2022高考数学真题分类汇编--函数与导数.pdf

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1、五、函数与导数一、选择题1.(2 0 2 2 全 国 甲(文 T 7)(理T 5)函数y =(3、7 f c o s x在 区 间 一会 的图象大致为()【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令)(x)=(3-3 7)cosx,xe,则/(-x)=(3-*一 3)cos(-%)=一(3-3x)cos x=-/(%),所 以 为 奇 函 数，排除B D；又当 时，3、一 3T 0,cosx 0,所以/(x)0,排除 C.故选：A.b2.(2 0 2 2 全 国 甲(文 T 8)(理T 6).当x =l 时，函数f(x)=al n x +取得最大值 2

2、,则(2)=()【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/（1）=-2,r（i）=o即 可 解 得 再 根 据/（力 即可解出.【详解】因为函数“X）定义域为（0,+8）,所以依题可知，/（I）=-2,/（1）=0,而/（x）=-微，所以b=-2,a人=（）,即。=-21=-2,所 以/（力=一一+,因此函数“X）在（0,1）上递增，在（1,+8）上递减，x =l时取最大值，满足题意，即 有/（2）=-1 +（=-；.故选：B.3.（2 0 2 2 全 国 乙（文T 8）如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是（）A.y+3xX2+1x3-xX2+12 x cosxx

3、2+1D.2 sin xx2+1y =c.yy =【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设/（x）=，则1）=0,故排除B;设(x)=2：0丁,当 小 时，0 cosx l,x+l 2J所以MX)=2X：O S X0,故排除D.x +1 1 0故选：A.4.(2022 全 国 乙(理)T12)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+S(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g=4,则22 f(k)=()i=IA.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已

4、知条件得到/(x)+/(x-2)=-2,从而得到3)+5)+.+/(21)=10,/(4)+/(6)+.+/(22)=-10,然后根据条件得到/(2)的值，再由题意得到g(3)=6从而得到了(1)的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以 g(2-x)=g(x+2),因为 g(x)-.f(x-4)=7,所以 g(x+2)-/(x-2)=7,即 g(x+2)=7+/(%-2),因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得/(x)+7+/(x-2)=5,即/(x)+f(x-2)=-2,所以/+5)+21)=(2)x5=-10,/(4)+/(6)+

5、.+/(22)=(-2)x5=-10.因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g=5,即 0)=1,所以/(2)=-2-/(0)=-3.因为g(x)-/(x-4)=7,所以 g(x+4)/(x)=7,又因为/(x)+g(2-尤)=5,联立得，g(2x)+g(x+4)=12,所以丁 =g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6因为/(x)+g(x+2)=5,所以/(l)=5_g(3)=_l.所以22（幻=1）+/（2）+/+5）+/（23+/（4）+/（6）+/（2 2）=-1-3-1 0-1 0 =-2 4*=i故选：D【点睛】含有对称轴或对称

6、中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5.(2 0 2 2 新 高考I卷T 1 0)已知函数/(x)=d x +l,则()A.Ax)有两个极值点 B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y =/(x)的对称中心D.直线y =2 x是曲线y =/(x)的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合了(X)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，令/0得 乎 或X一 点，令/(x)0得 一 走 0,/(-2)=-5 /g。，即函数在当，+8上无零点，3k 3 7 k 3

7、 7综上所述，函数/(x)有一个零点，故B错误；令(X)=J?一x,该函数的定义域为 R,/z(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x =-A(x),则/Z(x)是奇函数，(0,0)是力(为的对称中心,将 的 图 象 向 上 移 动 一 个 单 位 得 到f M的图象，所以点(0,1)是曲线y =/(x)的对称中心，故C正确；令r(x)=3 f -1 =2,可得 x =I,又/(1)=(T=1,当切点为(1,1)时，切线方程为y =2 x-I,当切点为(-1,1)时，切线方程为y =2 x+3,故D错误.故选：AC6.(2 0 2 2 新 高 考1卷T 1 2)已知函数/5)及其导函数/(x

