2010-2019年考研数学（二）真题和答案合集.pdf

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1、2019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共3 2 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当 0时，若-t a n%与，是同阶无穷小，则 A:=()(A)l.(B)2.(C)3.(D)4.(2)曲线y=x s i n x+2 c os /拳 x 2 7T)的拐点坐标为()(A)(0,2).(B)(TT,-2).(C)(y,y ).(D)停，一竽).(3)下列反常积分发散的是()(A)f xedx.(B)f+Xxe-x2dx.(C)H (D)PJ o J o J o 1 +%2 J o 1 +%(4)已知

2、微分方程y +ay+by=c ex的通解为y=(C,+C2x)ex+ex,则a、b、c 依次为()(A)l,0,1.(B)l,0,2.(C)2,1,3.(D)2,1,4.(5)已 知 平 面 区 域 D =(%,y)I%|+1 y 1 w y ,=+y2 d%dy,12=ns i n/x2+y2dxdy9I3=(1 -c os J x+/D D(A)/3 /2(C);.I2 /3.(6)已知/(%),g(%)2 阶可导且2阶导函数在)d%dy,贝!()(B)/2 /1 I3.(D)72 I3 ,求/(%),并求/(%)的极值.+1,。W 0.(1 6)(本题满分1 0 分)求不定积分/3%+6

3、(x-l)2(x2+%+l)dx.(1 7)(本题满分1 0 分)1 x2设函数y(%)是微分方程y-xy=-eT满足条件y(1 )=7e 的特解.2 后(I )求 y(;(D )设平面区域D =(x,y)|1这4 W 2,0 W y 这y(%)，求。绕力轴旋转所得旋转体的体积.(1 8)(本题满分1 0 分)已知平面区域。=(*y)|%|这 九(抬+/)3 wy”,计算二重积分J 茎 J d x d y.(1 9)(本题满分1 0 分)设口为正整数，记 S“为曲线y =e s i n”(0 W%W m r)与 光轴所围图形的面积，求 S.,并求 l i m Sn.noo(20)(本题满分1

4、1 分)已知函数以y)满足2 噢-2 +3 粤+3 襄=0,求 a,6的值，使得在变换(*y)=dx dy dx dy”(y)e3”下，上述等式可化为“%y)不含一阶偏导数的等式.(21)(本题满分1 1 分)已知函数/(%)在 0,1 上具有2 阶导数，且/(0)=0,/(1)=1,1/(%)丘=1,证明:(1)存在6 (0,1),使得/)=0；(口)存在刀 e(0,1),使得/()-2.(22)(本题满分1 1 分)已知向量组I ：%=,%(1)二 2 与 U：(1 A (0 1 ，鱼二 2a+3/1 -a)(1)鱼=3 ,若向量组I与 U等价，求 a的取值，并将自用%，%，%线性表示.a

5、2+3/(23)(本题满分1 1 分)-2已知矩阵A =2I 01 -2与B-2J1 0、-1 0相似.o yj-2x0，20(0(I )求,y;(D)求可逆矩阵P,使得尸-UP=B.2018年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题，每小题4 分，共 3 2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若l i m (e*+ax2+6%)2=1,则()XK)(A)a =-1.(C)a =1.(2)下列函数中，在=0处不可导的是()(A)/(%)=|%|s i n|%|.(C)/(%)=co s|%|.(2-ax 9X,%一 b,贝 h

6、)(A)a =3,6 =1.(C)a =3,6 =1.(4)设函数/(%)在 0,1 上二阶可导，且1 7(%)d%=(A)当尸 0时,/田 0.(B)当/(%)0时,/(：)0时,/g)0时,八 引 0.(B)Q =-y,6 =-1.(D)a =-=1.(B)/(%)=|%|s i n，|%|.(D)/(%)=co s，|%|.%W -1 ,-1%N K.(C)K M N.2 T 2(1 -%y)d y-x2 T 2(1 -町)d y =(A)y.(B)(1 0、(7)下列矩阵中,与矩阵0 1 1相似的为()l o 0 1 7 1 1 -o(A)0 1 1 .1 0 0 1 )(B)M K

