2024年中考数学复习.pdf

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1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解(1)-a2xm+2+abxm+-acx-axm+3(2)a(q-6)3+2a(b 2ab(b a)分析：(1)若多项式的第一项系数是负数，一

2、般要提出“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“一”号后，多项式的各项都要变号。解：一/，+2 +abx*i _ acxn,-axm+i=-axm(ax2-bx+c+x3)(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a=(b a 9；(a-h)2n-=-(h-a)2n-,是在因式分解过程中常用的因式变换。解：a(a b)+2a-(b a)2ab(b a)=a(a-by+2a2(a-b)2+2ab(a-b)=a(a-b)(a-b)2+2a(a-b)+2b=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b)2.利用提公因式法简化计算过程例：计算123 x9871

3、368+268 x9871368987+456x-+521 x13689871368分析：算式中每一项都含有9二87竺，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。1368987解：原式=x(123+268+456+521)1368987=x 1368=98713683 .在多项式恒等变形中的应用f 2x+y=3例：不解方程组 日，求代数式(2+田(2一3历+3以2%+歹)的值。5 x -3y=-2分析：不要求解方程组，我们可以把2 x +y和5 x-3 y看成整体，它们的值分别是3和-2,观察代数式，发现每一项都含有2 x +y ,利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2 x +y和5 x 3

4、夕的式子，即可求出结果。解：(2x+y)(2x-3 y)+3 x(2 x +y)=(2 x +y)(2x-3y+3 x)=(2x+y)(5 x -3y)把2 x +y和5 x 3 y分别为3和 2带入上式，求得代数式的值是 6。4 .在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,3 +2-2 2+3 -2 一定是1 0的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是1 0的倍数即可。3 +2 _ 2 2 +3”-2n-3 +2 +3 一 2 +2 -2=3+1)-2 +1)=1 0 x 3 -5 x 2 .对任意自然数n,1 0 x 3 和5 x 2 都 是1 0的倍数

5、。3 2 一2 +2 +3 2 一定是 1 0 的倍数5,中考点拨：例1。因式分解3 x(x 2)(2-x)解：3 x(%-2)-(2-%)3 x(x 2)+(x 2)=(x-2)(3 x +l)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2.分解因式：4 q(l p)3+2(2一1)2解：4式1 -p)3+2(p-l)2=4 g(l-p)3+2(l-p)?=2(l-p)2 2 q(l-p)+l=2(l-p)2(2 q-2 pq +l)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：

6、例 1.计算：2 0 0 0 x 2 0 0 1 2 0 0 1-2 0 0 1 x 2 0 0 0 2 0 0 0精析与解答：设 2000=。，则 2001=。+12000 x 20012001-2001 x 20002000=a10000(a+1)+(a+1)-(a +1)(10000a+a)=a(a+l)x 10001 a(a+1)x 10001=a(a+1)x(10001-10001)=0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分

7、解化简求值，从而简化计算。例2.已知：x2+hx+c(b、c为整数)是X4+6x2+25及34+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意至u x2+bx+c是3(x4+6/+2 5)及3x4+4x2+28x+5的 因 式。因 而 也 是-(3x4+4x2+28x+5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：v x2+bx+c 是 3(/+6/+25)及3/+4x2+28x+5 的公因式也是多项式 3*4+6x2+25)_(3x4+4x2+28x+5)的二次因式而 3(/+6%2+25)-(3 x4

8、+4x2+28x+5)=14(x2-2x+5)b、c为整数得：x2+bx+c=x2-2 x +5/.b=-2,c=5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x2-28x+7 0,从而简便求得/+bx+c 例3.设x为整数，试判断10+5*+%(+2)是质数还是合数，请说明理由。解：10+5X+X(X+2)=5(2+x)+x(x+2)=(x+2)(5+x)x+2,5+x都是大于1的自然数.(x+2)(5+x)是合数说明：在大于1的正数中，除了 1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1.分解因式：(1)+12W3M2-2mn(2)a2

