2010-2019年考研数学(三)真题和答案合集.pdf
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1、2019年全国硕士研究生招生考试试题-、选择题(本题共8 小题,每小题4 分,共3 2 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当 一。时,若-t a n x与x是同阶无穷小,则人=()(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.(2)已知方程式5 5%=。有 3个不同的实根,则人的取值范围是()(A)(-8,-4).(B)(4,+8).(C)(-4,4 .(D)(-4,4).(3)已知微分方程y +a y,+勿=ce 的通解为y=(G+C2x)ex+ex,则a、b、c依次为()(A)l,0,1.(B)l,0,2.(C)2,1,3.(D)2,1
2、,4.(4)若 绝 对 收 敛,E%条 件 收 敛,贝 心 )n-n =1 00oc(A)J unvn条件收敛.(B)unvn绝对收敛.a =1n =1(C)Z(6+%)收敛.(D)2(%+%)发散(5)设A 是4阶矩阵,A*是A 的伴随矩阵,若线性方程组Ax=0 的基础解系中只有2 个向量,则(A*)=()(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.(6)设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若/+A =2 E,且|4|=4,则二次型x lx 的规范形为()(A)y;+式+大.(B)4 +武一 大.(C)y;一4 一痣(D)-yf-72 -Jz-(7)设 4,B为随机事件,则尸(4)=P(
3、B)的充分必要条件是()(A)P(A U B)=P(A)+P(B).(B)P(A B)=P(A)P(B).(C)P(A B)=(D)P(A B)=P(A B).(8)设随机变量X与 V 相互独立,且都服从正态分布N(如,),则尸|x-y|1 ()(A)与从无关,而与M有关.(B)与日有关,而 与 无 关.(C)与从,er?都有关.(D)与 ,/都无关.二、填空题(本题共6 小题,每小题4分,共 2 4 分,把答案填在题中横线上.)蚂h二1 2+211 3+1+11)1 “=(1 0)曲线y=%s i n x+2 co s 0)=.1 0(1 3)已知矩阵4=1 1 0 1凹1 ,-1 -1 ,
4、b=若 线 性 方 程 组=b 有无穷多解,贝 bI 0 E(X)-1 =.三、解答题(本题共9小题,共9 4 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0 分)已知函数/(%)=铲 求/(%),并求/(%)的极值.4-1,4 W 0.(1 6)(本题满分1 0 分)设函数/(,具 有 2阶连续偏导数,函数g(孙 y)d 2 g f d2 gdxdy dy2 xy-f(x+y,(1 7)(本题满分1 0 分)设函数y(%)是微分方程y -xy=竽满足条件y(l)=石的特解.2 人(I )求 y(;(U)设平面区域。=|(%,y)|1 W%W 2,0 W y W y(
5、%),求。绕轴旋转所得旋转体的体积.(1 8)(本题满分1 0 分)求曲线y=e-,sin%(%三0)与轴之间图形的面积.(1 9)(本题满分1 0 分)设 册=1%,1 -2n =0,1,2,).(I )证 明 数 列 单 调 递 减,且 册=:;册_ 2(葭=2,3,);(I I )求l im 上an_(2 0)(本题满分1 1 分)已知向量组I:1(1)2 与 n:民V a2+3,(1=1 ,?2 =a+3/田1 ,20 ,%(4/(0)2 1 -Q)(1)4=3.若向量组I与 D等价,求 a的取值,并 将 自 用%线性表示.+3/(2 1)(本题满分11分),-2-2 1、(210、已
6、知矩阵4=2X-2与 5=010相似.1 00-2)00(I)求明y;(n)求可逆矩阵P,使得P-N P=B.(2 2)(本题满分11分)设随机变量x 与F相互独立,x 服从参数为1 的指数分布,r 的概率分布为尸 丫 =-1 =P,PY=n =1 -p(o P 1).令z =XE(I)求 2 的概率密度;(H)P为何值时,x 与 z 不相关;(ni)x 与 z 是否相互独立?(2 3)(本题满分11分)设总体x 的概率密度为0,x 0 是未知参数,4 是 常数4,,x”是来自总体X 的简单随机样本.(I)求 4;(n)求,的最大似然估计量.2018年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题