8、)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若/g 2 x),g(2 +x)均为偶函数，则()A./(O)=O B.gJ；)=O C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g【答案】B C【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为g(2 +x)均为偶函数，所以=+2龙)即/(|_尤)=/1 1 +尤，g(2 +x)=g(2 x)，所以3x)=/(x),g(4-x)=g(x),则 f(T)=f(4),故 C 正确；3函数f M ,g(x)的图象分别关于直线x =-,x =2对称，2又g(X)=/(X),且函数/(x)可导，所以

9、g(|)=()，g(3-x)=-g(x),所以 g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以g1_g)=g fj g(l)=g 6 =-g(2)，故 B 正确，D 错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为 常 数)也满足题设条件，所以无法确定/(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.7.(2022 新高考II卷 T 8)若函数JU)的定义域为R,且/(X+)+/(一)=/(%)/(丁),/

10、(1)=1 ,则22/伏)=()A-=lA.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数/(X)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(1),/(2),/(6)的值，即可解出.【详解】因为7(x+y)+/a-y)=x)”y),令 x=l,y=O 可得,2 1)=1)/(0),所 以/(0)=2,令=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即/()，)=/(一y),所 以 函 数 为 偶 函 数，令y=l得，x+l)+x l)=x)/=x),即有/(x+2)+/(x)=/(x +l),从而可知f(x+2)=-f(x-l),故/(x +2)=/(x 4),即/(

11、%)=/(%+6),所以函数“X)的一个周期为6.因为/(2)=1)一0)=1-2=-1，3)=2)-1)=一1一1 =一2,4)=/(-2)=/(2)=-1,5)=/(-1)=/=1,6)=0)=2,所以一个周期内的/。)+/(2)+1(6)=0.由于22除以6余4,22所以 2/(灯=1)+/(2)+八3)+/(4)=1 1 2 1 =-3.k=故选：A./(x)=?8.(2 0 2 2 北京卷T 4)己知函数.1 +2”,则对任意实数x,有()A./(-%)+/w=o B.y(-x)-/u)=oc./(-X)+/(%)=1 D./(-x)-x)=；【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，

12、注意通分不要计算错误.【详解】f(-x)+f(1 1 2V 1x)=!-+-!=-+八)J )1 +2-i +2 1 +2、1 +2、故 A 错误，C正确;i 1 1 o-v _ 1 9/(-x)-/(x)=-=.!=上 二=1 _,不是常数，故 B D 错误；八,八 1 +2-，1+2,1 +2 1 +2 2*+1 2*+1故选：C.9.(2 0 2 2 北京卷T 7)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7 和1 g 尸的关系，其 中T表示温度，单位是反尸表示压强，单位是b a r.下

13、列结论中正确的是()A.当T =220,P =10 26时，二氧化碳处于液态B.当T =27(),P =128 时，二氧化碳处于气态C.当T =30 0,P =9 9 8 7时，二氧化碳处于超临界状态D.当T =3 6 O,0=729 时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据丁与l gP的关系图可得正确的选项.【详解】当7=2 2 0,。=10 26时，l g P 3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当7 =2 7 0,。=128时，2l gP 3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当7 =3 0 0,。=9 9 8 7时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T

14、 =30 0时对应的是非超临界状态，故C错误.当T =360,P =729时，因2 l g P 0且awl)的极小值点和极大值点.若不 9，则a的取值范围是一【答案】【解析】【分析】由不分别是函数x)=2#一ef的极小值点和极大值点，可得x e(-。,玉)5 9,+8)时，/(x)0,再分a I和0 a =e%的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=In a ，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：/(x)=21na-a-2e x,因为F，W分别是函数/(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点，所以函数“X)在(-Q 0,%)和(占,+)上递减，在(西,为2)上递增，所以当x