7、N.(D)K N M.)(C)全p o-r(B)0 1 1l o 0 1)多考(D)看，i i -r(C)o i oS o i )p o -r(D)0 1 ol o 0 1 )(8)设A,夕为九阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X,y)表示分块矩阵，则()(A)r(A,AB=r(A).(B)r(A ,R 4)=r(A).(C)r(A,B)=m a x jr(A),r(B)(D)r(A,B)=r(AT,BT).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共2 4分,把答案填在题中横线上.)(9)l i m%2 a rcta n(%+1)-a rcta n%=.%T+8(1 0)曲线y =/+2 1 n

8、%在 其 拐 点 处 的 切 线 方 程 是.(1 1)f*-dx=上 x2-4%+3 -(1 2)曲线广二cs 在，=:对应点处的曲率为_ _ _ _ _ _.l y =s i n%4(1 3)设函数z =z(孙y)由方程I n z +e2-1=确定，则 乎|.1(2,y)(1 4)设A为3阶矩阵，,a2,a3为线性无关的向量组.若A%=2%+a2+%,A a2=a2+A a3=-a2+%,则A的 实 特 征 值 为.三、解答题(本题共9小题，共9 4分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0分)求不定积分fe2xa rc ta n/ex-I d%.(1 6)(

9、本题满分1 0分)已知连续函数/(%)满足也=ax2.(I )求/(%)；(D)若/(%)在区间 0,1 上的平均值为1，求a的值.(1 7)(本题满分1 0 分)设 平 面 区 域。由 曲 线 二 一.，(0 W，W 2F)与“轴 围 成，计算二重积分v y =1 -co s t口 (+2y)d x d y.(1 8)(本题满分1 0 分)已知常数 A：N I n 2-1.证明：(x-1)(%-I n2%+2/c ln%-1)2 0.(1 9)(本题满分1 0 分)将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.(2 0)(本题

10、满分1 1 分)已知曲线L ：y=N O),点。(o,o),点A。/).设 p是乙上的动点,s 是 直 线 与 直线4 P 及曲线 所围图形的面积.若P 运动到点(3,4)时沿轴正向的速度是4,求此时S 关于时间t的变化率.(2 1)(本题满分1 1 分)设数列%/满足：1 0,=e，-1 (=1,2,).证 明&收敛，并求nli cmo%1 t.(2 2)(本题满分1 1 分)设实二次型/(%,X2,%3)=(阳-出+%3 尸+(工 2 +%3 y+(町+),其中a是参数.(I )求/(与/2/3)=0的解；(n)求/(孙,x2,町)的规范形.(2 3)(本题满分1 1 分)已知a是常数，且

11、矩阵A1 a 2、0 1 1、-1 1 1 72 a、1 3 0可经初等列变换化为矩阵、2 7 -(I )求 a；(n)求满足A P =B的可逆矩阵P.2017年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共3 2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)P -COS n(1)若函数/(%)=我一，”在=0处连续，则()6,%这 0(A)ab=(B)a 6 =-(C)a/=0.(D)ab=2.(2)设二阶可导函数/(%)满足/(I)(A)J，)/(%)d x 0.(C)=/(-1)=l,/(0)=-1 且广 0,则()(B)f

12、if(x)dx 0.(D)j(%)d x oo(C)当li m(4noo(D)当n-*noc+y I I )=。时,li m%“=0.n8+%：)=0 时，li m xn-0.71 00+s i n xn)=0 时，1 i m%=0.n(4)微分方程y-4 yr+8 y =e2 x(1 +c os 2%)的特解可设为y *=()(A)Ae2x+e2x(Bc os 2x+C s i n 2x).(C)A e2 x+xe2x(Bc os 2x+C s i n 2x).(B)Axe2x+e2 (B c os 2x+C s i n 2%).(D)4%e +xe2(B c os 2%+C s i n 2

13、%).(5)设/(%,y)具有一阶偏导数，且对任意的(%y)，都有 吗 也 0,叭 了)/(1,1).(B)/(0,0)/(1,0).(D)/(0,l)/(1,0).(6)甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方1 0(单位:m)处，图中，实线表示甲的速度曲线“=”()(单 位:包,虚线表示乙的速度曲线“=2)，三块阴影部分面积的数值依次为1 0,2 0,3.计时开始后乙追上甲的时刻记为4(单 包:，则()(A)f0=1 0.(B)1 5 t0 2 5.仅0 0、(7)设4为3阶矩阵，P=(。%)雨可逆矩阵，使得p i A P=0 1 0,则0 0 2(84()+a2+a3)=(A)%+a2.)

