北京市西城区2023届高三一模数学试题（含答案解析）.pdf

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1、北京市西城区2023届高三一模数学试题学校:姓名：班级:考号：一、单选题1.已知集合4 =-1,0,1,2,3 ,B =xx2-3元 0,则A B=()A.-1 B.1,2 C.1 2 3 D.-1,0,1,2)2.下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()A.尸一凶B.y =x2-2 xC.y=sinxD.1y=x X3.设。=l g 2,b=c o s 2,c=20-2,贝 U ()A.bcaB.c b aC.b a cD.a b c4.在(x-*)5 的展开式中，X 的 系 数 为(X)A.4 0B.1 0C.-4 0D.-1 05.已知尸为MB C 所在平面内一点，潴,=2CU

2、UP,则 )uun I i un 3 ui 即A.A P=AB+-AC2 2B.A P=-A B+-A C3 3ui n a urn i um nC.AP=-A B一 一AC2 2D.urn 21 1 1 0 1 uunAP=-AB+-AC3 36.函数/(x)=s i n 2 x-t a n K 是()A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2C.偶 函 数，且最小值为0D.偶函数，且最大值为27.已知双曲线C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴.贝 C 的离心率为2”是 C 的一条渐近线为y =Gx”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条

3、件8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度M k m/s)和燃料的质量A/(k g)以及火箭(除燃料外)的质量N(k g)间的关系为v=2 1 n(l+1).若火箭的最大速度为1 2 k m/s,则N下列各数中与二最接近的是()(参考数据：e=2.7 1 82 8.)NA.2 00 B.4 00C.6 00 D.800f JQc x 2 09.设c e R,函数f(x)=i；一；若/(x)恰有一个零点，则c 的取值范围是()2 -2 c,x )2 22i o.名学生参加某次测试，测试由，道题组成.若一道题至少有:名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了 道题，则该生本次测试成绩

4、合格.如果这次测试至少有:名学生成绩合格，且 测 试 中 至 少 有 道 题 为 难 题，那么机，的最小值为()A.6B.9C.1 8D.2 7二、填空题1 1 .复数“白，则忖=.1 2 .已知抛物线丁=2 2 5 0)的顶点为。，且过点A,8.若 Q 钻是边长为4 月的等边三角形，则。=一.三、双空题1 3 .已知数列(凡)的通项公式为,=2，“的通项公式为2=1-2”.记数列+%的前项和为5“，贝 l J S 1,=；5 的 最 小 值 为.1 4 .设 A(c o s a,s i n a),B(2 c o s/7,2 s i n/),其中 a,e R.当 a =7 t,/=g 时，|A

5、 B|=；当时，a-夕 的 一 个 取 值 为.四、填空题1 5 .如图，在棱长为2的正方体A BC D-A BC R中，点M,N分 别 在 线 段 和B上.试卷第2页，共 5页给出下列四个结论：MN的最小值为2；4四面体MW8C的体积为 ；有 且 仅 有 一 条 直 线 与 垂 直；存在点M,N ,使M 3N为等边三角形.其中所有正确结论的序号是一.五、解答题16.如图，在中，ZA=y ,A C =O,C。平分 NACB 交 A8 于点 ,C D =B 求 N 4D C 的值；(2)求 8 8 的面积.17.根 据 国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:c m）：立

6、定跳远单项等级高三男生高三女生优秀26。及以上194及以上良好245 259180J93及格205244150J79不及格204及以下149及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到 1 c m ）：男生1802052 1 32202352 4 52502582612 7 02752 8 0女生1481 6 01621691721841951961961 9 72 0 8220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；(2)从该校全体高三男生中随机抽取2 人，全体高三女生中随机抽取1 人，

7、设 X 为这3 人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望E(X)；(3)从该校全体高三女生中随机抽取3 人，设“这3 人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A ,“这 3 人的立定跳远单项至多有1 个是优秀”为事件8.判断A与5是否相互独立.(结论不要求证明)1 8 .如图，在四棱锥 PA 8 C。中，2 4,平面 A B C。，AB/CD,ABAD,AB=,PA-A D =C D=2.E为棱PC上一点，平面A B E 与棱尸)交于点F .再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题 求证：尸为尸。的中点；(2)求二面角B-F C-P 的余弦值.条件：B E/