9、xn+2+abx+i-acxn-adx-(n 为正整数)(3)aa-b)3+2a2(b-a)2-2abb-a)2.计算：(一2)“+(-2)1的结果是()A.2100 B.-210 C.-2 D.-13.已知x、y都是正整数，且x(x-y)-y(y-x)=12,求x、y4.证明：8了-279-9”能被45整除。5.化简：1 +x+x(l+x)+x(l+x)?+x(l+,且当x=0时，求原式的值。【试题答案】1.分析与解答：(1)-4 m2/73+1 2/n3/?2 一=-2f n n(2mn2-6m2n+1)(2)a2xn+2+a b xn+i-a c xn-a d xn=a xna x3+h

10、x2-c x-d)(3)原式=a (a-b)+2a2(a-b)2-2a b(a b)2=a(a -b)2(a -b)+2a -2b=a(a-b)2(3a-3b)=3 a(a b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2.B3.v x(x-y)-(j-x)=1 2(x-y)(x+y)=1 2v x y是正整数.1 2分解成 1 x1 2,2 x6,3 x4又,x-y与x+y奇偶性相同，且+y.卜7 =2,x+y=6fx=4，t=2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4.证明：v8 17-2 79-91 3=328 327-326=32 6(9 -3-1)=32 6 x 5=3

11、2 4 x 32 x 5=32 4 x 4 5.8 1 7 2 7 9 9 3 能被 4 5 整除5.解：逐次分解：原 式=（1 +乃（1 +X）+%（1 +尤）2 +-X（1 +工）|9 9 5=(1 +X)2(1 +X)+X(l+49=(1 +x)3(l+x)+x(l+x)4+-x(l+x)1 9 9 5=(l+x)1 9 9 6当x=0时，原式=12、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 a2-b2=(a+ha-b)完全平方公式 a2+2ah+b2=(a+h)2立方和、立方差公式 ay+h3=(t7/)-(a2+ab+b2)补充

12、：欧拉公式：a1,+/+c3-3abc=(a +b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca=a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2特别地：(1)当a+b+c =O时，有。3+/+-_ 2a b 2b c Za c 0(a2-2a b +b)+(b -2b c+c2)+(c2-2a c +a2)=0(a-b)-+(b c)+(c -t z)=0(a-b)2 0,(b-c)20,(c-a)2 0a -b -0,h-c -0,c-a -0a b cA 4 8 C为等边三角形。4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形

13、和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2+1,2+3(为整数)则(2+3-(2 n+l)2=(2 +3+2 +1)(2 +3-2 -1)=2(4+4)=8(+1)由此可见，(2+3)2 -(2+1 一定是8的倍数。5、中考点拨：例I：因式分解：x3-4xy2=o解：x3-4a2 =x(x2-4y 2)=+2y)(x-2y)说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2%3卜+8%2卜2 +8盯3 =。解：2 x+8%2夕2 +8孙3 _ 2xy(x2+4xy+4y2)=2xy(x+2y)2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底.题型展示：例

14、 1.已知：a=m+,b=w +2,c =w +3,2 2 2求 /+2ab+b2-2ac+c2-2bc 的值。解：a2+lab+b2-2ac+c2-2bc=(a+Z)2-2c(a+b)+c2=(a+b-c)21 ,1 c 1：a=m+,b=m+2,c=m+32 2 2原式=(a+b-c)21 i i -I2=(-w +1)+(-w +2)-(-m+3)1 2=m4说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例 2.已知a +b +c =O,a3+63+c3=0,求证：as+b5+c5=0证明：a +b3+c3-3

15、a b e=(a +b +c)(a2+b +c2-a b-b e -c a).把a +b +c =0,i P+/+，3 =o代入上式，可得a b c=0,即a =0或6 =0或c =0若 a =0,则 b =-c ,a5+b5+c5=0若6 =0或c =0,同理也有/+/+,5 =o说明：利用补充公式确定a,b,c的值，命题得证。例 3.若/+/=2 7,x2-xy+y2=9,求 x?+y2 的值。解：V x3+=(x +y)(x2-xy+y2)=21且，-xy+y2=9x +y =3,x2+2xy+y2=9(1)又+/=9(2)两式相减得呼=0所以/+/=9说明：按常规需求出x,y的值，此路