14、=，20lo020(A A)与 C相似(C A)与 C不相似)(B)%+2%.0、1 ,B)0V 01200、0 ,c)0V 0(D)a,+2 a2.与 c相似.与 C相似.(B A)(D A)0 0)2 0，则(0 2 7与 C相似与 c不相似)与 c不相似.与 c不相似.填空题(本题共6 小题，每小题4 分4卷，把答案填在题中横线上.)(9y=x1 +a r c s i n -)的斜渐近线方程为X f(10)设 两 疑y%)(由参数=+e，确定=s i n tt=0(Hl n(1 +%)(1 +x)2d%=(1 2)设函数 f ic,y 具)有一阶连续偏导数 d 显(,y =)y，(be+

15、%(l +y/(,G O,)=0,则f(x,y=).(1Jo Jr x(1题 阵 A =413121-2 rna1 /的一个特征向量为1 ,则。=(1解答题(本题共95)(本 题 满 分 1 n -tedt求 l i m -.有阶隹续偏导数，*/(co s%),求学d%d2 yx=o d%x=0(1 7)(本题满分10分)(1 8)(本题满分10分)已知函数/(%)由方程x+y3-3%+3y-2=0确定，求/(%)的极值.(1 9)(本题满分10分)设函数/(%)在区间 0,1上具有2阶导数，且/(I)0,l i m-0.证明：%-0+X(I)方程/(%)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根

16、；(D)方程/(%)/(动+=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.(2 0)(本题满分11分)已知平面区域。=(%,/)|%2+y2 W 2 y,计算二重积分|(%+1尸血叼.D(2 1)(本题满分1 1 分)设 y(%)是 区 间 内 的 可 导 函 数，且y=0.点夕是曲线广y =y 上的任意一点,/在点尸处的切线与y轴相交于点(0,/)，法线与轴相交于点(X p,0),若X?=求/上点的坐标(X,y)满足的方程.(2 2)(本题满分1 1 分)设 3阶矩阵A =(I)证明 r(A)=(n)若 万=%+%,4)有 3个不同的特征值，且%=%+2%.+a3,求方程组Ax=P的通解.(2

17、 3)(本题满分1 1 分)设二次型/(%),%2,町)=2%-%2 +a x3+2 盯 2 -8%/3 +2%23 在正交变换X =下的标准形 为 入+入 2，求a的值及一个正交矩阵Q.2016年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题，每小题4 分，共3 2 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设%=%(co s 7%-1 ),a2=向 n(1 +版)，a?=力K+1 -1.当%一。+时,以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()(A)%,%,%(B)a2,。3,%(C)a2,%,a3-(D)a3,O L2,a.u

18、n%,九三1,(A)F(%)=I(X-1)2 5%1，1%(l n%-1),%2 1.(C)F(%)=卜-I)：%1，已知函数/(%)=一 1)，”(1，则/(%)的一个原函数是()(B)F(%)=-1 尸，In%+1 )-1 ,(D)F(%)=-I)In%-1)4-1 ,(3)反常积分j 4 钎山:,受 d%的敛散性为()(A)收敛，收敛(C)发散，收敛(B)收敛，发散(D)发散，发散%1 ,%2 1.%1,2 1.(4)设函数/(%)在(-8,+8)内连续，其导函数的图形如图所示,则()(A)函数/(%)有2 个极值点，曲线y =/(%)有 2 个拐点.(B)函数/(%)有 2 个极值点，

19、曲线y =/(%)有 3 个拐点.(C)函数/(%)有 3 个极值点，曲线y =/(%)有 1 个拐点.(D)函数/(%)有 3 个极值点，曲线y =/(%)有 2 个拐点.(5)设函数/(%)(，=1,2)具有二阶连续导数，且 (3)1.(B)a -2.(C)-2 a 0(1 6)(本题满分1 0分)设函数/(%)=(|2|由(%0),求/(%),并求/(%)的最小值.(1 7)(本题满分1 0分)已知函数 z =z(x,y)由方程(%?+/)z +l nz +2(%+y +1 )=。确定，求 z =z(x,y)的极值.(1 8)(本题满分1 0 分)2 2设。是由直线y =1,y=X,y=

