2023年中考数学压轴题25以四边形为载体的几何综合问题（学生版）.pdf

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1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）_ 专题2 5以四边形为载体的几何综合问题典例剖析.x._z【例 1】（2022贵州黔西 中考真题）如 图 1,在正方形A8CD中，E,F 分别是8C,C D 边上 的 点（点 E 不与点B,C 重合），且NE4F=45.（1）当BE=CF时，求证：AE=A F；（2）猜想BE,EF,OF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2,连接AC,G 是 C B延长线上一点,GH 1 AE,垂足为K,交 AC于点”且GH=4 E.若DF=a,CH=b,请用含a,。的代数式表示E F的长.【例 2】（2022辽宁丹东中考真题）已知矩

2、形A8CZ）,点 E 为直线BO上的一个动点（点 E不与点B 重合），连接A E,以AE为一边构造矩形AEFG（A,E,F,G 按逆时针方向排列），连接DG.n rz（2）如图2,当 脂=禁=2 时，请猜想线段BE与线段。G 的数量关系与位置关系，并说明理AB AE由：（3）如图3,在（2）的条件下，连接BG,E G,分别取线段BG,EG的中点例，N,连接MMMD,N D,若 AB=*，NAB=45。，请直接写出 MNZ）的面积.【例 3】（2022 湖南益阳 中考真题）如图，矩形A8C。中，AB=15,BC=9,E 是 C 边上一 点（不与点C 重合），作 AFLBE于 凡 CG，B 于 G

3、,延 长 CG至点C，使 C，G=CG,连接 CF,AC.(l)直接写出图中与A/I F B 相似的一个三角形；若四边形A F C C 是平行四边形，求 C E 的长；当 C E 的长为多少时，以 C,F,8为顶点的三角形是以C A为腰的等腰三角形？【例 4】(2 0 2 2 四川绵阳中考真题)如图，平行四边形A B C D 中，D B=2 ,A B=4,A D=2,动点E,F同时从A点出发，点 E沿着4 一。的路线匀速运动，点尸沿着A B O的路线匀速运动，当点E，尸相遇时停止运动.(I)如 图 I,设点E的速度为I 个单位每秒，点尸的速度为4个单位每秒，当运动时间为|秒时，设 C E 与。

4、尸交于点P,求线段E P 与 C P 长度的比值；(2)如图2,设点E的速度为I 个单位每秒，点 F的速度为V 5 个单位每秒，运动时间为x 秒，4 4 E F 的面积为)，求)，关于x 的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3,，在线段A B 上且何 为。尸的中点，当点E、尸分别在线段A D、AB上运动时，探究点E、尸 在 什 么 位 置 能 使 并 说 明 理 由.【例 5】(2 0 2 2 上海中考真题)平行四边形A B C C,若P 为B C 中点，4 P 交B D 于点E,连接CE.(1)若 A E =CE,证明4 B C C 为菱形；若4 8 =5,

5、AE=3,求B D 的长.(2)以A 为圆心，A E 为半径，B 为圆心，B E 为半径作圆，两圆另一交点记为点尸，且CE =近 A E.若尸在直线CE 上，求黑的值.BC满分训练一、解 答 题【共 2 0 题】1.(2 0 2 2.山西实验中学模拟预测)综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形A B C。中，P 是射线B D 上一动点，以4 P 为直角边在A P 边的右侧作等腰直角三角形4 P E,使得乙4 P E =9 0。，AP=P E,且点E 恰好在射线C D 上.图2图3图4(1)如 图 1,当点P 在对角线B D 上，点E 在CD 边上时，那

6、么B P 与CE 之间的数量关系是探索发现：(2)当点E 在正方形A B CZ)外部时如图2与图3,(1)中的结论是否还成立？若成立，请利用图 2 进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4,在正方形A B C。中，AB=2 V 2,当P 是对角线8。的延长线上一动点时，连接B E,若BE=6五,求A B P E 的面积.2.(2 0 2 2.湖北.武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)(1)如图1,在正方形4 B C。中，E 是C D 上一动点，将正方形沿着B E 折叠，点C 落在点尸处，连接C F,并延长C F 交4。于点G.求证：BCE=C D G；在(1)的条件下，如图2,延

7、长B 尸交4。边于点H.若第=；,求瞿的值；BC 3 DH(3)如图3,四边形4 B C D 为矩形，同样沿着B E 折叠，连接C F,延长C F,B F 分别交4。于G,H两点，若 言=也 瑞=%则 意 的 值 为.（直接写出结果）C、E在同一直（2）如图2,正方形Z B C D 固定不动，将 图 1 中的正方形C E F G绕点C逆时针旋转a 度（0。a B C,。是A B 的中点，F 是B C 延长线上一点，平移4 B 到F”，线段F H 的中垂线与线段C A 的延长线交于点E,连接 7 7、DE.（l）连接C。，求证：BDC=2DAC；（2）依题意补全图形，用等式表示线段O E,DF,

