初二数学一次函数知识点总结材料.pdf

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1、中考数学资料一次函数知识点总结根本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量.常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量.例题：在匀速运动公式$=印中，V 表示速度,/表示时间，$表示在时间，内 所 走 的 路 程 如 此 变 量 是,常量是,在圆的周长公式C=2 n r 中，变量是,常量是.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y是 x的函数.*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应例题：如下函数 1y=n x y=2 x-1

2、y=错误！y=2-3 x y=x z-1 中，是一次函数的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的X围,叫做这个函数的定义域.4、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时，函数定义域为全体实数；2 关系式含有分式时，分式的分母不等于零；3 关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；4 关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；5 实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.例题：如下函数中，自变量x的取值X围是x，2的 是 J2 2函数 =中自变量x 的取值X围是.函数 =一；x +2,当一1 4 1 时,y的取值X围 是

3、5,335 3 5A.-y B.y C.y -2 2 2 2 2 25、函数的图像一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式.7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列 表 表中给出一些自变量的值与其对应的函数值；第二步：描 点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 ；第三步：连 线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来.8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便

4、,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律.解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示.图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.9、正比例函数与性质一般地,形如y=kx 的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=k x 0 时,直线y=k x 经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大；当 k 0 时,图像经过一、三象限；k 0,y随 x的增大而增大；k x,y 随 x 增大而减小，如此k的 X围 是 K.k 1 C.4 4 1 D.&1东方超市

5、鲜鸡蛋每个0.4元,那么所付款v元与买鲜鸡蛋个数x 个)之间的函数关系式是.平行四边形相邻的两边长为x、y,周长是3 0,如此v与 x的函数关系式是.1 0、一次函数与性质一般地,形如y=k x+b,那么y叫做x 的一次函数.当b=0 时,y=k x+b 即 y=k x,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=k x+b 0 时，向上平移；当 b 2 必过点：0,b 和 -g,0 3走向：k0,图象经过第一、三象限；k0,图象经过第一、二象限；b。=直线经过第一 二 三象限 0心。直线经过第一 三、四象限k。0直线经过第一、二 四象限伏0.y随x的增大而增大;k0时,将直

6、线y=kx的图象向上平移b个单位;当b0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.例题：假如关于X的函数y=5 +l)x-i是一次函数,如此w,n.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的答案是 J将直线y=3 x向下平移5个单位,得到直线；将直线y=-x-5向上平移5个单位，得到直线.假如直线y=-X +a和直线y=x+b的交点坐标为,如此a+b函数y=3x+1,当自变量增加m时,相应的函数值增加A.3mHB.3m C.mD.3 m-111、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函

7、数的图f,0象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：o,b)A.即横坐标或纵坐标为0的点.经过第二、四象限假如m 0 时,向上平移；当 b 0 或 ax+b +b=y+k m,k m/m=k.2.当 x=0 时,b为函数在y轴上的点，坐标为.3当 b=0 时 ,一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.4.在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k 一样,b也一样时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k 一样，b不一样时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不一样，b不一样时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k

8、 不一样，b 一样时，两一次函数图像交于y 轴上的同一点 0,b .假如两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=K X+b k,b为常数，k不等于0 如此称v是 x的一次函数图像性质1 .作法与图形：通过如下3个步骤：(1 列表.2 描点；一般取两个点，根据 两点确定一条直线的道理，也可叫两点法.一般的y=k x+b .2 一次函数与V轴交点的坐标总是 0.b ,与 x轴总是交于-b/k,0 正比例函数的图像都是过原点.3 .函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.4 .k,b与函数图像所在曼里：y=k x 时 即 b等于0,y与 x成正比例：当 k 0 时，直线必通过第一、三象限，

9、y随 x的增大而增大；当 k 0,b 0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k 0,b 0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当 k 0,这时此函数的图象经过第一、二、四 象 限；当 k 0,b 0 时，直线必通过第一、二 象 限；当 b 0 时，直线只通过第一 三象限，不会通过第二 四 象 限.当 k 。时，直线只通过第 二、四象限，不会通过第一、三象限.4、特殊位置关系：当平面直角坐标 系 中两直线平行时，其 函 数 解 析 式 中 K值 即一次项系数相等当平面直角坐标系中两直线垂直时，其 函 数 解 析 式 中 K值 互 为 负 倒 数 即 两 个 K值的乘积为7 点 斜 式

