2023年中考数学压轴题25以四边形为载体的几何综合问题（教师版含解析）.pdf

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1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)_ 专题2 5以四边形为载体的几何综合问题典例剖析.【例 1】(2022贵州黔西中考真题)如图1,在正方形4BCC中，E,尸分别是BC,CD边上 的 点(点 E 不与点8,C 重合)，且4EAF=45.(1)当BE=。尸时，求证：A E A P x(2)猜想BE,E F,)尸三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2,连接AC,G是 CB延长线上一点,GH 1 4 E,垂足为K,交 AC于点，且GH=4 E.若D F =a,C H =b,请用含a,%的代数式表示E F的长.【答案】(I)见解析(2)E F =D F +BE,

2、见解析(3)y b+a【分析】(1)先利用正方表的性质求得48=AD,48=4。=90。，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；延 长 C 8至使BM=C F,连接A M,先易得 ABM三/W F(S4S),推出4M=4F,A M AB =Z.F AD,进而得到AAEM三AEF(SAS),最后利用全等三角形的性质求解；(3)过点H 作HN 1 BC于点N,易得AABE三 G N H(44S),进而求出H N=C H,再根据(2)的结论求解.(1)证明：.四边形A8CO是正方形，：.AB =A D,4B=ZD=90.在AABE和4DF中AB =ADZ-B =

3、乙D ,B E =D FA ABE 三4 D F(S 4 S),：.AE=AF；(2)解：BE,E F,。尸 存在的数量关系为E F =D F +BE.理由如下：延长C B至使=DF,连接A M,则乙4 BM =4。=9 0 .在 A B M和A/W F中 AB=ADZ-ABM=乙D,.BM=DF：.ABM 三 A D F(S A S),：.AM=AFf Z.MAB=Z.FAD.9：LEAF=4 5 ,：.MAB+/-BAE=/.FAD+乙 BAE=4 5 .,ZMAE=ZFAE,在 A E MA E/7中AM=AF/.MAE=乙FAE，AE=AE：.LAEM 三4 E F(S 4 S),：E

4、M=EF,；EM=BE+BM,：.EF=+B E；(3)解：过点”作HN1B C于点M则 NHNG=9 0 .9：GH LAE f：.Z.AKG=乙4 8 G =9 0 ,:乙BGK=CEAB.在A/I BE和 G N H中Z-AB E =乙 G N HZ.B AE =乙 N G H ,AE =G HTW E G N H(4 4 S),：.E B =H N.V zH C/V =4 5 ,/.H N C =9 0 ,.4”UN.s i n 4 5 =H C:,HN*CH.H N +DF=b +a.【点睛】本题主要考查J 正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值,作出辅助线，构建三

5、角形全等是解答关键.【例 2】(2 0 2 2 辽宁丹东中考真题)已知矩形4 B C D,点 E为直线8。上的一个动点(点、E不与点B 重合)，连接A E,以AE为一边构造矩形4 E F G(A,E,F,G按逆时针方向排列)，连接。G.n.n(2)如图2,当 年=亲=2时，请猜想线段B E 与线段OG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，连接BG,E G,分别取线段BG,EG的中点M,N,连接MMMD,ND,若 A B=遍，N A E B=4 5。，请直接写出 的面积.【答案】(1)8 E=C G,B E L D G(2)BE=1 D G,BELDG,理由见解析9

6、SAMNG=34【分析】（1）证明8AE丝D 4 G,进一步得出结论；（2）证明B A E s D A G,进一步得出结论；（3）解斜三角形A 8 E,求得8 E=3,根 据（2）器=2可得 G=6,从而得出三角形BEG的面积，可证得 MNO0ZXMNG,ZkMVG与 的 面 积 比 等 于1：4,进而求得结果.（1）解：由题意得：四边形A8C。和四边形AEFG是正方形，：.AB=AD,AE=AGf ZBAD=ZEAG=90.二 ZBAD-NDAE=ZEAG-ZD AEf：.ZB A E=ZD A G,：./B A E/D A G (SAS),:BE=DG,ZA 8E=ZADG,：.NAOG+