8、E H 之间的数量关系，并证明.5.（2 0 2 2 浙江绍兴一模）如图，在正方形4 B C D 中，点 E与点尸分别在线段4 a B e 上，且四边形D E F G是正方形.图(1)试探究线段4 E 与C G的关系，并说明理由.(2)如图若将条件中的四边形A B C D 与四边形D E F G 由正方形改为矩形，AB=3,B C=4.线段4 E,C G在(1)中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由.当A C D E 为等腰三角形时，求C G的长.6.(2 0 2 2 广东 揭西县宝塔实验学校三模)如图1,在矩形4 B C D 中，AB=8,AD=1

9、0,E是C D 边上一点，连接力E,将矩形4 B C D 沿4 E 折叠，顶点力恰好落在B C 边上点尸处，延长A E交B C 的延长线于点G.(1)求线段C E 的长；如图2,分别是线段Z G,D G 上的动点(与端点不重合)，且NDMN=4 0 4 M,设D N =x.求证四边形A F G。为菱形；是否存在这样的点M使AOMN是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.7.(2 0 2 2.福建省福州教育学院附属中学模拟预测)问题发现.(1)如图，R t 力B C 中，Z C=9 O,AC=3,值为.如图，矩形A B C D 中，A B=3,B C=4,小值.(3)如图，矩

10、形4 B C D 中，AB=3,BC=4,B C=4,点P 是A B 边上任意一点，贝 I J C P 的最小点M、点N分别在B D、B C 上，求CM+MN的最点E 是4 B 边上一点，且4 E=2,点尸是B C 边上的任意一点，把A B E F沿E F翻折，点B的对应点为G,连接4 G、C G,四边形A GC D的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时B尸的长度.若不存在，请说明理由.8.(2 0 2 2 广东 三 模)特例发现：如 图1,点E和点尸分别为正方形A B C。边8 c和边C 上一点，当CE=b时，贝I易得B E=DF,BELDF.(1)如图2,点E为正方形A B C

11、D内一点，且N E C尸=9 0。，C F=C E,点、E,尸在直线 8 的两侧，连接E F,BE,D F,探究线段B E与O F之间的关系，并说明理由；(2)如图3,在矩形4 B C D中，A 8：8 c=1：2,点E在矩形AB C E)内部，N E C尸=90。，点E,F在直线8 c的两侧，C E：C F=1：2,连接E F,BE,DE,BF,D F.请探究线段。E,BF之间的关系，并说明理由；(3)若(2)中矩形AB C Q的边AB=3,R s C E F的边C E=1,当时，求B F的长.9.(20 22 浙江丽水一模)在菱形4 B C O中，AB=6,乙4=6 0。，点E在4。边上，

12、AE=4,点P是边力B上一个动点，连结E P,将AAE P沿E P翻折得到AFE P.(1)当E F|AB时，求N 4 E P的度数；(2)若点尸落在对角线B D上，求证：&D E F&B F P；(3)若点P在射线B 4上运动，设直线P F与直线B D交于点H,问当4 P为何值时，B H P为直角三角形.10.(20 22 广东深圳市南山外国语学校(集团)二模)问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题.如图1,四边形AB C D和8 E FG都是正方形，BH 1 AE于H,延长H 8交C G于点M.通过测量发现C M=M G.为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方

13、法：过点C作C N L B M于点N.他已经证明了AABH三A B C N,但接下来的证明过程，他有些迷茫了.(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图2 所示),且筮=*=-其中k0),请直接写出线段C M、M G的 数 量 关 系 为；(3)拓展应用：在图 3 中，在和R t 力D E 中，N B AC =Z.DAE=90,N4CB=Z.AED=3 0,连接B。、CE,F 为 B D 中 点,则 Af与 C E 的 数 量 关 系 为.11.(20 22 广东佛山市华英学校三模)已知，在四边形4 B C。中，4 c 与B D 相交于点。

14、，ADBC,ABCD,4 c 平分4 8 4 0.图I图2图3(1)如图1,求证：四边形4 B C 0 是菱形；(2)如图2,过点A 作A N J.BC于N,若4 c =6,BD=8,求4 V 的长；(3)如图3,C 4 =C B,点R 为C B 延长线上一点，连接0 R 交4 B 于点E,点 八 H分别是4 B、B C 边上一点(B F B H),且O F=0 H,过点0 作8 c 的垂线，垂足为M 2 H0M =乙 BOR,当BF=10,B H =8 时，求R B 的长.12.(20 22.广东.测试 编辑教研五一模)在矩形4 8 C D 中，AD C D,。是4 c 的中点，点P 是4。

