广东省2022-2023年高三数学期末试卷汇编09：数列解析版.pdf

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1、广东省2022-2023年高三数学期末试卷分类汇编专题09：数列解析版一、单选1.（广 东 省 五 校 期 末 试 题）已 知 数 列%的 前 项 和 组 成 的 数 列 S,满 足5=1,$2=5,5“+2-35,用+25“=。，则数列4 的通项公式为（）A.=2 Tl,n=lC aT,n2【答案】C【解析】l,n=lB.an-s .2n-+2,n2D.a“=2【分析】首先计算得q=1，4=4,故可排除A,D：由S+2-3S“M+2 S =0,得。,+2=为用，从而得数列 4 从第2项起成等比数列，首项为4,公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】解：因为5=1,52=5

2、,所以。=耳=1,a2=S2-St=4,故可排除A,D；又因为 Sll+2-3S”+|+2S =0,所以 Sn+2 Sn+l=2（5n+l Sn）,即 4+2=ZM，a、4.又因为2=;=4,q 1所以 当 心2时，数列 4 是首项为4,公比为2的等比数列,所以 4 =4x 2 2=2,n-所以7故选：C.2.（汕头市高三期末试题）已知等差数列 ,且3 3 +%）+2 3+%+%）=48,则数列 4 的前13项之和为（）A.24 B.39 C.104 D.52【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质化简已知条件可得出+。的值，再由等差数列前项和等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性

3、质可得：/+。5 =2 4，%+4o+。1 3 =3。|0，所以由3（q +6）+2（/+4 0+%）=48“得：3x2a4+2x310=48,解得：4+4 0=8，所以数列%的前13项之和为c_ 13（q+03）_ 13（04+4o）_ 1 3 _ ，记4 =，2）2）为了让4 越大，显然需考虑人为偶数，令Z =2，QEN）,结合指数函数的单调性，则4=（；=；（=；即.类似的=4324%）*=一2，（42-1 g）=l，0+2=4。2 33a4为）*=；（；）=（|1,则 可 是递增数列D.若4 （）,则 S,是递增数列【答案】AB【解析】【分析】先将%的通项公式写出，再按照有关定义逐项分

4、析.-an【详解】由题意，a“=a 0T ,S.=q J-；、-q对于A,片;如 年 广，所以 叫是首项为a；,公比为始 的等比数列，正确；对于B,因为“。一1,%+4 2 =q，）+q =4Z11 0（l +）,6rI 2+6 3=q q （1+力&+4=4 4（1+），（4 2+阳）2 =煽/（1+4）,（即+4 2）（4 3+4 4）=加/（1+疗,（出+阳=（4 +42）（。1 3 +%）0 0 ,=，它们成等比数列，正确；4 l+Q 2 QJ2+Q|3对于 C,若 4 ,则 a“+1 a“=%f a i =q/T（q -l）V 0,4为递减数列，错误；对于 D,S+l-Sn=-（i-

5、qn+-l+qn）aqn,若 q 0,贝（5川一5”0,S+l Sn,-qx/s j是递减数列，错误.故选：AB.6.（清远市高三期末试题）我国古代数学著作 算法统宗中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确 的 是（）A.d=1 5B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人有连续的三天共行走了三百九十里【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案

6、.【详解】由题意设此人第一天走q里，第 天走。“里，。“是等差数列，%=100,S 9 =9 4+3 6 4 =9 00+3 6 4 =126 0,4 =10,A 选项错误.%=4 +2d =100+20=120 里，B 选项正确.S:=7 0+21d =9 1()里，C选项正确.+。4 +。5 =3。4 =390,所以 D 选项正确.故选：BCD7.（惠州市高三期末试题）设数列 a,的前项和为S“，若存在实数A,使得对于任意的eN*，|S|A,则称数列 4,为“T数列”.则以下数列 a,为“T数列”的 是（）A.%是等差数列，且“。，公差d0B.a,是等比数列，且公比9满足|同1 +2C C