7、/AB=NA8E+NAO8=90。,N 8O G=90。，:.BED G；(2)BE=3DG,B E 1,D G,理由如下：由(1)得：ZBAE=ZD AG,AD _ AG_c 一 Z.9AB AE.,.BAEADAG,：.=2,NABE=NADG,BE AB：.ZADG-ZADB=N48E+N AD8=90。,A ZBD G=90,BELD G；(3)如图，作 A_L6。于”,：tanZ ABD=BH.设 4，=2x,BHAD 仁-2,ABX,在R s ABH中,/+)2=(V 5)2A=2,在Rm AEH中，VtanZAB=(备出45。=1,:,EH=AH=2,BE=BH+EH=3,：BD

8、=JAB2+AD2=J（V 5）2+（2V 5）2=5,：.DE=BD-BE=5-3=2,由（2）得：=2,DGA.BE,BE：.DG=2BE=6,:.S&BEG三BE-3 X 6=9,在放ABOG和心AOEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，:.DM=GM=：BG,DN=GN=EG,:NM=NM,:ADM N必GMN（SSS）,:MN是4 BEG的中位线，：.MNBE,:./XBEGs 丛 MNG,S&MNG（GM）2 1S&BEG GB 41 Q:.SAMNG=SAMNG=-SABEG=-.4 4【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质

9、等知识，解决问题的关键是类比的方法.【例3】（2022湖南益阳 中考真题）如图，矩形A8CO中，A8=15,BC=9,E是C边上一 点（不与点C重合），作AF_LBE于 凡CG_LBE于G,延长CG至点C，使C，G=CG,连 接CF,AC.(l)直接写出图中与A/IFB相似的一个三角形；若四边形AFCC是平行四边形，求CE的长；当CE的长为多少时，以C,F,8为顶点的三角形是以CA为腰的等腰三角形？【答案】答案不唯一，如AAFBsABCE(2)CE=7.5(3)当CE的长为长为a或3时，以C,F,8为顶点的三角形是以C,为腰的等腰三角形【分析】(I)因为A/IFB是直角三角形，所以和它相似的三

10、角形都是直角三角形，有三个直角三角形和AAFB相似，解答时任意写出一个即可；(2)根据AAF8 s BGC,得竺=，即 竺=竺=三，设4尸=5x,BG=3x,根据B G BC B G 9 3AFBs/XBCEs ABGC,列比例式可得CE的长；(3)分两种情况：当CF=8C时，如图2,当CF=B/时，如图3,根据三角形相似列比例式可得结论.(I)解：(任意回答一个即可)；如图I,&AFBs/BC E,理由如下：图 1 .,四边形 A8CD 是矩形，C.DC/AB,NBCE=NA8C=90。，：.ZBECZABF,V AF1BE,：.ZAFB=90,：.ZAFB ZBCE=90,A AAFBAB

11、CE；?!尸8 s CGE,理由如下：JCGA-BE,：.ZCGE=9Q,：.ZCGE=ZAFB,:NCEG=NABF,：.AAFB/XCGEi AFBS B G C,理由如下：；NABF+4CBG=ZCBG+ZBCG=90,：.ZABF=ZBCG,V ZAFB=ZCGB=90,：./AFB/BGC；(2).,四边形 AFC。是平行四边形，.AFuCC,由(1)知：lAFB/XBGC,B G B C即 竺=三，设 AF=5x,BG=3x,：.CC=AF=5x,:CG=CG,：.CG=CG=2.5x,B G 9 3M AFBsABCEs/BG C,即 咨=生，.CE=7.5；B G BC 3x

12、9(3)分两种情况：当 CF=BC时，如图2,DE图2-：CGLBE,：.BG=GF,：C G=C G,，四边形 BC 尸。是菱形，.CruCB：/由(2)知：设 A尸=5x,BG=3x,：,BF=6X,-A A FB A B C E，=畔噜.啜=亲.E 带 当CT=3/时，如图 3,图3 由(1)知：bAFBs丛B G C,：.=BC CG=|,设 8尸=5。，CG=3“，A CF5a,:CG=CG,BEA.CC,：.C FC F5a,：.FG=y/CF2-CG2=4a,：tanZCBE=,：.=.,.CE=3；综上，当 CE的长为BC BG 9 4Q+5a长为号或3 时，以 C,F,8 为