7、共8 小题,每小题4 分,共 32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)下列函数中,在=0 处不可导的是()(A)/(%)=|%|sin|%|.(B)/(%)=|x|sin y|%|.(C)/(%)=cos|x|.(D)/(%)=cos V x .(2)设函数/(%)在 0,1 上二阶可导,且()(%)d%=0,则()C 1 A(A)当/(%)0 时,/-(B)当/(%)0 时工/1、2-I(3)设 M-y-d%,N=x,K=1 +,cos%2 1 +%一 耳 ,2(A)M N K.(B)M K N.0 时,/用 0.0 时,/仁 卜 0
8、.孙则()(C)K M N.(D)K N M.(4)设某产品的成本函数C(Q)可导,其中Q 为产量.若 Qo时平均成秦谦为,则()(A)C,(QO)=。(B)C,(QO)=C(Q0).(C)C(Qo)=QoC(Q。).(D)QoC(。)=。(。).q i o、(5)下列矩阵中,与矩阵0 1 1 相似的为()(0 0勺 1 -1、勺 o-r勺i-r0-1(A)0 1 1.(B)0 1 1(C)0 1 0.(D)0 1 00 0 1,o 0 1 yo 0 1?、0 0 1(6)设为n 阶矩阵,记 r(X)为矩阵X 的秩,(X,V)表示分块矩阵,则()(A)r(A,AB)=r(A).(B)r(A,B
9、A)=r(A).(C)r(A,B)=maxjr(A),r(B)!.(D)r(A,B)=r(AT,BT).(7)设随机变量X 的概率密度/(%)满足/(I+%)=/(1-),且 7%)我=0.6,则 P X 0)的简单随机样本.令X=W k,S =n i=i信 步 疗s二忌娜)JR(X -0(C).-tn.o 产了)一(一).二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分,共2 4分,把答案填在题中横线上.)(9)曲线y=%2+2 1n%在 其 拐 点 处 的 切 线 方 程 是.(10)J exa r c si n /-e*dx=.(11)差分方程篦以-兀=5 的 通 解 为.(12)设函数 7(%
10、)满足 7(%+A%)-/(%)=2#(%)A x +o(A x)(A x -0),且/(0)=2,则/(I)(13)设A为3 阶矩阵,%,a2,a3是线性无关的向量组.若A%=%+%,A a2=a2+%,A a3=%+%,则 I A|=.(14)随机事件4,3,C 相互独立,且 P(4)=P(3)=P(C)=;M P(4 C|4 U B)=.三、解答题(本题共9 小题,共 9 4分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10 分)已知实数 a,b 满足 l i m (ax+b)e*-%=2,求 a,6.%-*+8(16)(本题满分10 分)设平面区域O由曲线y=/3(1
11、-%2)与直线y=%及 y 轴围成.计算二重积分”/击打.D(17)(本题满分10 分)将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.(18)(本题满分10 分)8已知 c os 2%-=V anxn(-1%0,xneXn+1=eXn-l(n=1,2,).证明 xn 收敛,并求nli*omo xn.(2 0)(本题满分11分)设实二次型 f(Xy,x2,%3)=(%J -x2+%3 )2+(%2 +%3)2 +(%1+a%3)2 ,其中 Q 是参数.(I)求/(%1,.,3)=0 的解;(D)求/(3,2,叼)的规范形.(2 1)
12、(本题满分11分)1 2已知。是常数,且矩阵4=1 3、2 7Q、10可经初等列变换化为矩阵5=0a 21 11 b(I)求 a;(n )求满足AP=B的可逆矩阵P.(2 2)(本题满分11分)设随机变量x与 y相互独立,X的概率分布为P|X =1 =P X=-1 =;,y服从参数为人的泊松分布.令z =x y.(I )求 C ov(X,z);(U)求 z的概率分布.(2 3)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1 I d/(%)=-e k,-oo x 在=0 处连续,则()b,%於 0(A)=.(B).(2)二元函数z =%y(3 -y)的极值点是()(A)(0,0).(B)(0,3).(