7、=（+i）2+iD.q=l,。“+2+（_1）%,=。【答案】BC【解析】【分析】求出数列的前项和s“，然后判断对|S j,有无正实数A，使得1sli 0,公差d 0,则S“,是关于的二次函数,当 f+R时,+8,对于任意的eN*在实数A,使得|S,JA恒成立，所以数列,不是“T数列”.都有不存B中，若 q 是等比数列，且公比 满足|同1,则闻=4(1-夕”)1-74 ayqnl-q q工4 *-q -q22则数列 4是“T数列”.D 中,在数列%中，4=1,a+2+(-l)nan=0,当是奇数时，。“+2一%=0，数列 4中奇数项构成常数列，且各项均为1;当是偶数时，%+2+/=，即任意两个

8、连续偶数项和为0，则对于任意的 e N*,54=In,不存在实数A,使得|S.|O D a9 0）,由导数确定函数的单调性，然 后 确 定 的 值，再求和.【详解】设（x）=l n x +2-x（x 0）,则”（无）=-,0 c x 0,x l 时,（x）0,0,（4）O,l n x+2 l n X o+2=%）,所以当a“e l,玉）时，an an+i x0,a-,a2=2,q-I n 2+2 2.6 9 3 1,a4 l n 2.6 9 3 1+2 0.8 +2 e,所以%I n e +2 3 ,综上，=%=&=2,6 =&=T-=3,所以 7；=1+2x 3 +3 x 2019 =6 0

9、6 4.故答案为：6 06 4.四、简答题13.（广东省五校期末试题）已知数列A:q,%，%，满足=0,忖+1|=%+1|（i =L 2,n,）,数列A前 项和记为S .（1）写出S 3的最大值和最小值;（2）是否存在数列4使得S 2 0 2 2 =1 0 1 1?如果存在，写出此时0 2 3的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）S 3的最大值为3,最小值为-1（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用4=0与递推公式求出出,的的可能值，从而求出S 3的可能值，得到最大值与最小值；（2）|%|=何+1|两边平方后，根据a a2+%-=（。-+。2-+%_ ）+2（囚 +4+。._

10、）+1 推出=2 S“_ 1 +-1 ,从而求2 2 0 2 2 +2 0 2 2 =4 0 4 4,结合4为整数，方程无解，故不存在数列4使得S 2。?？=1。口-【小问1详解】因为4 =0,B+J =k +l|（i=l,2,n,）,所 以 同=|%+1|=1，解得4=1或T，取4=1，则 同=|。2+1|=2,解得=2或-2,取。2=-1，则同=|“2 +1|=。,解得：%=。，所以 5 3=0 +1 +2 =3 或 5 3=0 +1-2 =-1或5 3=0-1 +0 =-1故S 3最大值为3最小值为-1；【小问2详解】因为4 =0,=（1 =1,2,，2）,所以 为 整 数,两 边 平

11、方 得:4 2+2 q+l =q/,故 Q+%+.+a；=0 +2 q +1）+（生+2 t 2 2 +1）+.+2 _1+1）=（2+2 +,+q _：）+2（%+%+4 _ ）+-1,所以 为2=2S,T+一 1,若存在数列 4 使得 52 0 2 2=1 0 1 1 ,则 a2 0 2 32=2 s2022+2 0 2 2 =4 0 4 4 ,又&0 2 3为整数，所以方程无解，故不存在数列4使得52 0 2 2=1 0 1 1.1 4.（深圳市南山区期末试题）设数列 凡 的前项和为S“，且S”=2 a“-2（e N*）.（1）求 4的通项公式；（2）设/-:-，记 2的 前 项 和 为

12、 证 明：1.l o g?c tn-l o g2 an+x【答案】（1）4 =2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用4=5,-5,T计算整理得4=2%_一 再利用等比数列的通项公式求解即可;（2）将幻变形为a=4-,利用裂项相消法求】，进一步观察证明不等式.n n+【小问1详解】5“=2%-2（“e N*）,.当2 2时，S“T=2 a,z 2 ,-得=2%-2%,即4=2%,又当”=1 时，4=5 =2。-2,解得 q=2,二数列 4是以2为首项，2为公比的等比数列，an -2 ；【小问2详解】,1 1 1 1由（1）得白,=工-布%-0 =（,1 =-T,l o g2 2 l o g

13、2 2 +n n +1.工=11-1-1-1-1 H-1-1-=1t-1-，223 n n+n+1因 为 而 0,Tn 0,所以-=2,乂一=1,4+1 4 4所以数列，是首项为1,公差为2的等差数列，l J所以，=1 +2（-1）=2 -1,则数列%的通项公式为4=五.【小问2详解】由（1）可得%=%。向=（4-3）；4 +1）=!（六一熹）所以4-3 4 +1解得z =8）=为-3=品则-=4 m+1 33111 7.（汕头市高三期末试题）已知数列%的前。项积为（，且a“+27；=1,e N*.（1）求证：数 列 是 等 差 数 列;（2）求数列 I n q j的前项和S”.【答案】（1）