13、顶点的三角形是以C 下为腰的等腰三角形.【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.【例 4】(2022 四川绵阳中考真题)如图，平行四边形ABC。中，。8=2 k，48=4,AD=2,动点E,尸同时从A 点出发，点 E沿着AQB 的路线匀速运动，点 F 沿着A8。的路线匀速运动，当点E,尸相遇时停止运动.图1图2图3(1)如 图 1,设点 的 速度为1个单位每秒，点尸的速度为4 个单位每秒，当运动时间为|秒时，设CE与DF交于点、P,求线段EP与

14、 CP长度的比值；(2)如图2,设点E 的速度为1个单位每秒，点 F 的速度为 个单位每秒，运动时间为x 秒，/E 尸的面积为y,求 y 关于x 的函数解析式，并指出当尤为何值时，y 的值最大，最大值为多少？(3)如图3,，在线段4 8 上且M 为。尸的中点，当点E、尸分别在线段A。、AB上运动时，探究点E、尸 在 什 么 位 置 能 使 并 说 明 理 由.【答案】(1移=/|X2(0X2)(2关于尤的函数解析式为y=耳/+|%+x(2 S 竽)；当 许 争 寸，y 的最大值为6+2V3-X-V3X(手 X A F D B F G,.AF _ AD 一 BG 点后的速度为1 个单位每秒，点尸

15、的速度为4 个单位每秒，运动时间为|秒,产=4，3 3U：AB=4,AD=2,4 4ED=p一BG8-3-4-3：.CG=3,VCGH4D,:ZDEsAPGC,EP ED=-，PC GC EP 4=一；PC 9(2)解：根据题意得：当0SE2时，E点在AD上，尸点在48上，此时4E=x,AF=y3x,VDJ3=2V3,A8=4,AD=2,:.AD2+BD2=AB2,.ABO是直角三角形，.AD 1-=一，AB 2：.ZABD=30,：.ZA=60,如图，过点E作EHL4B交于H,：.EH=AE-sm60c=-x,：.y=g xAFxEH=g xV3xx yx=|x2；.当x0时，y随x的增大而

16、增大，此时当户2时，y有最大值3；当2WXW竽时，E点在80上，尸点在A8上，如图，过点作ENL4B交于M 过点。作。M1AB交于M,则E7V。例,根据题意得：DE=x-2,B E=2 y/3+2-xf在放 A 5 O 中，D M=AD-s nA=/3f A M=1,:E N D M,：4 B E N s 丛B D M,EN BE.-=,DM BD.EN _ 2+2V3-X飞=26：.E N=l+/3-x,.y=l x/4 F x ,J V=|x(V 3 x)x(l+V 3-|x)=-Y X2+x.此时该函数图象的对称轴为直线x=g+l ,.当2 W x S 竽 时，y 随 x的增大而增大，此

17、时当*=竽时，y 有最大值2+|百；当 竽 W x W 2 百 时，点 E、F均在8。上，过点E作E Q L 4 B 交于Q,过点尸作尸P L 4 B 交于P,过点Q作。于点M,AB+B F=y j3 x9 D A+D E=x,AB=4,AD=2,8E=2 存 x+2,D F=4+V 3,P F/D M,B F P s/B D M,BF PF n r iV3x-4 PF-，即-BD DM 2V3 V3nT?V3 QP F=-x-2,2E Q/D M,/BEQS/BDM,BE EQ H n2/3+2-x EQBD DM 2V3 V3E Q=B+1-),y=1x/l B x(F(2-P F)=|x

18、 4 x(V 3+l-i x-y x+2)=6+2 V 3-(l+V 3)x,此时y 随 x的增大而减小,此时当x=竽 时，y有最大值2+|四；(X2(.0X2)综上所述：y关于x的函数解析式为y=-X2+|X+X(2X/3-x-V3x xJSAE.5【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目.满分训练.一、解 答 题【共20题】1.(2022山西实验中学模拟预测)综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形4BCD中，P是 射 线 上 一 动