16、行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】1 .分解因式：(1)(a +2)2-(3a-1产(2)x5(x-2 y)+x2(2y x)(3)a2(x-y)2+2a(x-y)3+(x -y)42.已知：x 4 =-3,求/+二的值。X X3.若 Q,b,C是三角形的三条边，求证：。2 一一。2 一2历 04.已知：co2+4-1 =0,求切2e的值。5.已知m b,C是不全相等的实数，且 M cw O,a3+63+c3=3 a b c,试求（1）a+b +c 的值；（2）a（+,）+6（+工）+0（工+）的值。h c c a a b【试题答案】1.(1)解：原式=(0+2)+(3

17、-1)5+2)-(3。-1)=(4a+l)(-2a+3)=-(4a+1)(2Q-3)说明：把。+2,3。一1看成整体，利用平方差公式分解。(2)解：原式二x“x-2 y)-x 2(x-2 y)=x2(x-2 y)(x3-1)=x2(x-2y)(x-l)(x2+x+1)(3)解：原式=(工一歹尸/+2 q(x-y)+(x-y)2=(x-y)2(a+x-y)21 7 9 12.解：v(x+)=x+2+XX：.x2+=(x+-2=(-3)2 2=7X X(x2+-)2=49,./+2=49.3+4 =47 P x4 x43.分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要

18、把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明：2儿=a2 _(b2+26C+C?)=a2-(b +c)2=(a+6+c)(a-b-c)a,b,c是三角形三边.Q+6+C 0 且。6+c(Q+6+c)(a-b-c)0即 1-6 2-2-2岳 o4.解,0+1 =0.3 +l)(02+1)=0,即/-1 =0 /=1 .2OOl=(4 y 3)667=15.分析与解答：(1)由因式分解可知/+/+_ 3a b e=(a +6 +c)3 4-c3=3a b c/.a3+/+。3 a b c=0又丁 a3+b3+c3-3a b c=(a +b +c)(a 2 +/?2+c2-a b-b c-c a)(a

19、+6 +C)(Q2+/2 4-c2-a b-b c-c d)-0而a 2 +/+c2-a b-b c-c a =-(a-b)2+(6-c)2+(c-a)2v a,b,c不全相等二.Q +b +c”c ih he c c i0Q+6 +c =0(2),/a b c 0原式=-5-a 2 g +c)+b 2(c +a)+c 2(a +b)a b c而a +6 +c =0,即=-(b +c).原式=工 地+0了 一/一。?a b c=3b c(b +c)a b c=-(-3a b c)a b c=-3说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。3、三角形及其有关概念【知识精读】i.三角

20、形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2.三角形中的几条重要线段：(1)三角形的角平分线(三条角平分线的交点叫做内心)(2)三角形的中线(三条中线的交点叫重心)(3)三角形的高(三条高线的交点叫垂心)3.三角形的主要性质(1)三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；(2)三角形的内角之和等于1 8 0(3)三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和;(4)三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角：(5)三角形具有稳定性。4.补 充 性 质：在A A 8 C中，D是BC边 上 任 意 一 点，E是AD

21、上 任 意 一 点，则SABE SCDE S&BDK,S ACAE 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形,利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。5 .三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1.锐角三角形A B C中，Z C=2 Z B,则/B的范围是()A.1 0 Z S 2 0 B.2 0 Z S 30 C.30 Z B 45 D.45 Z 5

22、6 0 分析：因为A 4 8 c为锐角三角形，所以0 Z5 9 0 又N C=2/B,0 0 2 N 8 9 0 0 Z 5 903 Z B 90,即 N 8 3 0 30 Z B 45,故选择 C。例 2.选择题：已知三角形的一个外角等于160,另两个外角的比为2:3,则这个三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定分析：由于三角形的外角和等于360。，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解：三角形的一个外角等于160.另两个外角的和等于200设这两个外角的度数为2x,3x/.