20、-围成的有界区域,计算二重积分 F p 工d%d y.x+y(1 9)(本题满分1 0 分)已知=ex,y2(%)=()e”是二阶微分方程(2%-1 )y -(2%+1 )/+2y =0 的两个解.若a(-1)=e,i z(0)=-1,求“(),并写出该微分方程的通解.(20)(本题满分1 1 分)设 O 是由曲线7 =广？(0 W%於1)与=&力 围 成 的 平 面 区 域，求少绕(夕=si n%2 7%轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.(2 1)(本题满分11分)已知函数/(%)在 。，引 上 连 续，在(0,到 内 是 函 数 贵 前 的 一 个 原 函 数，且/(0)=0.(I)求/

21、(%)在区间 o,竽 上的平均值；(n)证明/(%)在区间(0,竽)内存在唯一零点.(2 2)(本题满分11分)(1设矩阵4=1a+10、1 ，且方程组4*=万无解.12a 2/(I)求a的值；(n)求方程组=AP的通解.(2 3)(本题满分11分)0-1 P已知矩阵4=2-30.0 0 07(I)求4 ;(口)设3阶矩阵5=(%,%,%)满足*=/4记*=(，鱼,鱼)，将，鱼,鱼分别表示为1,%,%的线性组合.2015年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共3 2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)下列反常

22、积分中收敛的是()也 也及 X(2)函数/(%)=X2li m(l+在(一 8 ,+8 )内()i-*0 x(A)连续.(B)有可去间断点.(C)有跳跃间断点.(D)有无穷间断点.(3)设函数函*)(A)a _ B(4)设函数在(-1.0,(B)0%(a%W 0 0).若/(%)在=0处连续，则()(C)a -(3 2.8 ,+8 )内连续，其2阶导函数/(%)的图形如右图所示,则曲线y =/(%)的拐点个数为(A)0.(C)2.(5)设 函 数 心，)满足/(%+y,十卜(B)l.(D)3.dfdv2-y9(D)0 a -S 这 2.A，(x)O,依次是()U=1V=1a 1X c os ,

23、xp2X)(A)；,0.(B)0,y.(C)-0.(D)0,-y.(6)设。是第一象限中由曲线2xy=1,4%y =1与直线y=x,y=B x围成的平面区域，函数f(x,y)在。上连续，则/(,y)dxdy =(D)T T _(,A、)r T J 赤.羽/”(J 了 J2 2 9r c os 0,r s i n，)r dr.(sfn 20.、i/(r c os 8,r s i n 8)dr.2sin 20TT(B)1 d。，2(r c os。,r s i n 0)r dr.17 2 s i n 2 0IT(D)d e 28f(rcos 仇 r s i n 9)dr.4 拉Min 2811、1、

24、1124(7)设矩阵Ad.若集合。=1 1,2 ,则线性方程组A*=5有无穷多解的1 1aa J),b-充分必要条件为(A)a 仁 11,d 0 H.(C)a e fl,d 隼(1.(B)a 呈 fl,d e C.(D)a E fl,d G f l.(8)设二次型/(盯，2,%3)在正交变换X=力 下 的 标 准 形 为+幺 其 中P =0 2,0 3)若。=(%,-0，0 2),则/(%,孙，3)在正交变换X=2y下的标准形为()(A)2/-/2 +/t (B)2 y；+y；-赤 (C)2 y；-达一4(D)2 痔+y；+*.二、填空题(本题共6小题,每小题4分，共 2 4 分，把答案填在题

25、中横线上.)(9)设/=a r c t a n%,则转=_ _ _ _ _ _.W =3 1 +/,dx 0 时是等价无穷小，求 a,b,k的值.(1 6)(本题满分1 0 分)设 4 0,0 是由曲线段y =A s i n“0 W%W 曲 及 直 线 y =0,x=创所围成的平面区域,V,V2分别表示D绕 x 轴与绕y 轴旋转所成旋转体的体积.若匕=匕，求 4 的值.(17)(本题满分11分)已知函数/(%,y)满足匕(*y)=2(y+1)/,(肛 0)=(x +l)e /(0,y)=/+2 y,求/(%,y)的极值.(18)(本题满分10分)计算二重积分/%(%+y)d x d y,其中