19、 点，以4 P为直角边在4 P边的右侧作等腰直角三角形4 P E,使得44PE=90。，AP =P E,且点E恰好在射线CD上.图1图2图3图4(1)如 图1,当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是,探索发现：(2)当点E在正方形ABC。外部时如图2 与图3,(1)中的结论是否还成立？若成立，请利用图 2 进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4,在正方形4BC。中，AB=2夜，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE,若BE=6四,求ABPE的面积.【答案】(1)C E=&B P；(2)成立，证明见解析；(3)16-472.【分析】(1)连接

20、4C,根据正方形的性质和Rt 4PE是等腰直角三角形，证得 ABP&ACE,可 嘘 唔 即 可；(2)连接A C,根据正方形的性质和RtAAPE是等腰直角三角形，证得48PA A CE,可磴唔即可；(3)连接4c交BD于点F,过点E作EG 1 BP交直线BP于点G,根据正方形的性质，可得4F=BF=2,再证得 F4P三 G PE,可得尸P=EG,PG=AF=2,在RtAEGB中，根据勾股定理可得EG=4&-2,即可.【详解】(I)解：如图，连接4C,.四边形4BC D是正方形，：.AB=D A,乙BAD=/.ABC=90,；.4ABP=/.ACE=Z.BAC=45,cno sAZ r.BACA

21、=V 2=，AC 2V /?t APE是等腰直角三角形，LPAE=LAEP=45,：.Z.BAC-乙CAP=乙PAE-4CAP,：.Z.BAP=ZLCAE,ABP ACE,.AB _ B P-4C -CEy BP yf2*-C E-T*即C E=五BP；故答案为：CE=&B P；(2)解：(1)中的结论还成立，证明如下：如图2,连接4C,四边形4BC D是正方形，：,AB=BC=CD=D A,乙BAD=Z.ABC=90,A Z.ABP=LACE=BAC=45,/.cosZ-BAC=,AC 2 /?4PE是等腰直角三角形，=乙4EP=45,：./LBAC+Z.CAP=4 PAE+Z.CAP,：.

22、Z.BAP=CAEf ABP ACE.把 _竺 就 一 C E,:=它.CE 2即 C E=y2BP；图2（3）解：如图4,连接4c交BD于点F,过点E作EG 1 BP交直线BP于点G,图4,四边形ABC D是正方形，AB=2V2,:BC=AB=2 a,4 BAD=90。,AC 1BD.：.Z-ABD=45,Z-AFB=Z.AFD=90,4B4C =45。，LFAP+LAPF=90,：.AF=BF,：.BF=AF=AB-sin45=2,在中，Z.APE=90,AP=PE,：.LAPF+Z.EPG=90,：./,FAP=乙 EPG,VEG 1 8G,A F P =乙 PGE=90,C.LFAP

23、LGPEAAS,：.FP=EGf PG=AF=2,在RtAEGB中，由勾股定理得，BE2=BG2+EG2,设=EG=x,Z.（6V2）=（2+x+2）2+/,解得，%1=4V2-2,x2=-42-2（舍去），即EG=4/一 2,：.ShBPE=I BP-EG=i（2+4V2-2）x（4&-2）=1 6-4立.【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.2.（2022 湖北 武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图1,在正方形力BC D中，E是C D上一动点，将正方形沿着B

24、E折叠，点C 落在点F处，连接CF,并延长C F交4。于点G.求UE：BCE=CDG；（2）在（1）的条件下，如图2,延长BF交AD边于点H.若*=；，求震的值；BC 3 DH（3）如图3,四边形4BC D为矩形，同样沿着BE折叠，连接C 凡延长C F,8户 分别交4。于G,H两点，若黑=：,等=：,则襄的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（直接写出结果）BC 4 GH 5 EC【答案】（1）见解析；（2）-（3）呼【分析】(1)根据AAS证明三角形全等即可；(2)如图2中，连接EH.m H F2+FE2=DH2+DE2,求出QE即可解决问题；(3)如图3中，连接H E.由空=三,空

25、=占可以设4B=3x,BC=4x,D”=4m,HG=5ni,根据相似三角形的判定和性质可得C E=1 2 m,则DE=C D-C E =3 x-1 2 m,利用勾股定理构建方程求解即可.【详解】(1)证明：如图1中，BFE是由 BC E折叠得至九,BE 1 CF,/.乙ECF+Z.BEC=90,四边形ABC。是正方形，ZD=Z.BCE=90,.Z,ECF+乙CGD=90,:.Z.BEC=乙CGD,在和：2%中，乙BCE=CD乙BEC=Z-CGD，BC=CD*BCE=CDG(AAS)；(2)解:如 图2中，连接E解CE=DG,由折叠可知8C =BFf CE=FEf Z.BCF=乙BFC，四 边