15、 e(-oo,x J5%,+oo)时，/,(x)0,若a l时,当x 0,2e x o,与前面矛盾，故a 1不符合题意,若 0 v a v 1 时.,则方程21n。优-2ex=0的两个根为,马，即方程Ina优=ex的两个根为力，%，即函数y=Ina优与函数 =ex的图象有两个不同的交点，令 g(x)=ln a d ,P IO (x)=ln2 a-ax.0a ,设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(Xo，ln a d,),则切线的斜率为8(面)=1 1 1 2 0.5,故切线方程为 y-lna-a=n2 a-a(x-x0),则有-In a a=-x0In2,解得小=，则切线的斜率

16、为1112 a.就=e l n2 0，因为函数y=lna 4与函数 =ex的图象有两个不同的交点，所以 eln2。e,解得一 a 0,解得 a 0和x0时设切点为（X onx o）,求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出与,即可求出切线方程，当x 0时y =lnx,设切点为（天,I n/）,由了=工，所以丫1=，所以切线方程为X 演）y-lnx。=-(x-x0),xo又切线过坐标原点，所以一I n/=（一%）,解得x 0=e,所以切线方程为y l=1（x e）,即丁=,-*。e e当x 0,解得X V I 且X H O,x w O故函数的定义域为(F

17、,0)D(0,l;故答案为：(F,0)=(0 5-a r +l,x6.(20 22 北京卷T 14)设函数 一”若 X)存在最小值，则 a的一个取值为a的最大值为.【答案】0 (答案不唯一).1【解析】【分析】根据分段函数中的函数丫 =-以+1的单调性进行分类讨论，可知，。=0符合条件，。0时函数丫=-依+1没有最小值，故/(*)的最小值只能取y =(x-2)2的最小值，根据定义域讨论可知一4+1 2 0或 4 2+1.2解得 O a w i.1 ,x 0若 a 0 时，当x 一8,故/(x)没有最小值，不符合题目要求；若。0时，当尤 fa)=-a2+1,0 (0 a时，/(x)m in=(a

18、-2)(a 2)，一 4+i 之o 或 一 4+1 2(。-2)2,解得0 a W1,综上可得OWaWl；故答案为：0 (答案不唯一)，17.(20 22 浙江卷T 1 4)已知函数/(x)=f+2,x 1,X则f；若当x e a,切时,l/(x)3,则匕一。的最大值是_ .3 7【答案】.3 +6#百+328【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出。的最小值，6的最大值即可.1 门 Y 7 7 7 4 3 7【详解】由己知=_上+2=，./(：)=；+三1 =二，3 728当 时，由 14/(x)4 3 可得 1 一/+2 l 时，由 14/(x)4 3 可得 14 x +1

19、 4 3,所以 1 0,解得4 2 4 x l,3令/?(x)0,解得x -g或0 c x 1,则x变化时，力 (x),(x)的变化情况如下表:XI T)-3卜 川0(0,1)1(l,+0)(x)0+00+(x)52 7/4-1/则力(x)的值域为-1,田)，故。的取值范围为-1,位).2.(2 0 2 2 全 国 甲(理)T 2 1)已 知 函 数=nx+x-a.(1)若 x)2 0,求 a的取值范围;证明：若“X)有两个零点演,马，则 环 中 20,再利用导数即可得证.xx)_【小 问 1 详解】/(X)的定义域为(0,+8),令/(x)=0,得 x=l当 x G (0,1),fx)0,/

20、(X)单调递增/(x)/(I)=e+1 -a ,若/(x)2 0,则e +1-a N O,即ae+l所以”的取值范围为(-8,e +l【小问2详解】由题知，/(力 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设为 1 工 21要证王 /因为(W)，即证/()/1%20 I即证-nx+x-xex-I nx 0,x G(1,+OO)1,x设0()=*(%),尹(彳)=(：_1)6 =：工 0所以9(x)9(l)=e,而 J.0,所以g (x)0 x所以g(x)在(1,4 W)单调递增er 1即 g(x)g(l)=0,所 以-xe1 0 x令(x)=l nx-H xL x 11 1 (2 x-x2-l _-U

