八年级下册数学第18章平行四边形教案.pdf

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1、18.1平行四边形18.1.1平行四边形的性质第1课时 平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的概念；（重点）2.掌握平行四边形边、角的性质；（重点）3.利用平行四边形边、角的性质解决问题.（难点）一、情境导入如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美.它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？二、合作探究探究点一：平行四边形的定义硒 I 如图，在四边形ABC。中，N B=N D,/1 =/2.求证：四边形ABCD是平行四边形.解析：根据三角形内角和定理求出/D 4 C=N A C B,根据平行线的判定推出AO8C,AB/CD,根据平行四边形的定义推出即可.证明：+

2、/A C B=180,N2+/）+NC4O=180,N B=N D,N l=/2,：.Z D A C=Z A C B,：.AD/BC.,：Z=Z2,：.AB/C D,.四边形 ABC。是平行四边形.方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长AB C ED 廊01如图，在ABC中，A B=A C=5,点。，E,F 分别是AC,BC,BA延长线上的点，四边形ADE尸为平行四边形，D E=2,则 4。=.解析：.四边形 A DEF 为平行四边形，：.DE=AF=2,AD=EF,AD/E

3、F,：.Z A C B=ZFEB.：AB=AC,:.N A C B=N B,：.N F E B=N B,：.EF=BF.：.AD=BF,：AB=5,：.BF=5+2=1,：.AD=1.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键.类型二 利用平行四边形的性质求角:口B C胸 如图，在平行四边形A8CD中，CELA8于 E,若/A=125。，则NBCE的度数为()A.35 B.55C.25 D.30。解析：四边形 ABC。是平行四边形，J.AD/BC,：.ZA+Z B=180.V ZA=125,，ZB=55.：C E AB 于 E,：.N8EC

4、=90,N 8CE=90-55=35.故选 A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题.类型三 利用平行四边形的性质证明有关结论A G D口P厕I!如图，点 G、E、F 分别在平行四边形ABCZ)的边A、O C和 3 c 上，D G=D C,CE=CF，点 P 是射线GC上一点，连接尸P,EP.求证：FP=EP.解析：根据平行四边形的性质推出N Q G C=N G C B,根据等腰三角形性质求出NCGC=NOCG,推出N O CG=N G C8,根 据”等角的补角相等”求出N O C P=N 尸 C P,

5、根据“SAS”证出 PC F&/XPC E即可得出结论.证明：.四边形 ABC D 是平行四边形，J.AD/BC,：.Z D GC=ZG C B.：D G=D C,：.Z D GC=ZDC G,：.Z D CG=ZG C B.V Z D CG+Z C P=180,Z G C B+Z F C P=S 0 0,C F=C E,./E C P=N FC P.在PCF 和(?中，；、N F C P=N E C P,.PC/丝PCE(SAS),C P=C P,：.PF=PE.方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明

6、时应用较多.类型四 判断直线的位置关系4 M 3D C碉如图，在平行四边形A8CD中，AB=2AD,M 为A 8的中点，连接M、M C,试问 直 线 和 MC有何位置关系？请证明.解析：由AB=2AD,M 是AB的中点的位置关系，可得出DM,CM分别是ZAD C 与ZBCD的平分线.又由平行线的性质可得NAOC+NBCD=180,进而可得出。例 与 M C的位置关系.解：0M 与 MC互相垂直.证明如下：是 AB的中点，.AB=2AM.又.AB=2A,：.AM=AD,.*.NA。M=NAMn.四边形A8C。是平行四边形，.A8CZ),A ZAM D ZMDC,:.NADM=N M D C,则

7、NM)C=；/A )C,同理 NMCO=；N8CD；AO8C,，ZADC+NDCB=180,；.AM D C+ZMCD=|zB C D +1 ZADC=90.V AM D C+ZMCD+ZDMC=180,ZDMC=90,DM 与何C 互相垂直.方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系.探究点三：两平行线间的距离砸 I 如图，已知人/2,点 E,F 在/i上，点 G,，在/2上，试说明EG。与F”。面积相等.解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明.证明：，点 E,F 到之间的距离都相等，设为/?.SAEGH=G/J?,SAFGH2GH

