吉林省白山市2023届高三三模联考数学试题（含答案解析）.pdf

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1、吉林省白山市2023届高三三模联考数学试题学校:姓名：班级:考号：一、单选题1.已知集合4=卜|/8,B=x|l-x =e-l,c=log169 1og27 8,则 瓦 c 的大小关系为()A.彳 B.争C.夜兀 D.2a兀A.c a bB.b a cC.c b aD.b c a6.已知函数 x）=cos（2 x q j,则 f（x）在 2,0 上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增7.已知等比数列%的公比的平方不为l，2 e N*,则“%,是等比数歹，是2是等差数歹 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.在直三棱柱A B C-4 8

2、 G 中，为等边三角形，若三棱柱ABC-的体积为3 v L 则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A.12/rB.6TTC.16 万D.8%二、多选题9.某校抽取了某班2 0 名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.成绩60657075808590人数2335421下列结论正确的是()A.这 20 人成绩的众数为75B.这 20人成绩的极差为30C.这 20人成绩的25%分位数为65D.这 20人成绩的平均数为7510.定义在R上的函数/(x)满 足 才(力-/(力=1,则y=/(x)的图象可能为()11.存在函数f(x),对任意x e R 都有/(g(x)=x,则函数g(x)不可

3、能 为()x2,x 02 0)的右焦点为E (O,3A),若直线/与E 的右支交于 A 8 两点，且 F 为的重心，则()A.E 的离心率的取值范围为孚,6 卜(疯+8)B.E 的离心率的取值范围为得一，百0(+8)试卷第2 页，共 4 页c.直线/斜率的取值范围为卜双-后)q-n,-D.直线/斜率的取值范围为(-8,-#卜-7 6,-三、填空题1 3 .已知 t a n a =3,贝 ll(4)(4 J .sin 2a1 4 .现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为.1 5 .写出一条与圆V+y 2=i和曲线y =/+5 都相切的直线的方程：.1 6

4、 .在正四棱锥S-中，M 为S C 的中点，过 A作截面将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕，则蓝的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.v四、解答题1 7 .已知数列 4“满足+3%+(2-l)a.=.(1)求 4 的通项公式；-,为奇数，已知C.=J1 9a 数列卜”的前20 项和.44+2，”为偶数,1 8.已 知 A B C 的内角A、B、C 所对的边分别为。、b、c,4 cos（B-C）=R gcsinS-4 cosA.(1)求角A；.2 2(2)若 M C 为锐角三角形，且外接圆的半径为G，求空上的取值范围.b1 9.某学校食堂中午和晚上都会提供A

5、8 两种套餐(每人每次只能选择其中一种)，经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为2;，选择B类套餐的概率为：1；在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为!，选择8 类套餐的概率为1；在中午选择B 类套餐的前提下，晚上选择A类 套 餐 的 概 率 为 选 择 8 类套餐的概率为2-(1)若同学甲晚上选择A类套餐，求同学甲中午也选择A类套餐的概率；(2)记某宿舍的4 名同学在晚上选择B类套餐的人数为X ,假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求 X的分布列及数学期望.20 .如 图 1,在一A 8 C 中，AB=AC,的C=,E为 BC 的中点，F 为A 8 上一点,且瓦 _

6、 L A fi.现将A B E F沿 E F 翻折到_ BEF,如图2.证明：EF LAB.(2)已知二面角？-防-A为:，在棱AC 上是否存在点，使得直线B C 与 平 面 f所成角的正弦值为?若存在，确定的位置：若不存在，请说明理由.21 .已知尸是椭圆C：a+&l(ab0)的右焦点，且(，!)在椭圆C 上，依垂直于x 轴.(1)求椭圆(7 的方程.(2)过点F 的直线/交椭圆C 于A,B (异于点P)两点，。为直线/上一点.设直线尸 4 尸 力,尸 8 的斜率分别为人,人，若 勺+勺=2%,证明：点。的横坐标为定值.22.已知函数/(x)=acx-bx-c(0 工2，证明：-1-a-a