21、-l)2-2 l 2 x2 =u r所以(x)在(1,4 W)单调递减即(x)/z(l)=0,所以I nx万1%j 0,所以司 工2 L【点睛】关键点点睛：本题 极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式(x)=l nx=(X 这个函数经常出现，需要掌握2 1 X)3.(2 0 2 2 全 国 乙(文)T 2 0)已知函数/(x)=o x-(+l)l nx.x(1)当a =O时，求/的最大值；(2)若/(x)恰有一个零点，求 a的取值范围.【答案】(1)-1(2)(0,同【解析】【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；(2)求导得广(x)=(Ty-D,按照aWO、0 。0,

22、则/(彳)=-_，=，X XXX当xe(O,l)时，f x)Q,“X)单调递增；当xe(l,+8)时，/(x)单调递减；所以 x)a=/0)=T；【小问2详解】/(x)=a x-(+l)l nx,x 0 ,则 r(x)=a +-=(x 4*,x x x x当“4 0 时，or-l 0,/(x)单调递增；当xe(l,+8)时，户 )0,/(%)单调递减；所以=/(1)=。-10,此时函数无零点，不合题意；当0 4 1,在上，制 吊 0,/单调递增；在H 上，/x)0,/(x)单调递减；X/(l)=-l l 时，-0,“X)单调递增；在()上，户 )0,又/(，)=*a +(a +l)ln a,当

23、趋近正无穷大时，趋近负无穷，所以“X)在(0,：)有一个零点，在+8)无零点，所以/(x)有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为(0,+8).【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.4.(20 22 全 国 乙(理)T 21)已知函数/(x)=ln(l+x)+or e T(1)当a =l时，求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)若“X)在区间(一1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求 a的取值范围.【答案】(1)y=2x(2)(-oo,-l)【解析】【分析】(1)先算出切点,再求导算出斜率即可(

24、2)求导，对。分类讨论，对x分(-1,0),(0,田)两部分研究【小 问1详解】/(X)的定义域为(一1,+8)当 a =1 时，/(x)=ln(l+X)+三,/(0)=0,所以切点为(0,0)/(X)=一+二,/(0)=2,所以切线e 1 +x e斜率为2所以曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y =2x【小问2详解】/(x)=ln(l+x)+与e/(x)=_L+小/(-2)J l +x ex(l+x)eA设 g(x)=e*+a(l-x 2)1 若a 0,当x w(-l,0),g(x)=e +a(l-x 2)。，即 yz(%)o所以/(x)在(一1,0)上单调递增，/(x)0所

25、以 g(x)在(0,+8)上单调递增所以 g(x)g(0)=1 +a.0,即 f(x)0所以f M在(0,+8)上单调递增，/(x)/(0)=0故在(0,+。)上没有零点，不合题意3 若 a 0,所以 g(x)在(0,+8)上单调递增g(0)=1 +a 0所以存在m e (0,1)，使得g O)=0,即/z(m)=0当 x G(0,ni),f(x)0,/(X)单调递增所以当 x e (0,ni),f(x)0所以g(x)在(一 1,0)单调递增,1 ,g(-l)=+2a 0,g(0)=l0e所以存在 e (-1,0),使得g()=0当 x G g(x)0,g(x)单调递增 g(x)g()=l +

26、a 0e所以存在f G (1,)，使得g =0 ,即/=0当尤e (-1,/),/(%)单调递增，当x e (r,(),/(%)单调递减有而 八0)=0,所以当xe90),/(%)0所以,X)在(1,。上有唯一零点，”,0)上无零点即/(X)在(-1,0)上有唯一零点所 以 符 合 题 意所以若f(x)在区间(-1,0),(0,+9。)各恰有一个零点，求的取值范围为【点睛】方法点睛：本题的关键是对。的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.5.(20 22 新 高 考 I 卷 T 22)已知函数/(x)=e*-办 和 g(x)=(2x T n x 有