26、形 是 正 方 形，AD|BCtBC=CD,乙BCG=乙HGF,v Z.BFC=乙HFG,:.乙HFG=乙HGF,:,HF=HG,C E _ 2V =一,BC 3设CE=2%,则BC=CD=3x,FE=CE=2%,DE=CD CE=x,设 F=HG=a,DH=DG-HG=2 x-at.,由折叠可知乙BFE=乙BCE=90,(EFH=90,HF2+FE2=DH2+DE2,r 2 2A a2+(2x)=(2%a)4-x2,x=4Q或。(舍 弃)，DH=2x a=7a,GH a i DH _ 五-7；(3)解：如图3中，连接HE.设48=CD=3xf BC=4xfDH=4m,HG=5m,由(2)知H

27、F=HG=5m,.DG=9m,由折叠可知BE 1 CF,乙ECF+乙BEC=90,v 乙D=90,A 乙ECF+乙CGD=90,乙BEC=乙CGD,(BCE=ZD=90,.CDG BCE,DG CD AB 3:.-CE BC BC 49m 3.7F =?CE=12m=FE,DE=3x 12m,v Z.D=乙HFE=90；HF2+FE2=DH2+DE2,2 2 2 2(5m)+(12m)(4m)+(3x-1 2 m),x=4m+或4m VI7m(舍 弃)，DE=3x-12m=12m+3y/17m 12m=3vl7m,:.DE=-3-g-m-=-/1-7.EC 12m 4【点睛】本题属于四边形综合

28、题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.3.(2022浙江嘉兴一模)如 图 1,己知正方形ABC。和正方形C EFG,点 B、C、E 在同一直(2)如图2,正方形4BC。固定不动，将 图 1 中的正方形CEFG绕点C 逆时针旋转a 度(0。a W9 0 ),试探究4尸、BG之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3,在(2)条件下，当点A,F,E 在同一直线上时，连接CF并延长交4。于点H,若FH=&，求?的值.【答案】BG=V m2+1,

29、A F 2 m2+2 AF=&BG(3)1+V3【分析】(1)延长尸G 交 A 8于，在 Rt/iBCG中，由勾股定理，求 8G 的长，在 RtAAHG中，由勾股定理，求 A F的长；(2)连接AC、C F,在等腰RtAABC中，由勾股定理，得A C=Vl8C,在等腰RAFGC中,由勾股定理，得C F=&C G,则蔡=3=鱼，从而可证 A b s M C G,得/=孩=也即可得出结论；(3)连接A C,证明AHFS A C/M,得 色=能 又由正方形CEFG,E F=C E=,可求得C F 3 C E 2+“2=V2,即从而求得C H=C F+F H=y 2+V2=2 /2,代入得瑞=焉 即可

30、求得A4=2,D H=AD-AG=m-2,然后在RsC ZW中，由勾股定理，得C D 2 +D H 2 =C H 2,即巾2+(小一 2)2=(2应)求解即可.(1),正方形48CD和正方形C E FG,点8、C、E在同一直线上，：N AB C=N B C D=/C G D=N C G H=9。,AB=B C=m,C G=G F=C E=,在R3BCG中，由勾股定理，得B G y/B C2+C G2=y jm2+l2=Jm2+1；/.N B H G=90,，四边形B C G H是矩形，ZA/7G=90,：.G H=B C=m,B H=C G=T,在RSAHG中，由勾股定理，得AF =JAH2+

31、H F2=y/(,m-I)2+(m+l)2=V 27n2+2；(2)正方形4BCD和正方形CEFG,二 ZACB=ZFCG=45,，ZACB+ZACG=Z FCG+ZACG,：.ZBCG=ZACF,在等腰RtA4BC中，由勾股定理，得AC=V2BC,在等腰Rt 尸 GC中，由勾股定理，得CF=V2CG,.AC一=FC=Bv，,BC CG/.AACFsBCG,竺=加 B G BC即 AFSBG：(3)解：连接A C,如图3,图3,/正方形4BCD和正方-形CEFG,:,/C A D:/CFE=45。,CD=AD=BC=mfV ZCFE=ZCAFZACF,ZCAD=ZCAF-ZFAH,：.ZFAH