8、-h,:.SAEGH=SAFGH,S&EGH-S4GoH=SAFGH-SAGOH，EGO 的面积等于FHO 的面积.方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等.三、板书设计1.平行四边形的定义2.平行四边形的边、角特征3.两平行线间的距离学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好.例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率.第 2 课时 平行四边形的对角线的特征1

9、.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）2.利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.（难点）教尊逮B一、情境导入AD如图，在平行四边形ABCO中，AC,BQ为对角线，BC=6,BC边上的高为4,你能算出图中阴影部分的面积吗？二、合作探究探究点一：平行四边形的对角线互相平分 类型 利用平行四边形对角线互相平分求线段（W H 已 知 的 周 长 为 60cm,对角线AC、B D相交于点O,/AOB的周长比OOA的周长长5 c m,求这个平行四边形各边的长.解析：平行四边形周长为60cm,即相邻两边之和为30cm.ZVIOB的周长比DOA的周长长5 c m,而AO 为共用，O B=O D,因

10、而由题可知AB比AO长 5 c m,进一步解答即可.解：四边形ABC。是平行四边形，.。台二。，AB=C D,AO=BC.：ZAOB的周长比OOA 的周长长 5cm,二4 8-4 0=5 0 1 1,又oABC。的周长为 60cm,.AB+A=30cm,r l,35 25则 AB=C=*ycm,A D=B C cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.类型二 利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等而如图，cRBCO的对角线AC、相交于点O,E F过点。与 AB、CZ）分别相交于点 E、F.求证：OE=OF.解析：根据平行四边形的性质得出

11、O D=O B,D C/A B,推出N F Q O=/E B。，证出 D F O m A B E O 即可.证明：；四边形ABCO是平行四边形，OD=OB,OCAB,二N F D O=N E B O 在 A D F O第 4 页 共 3 3 页N F D O=N E B O,和BE。中，OD=OB,.OFO丝BEO(ASA),：.OE=OF.、/F O D=N E O B,方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质.类型三 判断直线的位置关系砸1如图，平行四边形A2CD中，AC.交于。点，点 E、F 分别是AO、CO的中点，试判断线段B

12、E、。厂的关系并证明你的结论.解析：根据平行四边形的性质”对角线互相平分”得出OA=OC,O8=OD利用中点的意义得出。E=O F,从而利用尸0。岭EOB可得出BE=D尸，BE/DF.解：BE=DF,8E/5F.理由如下：二 四边形4 3 8 是平行四边形，.O4=0C,0 B=OD.,JE、尸 分 别 是 0 4、0C 的 中 点，：.0E=O F ,又：Z F O D =N E O B ,.FOZ)AEOB(SAS),:.BE=DF,Z O D F Z O B E,J.BE/DF.方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题.探究点二：平行四

13、边形的面积(WD 在 二 A8CD 中，(1)如图，。为对角线纵入AC的交点.求证：S BO=S CHO;(2)如图，设P为对角线B D上任一点(点P与点B、D不重合)，以超户与SACBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.图 图解析：(1)根 据“平行四边形的对角线互相平分”可 得A O=CO,再根据等底等高的三角形的面积相等解答：(2)根据平行四边形的性质可得点A、C 到 8。的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答.(1)证明：在0ABe。中，AO=CO.设点8 到 AC的距离为力，则SM B O=%。G，S&CBO=2co ，:SAABO=SACBO；(2)解：理

14、由如下：在。ABCD中，点 A、C 到 8 0 的距离相等，设为h,则SABP B P h S iiC B P-B P h,SABP SCBP-方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形.另外，等底等高的三角形的面积相等.三、板书设计1.平行四边形对角线互相平分第 5 页 共 3 3 页2.平行四边形的面积通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，教学相长.18.1.2平行四边形的判定第 1课时平行四边形的判定1.掌握平行四边形的

15、判定定理;（重点）2.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.（难点）一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：1.两组对边分别平行且相等；2.两组对角分别相等；3.两条对角线互相平分.那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定.那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形颐1如图，在42C中，分别以A3、AC、8 c为边在5 c的同侧作等边A8。、等边ACE、等边8CR试说明四边形OAEF是平行四边形.解析