8、AF；条件：BE L P C.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.1 9 .已知函数f(x)=e，-c o s x.(1)求曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；设 g(x)=x f(x)-/(x),证明：g(x)在(0,+8)上单调递增；判断3/(，与4/g)的大小关系，并加以证明.2 0 .已知椭圆C:x?+2 y 2=2,点AB在椭圆C上，且Q 4 L O 8 (。为原点).设AB的中点为M,射 线 交 椭 圆 C于点N.试卷第4页，共 5页(1)当直线A8与x轴垂直时，求直线A8的方程；(2)求 跣 的 取 值 范 围.2 1.给定正整正“N2,设集合M=a|

9、a =(，n，L,露山e O,l ,&=1,2,L,.对于集合“中的任意元素尸=(占，%,L ,%)和，=(y,y 2，L ,然),记尸-/=&%+x2y?+L +xyn.设 A =p,i=j,且集合 4 =%R=(%/”,L i =l,2,L ,”,对于 A 中任意元素%，%,若弓,%=.U，i 丰 J，则称A具有性质T(，P).(1)判断集合4 =(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)是否具有性质7(3,2)?说明理由;(2)判断是否存在具有性质7(4,0的集合A ,并加以证明；(3)若集合A具有性质T(,P),证明：J+%+L+%=P(/=1,2,L.参考答案：1.B【分析】首先

10、对集合8=X|X2-3X 0 化简，再由交集得定义即可求得AC5.【详解】B=(X|X2-3X0)=X|0 X0时，y=-=-x,则y =TX在(0,+8)上单调递减；对于B选项，函数y =Y-2x在区间(0,+8)上不单调；对于C选项，函数y =s i n x在(0,+e)上不单调；对于D选项，因为函数)，=X、y =-:在(0,也)上均为增函数，所以，函数y =在(0,+e)上为增函数.故选：D.3.C【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限 定 的 取 值 范 围 即 可 得 出结论.【详解】根据对数函数y =i g x在定义域内为单调递增可知o=i g i i g 2 i

11、 g i o =i,即a e(O,l)；T T由三角函数y =c o s x单调性可知6 =c o s 2 2 =1；所以。a c.故选：C4.A【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设(x-1的通项G，则 小=0【详解】画出函数g(x)=C，x0,(x,x 0,函数f(x)=c 、可由g(X)=c分段平移得到，2-2 c,x0.2,x 0.易知当c=0 时，函数/(x)恰有一个零点，满足题意；当c 0 时，图象往下平移，当0 2 c).故选：D1 0.B【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从”=3,?=3 进行讨论即可得出m n的最小值为9.【详解】根据题意可知|s N*,|

12、，*e N ,不妨设 =3 乂,加=3 愀,(乂,华4)，所以 =9 NM，若求 7 的最小值，只 需 最 小 即 可；易知当乂=1,以=1 时,即=3,%=3；此时即有3名学生不妨设为甲、乙、丙；3道题目设为A B,C；根据题意可得至少有2 名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，可设甲同学做出了 A，B 两道题，乙同学做出了 B,C 两道题，丙同学做出了 0道题，此时合格的学生为甲乙，即有;”名学生成绩合格，A,B,C三道题目中有A,C 两道题，有;2 名学生未解出来，即满足测试中有2:m道题为难题；所以 =3,加=3 符合题意.故选：B1 1.V 2【分析】利用复数的除法法则化简复数

13、z,利用复数的模长公式可求得结果.答案第4页，共 1 4 页【详解】z =3=、=j（j）=+j，因此，上|=夜.1 +2 （1 +Z）（1-Z）1 1故答案为：V 2.1 2.1【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入A（6,2百）求解.【详解】设4（%，乂），8（苍,），则|（24|=|。即,即X：+城=/2+12 nx；+2师=%2+2班,所以（芭一切（芭+%+2 p）=0 ,由于玉 0,x2 0,.,.xt+x2 0,又 2 p 0,所以斗+七+2。0,因此占-=0,故A B关于x轴对称，由=4 3？AOx 3 0得A,2，将A（6,2代入抛物线中得12=12p,所以

14、p =1,故答案为：1*一13.-1-2【分析】(1)由题可得q =4 +2 =2-1+1 -2，根据等比数列及等差数列的求和公式可得S”,利用数学归纳法可得“4 3时，*0,进而即得.【详解】由题可知4+&=2+1-2，所以&=1 +(一1)+2+(-3)+22+(_5)+23+(-7)=-MJ)一 ,S,=l+(T)+2+(-3)+2-+(l-2n)-l=2-n2,1 z z令 C,=2T +1-2“，贝!C =0,C 2=_l,C 3=T,C 4=l,C 5 =7 ,当“2 4时，%(),即2T 2-1,下面用数学归纳法证明当 =4时，成立，假设”=左时，2i 2k-l成立，当“=%+时