10、 y-y 1=k x-x 1 k为直线斜率，为该直线所过的一个点两点式 /=/直 线 上 x 1,y 1 与 x 2,y 3 两 点 截距式 a、b分 别 为 直 线 在 x、y轴 上 的 截 距 实 用 型 由实际问题来做用公式1 .求函数图像的k 值：y 1-y 2 /x 1-x 2 2 .求与x 轴平行线段的中点：|x 1-x 2|/23 .求与y 轴平行线段的中点：|y 1-y 2|/24 .求任意线段的长：J x 1-x 2 k 2+-2 注:根 号 下 x 1-x 2 与 y 1-y 2 的平方和5 .求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两一次函数 y 1=k 1 x+b 1

11、y 2=k 2 x+b 2 令 y 1=y 2 得 k 1 x+b 1 =k 2 x+b 2 将解得的 x=x 0 值代回 y 1 =k 1 x+b 1y 2=k 2 x+b 2 两式任一式得到y=y 0 如此 即 为y1=k 1 x+b 1 与y2=k 2 x+b 2 交点坐标6 .求任意2点所连线段的中点坐标：x 1+x 2/2,y 1+y 2/2 7 .求任意2点的连线的一次函数解析式：X-x 1/=/其中分母为0,如此分子为0 x y+,+正，正在第一象限-+负，正在第二象限-负，负在第三象限+正，负在第四象限8.假如两条直线 y 1=k 1 x+b 1 y 2=k 2 x+b 2,那

12、么 k 1=k 2,b 1 *b 29.如两条直线 y 1=k 1 x+b 1 y 2=k 2 x+b 2,那么 k 1 X k 2=-11 0.y=k x-n+b就是向右平移n个单位y=kx+n+b就是向左平移n个单位一次函数的平移口诀：右 减 左 加 对 于y=k x+b来说，只 改 变by=k x+b+n就是向上平移n个单位y=k x+b-n就是向下平移n个单位口诀：上 加 下 减 对 于y=k x+b来说，只 改 变b相关应用生活中的应用1.当时间t 一定，距 离S是 速 度V的一次函数.s=v t.2 .当水池抽水速度f 一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数.设水池中原有水量S.

13、g=S-f t.3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=k x+bk为任意正数数学问题一、确定字母系数的取值X围例1正 比 例 函 数，如 此 当k 0时,y随x的增大而减小.解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m y2,如 此x 1与x 2的大 小 关 系 是 A.x 1x 2 B.x 10,且y1y2.根据一次函数的性质 当k 0时，y随x的增大而增大，得x 1x 2.应 当 选 A.三、判断函数图象的位置例 3.一次函数丫=1+13满 足 kb0,且 y 随 x 的增大而减小，如此此函数的图象不经过 A.第 一 象 限 B.第二象限

14、C.第 三 象 限 D.第四象限解：由 kb0,知 k、b 同号.因为y 随 x 的增大而减小，所 以 k0.所 以 b0.故 一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.应当选A.典型例题例 1.一个弹簧，不 挂 物 体 时 长 12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.如果 挂 上 3kg物体后，弹 簧 总 长 是 13.5cm,求弹簧总长是y与所挂物体质量x之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm,求 自 变 量 x 的 取 值 X 围.分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长

15、的长度之和，而自变量的取值X 围如此可由最大总长T最大伸长T最大质量与实际的思路来处理.解：由题意设所求函数为y=kx+12如此 13.5=3k+12,得 k=0.5所求函数解析式为y=0.5x+12由 23=0.5x+12 得：x=2.2自变量x 的 取 值 X 围 是 0WxW2.2例 2 某学校需刻录一些电脑光盘，假如到电脑公司刻录，每 X 需 8 元，假如学校自刻，除租用刻录机120元外，每 X 还需本钱4 元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？此题要考虑X 的 X 围解：设总费用为Y 元，刻 录 XX电脑公司：Y1=8X学 校：Y2=4X+120当 X=30 时，Y