13、3)设函数/(%)可导,且/(%)/()0,则()(A)/(l)/(-1).(C)1/(1)|1/(-1)|.(4)若级数 s i n -k n(1 -收敛,则 A =(C)a 6=0.(D)a b =2.(C)(3,0).(D)(1,1).(B)/(l)/(-1).(D)|/(1)|/(-1)I,)(A)l.(B)2.(C)-1.(D)-2.(5)设 口为九维单位列向量,为九阶单位矩阵,则()(A)E -a a1不可逆.(B)E +a aT不可逆.(C)E +2aa 不可逆.(D)E -2a aT 不可逆.2 0。、(2 1 0、H 0 0、(6)已知矩阵A =0 2 1,B=0 2 0,C
14、 =0 2 0,贝 版 )、0 0 1,。0 1,、0 0 2,(A)A 与。相似,3 与 C相似.(B)A 与 C相似,3 与。不相似.(C)A 与 C不相似,5与 C相似.(D)A 与。不相似,3 与 C不相似.(7)设4,5,C为三个随机事件,且4与C相互独立,5与C相互独立,则4 U3与。相互独立的充分必要条件是()(A)4与 5 相互独立.(C)A B 与 C相互独立.(B)4与 3互不相容.(D)4B 与。互不相容 1 n(8)设七,4,三2)为来自总体阳,1)的简单随机样本,记亍=4,则下列结论中不n,=i正确的是()(A)t(&-从)2服从V 分布.i=1(C)t(X -亍)2
15、服从犬分布.(B)2(X“一为)2服从矛2分布.(D)献床-从)2服从1分布.二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分,共 24分,把答案填在题中横线上.)(9)J(sin3%+Vir2-%2)dx=.-IT(1 0)差分方程y(+1-2%=的通解为 =(1 1)设生产某产品的平均成本为。(。)=1 +e-Q,其中产量为0,则 边 际 成 本 为.(12)设函数/(%,y)具有一阶连续偏导数,且 d/(%,y)=yeydx+%(1+y)eydy,/(0,0)=0,则/(%,)=勺0 1、(13)设矩阵4=1 1 2,为线性无关的3 维列向量组,则向量组4%的秩、0 1 1,为.(1 4)设随机
16、变量X 的概率分布为PX=-2!=-,PX=l=a,PX=3=6,若矶X)=。,贝 U O(X)三、解答题(本题共9 小题,共 94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分10分)J*出求 lim-.(1 6)(本题满分10分)3计算积分 一 甲也打,其中O是第一象限中以曲线y=后与轴为边界的无界区域.(17)(本题满分10分)求l i m 与l n(lI A =1 n Ik+一nJ(18)(本题满分10分)已知方程 -=k在区间(0,1)内有实根,确定常数k的取值范围.l n(1 +%)x(19)(本题满分10分)若 g=1,%=0,册+17 1 +1(n a +册
17、_。(n=1,2,3,-),5(%)为塞级数Z 册%的和函数n=0(I )证明2 anxn的收敛半径不小于1.n=0(I I)证明(1 -)S,(%)-%S(x)=0(x G(一 1,1),并求 5(%)的表达式.(20)(本题满分11分)设 3阶矩阵4=(%,0 2,%)有 3个不同的特征值,且=%+2a 2.(I )证明 r(A)=2;(I I )若。=xx+a2+a3,求方程组A x =p的通解.(2 1)(本题满分11分)设二次型/(%,%2/3)=2%;+ax1+2%2-8%/3 +2%2%3在正交变换X=0下的标准形为入 M+入 2,求 a 的值及一个正交矩阵Q.(2 2)(本题满
18、分11分)设随机变量X,F相互独立,且X的概率分布为P|X =O =PX=2=,丫的概率密度为/(7)f2y,0 y 1,=l o,其他(I)求 p y w E(y);(I I)求 z =x+y 的概率密度.(2 3)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量,该物体的质量从是已知的,设次测量结果乂/2,X.相互独立且均服从正态分布以,。2).该工程师记录的是几次测量的绝对误差4 =IX-从I (i=1,2,四),利 用/,22,)2”估计6(I)求 4的概率密度;(n)利用一阶矩求的矩估计量;(田)求。的最大似然估计量.2016年全国硕士研究生招生考试
19、试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分,共 32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数/(%)在(-8,+00)内连续,其导函数的图形如图所示,则()(A)函数/(%)有 2 个极值点,曲线y=/(%)有 2 个拐点.(B)函数/(%)有 2 个极值点,曲线y=/(%)有 3 个拐点.(C)函数/(%)有 3 个极值点,曲线y=/(%)有 1个拐点.(D)函数/(%)有 3 个极值点,曲线y=/(%)有 2 个拐点.已知函数/(%,y)=,则()x-y(A)/;-/;=0.(B)+力=0.Wf:+f;=f-(3)设 A=J -