26、D =j(x,y)x2+y2 2,y x2.D(19)(本题满分11分)rl _ _ 厂+2 _已知函数/(%)=vTTT,dt+/FT疝，求/(%)零点的个数J*J 1(2 0)(本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为12 0%：的物体在2 0工的恒温介质中冷却,30mi n后该物体温度降至30tt，若要将该物体的温度继续降至2 1七，还需冷却多长时间？(2 1)(本题满分10分)已知函数/(%)在区间 a,+8)上具有2 阶导数,/(a)=0,r 0,r(%)0.设6 曲线y=/(%)在点、处的切线与轴的

27、交点是(利，0),证明a x0 b.(2 2)(本题满分11分)a l 0、设矩阵A=1 a-1 ,且 1 =O.0 1 a/(I)求 a 的值；(D)若矩阵X满足X-X A2-AX+AXA2=E,其中E 为3 阶单位矩阵，求 X.(2 3)(本题满分11分)0设矩阵A=-1I 12-3、1 一 2 0、3-3相似于矩阵3=0 6 0-2 a，、。3)(I)求 a,5 的值；(口)求可逆矩阵P,使尸-2 尸为对角矩阵.2014年全国硕士研究生招生考试试题-、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1

28、)当 一(T 时，若1不(1 +2%),(1-c o s%)力均是比高阶的无穷小量，则a的取值范围是()(A)(2,+0 0).(B)(l,2).(C)(l-,1).(D)(0,y).(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)y =%+s i n x.(B)y =%2+s i n%.(C)y =x+s i n.(D)y =x2+s i n.%(3)设函数/(%)具有2阶导数，g(%)=/(0)(1-%)则在区间 0,1 上，()(A)当/(%)。时，/(%)，g(x).(B)当/(%)2 0 时，/(%)Wg(%).(C)当/(%)N 0 时，/(%)三 g(%).(D)当/(%)己。时，/(%)

29、W g(%).(4)曲线广二：+7，上对应于l=1 的点处的曲率半径是()y =+4,+1(A)等 盒(C)10/10.(D)5 7 i 0.(5)设函数/(%)=a rc t a n%.若/(%)=%/(g),则li m 与=()z%(A)l.(B)A2 (C)y1 .(D)IgD 4 J(6)设函数以*y)在有界闭区域。上连续，在。的内部具有2阶连续偏导数，且 满 足 空 片。及dxdy力+二=0,贝 心 )ax oy(A)以 ,y)的最大值和最小值都在。的边界上取得.(B)(*y)的最大值和最小值都在。的内部取得.(C)u(x,y)的最大值在。的内部取得，最小值在。的边界上取得.(D)(

30、,y)的最小值在。的内部取得，最大值在。的边界上取得.a b QQ 0 b _c d 00 0(/(A)(a d -be)2.(7)行列式0()(B)-(ad-be)2.(C)a2t/2-b2cl.(D)h2c2-a1 d2.(8)设4,%,%均为3 维向量，则对任意常数3 Z,向量组/+3，%线性无关是向量组,%,%线性无关的()(A)必要非充分条件.(B)充分非必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.二、填空题(本题共6小题，每小题4 分，共2 4分,把答案填在题中横线上.)(1 0)设/(%)是周期为4 的可导奇函数，且/()=2(%-1),%G 0,2 ，则/(7)=

31、.(1 1)设 z =z(x,y)是由方程e?+%+/+%=1.确定的函数，则山=.(1 2)曲线乙的极坐标方程是=。，则L 在点(r,。)=(宙 处 的 切 线 的 直 角 坐 标 方 程 是.(1 3)一根长度为1 的细棒位于轴的区间 0,1 上，若其线密度p(%)=-%2 +2%+1,则该细棒的质心坐标*=.(1 4)设二次型/(%1,%2,孙)=%；-/+2。%卢3 +4叼%3 的负惯性指数为1 ,则 a的取值范围是.三、解答题(本题共9小题，共9 4分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0分)f i2(e*1)一，d,求极限 l i m -；-z ；-