15、，2*=2.22 2(2%-1)=2(%+1)-1+2-3 2伙+1)1 ,即7=%+1 时也成立,答案第5页，共14页所以“2 4 时,c“0,即所以4 3 时，c 0,由当=3 时，5.有最小值，最小值为S 3=23-1-3?=-2.故答案为：-1:2.14.旧 y (答案不唯一)【分析】将。=孤尸=5 代入计算可得A(-1,0),3(0,2),利用两点间距离公式可知|45|=6；由|AB|=G 即可得(c o sa-2c o s)2+(si n a-2si n )2=3,化简整理可得c o s(a-)=g ,即可写出一个合适的值.【详解】根据题意可得当a =m月竹时，可得A(-l,0),

16、8(),2),所以|AB|=J(T _(J)?+(0-2)2=下.当=G 时，即(c o s a-2c o s y?)2+(si n a -2si n 饼=3 ,整理可得5-4(8$1以 夕-$1110 11万)=3,即c o s(a-)=；,可得c-=+2祈，所以a-力的一个取值为三.故答案为：/5 ,y15 .【分析】对于，利用直线之间的距离即可求解；对于，以M 为顶点，N B C 为底面即可求解；对于，利用直线的垂直关系即可判断；对于，利用空间坐标即可求解.【详解】对于，由于在A自上运动，N在 B G上运动，所以|MN|的最小值就是两条直线之间距离I。，而 G|=2,所以M N的最小值为

17、2；121对于，VM-B NC=-S,B N C-DlCi =-S_a v c,而 5 3阳=5*2*2=2,所以四面体Mf f i C 的4体积为 ；对于，由题意可知，当 与。重合，N与C 1重合时，,C,1 AD,又根据正方体性质可知，A D B.C D,所以当M为A A 中点，N与用重合时，此时M NLA Q,故 与 垂直的M N不唯一，错误;答案第6页，共 14页对于，当A W8N为等边三角形时，B M =B N,则此时A M =.所 以 只 需 要 与B N的夹角能等于g即可.以。为原点，D4、D C、O R分别为x轴、）轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图,设A M=8 1 N =，

18、则 由 题 意 可 得-三,0,负），5（2,2,0）,N（2,2,2）,则可得B M =-七,一2,/)，3 N =(-,0,2),贝iJc o s N MBN =gB M BN则.网n2+4,整理可得孝-1 2_ 2+2 0 =0,该方程看成关于 的二次函数,A =4-4 x|-1）x 2应=8夜-40,所以存在“使得aM B N为等边三角形.故答案为：16.（呜 351）4【分析】（1）在 仞C中，利用正弦定理即可得解;（2）由（1）可求出Z A C D =N BC D =兀-日-：=展，再根据C。平分N4C8可得一A8C为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）在/M

19、 DC中，由正弦定理得A Cs in Z A D CCD s in/A 行.2T I所 以-/Anr A C s in N A V 2 S i ny 应，CD 7 3 2答案第7页，共14页7T因为 0 /A O C.因为平面八3防 仆 平 面 2 8 =所，所以AB所.所以 CD/EF,所以尸为PO的中点；(2)由题可知因为A4J_平面A8C,所以户A_LAB/A_LAD.又AB_LA,所以AB，位)，A?两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),3(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),0(0,2。)，F(0,l,l).所以 5 c =(1,2,0)

20、,BF=(-1,1,1),AF=(0,1,1).m-BC=0 x+2y=0,设平面BCF的法向量为机=(x,y,z),贝 叶 ，即(m-BF=0 r+y +z=0.令 y=T,则 x=2,z=3.于是?=(2,-1,3).因为Ml 平面P A O,且 AB C ),所以CD J平面PA。，又A F u 平面P 4 D,所以AF_LC.又 抬=A ),且尸为尸短的中点，所以AF_LP.CZ)cPD=D,CZ),PDu平面PCD,所以AF_L平面PC。，所以A尸是平面PCD的一个法向量.r m-AF cos)n,Ar=；-)=-网 M 7-答案第10页，共 14页由题设，二面角B-F C-尸的平面

21、角为锐角，所以二面角8-F C-P的余弦值为也.719.y=x(2)证明见解析(3)3个)4噌),证 明 见 解 析【分析】(1)求导得切点处的斜率，即可求解直线方程，(2)求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，(3)构造函数(幻=/鱼,xe(O,+),利用导数确定单调性，结 合(2)的结论即可求解.X【详解】(1)/)=1+411万,所以7(0)=0,/(0)=1.所以曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y=X.(2)由题设，(x)=x(el+sinx)-(er-cosA-)=(x-l)er+xsinx+cosx.所以 g()=x(e*+cos x).当 X0 时，因为 e+