16、1=Y2当 X30 时，Y1Y2当 X 0,如 此 可 以 列 方 程 组-2 k+b=-1 16 k+b=9一6 2 假 如 k 0,如 此 y随 x的增大而增大；假 如 k 0,如 此 y随 x的增大而减小.综 合 测 试一、选择题：1 .假 如 正 比 例 函 数 y=k x 的图象经过一、三象限，如 此 k的 取 值 X 围 是 *0 B.k 0 D.k 为任意值2 .一根蜡烛长2 0 c m,点燃后每小时燃烧5c m,燃烧时剩下的高度y c m 与燃烧时间x 小时的函数关系用图象表示为 3 .市 一 次 函 数 的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 A.第 一 象 限 B.第 二

17、象 限 C.第 三 象 限 D.第四象限4 .某某省课改实验区直 线 与 x轴、y轴所围成的三角形的面积为 A.3 B.6 C.D.5.某某省一 次 函 数 的 大 致 图 象 是 二、填空题：1.假如一次函数y=k x+b 的图象经过 0.1 和 一1,3 两点，如此此函数的解析式为.2.2 0 0 6 年 市 中 考 题 假 如 正 比 例 函 数 y=k x 的 图 象 经 过 点 1,2，如此此函数的解析式为一次函数的图象与y轴 的 交 点 为 0.一3，且与坐标轴围成的三角形的面积为6,求这个一次函数的解析式.四、某某市课改实验区某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械

18、效率n和海拔高度h （，单 位 k m 的函数关系式如以下图.1 请你根据图象写出机车的机械效率n和海拔高度h k m 的函数关系；2 求 在 海 拔 3 k m 的高度运行时，该机车的机械效率为多少？五、某某省某某市如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高0 D 为 1.5 5 米，双方场地的长0 A=0 B=6.7 米 .羽毛球运动员在离球网5米 的 点 C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且 D E 为 0.0 5 米，刚好落在对方场地点B处.1 求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；2 在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度F C 为多少米？结果准确到0.1 米

19、综合测试答案一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.A 5.B二、填空题：1.y=-2 x+1 2.y=2 x三、分析：一次函数的解析式y=k x+b 有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比拟明显，即 图 象 和 y轴的交点的纵坐标是一3,另一个条件比拟隐蔽，需从”和坐标轴围成的面积为6确定.解：设一次函数的解析式为y=k x+b,函数图象和y轴的交点的纵坐标是一3,函 数 的 解 析 式 为.求这个函数图象与X轴的交点，即解方程组：得即 交 点 坐 标 为 ，0 由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6,由三角形面积公式，得这个一次函数的解析式为四、解：

20、1 由图象可知，与 h的函数关系为一次函数设.,此函数图象经过 0,4 0%，5,2 0%两点解得 2 当 h=3 k m 时，,当机车运行在海拔高度为3 k m 的时候，该机车的机械效率为2 8%五、解：1 依题意，设 直 线 B F 为 y=k x+b.-0 D=1.5 5,D E=0.0 5即 点 E的 坐 标 为 0,1.6 又0 A=0 B=6.7，点 B的 坐 标 为 一6.7,0 由于直线经过点E 0,1.6）和 点 B 一6.7,0，得解 得，即：2 设 点 F的 坐 标 为 5,，如 此 当 x=5 时，如 此 F C=2.8在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.

21、8米常见题型常见题型一次函数与其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容.其中求一次函数解析式就是一类常见题型.现以局部中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型.希望对大家的学习有所帮助.定 义 型 例 1.函 数 是 一 次 函 数，求 其 解 析 式.解：由 一 次 函 数 定 义 知，故一次函数的解析式为注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证.如本例中应保证二.点 斜 型 例 2.一次函数 的图像过点 2,一1，求 这 个 函 数 的 解 析 式.解：一次函数 的图像过点 2,一1 ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：一 次 函 数，当 时,

22、y=-1,求这个函数的解析式.三.两 点 型 某个一次函数的图像与X轴、y轴的交点坐标分别是 一2,0 、0,4，如此这个函数的解析式为,解：设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四.图 像 型 例 4.某个一次函数的图像如以下图，如 此 该 函 数 的 解 析 式 为.解：设一次函数 解 析 式 为 由 图 可 知 一 次 函 数 的 图 像 过 点 1,0 、0,2 有故这个一次函数的解析式为五.斜 截 型 例 5.直线 与直线 平行，且 在 y轴上的截距为2,如此直线的解析式为.解析：两 条 直 线：；：.当，时，直 线 与 直 线 平 行，.又 直 线 在 y轴 上 的 截