27、相同 最小值.(1)求 a；(2)证明：存在直线 =，其与两条曲线y =/(x)和 y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)。=1(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当人1 时，e _ x =b的解的个数、x ln x =的解的个数均为2,构建新函数(x)=e +n x-2 x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y =b与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程

28、的根的关系可证明三根成等差数列.【小 问 1 详解】/(乃=一6的定义域为R，而fx)=Qx-a,若 a 4 0,贝 U/(x)0,此时x)无最小值，故。0.8(幻=这 一1 1 1%的定义域为(0,+8),而g(x)=a-=x x当 x c ln a 时，/(x)ln a时，f(x)0,故/(x)在(I n a,+0。)上为增函数，故/(工 焉=/0 na)=a-al na.当0 x ，时，/(幻 0,故g(x)在上为增函数，a a)故 gO O m i n=g(L =l _ l n!.a J a因为/(x)=e*-at和g(x)=办T n元有相同的最小值，C L 故l-l n =a-al

29、na,整理得到-=l na,其中。(),a1+Q,、a 1 ./2 1 a?-1设 g(a)=-l na,a0,则 g()=-0 故g(a)为(0，”)上的减函数，而g(l)=。，故g(a)=0的唯一解为。=1,故=的解为a=l.综上，a-.【小问2详解】由(1)可得/(x)=e*-x和 gO)=x-l nx的最小值为l-l nl =l-l nl =l.当。1时，考虑e-x =b的解的个数、x-l nx =。的解的个数.设S(x)=e*-x-Z?,S(x)=e*_ l,当了 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(-oo,0)上为减函数，在(0,+。)上为增函数,所以 s(L=s =i

30、一 ，而S(-8)=eM 0,S(Z?)=e一,设(Z?)=e-2 Z?,其中匕 1,则”=e-2 0,故 在(l,+oo)上为增函数，故=e-2 0,故S(b)0,故S(x)=e、-x-。有两个不同的零点，即e-x =b的解的个数为2.设T(x)=x-l nx-Z,T,(x)=-,当0 x l时，T )l时,r(x)o,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以丁(“疝 丁 丁=1一万0,T(e)=e 2 Z?0,丁(力=%-1 1 1%一。有两个不同的零点即工一1 1 1%=匕的解的个数为2.当Z?=l,由(1)讨论可得x-l nx =/?、e龙 一 元=/?仅有一个

31、零点，当力1.设(x)=e*+l nx-2 x,其中x 0,故/i(x)=e+!-2 ,X设s(x)=e*-x 1,x 0,则s(x)=e*1 0,故s(x)在(0,+s(O)=O即e x+，所以。)1+-1 2 2-1 0,所以在(0,+()上为增函数，1 J.o 7而饵l)=e-2 0 ,/j()=ee，-3-e-3-0-e e e故/(x)在(0,+8)上有且只有一个零点方,X o 1且：当0 尤时，/i(x)O g|Jet-%x-l nA：B|J/(x)/时,/?(x)(K|J e7 x l nj l(x)g(x)，因此若存在直线y =b与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同

32、交点，故。=/a)=g(X o)l,此时e-x =b有两个不同的零点玉,与(x0%。)，此时x-l nx =Z?有两个不同的零点xo,x4(O xo I =0 ,x0-I n x0-/=0所以 4-2?=1 1 1%即 e*=x4 即 eXih-x4-b -b-0,故 一匕为方程e x =。的解，同理/-b也为方程e*x =b的解又e*-X =6可化为e*=*+匕即百一l n(x,+Z?)=0即(+)一l n(X|+b)-b=0,故 土+。为方程x-l nx =。的解，同 理 与+。也为方程x-l nx =Z?的解，所以 石,毛 =/一 4一切，而 匕1，凡=x,-b故 ，即%+/=2玉).%