7、a试卷第4 页，共 4 页参考答案:1.B【分析】化简集合A，B,根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为A =x|Y 1。85仃=；力=1=1；,c =l o g I691o g 278=：黑 =猾 猾=；,2 e 2 l g 16 l g 27 4 1g 2 3 1g 3 2所以力 c a.故选：D.6.D【分析】根据余弦型函数单调性的求法得出函数/（X）的单调区间，即可得出在-2,0 上的单调性.TT5 乃 7 T【详解】令 2Z 万一）2 x 2k7 T,k&Z 9 得 k 九-二 x k/r+,k e Z ,6 12 12TT jr 77r令 2kn M i x-飞 /3,所以 r%

8、=4,又 W=/+生=生+,令)=_ +,则2 3 4 4 4 /()=?_.=，易知/(/?)的最小值为 2)=3,此 时 尸=3,所以该三棱柱外接球表面积的最小值为121.故选：A.9.A B【分析】对于A,众数是出现次数最多的数；对于B,极差是最大值减最小值；对于C,根据百分位数的计算公式即可；对于D,根据平均数的计算公式即可.【详解】根据表格可知：这 2 0人成绩的众数为7 5,故 A 对；极差为90-60=30,故 B对；2 0 x 2 5%=5,所以 2 5%分位数为;(65+70)=67.5,故 C 错；十口似 60 x 2 +65x 3+70 x 3+75x 5+80 x 4+

9、85x 2 +90 _ .平均数为-二74.故D 错故选：AB10.A C D【分析】根据己知才(x)-x)=l,令x =0,可得/(0)=-1,即函数y=的图象过点(o,-i),当x w o 时，变形为 (x)；/a)=3,根据导数的运算法则可得X X 加即即可得出原函数g=-g +c (C为常数)，即 x)=c x-l,即可对选项进行判断.【详解】当x =0 时，由 矿(x)/(x)=l,得 0)=-1；答案第3 页，共 14页当x#0时，可得矿，(x)=/.,贝(以 =，所 以 犯=-_ L +c (。为常数)，X X所以/(3)=6-1,选项A,C,D分别符合c O,c O,c =O,

10、故选：ACD.11.AC【分析】A C选项利用特殊值的思路判断，B D选项根据题目的要求判断即可.【详解】对于A选项，是奇函数，g(x)=c。讣是偶函数，贝4(g(x)=g(x)=x,矛盾，A不满足条件；对于 B 选项，g(x)=：；，所以/(x)=!E ,故g(x)=：X满足条件;x,x 0 x ,x 0对于C选项，取x =0和x =l,可得 0)=0,/(。)=1,矛盾，C不满足条件；对于 D 选项，g(x)=ev-e-,则/(ev-e f )=x,y=e -e 工，兮 一-5-1 a 3a b当直线/斜率不存在时，AB的中点。在x 轴上，故三点不共线，不符合题意舍，设直线I斜率为kAB，

11、设A（AJ,当）,B（孙力），所以XI+*2=3C,%+%=-36,11-米炉2K齐因为A B 在双曲线上，所以x2-7C T2 2 2 2两式相减可得：%=X二 一 ,a2 b2即（X|-X J（X|+X2）_（口-%）（必+必）?一即有与=-3心 必）成立,即有3告因为不共线,即 A.=一/W褊=一 即c2 H3a2,即e w G，所以后的离心率的取值范围为件，省 卜（6+孙因为即6%（蓝,3）（3,+oo）,答案第5 页，共 14页-G所以=故选：AC【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：（1）设出点的坐标A（X，%

12、）,3（孙 力）；（2）根据中点坐标建立等式：为+9,%+必；（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；（4）将+w，X+以及k=1 A代入等式中即可得出关系.X “213.-3【分析】根据和、差角的正、余弦公式与商数关系式化简即可求解.2sinacosa一 sin?a-cos2 a+2sin a cos a -tan2 a l+2tana4sinacosa故答案为：-g.14.”28【分析】分只有一个班分到名额、恰有两个班分到名额和三个班都分到了名额三种情况求出总的情况，然后利用古典概型求概率的方法求概率即可.【详解】将 6 个三好学生名额分到三个班级，有 3 种类型