14、答案见解析（2）S=I n -2几 +1【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解;（2）利用裂项相消法即可求解.【小问1详解】数列 4的前n项积为7.7 J=q,Tn-aa2an,Tn+-aa2an+%=冬%+2 1=1，=I 时，4 +2 Tl=1，即 4 +2 a-1,解得 7 j =4=an+2&=1:冬 +2&i=L 即 5=2,1故数列，是以士=3为首项，以2为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知 =3 +（一l）x 2=2+l,1 n1所以（=7,所以4,=白=2淤=含2 +1 Tn_ 2 +12几 一1?n-1因此，ln a =ln =ln（2/2-l）-ln（2n

15、+l）,所以 S =In 4+In g +In a3+一+In an,即 SH=lnl-ln3+ln3-ln5+ln5-ln7+-+ln(2-l)-ln(2 +l)化简得：S=ln1.2 +lc 11 8.(清远市高三期末试题)已知数列 4 的前项和为S“，q=2,j2-是公比为g的等比数歹ij.(1)求%的通项公式；(2)记4,”l og,an+log中,an+7+。“，求数列也 的前项和4.(log2-log2,1+1)【答案】（1）an=2(2)I,=2+l-(+if【解析】【分析】（1）山2-2 是公比为 的等比数列，可得S“=a“（2-白），再根据S“与a,的关系可求得%的通项公式;

16、（2）根 据（1）中结果得，按照分组求和方法结合裂项求和与等比数列求和公式即可得7；.【小问1详解】c S解：因为2-卜是公比为;的等比数列，其首项为2-L=2-l=l,2 4当 22 时，S“_|,则 减 去 得：S-5,.1=an 2-an_t 2-即-击)整理得,所以会=2,k 2 J 2；2l 22，i所以数列 4 是以q=2为首项，2为公比的等比数列,故 见=2x2T=2.【小问2详解】、解：由 可做=普 当 担 空 哄（log2a-log2+I）2n+l所以=4+4+4+.+勿=（一齐）+（封一？+21)/1+2=口n1+1)+2，ITI 、+1)1-+2-2),+11-2=1-二

17、-2+2 e=2(+1)丁119.1 2（惠州市高三期末试题）己知数列 凡 满足3a,用=a+,q=,设2 =3”.(1)证明：d 为等差数列;(2)求数列 q 的前项和S”.【答案】（1）证明见解析；（2）2-2芋4 4.3【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，证明“用一为常数，即可得到答案;（2）求出数列 q 的通项公式，再利用错位相减法求和;【详解】(1)3a向=a +n 3 -a m=3 +ln%d =l,4 为等差数列;(2)4=3吗=2,:,bn=2+(n 1)=n+1,n+lan=S“O|+U，2 +,+O，n2C 1 1-C3-1 +(/+1,、)1,3 32 3 32 2

18、 1得：；S=7+-y+3 3 32,八1+(+1犯，C 1 C 12于+3至+.+-(+1)33 3-（+1）击，S,5 2+54 4.32 0.（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知正项数列%的前n项和为S“，4S“=q；+2a”.（1）求数列%的通项公式；3 2”1（2）设.次 数列也 的前。项 和 为 人 证明：Tn0,“一%=2,又当 =1 时，4=4S=a；+2q,解得=2,二数列%是以2为首项，2为公差的等差数列，an=2 n-【小问2详解】由（1）得14,+|-1./=1-1-1-1 1 I 1 11-1-=-“4-1 42-1 42-1 43-1 4n-l 4,+|-1 3

19、 4,+|-14向 1.即一J 0T 1-0.T 2),进 而 得=-2 a(n2),当 =1 时，3 S =2q +1,故 q =1,所以数列%是以首项为1，公比为一2的等比数列，所以(2广【小问2详解】当为奇数时，“=2T,且。”0,当为偶数时，4=-2 1,且 怎 _%+%2 2当 =1时，=4，因此也 的前20项和4 0=4+(4+&+49)+(62+64+4+匕2 0)=%+/；生+/；。4 +9 18妇女生口+也!氏 S19+S2 0_ l Sl9+S19+20+1 (-2)192 2 2+=2=与十万+丁-臼+-1+2 2 2 62 2.(梅州市平原县高三期末试题)设数列%满足：