23、2x+3x=200解得：x=402x 8 0,3x=120与 8 0 相邻的内角为100这个三角形为钝角三角形应选C例 3.如图，已知：在 AA8 C中，A B -A C,求证：N C N B。2 2分析:欲 证 Z C -Z 5,可作NABC的平分线BE交 AC于 E,只要证Z C Z E B C2即可。为与题设NSKN C联系，又作AFBE交 CB的延长线于F。2显然N E B C=/F,只要证即可。由/A F,即 2ABAF又AC AF2Z F Z C,又：Z F=-A ABC2Z C a-c,a=2c:b c因此，c是最小边，.一 3c因 止 匕，a+b+ct(。+6+(?)(a+b+

24、c)c=ZA+ZAGF+NAFG=180所以选择c例2.选择题：已知三角形的两边分别为5和7,则第三边x的范围是（）A.大于2 B.小 于12 C.大于2小 于12 D.不能确定分析：根据三角形三边关系应有7+5 x 7-5,即12x2所以应选C例3.已知：P为边长为1的等边A48C内任一点。3求证：PA+PB+PC22证明：过P点作EF B C,分别交AB于E,交AC于F,则 NAEP=NABC=60NEAP 60在A4EP中，,/NAPE Z.AEP,：.AE AP NAFE=ZACB=60,NAEF=60A4EE是等边三角形AF=EFAE AP BE+EP BPPF+FC PC(AE+E

25、B)+(EP+PE)+FC AP+BP+PCAB+EF+FC AP+BP+PCAB+(AF+AC)AP+BP+PC：.PB+PA+PC AB BCPC+PA AC：.2(PA+PB+PC)AB+BC+AC=332 PA+PB+PC -2题型展示：例1.已知：如图，在AA8C中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证:(1)ZBEOZBAC；(2)AB+ACBE+ECo分析：在(1)中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在(2)中，添加一条辅助线,转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。证明：(1)：NBED是A48E的一个外角，/./BED NBAE同理，ZDEC ZCAEZBE

26、D+ZDEC ZBAE+ZCAE即/BEC ABAC(2)延长BE交AC于F点,/AB+AF BE+EF又 EF+FC ECAB+AF+EF+FCBE+EF+EC即 AB+AC BE+EC例2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45。已知：如图，在 A46C 中，NC=90,ZE AB.是 A48c 的外角，AF、BF分别平分NEAB及NABD。求证：ZAFB=45分析：欲 证/我8=45。，须证 N E48+N F8/=135VAF,BF分别平分/E A B及NABD二要转证 NEAB+/ABD=270又.NC=90,三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.问题得证

27、证明：VZEAB=ZABC+ZCZABD=ZCAB+ZCZABC+ZC+ZCAB=180,ZC=90NEAB+NABD=ZABC+Z C+NCAB+Z C =180+90=270VAF.BF分别平分/E A B及/ABDNFAB+ZFBA=g(NEAB+ZABD)=；x 270。=135在 zUBb 中，ZAFB=180-(ZFAB+ZFBA)=45【实战模拟】1.已知：三角形的三边长为3,8,1 +2%,求x的取值范围。2.已知：A48C中，AB=BC,D点在BC的延长线上，使4D=BC,4BCA=a,4CAD=。,求a和B间的关系为？BC3.如图，A48C 中，NABC、N4C8 的平分线

28、交于 P 点，ZSPC=1 3 4,则 N 8/C =()A.68 B.80 C,88 D.464.已知：如图，AD是A48C的BC边上高，AE平分N 8/C。求证：NE/O=g(N C NB)5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。【试题答案】1.分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解：.三边长分别为3,8,1 +2%,由三边关系定理得：5 1 +2x 114 2%102 x 0,求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：x 1 l x +2 4 0(x 3)(x 8)0J x -3 0 _