33、,=x0-b【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论,而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.6.(2 0 2 2 新高考 H 卷 T2 2)已知函数/(x)=x e 一 el(1)当a=l时，讨 论 的 单 调 性；(2)当x 0时，/(%)-1,求a的取值范围；1 1 1 ,/八(3)设 GN*，证明：/,+/,+/,I n(+1).V1 +1 A/22+2 y/n2+n【答案】X)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8).(2)a g时题设中的不等式不成立，再就0 “4 g结合放缩法讨论/x)符号，最后就a 4

34、 0结合放缩法讨论(x)的范围后可得参数的取值范围.(3)由(2)可得2 1 nf 一；对 任 意 的 恒 成 立，从而可得I n(+1)-l n1/2 对任意的 W N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小 问1详解】当a=l 时，.f(x)=(x-l)e,贝!j/(x)=x e当尤()时，第x)0时，*(x)0,故/(X)的减区间为(8,0),增区间为(0,+8).【小问2详解】设 (x)=x eav-e+1,则/i(O)=0,又”(力=(1+亦)产 一 炉,设 g(x)=(l +a x)e 5 _ e ,则 g，(x)=(2 a +。2彳)et t l e ,若ag，则 g (

35、O)=2 a 1 0,因为g (x)为连续不间断函数，故存在不(0,+8),使得Vx e(O,X o),总有g x)0,故g(x)在(0,小)为增函数,故g(x)g(O)=O，故 网x)在(0,%)为增函数，故(x)/i(O)=T,与题设矛盾.若 0 *,则 (x)=(1+办)e =e0,总有l n(l +x)x成立，1 _y证 明:设S(x)=l n(l+x)-x,故S x)=-1 =-0,1 +X 1 +X故S(x)在(0,+8)上为减函数,故s(x)s(o)=o即l n(l +x)x成立.由上述不等式有ea r+l n(,+a v)-ev ea v+u-ev=e2 K-ev 0-故”(x

36、)0总成立,即(x)在(0,+8)上为减函数，所以(%).0)=-1.当 a 4 0 时，有(x)=ea e +cucea 1 1 +0=0,所以/?(x)在(0,+o o)上为减函数，所以(x)0,总 有 丫*v n成立，令#_,则f 1,=ex=2 I n/,I-c故2 n f产一1即2 1 n f 1恒成立.t所以对任意的c N*，有2 1 n整理得到：l n(+l)-l n v ,，犷+1V n2+n I n 2 -I n 1 +I n 3-I n 2 4-i-l n(+l)-l n=l n(+l),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单

37、调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.7.(2 02 2 北京卷 T 2 0)已知函数7(*)=、l n(l +x).(1)求曲线y=/(x)在点(0,7(0)处 切线方程；(2)设g(x)=r(x),讨论函数g(x)在 o,+8)上的单调性;(3)证明：对任意的s,fe(0,+8),有/(s+f)/(s)+/Q).【答案】(1)丁 =%(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求

38、一次导数，问题即得解；(3)令加0)=/0 +，)一/(幻，(x,t(),即证机(幻机(0),由第二问结论可知m(x)在 0,+8)上单调递增，即得证.【小 问1详解】解：因为/(x)=e*l n(l +x),所以/(0)=0,即切点坐标为(0,0),又 r(x)=e (l n(l+)+乙),切线斜率左=/()=1切线方程为：【小问2详解】解：因为 g(x)=/(x)=e*(l n(l+x)+J),l+x2 I所以 g (x)=ev(l n(l +x)+-1)，1 +x (1 +x)2 1令/?(x)=l n(l +x)+-u，1 +x (1 +%)2,/、1 2 2 x2+l 八则 h(X)

39、=-d-r =-0,l+x(1 +x)2(1 +x)3(1 +x)3在 0,+8)上单调递增，h(x)h(Q)=l 05)0 0,+00)上恒成立,，g（x）0,+00）上单调递增.【小问3 详解】解：原不等式等价于/(s+f)-f(s)/(f)一 /(0),令 讯%)=/(+力 一/。)，。0),即证机(x)m(0),m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+,l n(l +x +Z)-eA l n(l +x),ex+,evm(x)=ex+,l n(l +x+r)+-e l n(l +x)-=g(x+f)-g(x),1+x+r 1+x由(2)知 8。)=/(幻=(皿 1 +犬)+占)在 0,+