22、cosxe。+cosx=1+cosx20,所以，。)。.所以g(X)在(0,+8)上单调递增.I扪呜证明如下：设例)=忠,XG(0,+O0).X则 (x)=x驾.X 3 C由(2)知g(x)在(0,+oo)上单调递增,所以g(x)g(0)=0.所以/x)0,即/?(x)在(0,+8)上单调递增.所 以 哈|咽，即3他呜.20.(l)x =+3【分析】(1)根据题意可知点A B关于x轴对称且Q 4,0 8,利用勾股定理可得直线A 8的答案第11页，共14页方程为x=土 逅；(2)当直线AB的斜率不存在时，缁=6,直线AB的斜率存在时，联立直线y=云+机和椭圆方程再根据OA OB可得3*=2公+2

23、,即 病2 1,再 由 湍“我 求出点N(答 ，普D，代入椭圆方程即可得42=3-，即 可 求 得 端;的取值范围为2F+1 2F+1 nr 0M 手6【详解】(1)当直线A 8与X轴垂直时，设其方程为X=-血 r 0,得m2 0.则。m nn =?2 0n4r +。m功u=i今 占+如%+%)-=Ih(n涉A，*m)A.乙 乙 乙K 1 乙K 1将N(音 ，著?)代入椭圆C的方程，得病外=2公+1.2k1+2&2+1答案第12页，共14页所以 m2A2=3/w2 1,即几2 =3-.m因 为 疝2 2,所以3w/l23,即且3 2 2综 上 黑 的取值范围是 乎.2 1.(1)具有，理由见解

24、析(2)存在，证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据集合具有性质7(，P)的特征，即可根据集合A中的元素进行检验求解，(2)假设集合A具有性质7(4,P),分别考虑p=1,2,3,4时，集合A中的元素，即可根据7(,P)的定义求解.(3)根据假设存在，使得C/3P+1,考虑当q=时以及p +lW c,(l,l,0)=l x l +l x l +0 x0=2,同理(1,0,1)=(0,U (O,1,1)=2.X(l,1,0)(1,0,1)=l x l+1 x 0 +0 x l=l ,同理(1,1,0 (0,1,1)=(1,0,1 (0,1,1)=1.所以集合4=(1,1,0),(1,0,1

25、),(0,1,1)具有性质 7(3,2).(2)当=4时，集合A中的元素个数为4.由题设p e 0,1 2 3,4 .假设集合A具有性质T(4,0，则当 p=0时，A=(0,0,0,0),矛盾.当 P=1 时,A=(1,(),(),(),(),1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),不具有性质 T(4,l),矛盾.当 p=2 时，A(l,l,0,0),(l,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1).因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A中；(1,0,1,0)和(0,1,(U)至多一个在A中；(1,0,0,1)和(

26、0,1,1,0)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4,矛盾.当 P=3 时,A=(l,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),不具有性质 7(4,3),矛盾.当夕=4时，A=(1,1,1,1),矛盾.综上，不存在具有性质7(4,P)的集合A.(3 )记C,=%+a +L +tj(j=1)2,L,n),则 q +q+L +c”=叩.若 P=0,则 A=Q0,L,0),矛盾.若 p=l,则 4=(l,0,0,L,0),矛 盾.故 p N 2.答案第13页，共14页假 设 存 在 吏 得P+1,不妨设j =l,即QNp+1.当 C1 =时，有 Cj=0 或 C

27、)=1 (/=2,3,L,)成立.所以L ,%中分量为1的个数至多有n +(-l)=2 n-l 2 n n p .当p +lW q”时，不妨设小=5=L =%j=l,%=0.因为a j a“=,所以%的各分量有。个1,不妨设4 2 =*=L =九,用=1.由时，可知，V g e 2,3,L,p +l,%,L山二中至多有1个1,即a”/，L,P+1的前p +1个分量中，至多含有p +l +p =2 p +l个1.又a,%=1 (i =l,2,L,p +l),则 a”a”L,a”的前 p +1 个分量中，含有(P +l)+(P +l)=2 0 +2个1,矛盾.所以。W p (J=1,2,L.因为q+c?+L+%=叩，所以。=P O=L2,L ,).所以 +L+tnJ=p(j=1,2,L,n).【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.答案第1 4页，共1 4页