29、J x-3 0 x-8 8 或 x b、c为互不相等的数，且 满 足 一 =4(6-。)(。一6)。求证：a-b=b-c证明：v(a-c)2=4(b-6f)(c-b)(a-c)2-4(b-a)(c-6)=0/.a1-lac+c2-4bc+4ac-4ab+4b2=0?.(a+c)2-46(Q+c)+4b2=0二.(a+c-2b)二 0:.a+c-2b=0:.a-h=b-c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若+512+7x+o有一因式x+1。求a,并将原式因式分解。解：v x3+5x2+7x+a 有一因式 x+1当x+l=O,即x=-l时，/+5工2+7x+a=0a=3/+5%2+

30、7x+3=+4x+4x+3x+3=，(x+1)+4Mx+1)+3(x+1)=(x+l)(x“+4x+3)=(x+l)(x+l)(x+3)二(x+(x+3)说明：由条件知，x=-l时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是X +1,分解时尽量出现X +1,从而分解彻底。【实战模拟】1 .分解因式:(1)a2h2+16a b+3 9(2)I 5x2 +7 x y+,-4y2n+2(3)+3 x)2 2(x +3 x)+7 22.在多项式 x +1,x+2,x +3,x2+2x-3,x2+2 x-l,，+2 x +3 ,哪些是多项式卜2 +2 x)4 一 0(,+2,2 +9 的因式？3

31、.已知多项式2/2一1 3+上有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4.分解因式：3 x2+5xy-2y2+x+9y-45.已知：x +y =0.5,x+3y=1.2,求3 x?+1 2孙+9 _y?的值。【试题答案】1.(1)解：原式=(ab)2+1 6Q6 +39=(ah+3ab+13)(2)解：原式=(3x”_yH)(5x+4y x)(3)解：原式=+3x-4)(，+3x-18)=(x+4)(x-l)(x+6)(x-3)2.解:丁 +2x)10(，+2x)+9二|(工 2 +2x)2 _ 9 12+2x)2 _ 1=(x+2x+3)(x+2x-3)(x+2x+2x-1)=(x2+2x4

32、-3)(x+3)(x-l)(x+2x-l)*,*其中x+1,x+3,，+2x+3,+2x 1 是多项式(X2+2X)4-1 0(X2+2X+9 的因式。说明：先正确分解，再判断。3.解：设 2工3 -x2-13x4-Z r=(2x+l)(x2+Q X+Z?)则 一 一 13x+k=2%3+(2。+l)x+(a+2b)x+b2a+l=-l(a+2b-13b=ka=-1解得：b=-6k=-6/.k-6K 2x3-x2-13x-6=(2x l)(x2-x 6)=(2x-l)(x-3)(x+2)说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式

33、，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。4.解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设 3%2+5xy-2y 2 +x+-4=(3x-y +m)x+2y+)=3x2+5xy-2y2+(m+3n)x+(2加-n)y+mn比较同类项系数，得:m+3 =12 m -n =9m n=-4解得:m =4n =/.3x2+5xy-2 y2+x +9歹 一 4 =(3 x -y +4)(x -2 y-1)5.解：3x2+1 2孙+9 y 23(x2+4 x y+3 j/2)3(x +y)(x +3 y),/x +y =0.5,x +3 y =1.2原 式=3 x 0.5 x 1.2 =1

34、.8说明：用因式分解可简化计算。4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】i.在数学计算、化简、证明题中的应用例 1.把多项式2a(a?+a+l)+a4+a2+1分解因式，所得的结果为()A.(a2

35、+a-I)2 B.(a2-a+I)2C.(a2+a+l)2 D.(a2-a-I)2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=2a(a2+a+l)+a“+a?+1=a4+2a3+3a2+2a+l=(a4+2a3+a2)+(2a2+2a)+l=(a2+a)2+2(a2+a)+1=(a2+a+I)2故选择C例 2.分解因式 x5-x4+x3-x2+x-1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5-X4+x3和-X?+X-l分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把X5-X”，*3一*2和*-1分别看作一组，此时的六项式变成三