32、i一(T)(1 6)(本题满分1 0分)已知函数y=y(%)满足微分方程x+/=1 一 且 y(2)=0,求 (%)的极大值与极小值.(1 7)(本题满分1 0分)设平面区域 D=(%,y)|1%2+y2 4,x 0,y 0 .计算 j 加”(:彳 +Z)d%d y.D%y(1 8)(本题满分10分)设函数/(“)具有2 阶连续导数,z=/(excosy)满足d2 z/zdx2 加 2(4z+excos y)e”.若/(0)=0,。(0)=0,求/()的表达式.(1 9)(本题满分10分)设函数/(%),g(%)在区间a,b 上连续，且/(%)单调增加,0 W g(%)W 1.证明:(I)0

33、这 f g(t)dt x-a,x G a,fe;Jara+gQ)也 rb(n)J/(x)d%w y(x)g(%)d%.(2 0)(本题满分11分)设函数/(%)=4/e 0,1.定义函数列：，()=/(%),一(%)二 (”),，8(2 1)(本题满分11分)已知函数/(%,y)满 足 =2(y+1),且/(y,y)=(y+1 )2-(2-y)In y,求曲线oy/(%,y)=0 所围图形绕直线y=-1 旋转所成旋转体的体积.(2 2)(本题满分11分)I-2 3设矩阵A=0 1 -111 2 0-4、1 ，后为3 阶单位矩阵-3/(I)求方程组Ax=0 的一个基础解系;(n)求满足AB=E的

34、所有矩阵B.(2 3)(本题满分11分)(1 1 /0 0 1 )证明n阶矩阵1 1 1与0.0 2 ,相似.3 1 .1 )、0 0 n?2013年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8 小题,每小题4 分，共32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 c o s x-1 =%s i n a(%),其中|a(x)|o o L y nI T .)(A)2.(3)设函数/(%)=(B)l.si n%,O W/C i r,、F(%)2,a r W%W 2TT,(C)-1.(D)-2.山，贝！J()(A)%=是函数/(%)的跳跃间断

35、点.(C)F(%)在=f处连续但不可导.(B)%=F是函数/(%)的可去间断点.(D)F(%)在=TT处可导.(4)设函数/(%)=r 1(4 _ 严，11%e,+8若反常积分(/(%)d%收敛，则()(A)a 2.(C)-2 a 0.(D)0 a 0.(B)Z2 0.(C)/3(7)设 A,3,C均为阶矩阵.若4 3 =。，且 3可逆，则(A)矩阵。的行向量组与矩阵A的行向量组等价.(B)矩阵。的列向量组与矩阵A的列向量组等价.(C)矩阵。的行向量组与矩阵3的行向量组等价.(D)矩阵C的列向量组与矩阵3的列向量组等价.0.)(D)/4 0.(8)矩阵aaba1 J(2与()100b00、0相

36、似的充分必要条件为(o J)(A)a =0,b=2.(C)a=2,6=0.(B)a =0,6为任意常数.(D)a =2,6为任意常数.二、填空题(本题共6 小题,每小题4分，共24 分,把答案填在题中横线上.)1(9)l i m 2-1+%)7=X(10)设函数/(%)=心 可 山,则 y=/(%)的反函数=/T(y)在 y=0处的导数半J-i dy y=o(11)设封闭曲线L的极坐标方程为r =co s 3。(一/W。W,则所 围 平 面 图 形 的 面 积 是.(化y=Ianr ct a,n t上对应于 =1 的点处的法线方程为_./1+i2(13)已知为=e%-=ex-%e2 y3=-e

37、 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解,则该方程满足条件y L=o =0,y I 工=0 =1 的解为y=.(14)设A =(旬)是 3阶非零矩阵，|A|为A的行列式,即为%的代数余子式.若与+&.=0(i,；=1,2,3),则A =三、解答题(本题共9 小题，共94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10 分)当 0 时,1-co s x,co s 2%,co s 3%与ax为等价无穷小量，求 n 与 a的值.(16)(本题满分10 分)设 O是由曲线父=/,直线x=a(a 0)及x 轴所围成的平面图形，匕，匕分别是。绕轴,y 轴旋转一周所得旋转体的体积.