13、：第一种是只有一个班分到名额,有 3 种情况；第二种是恰有两个班分到名额，有5C；=15种情况；第三种是三个班都分到了名额，有C；=10种情况.故恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为3+15+10 28故答案为：黑.2815.2缶+y-3 =0（答案不唯一）【分析】设切线/与圆d +y2=l 相切于点（为,%）（%*0）,得到切线/的方程，与 y=x?+5联答案第6 页，共 14页立，由判别式为零求解.【详解】解：设切线/与圆x2+y2=i相切于点（为,券）（为中0）,则x；+y；=l,切 线/的 方 程 为=,即/+。=1,将/+3%=1与=丁+5联立，可 得 先/+.0+5%-1=（）,

14、令=君 一 4%（5%-1）=0,2&2&4 g4石xo，xo=-7-，xo=j%=-联立解得，3或3或或，71111h=3卜，所以切线/的方程为2岳+），-3 =0 或 2应 x-y +3=0 或4百x-y-7 =0 或40 x+y+7=0.故答案为：2立 x+y-3 =0（答案不唯一）16.2【分析】根据给定条件，作出过AM 的正四棱锥S-ABCD的截面，再求出的表达式并结合均值不等式求解作答.【详解】记正四棱锥S-A B 8 的体积为V,的最大值，由乂+%=丫为定值知，只需求K的最小值，设过A M的截面分别交S B和S D于瓦F,平面SAC与平面SB。的交线为SO,SO与 4 0 相交于

15、G,如图,SFX=S-AFM+S-AEM=F-SAM+E-SAMD-SAM+B-SAM SE+S F,即有-!-+-L=l,3x 3y 1 3x 3ySD答案第7 页，共 14页1 1 V V 1 1 V y X V2 2 4 4 3 x 3 y 1 2 x y 42 匕二f=-1 2）,上述两式作差可得 =不 二（葭 2 2）,2 一 1因为4 =1 满足=T-1，所以%的通项公式为勺=不 二.27?-1 2-1与，为奇数（2）=），（2 7）（2 +产数所以 G+C 3+0,=1 +5+9；+37=（二1”=i o,1 1 1 I f 1 1 1 1 1 1 10C,+g +-+C,n =

16、-1-F d-=-1-F H-I=.-3x7 7x11 39x43 4（3 7 7 11 39 43 J 129答案第8 页，共 14页所以数列%的前20项 和 为 罂.7118.(l)y【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到asinBsinC=GcsinBcosA，再由正弦定理将边化角，即可求出lan A,从而得解；（2）利用正弦定理得到=3,8=2 瓜 in B,即 可 得 到 土 =2 6（sinB+7 三 ,由三角形为锐角三角形得到B 的取值范围，即可得到sinB 的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.【详解】（1）解:因 为 cos（3-C）=（26csin3-永 osA,可得6

17、fcos（B-C）+QCOSA=2石 csinBcosA,贝 ij 6tcos（B-C）-6fcos（B+C）=2V3csinBcosA,所以 6/COSBCOSC+sinBsinC-。（cos3cosc-sinBsinC）=2百csinbcosA,即 iZsinBsinC=csinBcosA,由正弦定理得 sin AsinBsinC=g s in CsinBcosA,显然sinC 0,sin B 0,所以sinA=GcosA,所以tanA=G，因为Aw（O,兀），所以A 4.ha 二 b rr（2）解：因 为=2 6，即 二 一 而 一，sinA smB sin 所以。=3,b=2/3sin

18、B 所 以 丝 二=+=2 瓜 由 3+-=2 目 sinB+二 ,b h 2sinB(4sinB Jo B EFYFB,T T所以，二面角B E F A的平面角为N BE 4=W，以点F为坐标原点，F E、E 4 所在直线为X、轴，过点F且垂直于平面4 B C 的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，答案第I I 页，共 1 4页不妨设AB=4,则尸（0,0,0）、A（0,l,0）、C（2 6,3,0）、网 百,0,0）、B 0,|,AC=(2 6,2,0),(0,1,0),FB=弓，罢，EC=(6,3,0).设 AM=24C =(26/1,2/1,0),FM=FA+AM=(2/3/l,