15、图 1)图(2)(1)如 图(1),点P 在4。上运动时N O E P 的大小是否改变？请说明理由.(2)如 图(2),连接P B,若PB 1 AC,DE 1 A C 交A C 于点H,PB=4,DP=2乃，求券的值.13.(20 21.吉林 长春市赫行实验学校二模)阅读理解 在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如 图 1,在R t AAB C 中，乙4 c B =90。，若点。是斜边4 B 的中点，贝 i J C D=14 B.灵活应用 如图2,A4 B C 中，ABAC=90 ,AB=6,AC=8,点。是B C 的中点，将A4 B D 沿4 0 翻折得到

16、A4 E。，连接B E,CE.(2)判断AB C E 的形状，并说明理由.(3)请直接写出C E 的长.14.(20 22.广东东莞市光明中学三 模)4 B C 中，/.BAC=6 0 ,4 B =4 C,点0 为直线B C 上一动点(点。不与B,C 重合)，以 力。为边在4。右侧作菱形A D E F,使N/Z 4 F =6 0。，连接C F.(1)观察猜想：如图1，当点。在线段B C 上时，4 8 与C F 的位置关系为：.B C,CD,C 尸 之间的数量关系为：；(2)数学思考：如图2,当点。在线段C B 的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给

17、予证明.(3)拓展延伸：如图3,当点。在线段B C 的延长线上时，设4。与C F 相交于点G,若 已 知=4,CD=A B,求4 G 的长.15.(2 0 2 2 福建省福州屏东中学三 模)如图，抛物线y=a d-4 a x+2 =16,点 M、N分别在边。C、上，连接AM、A N,已知N M 4 N=4 5。，B N=4,则 CM的长是.17.(2 0 2 2 辽 宁阜新中考真题)已知，四边形Z B C D 是正方形，D E F 绕点D 旋转(D E AB),上 EDF=9 0 ,DE=D F,连接4 E,CF.图1图2图3(1)如图 1,求证：Z k A D E 丝ACDF；(2)直线4

18、E 与C F 相交于点G.如图2,8 加 1 4 6 于点“，BN A.CF于点、N,求证：四边形B M G N 是正方形；如图3,连接BG,若A B =4,DE=2,直接写出在 D E F 旋转的过程中，线段B G 长度的最小值.18.(2 0 2 2 江苏镇江中考真题)已知，点E、F、G、H分别在正方形4 B C D 的边力B、B C、C D、4 0 上.AH D A H D A H D(D 如 图 1,当四边形E F G H 是正方形时，求证：AE+A H =A B；(2)如图2,已知力E =A H,CF=C G,当力E、C 尸的大小有 关系时，四边形E F G H 是矩形；(3)如图3

19、,AE=DG,E G、F H 相交于点0,0 E-.0 F=4:5,己知正方形4 B C 0 的边长为16,尸 H 长为2 0,当A O E H 的面积取最大值时，判断四边形E F G H 是怎样的四边形？证明你的结论.19.(2 0 2 2.浙江衢州.中考真题)如图，在菱形A B C O 中，4 8=5,B 力为对角线.点E是边A B延长线上的任意一点，连结D E 交8 c 于点F,B G 平分N C B E 交D E 于点G.(2)若B。=6,DG=2GE.求菱形4 B C D 的面积.求ta n/B D E 的值.(3)若B E =4 B,当N D A B 的大小发生变化时(T V N

20、Z M B V 18 0。)，在A E 上找一点7,使G 7 为定值，说明理由并求出E 7 的值.2 0.(2 0 2 2 辽宁朝阳中考真题)【思维探究】如 图 1,在四边形A B C D 中，ZBAD=60,N B C D=1 2 0。，A B=A D,连接 AC.求证：BC+CD=AC.(1)小明的思路是：延 长CO到点E,使。E=B C,连接A E.根据NB4O+NBCD=180。，推得N 8+NADC=180。，从而得到/8=/A O E,然后证明AADE也ZVIBC,从而可证8C+C。=A C,请你帮助小明写出完整的证明过程.(2)【思维延伸】如图2,四边形ABC中，ZBAD=-ZBCD=90,A B A D,连接A C,猜想BC,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.(3)【思维拓展】在四边形A8CD中，N 84D=NBCD=90。，A B=A D=6,AC与8 D相交于点O.若四边形ABCD中有一个内角是75。，请直接写出线段。的长.