32、=ZACF,*/NAHF二NCHA,：.&AHFs&CHA,.AH _ HFCH AH).,正方形CEFG,EF=CE=,：.CF=y/CE2+EF2=V 2,CH=CF+FHZi+=2 近,.AH_ _ V 2运：.AH=2,：.DH=AD-AG=m-2,在 RtAC。，中，由勾股定理，得CD2+DH2=CH2,2即?n?+(m 2 尸=(2 企)解得：T T l j =1 +V 3,巾2 =1 一8(不符合题意，舍去).；.，”的值为1 +遮.【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质并能灵活运用是解题的关键.4.

33、(2 0 2 2 北京市第十九中学三模)如图，在力B C 中，乙4 c B =9 0。，AC B C,。是A B 的中点，F 是B C 延长线上一点，平移4 B 到 尸 线段F H 的中垂线与线段C 4 的延长线交于点E,连接E H、D E.(1)连接C。，求证：/.B D C =2 D AC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段D E,D F,E H 之间的数量关系，并证明.【答案】(1)见解析(2)图见解析，结论：D E2+D F2=E H2,理由见解析【分析】(I)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；(2)图形如图所示，结论：D E2+D F2=E H2,想办法证明DF=9 0。

34、即可.(1)证明：连接C D.Z.AC B=9 0 ,AD =D B,C D =AD =D B,Z.D AC =Z.D C A,Z.B D C =乙D AC +Z.D C A=2/.D AC；(2)解：图形如图所示，结论：D E2+D F2=E H2.理由：连接E F,A H,取F H 的中点7,连接4 T,D T,E T.E 点E在尸H的垂直平分线上，EF=EH,：AD=DB,HT=TFf AB=FH,/.AD=FT=HT,-ADWFH,四边形4H TD,四边形/WFT是平行四边形，.AHWDT,ATDFf 乙FDT=Z.ATD=MAH,AHBFf .Z.HAC=乙ACB=90,EH=EF,

35、HT=FT,/.ET 1 F H,乙TEH=CTEF,Z.EAH=乙ETH=90,四边形 四点共圆，.TAH=MEH,Z,FDT=乙FET,D,尸，了四点共圆，乙EDF+Z.ETF=180,Z,EDF=90,DE2-DF2=EH2.【点睛】本题考查作图-平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.5.（2022 浙江绍兴一模）如图，在正方形ABCD中，点E与点厂分别在线段4 c se上，且四边形OEFG是正方形.(1)试探究线段4E与C G的关系，并说明理由

36、.(2)如图若将条件中的四边形ABC D与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3,BC=4.线段4E,C G在(1)中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由.当AC DE为等腰三角形时，求C G的长.【答案】(1)4E=CG/E，CG,理由见解析(2)位置关系保持不变，数量关系变为累=理由见解析；当AC C E为等腰三角形时，C GAE 4的长为:或不或?.Z ZU o【分析】(I)如 图 1,根据SAS证明AADE三OGC,可得AE=CG,及4ACG=90,贝 ijAG_L4C,所以4E1C G；(2)如图2,连接EGQF交于点0,连接。C,根据矩形

37、的性质和直角三角形斜边中线的性质得：0 E=0 F=0 G=0 D=0 C,可知D,E,F,C,G在以点。为圆心的圆上，根据直径所对的圆周角是直角得Z_EC G=90,再证明A4DEACDG,得 罪=筹=*先根据黑=设CG=3x/E=4x,AE 4分三种情况：(力当EC=EC 时，如图3,根据等腰三角形三线合一的性质和中位线定理可得x 的值，从而计算C G的长：()当DE=DC=3时，如图4,证明C/W G W,列比例式可得C H的长，从而根据AE=4x=AC-2 C H=5-2 x =求得x 的值，同理可得C G的长；(/)当C D=C E=3时，如图5,根据4 E=2.,可得x 的值,同理