38、若匕=10 匕，求 a的值.(17)(本题满分10 分)设平面区域D由直线x=3 y,y=3%及%+y=8 围成，计算D(18)(本题满分10 分)设奇函数/(%)在-1,1 上具有2 阶导数，且/(1)=1.证明:(I )存在5 e(0,1),使得尸(J)=1;(H)存在 77 G (-1,1),使 得 广 )+/(#=1.(1 9)(本题满分1 0 分)求曲线3 一 y+j?=l(%2()，y，0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.(2 0)(本题满分1 1 分)设函数/(%)=In%+9，(I)求/(%)的最小值；(II)设 数 列 满 足 In%+1,证明l i m g 存在,并求

39、此极限.练+1 1 8(2 1)(本题满分1 1 分)设曲线 L 的方程为 y-x2-In x(1 W%W e),(I)求 的弧长；(D)设。是由曲线L,直线%=l,x=e 及轴所围平面图形，求。的形心的横坐标.(2 2)(本题满分1 1 分)设4=f1=f I当a,6 为何值时，存在矩阵C 使得4 C-C 4 =5,并求所有矩 0(n=1,2,)，S”=ax+a2+(A)充分必要条件.(C)必要非充分条件.(4)设/*=ex s in xdx(k=1,2,3)，则有(B)(-l)n(n-l)!.(D)(-l)n!.P,则数列IS/有界是数列鼠 收敛的()(B)充分非必要条件.(D)既非充分也

40、非必要条件.(A)A I2 /3.(B)/3 I2 Ix.(C)/2 I3 (DM I,0,驾把0,则使不等式/(孙，)的，欠2,%”(C)%1 x2,yx y2.(D)%i (6)设区域。由曲线 y =s in x,x=1 围成，则/(%/_ 1 )d%d y =()D(A)E 设%=0 ,a2=组线性相关的为(B)2.)(C)-2.(D)-7 T.1 ，其中C I,C 2,C 3,C 4为任意常数，则下列向量k C4 7(A)%,%,%(8)设 A为 3阶矩阵,(B)%,%,%.(C)%,%,%.(D)a2,a3,a4.勺0 0 A尸 为 3阶可逆矩阵，且尸-9尸=0 1 0 .若 尸=(

41、%,%,%),(0 0 2 7Q=(%+。2，%,%),则 夕 。=()(0 0、,1 0 0、2 0 0、，2 0 0、(A)0 2 0.(B)0 1 0.(C)0 1 0.(D)0 2 0Lo 0 1 J【0 0 2)1 0 0 2)1 0 0,二、填空题(本题共6 小题,每小题4分，共 2 4 分,把答案填在题中横线上.)(9)设 =7(%)是由方程4 2 y +1 =所确定的隐函数，则 色|.dx I x=Q(1 0)l im n(-j-+-5-7)=.i+n2 22+n2 n2+n2/(1 1)设 z =/(+?,其中函数心)可微，则 4+/年=了)dx dy(1 2)微分方程ydx

42、+(%-3 y2)d y =0满足条件y|X =1=1 的解为y=.(1 3)曲线y =x+xx 0)上 曲 率 为 学 的 点 的 坐 标 是.(1 4)设A为3阶矩阵，|A|=3,A*为A的伴随矩阵,若交换A的第1 行与第2 行得矩阵3,则BA*|=.三、解答题(本题共9 小题，共94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)已知函数/(%)=上 叱-上,记 a =l i m/(x).si n x x D(I )求 a的值；(n)若当 一。时，/(%)-a与/是同阶无穷小量，求常数上的值.(16)(本题满分10分)求函数/(%,y)=%e-手的极值.(17)

43、(本题满分12分)过点(0,1)作曲线L：y =I n%的切线，切点为4,又L 与轴交于5 点，区域。由上与直线相围成.求区域0 的面积及D绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分，其中区域O由曲线r =1+c o s火0 W。W i r)与极轴围成.D(19)(本题满分10分)已知函数/(%)满足方程/(%)+(%)-纨)=0 及/(%)+/(%)=2e(I )求/(%)的表达式；(n)求曲线 y =/(%2)f 7(-t2)d i 的拐点.J0(20)(本题满分10分)2证明：%l n|%+c o s+N 1 +-(-1 x o o(22)(本题满分11分)“

44、a 0 0、(1 Va 0 0 P I 0 J(I )计算行列式|4 I;(D)当实数Q为何值时,方程组A x=?有无穷多解,并求其通解.(23)(本题满分11分)已知Ar 1 0 1 1 1 ，二次型/(%1,%2,%3)=/(A N)的秩为 2.-1 0 a1 0 a-1J(I )求实数a的值；(n )求正交变换x=Q y将/化为标准形.2011年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共3 2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知当%0时，函数/(%)=3 si n x-si n 3x与e x是等价无穷小

