上的一点，旦 D E =CE,连接 即、AC.(1)试判断8。与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2,若将DCE绕点E旋转一定的角度后，仍然有DEJ.EC,D E =CE,试判断8。与A C的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；(3)如图3,若 将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变：试猜想8 0与A C的数量关系，不

14、用说明理由；你能求出8 0与A C所成的锐角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由.14.在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如 图1,Z A C B =90,A C =BC,AD CE,B E L C E,垂足分别为。，E,A=2.5cm,DE=1.7cm,求 BE 的长.”B（1）请你也独立完成这道题；（2）待同学们完成这道题后,张老师又出示了一道题:在课本原题其它条件不变的前提下,将 CE所在直线旋转到.AfiC的外部（如图2）,请你猜想AO,DE,BE三者之间的数量关系，直 接 写 出 结 论 （不需证明）.（3）如图3,将（1）中的条件

15、改为：在，A8C中，A C=B C,D,C,E 三点在同一条直线上，并且有N3EC=NADC=N3C4=c,其中a 为任意钝角，那 么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（4）用上述结论完成：如图4,且AE=A8,BCLCD且 BC=8,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的阴影部分面积S是（直接写答案,不需要证明）15.已 知 为 等 边 三 角 形，取的边AB,BC中点连接O E,如 图 1,易证工D B E 为等边三角形,将 二。8 绕点8 顺时针旋转，设 旋 转 的 角 度=其中0a/80.图3（2）在一 D8E旋转过程中,A D =C E;当

16、a 超过一定角度时，如图3,连接ARCE会交于一点，记交点为点F,AZ）交 5 c 于点P,C E 交B D 于点连接8尸，求证：F B 平分N A F E；（3）在 第（2）间的条件下，试猜想线段A尸,8尸和CF之间的数量关系，并说明理由.16.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如 图 1,在 RtZXABC中，4=90。,A8=A C,点。、E 分别在边 AB、AC 上，A D=A E,连接 DE、D C,点 M、P、N分别为OE、D C .8 c 的中点，且连接P M、P N .试卷第8 页，共 10页图1图2(1)观察猜想线段P M 与 P N 填(“是”或“不是”)“等垂

17、线段”.(2)V 4 D E 绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD,C E,试判断P M与P N是否为“等垂线段”，并说明理由.(3)拓展延伸把V A D E 绕点A在平面内自由旋转，若 D E =2,B C =4,请直接写出P M 与 P N 的积的最大值.使A E =A B,AD=AC,Z B A E =Z C A D =90,连接8 0,C E,试猜想8。与 C E 的数量关系为.如图2,锐 角 A B C 中分别以48、AC为边向外作等腰2 年和 等 腰 A C D,使AE=AB,AD=AC,N BAE=N C A D,连接8 0、C E,试猜想8。与C E 的大小关系，并

18、说明理由.(3)如图3,在 _ 4?C 中，Z A C B =4 5,以A 8 为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角 A B Z),连接8,若 A C =V5，B C =3,求C O 长.(4)如图4,已知在平面直角坐标系xOy 中，。为坐标原点，A(0,3 x/3),P(3,0),过点P作 直 线 轴，点8是直线/上的一个动点，线段A 8 绕点A按逆时针方向旋转3 0。得到线段AC,则AC+P C的最小值为.1 8.已知正方形A 8 C。，动点尸在A 8 上运动，过点B作 8 E _ L 射线。P 于点E,连接A E.(1)如 图1,在。E上取一点尸，使。尸=3 E,连接W，求证：AE=AF

19、;(2)如图2,点P在A 8延长线上，求证：B E+D E =y/2AEiC D 1(3)如图3,若把正方形A B C D改为矩形A B C D,K =-,其他条件不变，请猜想D E，/LJ L应:和AE的数量关系，直接写出结论，不必证明.试卷第10页，共10页参考答案:1.(1)等腰三角形，(2)!P所的周长等于M N 的长,a c m2.(1)2 7 0 2 1 0。/1 +/2 =1 8 0。+/4 N1 +N2 =2 Z A3.(1)14.(l)1 r,6 1 0 OG=GE,(4)0 X 6 5 K I O X 1 65.(1)F H =F G ,F H V F G 成立，(3)成立

20、，F H =F G ,F H 1 F G6.(1)2 0(2)2 0(3)N C O E /B O D =20。,7.(l)SA S；B D M N,答案第1 页，共 3页 2BD=M N,8.(1)BE=CD,(2)90 (3)BC=BD+BE(4)1 2 0 ,9.(1)2 3 A C B M ,A C =B M ,(3)E F =2 A D,A D L E FIO.姮3(2)1 2+3 7 1 3(3)空=姮,D F 3H.(1)90。ga；90。g4；(2)见解析；发生了变化，Z B P C =90 +1a；/P B D =；P .1 2.(1)等边，C E=E B(2)BP=DP,(3)BP=DP1 3.(1)BD=AC,B D 1 A C不变，(3)5 0 =AC,6 0。.1 4.(l)B E =0.8 c m；(2)A D+B E=D E 成立，(4)5 01 5.(T,)AF=CF+BF,答案第2页，共 3页16.是是，？217.BD=CE(2)BD=CE,万(4)67218(3)DE=&E +2BE答案第3页，共3页