23、 距 为 2,故直线的解析式为六.平 移 型 例&把 直 线 向 下 平 移 2个 单 位 得 到 的 图 像 解 析 式 为.解 析：设函数解析式 为，直 线 向 下 平 移 2个 单 位 得 到 的 直 线 与 直 线 平 行 直 线 在 y轴 上 的 截 距 为，故图像解析式为七.实 际 应 用 型 例 7.某 油 箱 中 存 油 2 0升，油从管道中匀速流出，流 速 为 0.2 升/分钟，如此油箱中剩油量Q 升 与流出时间t 分 钟 的函数关系式为.解：由 题 意 得，即 故所求函数 的 解 析 式 为 注意：某某际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值X围.八.面积型 例 8.直线

24、 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,如此直线解析式为.解：易求得直线与x轴 交 点 为 ，0，所 以，所 以，即 故直线解析式为 或九.对 称 型 假 如 直 线 与 直 线 关 于 1x轴对称，如 此 直 线 I的 解 析 式 为 2 y轴对称，如此直线 I 的 解 析 式 为 3 直 线 y=x 对称，如 此 直 线 I 的 解 析 式 为 4 直线 对称，如 此 直 线 I 的 解 析 式 为 5 原点对称，如 此 直 线 I的 解 析 式 为 例 9.假 如 直 线 I与 直 线 关 于 y轴对称，如 此 直 线 I的解析式为.解：由 2 得 直 线 I 的解析式为十.开 放 型 例

25、 1 0.函数的图像过点A 1.4，B 2,2 两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并 简 要 说 明 解 答 过 程.解：1假 如 经 过 A、B两点的函数图像是直线，由 两 点 式 易 得 2 由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所 以 经 过 A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解 析 式 为 3 其它 略 H一,几何型 例 1 1.如图，在平面直角坐标系中，A、B是 x轴上的两点，以 A O、B 0 为直径的半圆分 别 交 A C、B C 于 E、F两点，假 如 C点的坐标为 0,3.1 求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；2 求图像过点E、F的 一

26、次函数的解析式.解：1 由直角三角形的知识易得点A，0 、B，0，由待定系数法可求得二次函数解析式为，对 称 轴 是 2 连 结 0 E、0 F,如 此、.过 E、F分别作 x、y轴的垂线，垂 足 为 M、N、P、G,易 求 得 E ，、F，由待定系数法可求得一次函数解析式为十 二.方 程 型 例 1 2.假如方程 的 两 根 分 别 为，求 经 过 点 P ，和 Q，的一次函数图像的解析式 解：由根与系数的关系得 一 点 P 11,3 、Q 一11,11 设 过 点 P、Q的一次函数的解析式为 如此有解得故这个一次函数的解析式为十 三.综 合 型 例 1 3.抛物线 的 顶 点 D在双曲线

27、上，直线 经 过 点 D和 点 C a、b 且 使 y随 x的增大而减小，a、b满 足 方 程 组，求这条直线的 解 析 式.解：由抛物线 的 顶 点D 在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：，顶 点D 11,一5与 顶 点D 2，一15 解 方 程 组 得，即C 1 一1,一4，C 22,1由题意知C点 就 是C 1 一1,一4，所 以 过C 1、D 1的 直 线 是；过 门、D 2的直线是数学术语.经典例题1在直角坐标系x O Y中，直 线L过和两点，且X与轴、Y轴分别交于A、B求 直 线L的函数解析式；求A A O B的面积.1、y=k x+b如 此3=k+b1=3 k+b所以 k=-1,

28、b=4y=-x+42、y=0,x=4x=0,y=4所以面积=4 X 4 +2=82为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，国家决定对购置彩电的农户实行政府补贴.规定每购置一台彩电，政府补贴假如干元，经调查发现，某市场销售彩电台数y台与政府补贴款额x元之间大致满足如图、该商场销售家电的总收益为8 0000=1 6 0000 元依题意可设 y=k1 x+8 00,Z=k2 x+2 00.有 4 00kl+8 00=1 2 00,2 00k2+2 00=1 6 0,解得 k1=1,k2=-所以 k1=1,k2=-.,.y=x+8 00,z=-x+2 00.W=yz=-2+1 6 2 000政府应将每台补贴款额x定 为1 00元，总收益有最大值.其 最大值为1 6 2 000元.