45、量，则()(A)A =l,c=4.=1,c=-4.(C)A;=3,c =4.(D)4 =3,c =-4.(2)设函数/(%)在=0处可导，且/(0)=0,则 纨*=()x-O x(A)-2/(0).(B)-r(0).(C)/(0).(D)0.(3)函数/(%)=I n|(%-1)(%-2)(%-3)|的驻点个数为()(A)0.(B)l.(C)2.(D)3.(4)微分方程y -八2y =/0)的特解形式为()(A)a(e*+e-A x).(B)a%(eA x+e-A x).(C)%(a eA t+beAx).(D)%2(a eA x+6 e ).(5)设函数/(%),g(%)均有二阶连续导数，满

46、足/(O)0,g(0)0,且/(0)数z =/(%)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()=g(0)=0,则函(A)T(O)0.(C)r(O)0,g (0)0.(B)T(O)0,g (0)0,g (0)0.(6)设/=l n(si n x)dx,J =l n(c o t%)d%,K =l n(c o s%)d%,则/,J,K 的大小关系为()(A)/K.(B)7 K J.(C)/K.(D)K J J.(7)设A 为3 阶矩阵，将A 的第2 列加到第1列得矩阵5,再交换方的第2 行与第3 行得单位矩阵.记乙0 ,尸2 =0)1 00 0、0 1，贝1 0 7111 00100、o

47、,则(xf(x)dx=.0,%W O,J 2(1 3)设平面区域D由直线y =%，圆%之+/=2 夕及y 轴所围成，则二重积分j p ry d t r=.D(1 4)二次型/(%1，x2,%3 )=%；+3%；+%3 +2%1%2 +2XJX3+2%2%3 ,则/的 正 惯 性 指 数 为-三、解答题(本题共9 小题，共94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(1 5)(本题满分1 0 分)f l n(l +t2)dt已知函数尸(动=也-.设l im%)=l im F(x)=0,试求a的取值范围.(1 6)(本题满分1 1 分)x=设函数y =y(%)由参数方程,确定，求y =y(

48、%)的极值和曲线y =y(%)的1.3 1凹凸区间及拐点.(1 7)(本题满分9 分)设函数z =/(到，y g(%),其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g(%)可导且在=1 处取得极值或1)=1，求薪;(1 8)(本题满分1 0分)设函数y(%)具有二阶导数，且曲线Z：y =y(%)与直线y =%相切于原点.记a为曲线/在点(%,y)处切线的倾角，若 黑=t,求y(%)的表达式.(1 9)(本题满分1 0分)(I )证明:对任意的正整数人都有一二 l n(l +!)s.(D)若向量组D线性相关，则 r s.(8)设A为4阶实对称矩阵，则 1 +4 =0.若A的秩为3,则A相似于()(A)11

49、(B)1100多考/I(C)X110，1(D)110 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共2 4 分,把答案填在题中横线上.)(9)3阶常系数线性齐次微分方程-2/+y-2y=0的通解为y =(10)曲线y =聿=的渐近线方程为(11)函数 y =l n(l -2%)在%=0 处的 n 阶导数 y()(0)=.(12)当0W8W F 时，对数螺线r =e，的 弧 长 为.(13)已知一个长方形的长/以2 c m/s 的速率增加，宽w以3 c m/s 的速率增加，则当/=12 c m,w=5 c m 时，它 的 对 角 线 增 加 的 速 率 为.(14)设 A,3 为 3 阶矩阵，且|A|

50、=3,|B|=2,A-l+B=2,则|4+夕 =.三、解答题(本题共9小题，共9 4 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10 分)求函数/(%)=D e i 山的单调区间与极值.(1 6)(本题满分1 0分)(I )比较|ln d ln(l+)山与口|ln t|山(N=1,2,)的大小，说明理由;(I I)i B =f|I n|ln(1 +i)nd f(n=1,2,)，求极限li m un.J。n o o（1 7）（本题满分1 1 分）设函数y =/（%）由参数方程r=2 t+t 2t -1）所确定，其中欧Q）具有2阶导数，且v=Mt）Ml）=,（1）=6,已 知