16、：根据题意，利 用 全 等 可 证 明D F=A E,从而可判断四边形D4EF为平行四边形.解：.AB。和FBC 都是等边三角形，A ZDBF+ZFBA ZABC+ZABF=60,:.NDBF=NABC.又,：BD=BA,BF=BC,ABC也OBF（SAS）,.AC=QF=AE.同理可证ABC丝?（,.AB=EF=4O,.,.四边形D4EF是平行四边形（两组对边分别相等的第6页 共3 3页四边形是平行四边形).方法总结：利 用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决.探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形硼 01 如图，在四边形 AB C/)中，

17、AB/D C,ZB=5 5,Zl=8 5,Z2=4 0.(1)求 的 度 数；(2)求证：四边形A B C D 是平行四边形.解析：(1)可根据三角形的内角和为1 8 0。得 出/。的大小；(2)根据 两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.(1)解：V Z Z)+Z 2+Z 1 =1 8 O ,.*./。=1 8 0 /2/1 =1 8 0 4 0 8 5=5 5；(2)证明：.AB 。，/2=/0 4 8=4 0。，Z C B+ZB=1 8 0 ,：.Z D A B=+Z C A B=1 2 5 ,ZZ)C B=1 8 0-1 2 5,二 Z D A B N D C B.又:ND=

18、NB=5 5。，；.四边形 A B C D是平行四边形.方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路.探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形画 如图，AB,CO相交于点O,AC/D B,A O=B O,E、尸分别是。C、0。的中点.求证：(2)四边形A F B E是平行四边形.解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明 AO C 四 B O。；(2)此题已知 A O=BO,要证四边形A F 8 E 是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF 即可.Z C=Z D,证 明：(1)；AC 8 ,.N C n/Z).在 AO C 和8。中，V Z C

19、O A=Z D O B,.AO=B O,：.A A O C 丝 B O O(AAS)；(2)V/AO C/B O D,：.C O=D O.：E,F 分别是 O C、。的中点，：.O F=O D,O E=；O C,.。=尸0.又：4。=8。，四边形A F B E 是平行四边形.方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.探究点四：平行四边形的判定定理(1)的应用 类型一 利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等第7页 共3 3页A砸 1 如图，在平行四边形A B CD中，AC交 8。于 点 0,点、E,点尸分别

20、是0A,O C的中点，请判断线段。E,的位置关系和数量关系，并说明你的结论.解析：根据平行四边形的性质”对角线互相平分”得出0A=0C,0 B=0 D 利用中点的意义得出0 E=0 F,从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形8FDE是平行四边形，从而得出。E=B尸，DE/BF.解：DE=BF,)E8F.；四边形 ABC。是平行四边形，；.0A=0C,0B=0D.：E,F分别是0A,O C的中点，0 E=。/，.四边形8FOE是平行四边形，凡DE/BF.方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法.类 型 二 平行四边形的判定定理(1)的综合运

21、用砸 I 如图，已知四边形A8CD是平行四边形，8ELA C于点E,O FL 4C 于点F.求证：A A B E 当4 C D F；(2)连接BF、D E,试判断四边形BFQE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明.解析：(1)根据“AAS”可证出ABE会COF：(2)首先根据ABE彩COF得出AE=FC,再利用已知得出AQE也C 8 F,进而得出D E=B F,即可得出四边形8EDE是平行四边形.(1)证 明：.四边形 A8C。是 平 行 四 边 形，：.A B C D,A B/C D,：.ZBAC =ZDC A.：BEA.AC 于 E,DFA.AC 于 F,；.NAE8=NOFC=90.

22、在ABE 和CDF 中，/DFC=N B E A,N F C D=N E A B,.,.ABE畛(?尸(AAS)；AB=C D,(2)解：四边形BFQE是平行四边形.理由如下：/XABEC DF,：.AE=FC,B E=OF.；四边形 ABC。是平行四边形，：.AD=C B,AD/C H,ND4C=NBCA.在AOE 和AZ)=BC,CB尸中，I Z D A E Z B C F,：./ADE CBF(SAS),：,D E=B F,四边形 BFDE 是平AE=FC,行四边形.方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形.三 板书

23、设计1.平行四边形的判定定理(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形.2.平行四边形的判定定理(1)的应用第 8 页 共 3 3 页敷卷底恩在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨.判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要.在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上.第 2 课时 平行四边形的判定教爵Ei.掌 握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；（重点