38、可得C G的长.(1)AE=C G,AE S.C G,理由：如 图 1,.四边形EFGD是正方形,图 1：.DE=DGf ZFDC+ZC DG=9O,四边形4BC D是正方形，：,AB=CD,4ADE+NEZ)C=90。，：.Z.ADE=Z.CDGf bADE三&CDG,：.AE=CGt z:DCG=DAE=45ofVz/1C D=45O,N4C G=90。，CGLAC,即 4LC G.(2)位置关系保持不变，数量关系变为穿号.AE 4理由：如图2,连接EG,。尸交于点0,连接0C,图2.四边形EFGD是矩形，：.0E=0F=0G=0D,RtADGF中，0G=0F,RSCCF中，0C=0F,：

39、.0E=0F=0G=0D=0C,0,E,F,C,G在以点。为圆心的圆上,VZDGF=9O,；.)F为。的直径,.DF=EG,EG也是。的直径，/.ZECG=9O,即AE_LCG,D C G+皿7)=90。，2MC+NEG)=90。，/.乙 DAC=cDCG,V Z.ADE=CDG,ADECDG 9,CG _ DC _ 3*4E-4D-4,由知：AE 4设CG=3%,AE=4xf分三种情况：(i)当ED=EC时,如图 3,过后作EHICO于，EHAD9：.EH=CHf上F图3:DH=CH,AE=EC=4x,由勾股定理得：AC=J/.8x=5,即，C G=3x=-；8(n)当DE=CC=3 时,B

40、图4%cZlS2+FC2=V32+42=5,如图4,过。作。HL4c于H,Ic乙CDH=ZLCAD,zC WD=zC Di4=90,ACDHFCAD,CD _ CHC A CD rg一_T，9c/=1,9 7AE=4x=AC-2CH=5-2x 冷,21C G=3 M图5AE=4 欠=5-3=2,x=7,2CG=3x=-，2综上所述，当AC DE为等腰三角形时，CG的长为:或算或当.【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、菱形的性质、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的判定、圆的定义以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理，并采用分类讨论的思想是解题的关键.6.(2022 广东

41、揭西县宝塔实验学校三模)如图1,在矩形4BC D中，AB=8,AD=10,E是C D边上一点，连接4 E,将矩形4BC D沿4E折叠，顶点。恰好落在BC 边上点尸处，延长4E(1)求线段C E的长；(2)如图2,M,N分别是线段4G,DG上的动点(与端点不重合)，且NDMN=NO力 M,设DN=x.求证四边形AFGD为菱形；是否存在这样的点M使ADMN 是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3(2)见解析；或2【分析】(1)由翻折可知：A D=A F=1 0.D E =E F,设E C =x,则C E =E F =8-x.在R t E C 尸中，利用勾股定理构

42、建方程即可解决问题.(2)由A A D E “AGC E计算出G C 的长度，再证明四边形4 F G D 是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形的菱形即可证明；若 DM N是直角三角形，则有两种情况，一是当乙M D N=9 0。时，二是当4 D N M=9 0。时,分别利用相似三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可计算得出.(1)解：四边形4 B C D 是矩形，-AD =B C=10,AB =C D=8,B=乙 B C D=9 0,由翻折可知：AD =A F =10.D E =EF,设CE=%,则。E=EF =8 在Rt z k/BF 中，B F =7 AAB 2=6,:C F =B C

43、-B F =1 0-6 =4,在乱1“：中，则有：(8 )2 =/+42,x =3/.C E=3.(2)证明：,四边形4 8 C D 是矩形，：.AD B C AD E G C E,AD DE -=-rGC CE：AD =1 0,C E=3,D E=5,10 5,.=,GC 3：.G C =6,由(1)可得：C F=4,：.G F=6 +4=10,四边形A F G D 是平行四边形，又丁力。=4/，平行四边形4FG。是菱形.；乙DMN=ADAM,.若ACMN是直角三角形，则有两种情况，当乙MDN=90时，：AD=GD,：.ADAG=/-DGA又,.Z O E =4 GDM=90,：.AADE=