36、项式，提取公因式后再进行分解。解 法 1：原式=(x5-X4+X3)-(x2-X+1)=(x3-l)(x2-X+1)=(x-l)(x2+X+l)(x2-X+1)解法2：原式=(x5-x4)+(x3-x2)+(x-1)=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)=(x-l)(x4+x2+1)=(x-l)(x4+2x2+l)-x2=(x-l)(x2+X +l)(x2-X +1)2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足a b,a2+c2 b2+2ac证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：

37、:a?+c 2 c b 2+2aca2+c2-b2-2ac 0a2-2ac+c2-b2 0,B P(a-c)2-b2 0(a c+b)(a c b)a-c-b.a c+b0,a c b c,a-b c即a-b c a+b.以a、b、c为三边能构成三角形3.在方程中的应用例：求方程x-y =xy的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与 y,故可考虑借助因式分解求解解：x-y=xyxy-x 4-y=0 xy-x+y-1 =-1即x(y-1)+(y-1)=-1.*.(y-l)(x+l)=-lx,y是整数.一 X +1 =1 或fx+1 =-1y-1 =-1

38、 y-1 =1x=0 x=-2或 H分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC,AOBC.证明：延长AO交 BC于 E,在 AADO和 ACDB中r AD=DCS NADO=NCDB=90I OD=DB AADOACDB（SAS）AO=BC,ZOAD=ZBCD（全等三角形对应边、对应角相等）ZAOD=ZCOE（对顶角相等）NCOE+NOCE=90。J AOBC5、中考点拨：例 1.如图，在中，AB=AC,E 是 4 8 的中点，以点E 为圆心，E 5 为半径画弧，交8 C 于点。，连结瓦九 并 延 长 到

39、点/，使D F=D E,连结FC求证：/F=/A.分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中N 4N尸不在全等的两个三角形中，但由已知可证得E/Z C,因此把N力通过同位角转到坑）中的N8E。，只要证E8。丝/CQ 即可.证明：9：AB=AC,：.N A C B=/B,:EB=ED,：./A C B=/E D B.：,ED/AC.；/B E D=/A.,:BE=EA.:BD=CD.又 DE=DF,/B D E=N C D F:A B D E 乌 ACDF,/B E D=NF.：.Z f=Z A.说明：证 明 角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手

40、，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例 2 如图，已知 ABC为等边三角形，延长B C到 D,延长BA到 E,并且使AE=BD,连接CE、DE.求证：EC=ED分析：把已知条件标注在图上，需构造和AAEC全等的三角形，因此过D 点作DFAC交 BE于 F 点，证明AAEC岭ZFED即可。证明：过 D 点作DF AC交 BE于 F 点 ABC为等边三角形4B F D 为等边三角形二 BF=BD=FDAE=BD:.AE=BF=FDAE-AF=BF-AF 即 EF=AB:.EF=AC在 ACE WADFE 中，r EF=AC（

41、已证）/E A C=/E D F （两直线平行，同位角相等）AE=FD（已证）AAECAFED（SAS）/.EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例 1 如图，/BC 中，N C=2/8,Z1=Z2 求证：A B=A C +CD.分析：在 4 8 上截取/E=4 C,构造全等三角形，D E=D C,只需证。E=8E 问题便可以解决.证明：在 Z 8 上截取Z E=/C,连结。,?AE=AC,Z1=Z2,AD=AD,二 A A E D m AACD,：.D E=D C,N A E D=N C.,?N A E D=N B+N E D B,Z C=2 Z B,：.2 Z B=Z B +ZEDB

42、.即 Z B Z E D B.：.E B=E D,即=OC,，A B=A C+D C.剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作/E=NC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容.【实战模拟】1.下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）

43、有两边对应相等，且有一角为3 0 的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2.已知：如图，C D VA B于点D,B E LA C于点E,BE、C D交于点O,且 力。平分NR4C.求证：OB=OC.3.如图，已知C 为线段A B 上的一点，AACM和ACBN都是等边三角形，A N 和 CM 相交于F 点，BM和 CN 交于E 点。求证：ACEF是等边三角形。4.如图，在AABC中，AD为 BC边上的中线.求证：ADAE（三角形两边之和大于第三边）AB+A O 2A D （等量代换）即A D 0(x2-4)(x2-10 x+2