24、）2.掌握中位线的定义及中位线定理；（重点）3.平行四边形性质与判定的综合运用.（难点）一、情境导入A/、KR C如图所示，吴伯伯家一块等边三角形ABC的空地，已知点E,F 分别是边AB,AC的中点，量 得 E F=5米，他想把四边形8CFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 类型一 判定四边形是平行四边形硒 I 如图，E、F 是四边形ABC。的对角线AC上的两点，AF=C E,DF=BE,DF/BE,四边形ABC。是平行四边形吗？请说明理由.解析：首先根据条件证明AFDgZXCEB,可得到4D=CB,Z D A F=

25、Z B CE,可证出AZ）CA根 据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论.解：四边形ABC。是平行四边形.理由如下：JDF/BE,：.Z A F D=ZC EB.5L：AF=C E,DF=BE,：.AAFDACEB（SAS）,：.ADC B,/D A F=N B C E,：.AD/C B,：.四边形ABC。是平行四边形.方法总结：根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平第 9 页 共 3 3 页行四边形是判定时的一般解题思路.类型二 判定平行四边形的条件砾 四 边 形 ABCD中，对角线4C、8力相交于点0,给出下列四个条件：AD8C；AO=BC；。4

26、=0 C；0 8=0 D 从中任选两个条件，能使四边形ABCZ）为平行四边形的选法有（）A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种解析：组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形A8CO为平行四边形；可证明AO03 C B 0,进而得到4 O=C B,可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABC D 为平行四边形；可证明AOO名C B 0,进而得到A D=C B,可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4 种可能使四边

27、形ABCD为平行四边形.故选 B.方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键.探究点二：三角形的中位线 类型一 利用三角形中位线定理求线段的长例E I如图，在ABC中，D、分别为AC、BC的中点，A尸平分N C 4 8,交 D E于点F.若D F=3,则 AC的长为（）B.3C.6D.9解析：；）、分别为AC、BC的中点，是ABC的中位线，：.DE/AB,：.Z2=/3.又平分NOW,.Z 1 =Z3,：.Z =Z2,：.A D=D F=3,，AC=2A=6.故选 C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质.解题的关键是熟记性质并熟练应用.类型二 利用三角形中

28、位线定理求角画E I 如图，C、D 分别为E4、EB的中点，ZE=30,Z l=110,则N 2 的度数为（）A.80 B.90C.100 D.110解析：C、Q分别为EA、EB 的中点，是E4B 的中位线，J.CD/AB,A Z2第1 0页 共3 3页=ZC.VZ1=UO,ZE=30,N 2=NECD=80.故选 A.方法总结：中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题.类型三 运用三角形的中位线性质进行计算阿E I如图，在4B C中，A B=5,A C=3,点 N 为 BC的中点，AM平分NBAC,C M-LAM,垂 足 为 点 延 长 CM交 A 3于

29、点O,求 MN的长.解析：首先证明AM。会A M C,得到D M=M C,易得M N为8C O 的中位线，即可解决问题.解：平分N84C,C M 1 A M,：.Z D A M=Z C A M,N4WD=NAMC.在AMO 与N D A M=N C A M,AMC 中，A A M D A A M C(A S A),：.AD=AC=3,D M=C M.又BN Z A M D=Z A M C,=C N,MN 为BCD 的中位线，.MN=；8)=gx(5-3)=L方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.类型四 中位线定理的综合应用砸 I 如图，E 为%BCO中。C 边

30、的延长线上一点，且 C E=O C,连接4 E,分别交BC、B D于点F、G,连接AC交 8。于 O,连接O F,判断A B与O F的位置关系和大小关系，并证明你的结论.解析：本题可先证明ABF丝从而得出B F=C F,这样就得出了 O F 是AABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段0 尸与线段A 8的关系.解：4BOF,A8=2OF.证明如下：1四边形ABC。是平行四边形，.8=C。,ABCQ,OA=OC,:.N B A F=N C E F,N A B F=NEC F.；C E=DC,：.Afi=C E./ABF/EC FN B A F=N C E F,中，4B=CE,A AASFA

31、ECF(ASA),.NABF=NEC F,中位线，：.AB/OF,AB=2OF.方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出。尸是ABC的中位线.三、板书设计1.平行四边形的判定定理(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.第“页 共3 3页敷卷底恩本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证.在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.18.2特殊的平行四边形