40、00)上单调递增，g(x +”g(x),/.m(x)0.(x)在(0,+8)上单调递增，又因为x,f 0,.m(x)m(0),所以命题得证.e8.(2 02 2 浙江卷 T 2 2)设函数/(x)=+l n x(x 0).（1）求x）的单调区间;（2）已知a,b e R,曲线y=/（x）上不同的三点（石,/（西）,（工 2，/（），（工 3，/（工 3）处的切线都经过点（。,力）.证明：(i )若 ae,则 0 /()1(ii)2 e-a 1 1 2 e-a若。Q e,玉 V 工 2 九 3，则+/、-+-n-e 6 e _ x x3 a 6 e（注：e =2.71 8 2 8 是自然对数底数

41、）【答案】X)的 减 区 间 为 增 区 间 为 仁，+；(2)(i )见解析；(ii)见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(i )由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(i i)k=E ,王机=1,则题设不等式可转化为a+t3-2-em-与-,结合零点满足的方程进一步+t3)转化为 I n m+-一-0,72（加+1）利用导数可证该不等式成立.【小 问 1 详解】小六-=第当O X ,用 x）0,2 2故“X)的减区间为I。,1 的增区间为 j,+8 .【小问2详解】(i)因为过(。,。)有三条不同的切线，设切点

42、为(斗,/(%),i =l,2,3,故 6=/(%)(七一。),故方程/(x)-8=,f(x)(x a)有 3个不同的根，则 g，(x),一Xe1e彳2x2+我+了x+二2x2二 一 包 乂),当0 x e或 时，g x)0；当6 c x 0,故g(x)在(0,e)M，+o。)上为减函数，在(e,)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点，故g(e)0,整理得到：b -l l n a =/()，2 e 2a止 匕 时 b-f (a -+1|+I n|=-I n a,，2(e)2 e 1 2 a J 2 e 2 2设()=一-l n o ,贝！=2 2Q v 7 2a23 e故”(a)为(e,+

43、8)上的减函数，故(a)一废一I n e=0,故。b-f(a)g-1，I e)(i i)当0 ae时，同(i )中讨论可得:故g(x)在(O,a),(e,+8)上为减函数,在(a,e)上为增函数,不妨设 x x2 x3,则 0%a /e X,，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,整理得到：+b +na,2e 2 e因为玉 v *3，故0 玉 v。e =0 ,e 2 e ，2777则乙在名为一(，+1)/+3/+也/+6=0有三个不同的根,设氏=L=%i,，”=g i,t3 X j a e要证:2 e-a 11 2 e-。%+百 三+三 一百,即证2+e-a-6e2e e-aM 丁K即证

44、:13-m2 1-m-/+?-6 1 3 m 6即证:13-m2G+，3-+m0,即证:c 2l +才3-2-1,则d(%)=在 占 了(N i n)。,Ii 2 2 2设“(%)=&_%_21nZ,则“(A)=l+淳 _%_1=()即夕(左)故(%)在。,+8)上为增函数，故夕(左)夕(2),所以“+l)lnZk-(m-13)(/w2-m +12)(m+l)lnm(加-13)(W-m +72-m-l-72记(2)=I n m+m+1 2)72(m +1),则 corn)(/n-1)2(3 /,一2 0 帆2 49加+7 2)(m 一1/(3 相？+3)7 2 m(m +l)272 m(77i 4-l)2 0,所以外(2)在(0,1)为增函数，故 矶 间 刃(1)=0,(/-l)(m-1 3)(/7?2-/+1 2)(m +i)i n/W(加1 3 乂 川 一利+故 I n 根+-：-()，72(m +l),n l 72故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.