44、1)+100的值一定是非负数4.因式分解中的转化思想例：分解因 式:(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与 a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B.原式=+8)3_人3_83=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3=3A2B+3AB2=3AB(A+B)=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨:例 1.在 A A B C 中，三边 a,b,c 满足 a?-1 6b2-c2+6a b +lO b

45、c =0求证：a +c =2 b证明：:a2-1 6b2-c2+6a b +lO b c =0a2+6a b +9 b2-c2+lO b c -2 5b2=0即(a +3 b/(c -5b/=0(a +8 b -c)(a -2 b +c)=0,/a +b ca +8b c,即a +8b -c 0于是有a-2 b +c =0即a +c =2 b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例 2.已知：x+=2,则x，+=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _XX3解：X3+-i-=(x+-)(x2-1+-)X，X X=(X+)(x+)2-2-1x x=2 x1=2说明：利

46、用x?+二=汽+!)2-2 等式化繁为易。X-X题型展示：1.若 X 为任意整数，求证：(7-x)(3-x)(4-x2)的值不大于10 0。解：v(7-x)(3-x)(4-x2)-10 0=-(X-7)(x+2)(x-3)(x-2)-10 0=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-10 0=-(x2-5x)-8(x2-5x)+16=-(x2-5x-4)2 0(7-X)(3-X)(4-X2)0,a+b-c 0,a-b+c 0,a-b-c 0/.(a2+b2-c2)-4 a2b2 0/.a2+b2-c2 4a2b28、分式的概念、分式的基本性质【知识精读】分式的概念要注意以下几点：（1）分式是

47、两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用：（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。【分类解析】例1.已知a,6为有理数，要使分式色的值为非负数，a,6应满足的条件是（）hA.。之 0,6。0 B.（7 0,h 0,h 0 D.a 09 b 0,或 Q 0,h 0

48、,或b。0,b 0解不等式组：xw lx。一3得：x 1说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。2.把分式-1 .二+8/+24,+8化为一个整式和一个分子为常数的分式的和,并且求出3。+26这个整式与分式的乘积等于多少？解:2(9a2+126+462)+8J乐 4 3a+2b2(3 a +2 b)2 +83a +2b=2(3 a+2 b)+83 a+2 b2(3a +2b)-83a +2b1 6说 明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。【实战模拟】1.在下列有理式2,左里，1(W+M),王

49、二上a x 2 x+y工(。-力)中，分 式 的 个 数 是(y)A.1 B.2 C.3D.42a-4如 果 分 式 五 F的值为零，则a的 值 为()A.2 B.-2 C.。=2且。=23.填 空 题：，,、()()()(1)-=-=-=-x +y x +y x +y -(x +y)c i (2)当。=时，分 式 二 一 的值等于零;a+Q。一1当Q=时，分 式1-r无意义。a+。D.04 .化简分式:/+5%2+3x 9x s +6x 2 +5x 1 2J Q5.已知：x y =2 9 2 y y 4 =0,求 y-的值。y6.已知：a +b +c =0 ,求+b(L +，)+。(工+，)

50、+3 的值。h c c a a h【试题答案】1.简析：判断一个有理式是否为分式，关犍在于看分母中是含有字母，故选D。2.B分子为0说明：分式值为0的条件：.分母不为0、八、x-y (y x)(y-x)(x-y)3.(1)-=-=-=-x+y x+y x+y-(x+y)a (2)当。=1时，的值为0。a+aQ 1当。=0或Q=-1时，-无意义。a+。板1s小一(v3-X2)+(6x2-6x)+(9x-9)4.解：原 工 弋 R .(x3-x2)+(7x2-7x)+(12x-12)(x-l)(x2+6x+9)一(x-1)(/+7x+12)(X-1)(X+3)2 _X+3(x-l)(x+3)(x+