44、GDM(ASA)：.DM=DE=5,又,：4DMN=/-D AM,乙ADE=4MDN=90,：.ADE MDN.空=空，即3=三，MD DN 5 X 5当乙DNM=90。时，则NMON+乙DMN=90,又：乙DMN=ADAM,DAG=/-DGA,D M N =匕 DGA,：.MDN ZLDGA=90,，乙DMG=90,sin血E=,AE AD：AE=y/AD2+DE2=5V5,5 _ OM京-T5：.DM=2V5,:乙 DMN=/.DAMAsinzDMAf=sinZ-DAM.=，即 吃=与AE DM 5V 5 2V 5解得：X=2,综上所述：或 2.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性

45、质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.7.（2022.福建省福州教育学院附属中学模拟预测）问题发现.DG/-5 B N C 3b图。图 o 图 Q如图，Rt Z ABC中，Z C=9 O,AC=3,B C=4,点P 是4 B 边上任意一点,则CP的最小值为.(2)如图，矩形4 B C 0 中，AB=3,B C=4,点M、点N分别在B D、BC上，求C M+MN的最小值.(3)如图，矩形4 B C D 中，AB=3,B C=4,点E 是4 B 边上一点，且4 E=2,点F

46、 是BC边上的任意一点，把ABE尸沿EF 翻折，点B 的对应点为G,连接4 G、CG,四边形4 G C D 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时B F 的长度.若不存在，请说明理由.(3)存在，最 小 值 为 拼B F=3【分析】(1)根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；(2)先根据轴对称确定出点M和 N的位置，再利用面积求出C F,进而求出C E,最后用三角函数即可求出C M+MN的最小值；(3)先确定出EG14c 时，四边形4 G C C 的面积最小，再用锐角三角函数求出点6到 A C 的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出C F即

47、可求出B F.(1)如图，过点C 作C P _ L 4 B F P,根据点到直线的距离垂线段最小，此 时 C P 最小，在心4BC中，AC=3,B C=4,根据勾股定理得，AB=JAC2+B C2=5,C XB C AB XC P故答案为M；(2)如图，作出点C关于B D 的对称点E,连接CE交B D 于点F,过点E作EN 1 B C 于N,交8。于M,连接C M,此时C M+M N=E N 最小;E.Z.BCD=90,CD=AB=5,根据勾股定理得，BD=5,：CE 1 BD,.BDxCF=-BCxCD,22BC X C D 1 21CF=-=-BD 5由对称得，CE=2CF=,在RSBCF

48、 中，c o s z BCF=-=-,B C 5,s i n z BCF=,在RtACEN中,EN=CEsin4BCE=y X =；即：C M+M N的最小值为亲(3)存在.图3四边形4BCD是矩形，：,CD=AB=3y AD=BC=4f z.i 4BC=z D=9 0o,根据勾股定理得，AC=5,乂8=3,4E=2,.点 尸 在BC上的任何位置时，点G始终在4 C的下方，设点G到A C的距离为九，,S四 边 形 4GCD=SAAC。+SAACG=T C x/i=T x 4 x 3+3 x 5 x/i=|八+6,二 要 四 边 形A G C C的面积最小，即：/i最小，点G是以点 为圆心，BE

49、=1为半径的圆上在矩形4BCD内部的一部分点，.EG14C时，h最小，由折叠知比EGF=BC=90。，延长EG交4 c 于H,则EHL4C,在R tfB C 中，sinzB/IC=7)在RtzsAEH中，AE=2,s i n B AC=AE =5,.E”=E=|,.h=E H E G=1-1=I，c5人 乙5 3(15四边形 4GC D 最小=5 九+6=-X-+6=y,过点尸作FK14C于K,E H L F G,E H L AC,二四边形FGHK是矩形，3；,F K=G H=W乙F C K=c A C B,乙C KF=C B A=90。,；.ACK F CBA,CF FK*-fAC AB.C

50、 F _ 5“w 一石，.-.C F=1 B F=B C -C F=4-1=3.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题.8.(2022 广 东 三 模)特例发现：如 图 1,点 E 和点F 分别为正方形A8CC边 8 c 和边CO上一点，当 CE=CF时，则易得8E=D F,B E VD F.如图2,点 E 为正方形ABCO内一点，且NECF=90。，C F=C E,点E,F 在直线CO的两侧，连接所，B E,DF,探究线段BE与。尸之间的关系，并说明理由；(2)如图3,在矩形A 8 8 中，AB