20、对任意正整数。，有4+空+券=”-(1)求数列。“的通项公式；(2)求数列(的前“项和1.【详解】(1)当=1时，求得q=1,当“2 2 时，(卬+墨+1 +券)一(+今+强+患)=券=_(”_ 1)=1，得 券=1，即4 =2”、经验证可知4=1 也满足上式，所以%的通项公式为4,=2，(2)根 据 第(1)问有4 =2 j 因为数列 4 的前。项 和 则 有：7；,=1X20+2X2+3X22+n-2-,两边同乘以2 可得：27；1=1X2+2X22+3X23+L+n-2,两式相减得：1-7；,=2+2+22+23+2T-w-2=y y-n-2 ,从而有：2.23.(佛山市高三期末试题)公

21、差不为。的等差数列 q 的前项和为5“，且满足的=10,生，%，生 成等比数列.（1）求%的前n 项和S,；2（2）记 勿=获，求数列 a 的前。项和2 4.（梅州市平原县高三期末试题）已知正项数列 为 的前项和为S“，且满足2 5“=4+%.求数列 叫 的通项公式；4（2）设2=-，数列色 的 前 项 和 为 证 明：7；0,则q=l：当“2 2 时，2 Sn=a；+an,2 S,两式相减，整理可得（4 +%）（。“-%T）=0，又 为正项数列，故可得4-的=1,所以数列 4 是以4=1为首项，d =l为公差的等差数列，所以4,=.4 2 2证明：由（1）可知/=，所以，=而 可 二 厂 而

22、 工，1 x 3 2 x 4 3 x 5 （+2）_ 2 _ 2 2 _ 2 2 _ 2 2 _ 2 2_ 2 _2_ _ _ _ _ 2 _ 2 _ 21 3 2 4 3 5 4 6 n-2 n 几 一 1 几+1 n +2=2 +1-2 23,所以（3 成立.2 5.（梅州市大埔县高三期末试题）已 知 数 列 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列，的=1，且存在实数；I满 足2 an+i =Xan+4,n e N+.（1）求；I的值及通项an；（2）求数列的前几 项和右.【解析】（1）设等差数列 的公差为d,由 2。+4（EN*）.,得 2/=叫 i+4（e N*,2）,.2 分-,

23、得2 d =2 d,又因为d-0,解得入=2,.4分将入=2 代入口，可得册+i -an=2,即d =2,-5分又因为%=1,所以册=l+（n l）x 2 =2 n 1.-6 分（2）由（1）可得 a z n-n n Z Q -的-l n Z H l-Q/l +l）,-7 分一 /2 3+i r i 4 0-2),?(3+2+1)所以 5“=Q 2+23+.+2M)-3+5+(2 +1)=-L1-2 2.g 分=2n+2-n2-2 n-4.10 分2 6.(江门市高三期末试卷)已知数列 4 是等差数列，其前0 项和为4，%=15,4=6 3；数列也 的前项和为纥，2纥=3 -3(eN).(1)

24、求数列%,也,的通项公式;(2)求数列，:)的 前 项 和 S.；IA.J0 3 2 +3【答案】(1)“2 +1,2=3 S,七一刊而(1)数列 4 是等差数列，设公差为d,%=4+6d=154 子+等d=6 3,化简得4+6 4 =15q+3d=9 解得=3,d=2,a=2n+,1.由已知2纥=32,-3,当刀=1时,2 4=3 4-3 =2 4,解得4=3,当2 2 时，2B“T=3b“_3,2纥-2纥_ 产(3 2-3)-(3%-3)=3-3如，W GN*,即2 =3%,数列 以 构成首项为3,公比为3 的等比数列,wN*.(2)由(1)可得4 =3；)=(3+:+1)=(+2),eN*,1 _ 1 _ _ _ 4 (+2)2 n A 2 4-2 J1S 1 1 1 1 1 11x3 2x4 3x5(一 2)(n-l)(/?+l)(+2)+_ 1 1=3 1(1 1 =3 2 +351 2 n+n+2)4+1 n+2J 4 2(+1)(+2)