20、ydxdy(i=1,2,3),其中o,,=(*父)I。W%W 1,0 W y W 11,D2=(%,y)|0W%W l,0W yW ,D3=(%,y)|0 W%W 1 w y W 1,则()(A)/1 J2 J3.(B)J3 J J2.(C)/2 J3 J.(D)J2 1.(B)a -2.(C)-2 a 1.(D)a=l 或 a=-2.(7)设 4,3 为两个随机事件,且 0 P(4)1,0 P(B)0),p为单价(万元).(I )求需求函数的表达式;(n)求p =i o。万元时的边际收益,并说明其经济意义.(17)(本题满分10 分)设函数/(%)=|i2-%2|d f(x 0),求尸(与)
21、,并求/(%)的最小值.J 0(18)(本题满分10 分)设函数/(动 连续,且满足-t)dt=(一 力)/(%)d t +e-xJ o-1,求/(%).(19)(本题满分10 分)求基级数-一n =0 (兀 +2n+2击 E的收敛域及和函数(20)(本题满分11分)(1设矩阵A=1 +1(I)求。的值;1011 一 0、aQ+1/0 、,P=1 ,且方程组Ax二力无解.2a-2,(n)求 方 程 组=AT/3的通解.(21)(本题满分11分)o-1 r已知矩阵4=2-3 0 .0 0 07(I)求 暧;(口)设3 阶矩阵3=(%,%,%)满 足 加=3 4 记*。=(%,2,鱼),将色,色,
22、尸3分别表示为,%,%的线性组合.(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X,F)在区域D=(%,y)|0%1,/丁 Y.(I)写出(x,y)的概率密度;(n)问。与 x是否相互独立?并说明理由;(田)求 Z =U+X的分布函数尸(z).(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为0 x oo n+oo(B)若l i m x2n=l i m =a,则l i m xn=a.zi-oo n-oo noo(C)若l i m xn=Q,贝(j l i m x3 n=l i m x3 n+1=a.n-noo(D)若l i m x3 n=l i m%3 r e+1=a,贝Ij l i m xn=a.z
23、i-oo n-n 8(2)设函数/(%)在(-8 ,+8 )内连续,其2阶导函数/(%)的图形如右图所示,则曲线=/(%)的拐点个数为()(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.设。=(%,7)|/+/w 2%,%2 +,2 忘 2 y,函数/(%,)在。上连续,则 )d%d y =()DMi n 必要条件为()n=l Jn n/o o I(D)W 会b=d.若集合二,2 1,则线性方程组Ax 有无穷多解的充分(A)a 隼(1、d 年 f l.(B)G a C,d e f l.(C)a d 史。.(D)a e /2,J G fl.(6)设二次型/(町/2,叼)在正交变换X =P y下的标准形为
24、2姆+黄-另,其 中 尸=(%必 心).若。=(修,-。3,0),则/(孙/2,%3)在正交变换*=如下的标准形为()(A)2/1-72+r t (B)2 y j+4 -%(C)2y,-y1-y.(D)2 y x +y:.(7)若 4,5 为任意两个随机事件,则()(A)P(AB)W P(4)P(B).(B)P(4B)N P(4)P(B).(C)P(M)w P(“).(D)PG W),P(”;(8)设总体X Xl,X2,-,Xn为来自该总体的简单随机样本,亍为样本均值,则后 (及 -露=()i=1(A)(m -l)n6(l-6).(B)m(n-1)6(1-6).(C)(m-1)(n-1)0(1
25、-0).(D)mn0(1-0).二、填空题(本题共6 小题,每小题4 分,共 24分,把答案填在题中横线上.)(9)1加 小智=.f x(1 0)设函数/(%)连续,W(%)=J M(C)dL 若 w(l)=1,“(1)=5,则/(I)=.V(1 1)若函数z=z(%,y)由方程 e2,+%+%*=1 确定,则上|(o o)=(1 2)设函数y=y(%)是微分方程y+-2y=0 的解,且在 =0 处 7(%)取得极值3,则 y(%)(13)设3 阶矩阵A 的特征值为2,-2,1,5=屋-A+E,其中E 为3 阶单位矩阵,则行列式|5|=(14)设二维随机变量(X,y)服从正态分布N(1,O;1
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