19、2A+l,0),其中 0W2W1,设平面9 M尸的法向量为=(。力,c),由，u-FB=0得1 4 FM=03/3 右0 b+-c=02 22 6 la +(22+l)b=0取c=2/l,可得“=(2/1+1，-2 a 2 2),|3 4 /3A|cos(w,ECM-EC|jc|2G x 2 A +1)2+12A2+4A2，解 得 上，合乎题意,3 56故当A M=A C 时，直线BC与平面？河尸所成角的正弦值为号.56 521.（1）+-=14 3（2）证明见解析【分析】（1）根据点尸的坐标以及P尸垂直于x 轴，可得c=l,再将点P 的坐标代入椭圆方程在结合椭圆。、氏 c 的关系解出a、b,

20、即可得出椭圆C 的方程；（2）设A（X QJ,8（孙必），根据已知设出直线A 8的方程为了=刈 -1）,则设点。的坐标为（瓦（毛-1）,将直线AB的方程与椭圆C 的方程联立，根据韦达定理得出玉+七与斗士，答案第12页，共 14页、?_3根据斜率的两点公式得出+*JU 产 2,再根据直线A 8的方程消去式子中的)1与X 1 1 X2%,再结合韦达定理结果即可得出勺+占=2 2-1,再结合已知与斜率的两点公式即可解出x0=4,即证明.【详解】由 玄 垂 直 于 工 轴，可得c=L、2 9将点尸代入j+2=1,可 得 1a b-/+屏=1又/=+0 2,解得 a=2,b=&,所以椭圆C 的 方 程

21、为 工+二=1；4 3(2)证明：由(1)知，c=l,则椭圆C 的右焦点坐标为(1,0).设直线A B 的方程为y=Z(x-l)，点D 的坐标为-1).设 4(5),8(孙 力)，将直线A B 的方程与椭圆C 的方程联立得：(3+442)丁-8k、+4/-12=0,A=（-8%2y-4（4 r +3）（4公-12）=144代 +1）0恒成立,由韦达定理知xl+x2=,”,2，X|X,=-.V 3+4H 1-3+4公又 y=M%T），%=%（一1），所 以 t l+t L丝 上 上!玉一 1 1 X 1 1k（x2-）-+-工 2 -18 一2,也+_ 2=2k-.3+4r _2%一（X+xj+

22、l 2 4k 12 8K3+4 F 飞+叱因 为 勺+&=2%,则2&=24-1,所 以 匚 上 2 =左 _ _,解得超=4,即点。的横坐标为定值.与一1 222.(1)极小值a-c,无极大值答案第13页，共 14页(2)证明见解析【分析】(1)根据。=6 得到/(x)=a e，-6，然后求导，得到单调性，即可求极值；三，(2)令 炉=八 e-=%=根据不 巧为 x)的两个零点得到m4然后2，2eAi px2 4 b 4a(l-a(m-)将证明J +J 竺转化为证明l n z 卢S 构造函数a-a a a)m+ag (M =I n/n (；_“)；+“5 1),求导，得到g (m)的单调性，

23、即可得到g (m)g =0,即可证明Je 须 +eX 2 丝4b成立.a-a a【详解】(1)由题可知/(x)=a e，a =a(e、-l),则当xe(,O)时，r(x)0,则f(x)在(0,+0 上单调递增，所以当x =0 时，/(X)取得极小值a-c,无极大值.(2)记e*=f ,eX 2=t2,/=1,则皿一 c =0,at2-bnt-,-c =0,2t4-2 _ b作差得a&-2)=Mnj 即 1 n _ L a,2 t2要证明J +5 竺，只需证I n，/、八 2),即证l n z#一1a a a h(1 。+q 2 a)m+a令 g (=I n m f-(2 1),则 g(?)=$-豆 2 0,所以g(加)在(l,y)上单调递增，则g(m)g =0,所以0+直 _ 竺 成 立.a-a a【点睛】导数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用：二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.答案第14页，共 14页