32、18.2.1矩 形第1课时矩形的性质i.理解并掌握矩形的性质定理及推论；（重点）2.会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；（重点）3.会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算.（难点）嬲 速B一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状.A i-1。-C我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示.二、合作探究探究点一：矩形的性质 类型 运用矩形的性质求线段或角的I I在矩

33、形A B CD中，。是BC的中点，Z A O D=90,矩形A B CD的周长为24cm,第1 2页 共3 3页贝 IJ A B 长为()A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm解 析：在 矩 形 A B C D 中，。是 B C 的中点，乙40。=90。.根据矩形的性质得到A80丝O C D,则 OA=OD,Z D A O=45,所以/B A O=4 5,即 2C=2AA由矩形ABCD的周长为24cm,得 2A 8+4A 8=24cm,解得AB=4cm.故选D.方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.类型二 运用矩

34、形的性质解决有关面积问题如图，矩形ABCO的对角线的交点为O,E F过点0 且分别交A8,CO于点E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的 面 积 的()解析：在矩形 A8C。中，AB/CD,OB=OD,：.4A B 0=ZCDO.在丛BOE 知二DOFNABO=NCDO,中，OB=OD,；.BOE丝OOF(ASA),SBOE=S&DOF,M*=SAAO8=S 如 防、NBOE=NDOF,A B C”.故选 B.方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键.类型三 运用矩形的性质证明线段相等胸 如图，在矩形ABCD中，以顶点8

35、为圆心、边 8 C 长为半径作弧，交 边 于 点 E,连接8 E,过 C 点作CFJ_8E于 F.求证：BF=AE.解 析：利用矩形的性质得出AD/BC,NA=90。，再利用全等三角形的判定得出B F g/X E A B,进而得出答案.证明：在矩形 A8CD 中，AD/BC,NA=90,:.NAEB=NFBC:；CFLBE,：.ZBFCZ A Z C F B,=/A =90.由 作 图 可 知，BC=BE.在 ABFC 和 E4B 中，/AEB=NFBC,EB=BC,.BFC丝EAB(AAS),：.BF=AE.方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般

36、是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明.类型四 运用矩形的性质证明角相等第1 3页 共3 3页砸1如图，在矩形ABC。中，E、尸分别是边BC、A 8上的点，且 E=ED,EFLED.求证：AE平分/BAD.解析：要证A E平分NBA。，可转化为ABE为等腰直角三角形，得 AB=BE.又 A B=8,再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证.证明：,/四边形 A BC D 是矩形，；.N B=N C=/BA D=90。，ABC D,：.Z B E F+Z B F E=90.；EFLED,：.N B E F+Z C E D=9 O0.：.Z B F

37、E=A C ED,：.N B E F=NEDC.在 A E B FZ B F E=Z C E D,与 )：中，,:A E B F 乡ADC E(ASA).：.BE=C D.：.BE=AB,：.NBAE、N B E F=N E D C,=/B E 4=45,：.ZEAD=45,；.N B A E=N E A D,平分NR4D方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决.探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质丽 如 图，在ABC中，AO是高，E、尸分别是AB、AC的中点.(1)若 A8=10,A C=8,求 四 边 形 尸 的 周 长；(2)求证：E F 垂直平分AD解析：(1)根

38、 据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可 得D E=A E=%B,DF=A F=A C,再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根 据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可.(1)解：AD 是ABC 的高，E、尸分别是 AB、AC 的中点，.E=AE=%B=gx 10=5,D F=A F=A C=X 8=4,二四边形 AE3尸的周长=A E+O E+。尸+A尸=5+5+4+4=18；(2)证明：.)=AE,DF=AF,：.E、F 在线段A O 的垂直平分线上，.：?垂直平分AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性

39、质进行求解.三、板书设计1.矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.第1 4页 共3 3页2.直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上.第 2 课时矩形的判定1.掌握矩形的判定方法；（重点）2.能够运用矩形的性质和判定解决实际问题.（难点）一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形.这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形.除此之外，我们能否找到其他的判定矩

40、形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1.两条对角线相等且互相平分；2.四个内角都是直角.这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形硒 I 如图，在ABC中，AB=AC,AO是 BC边上的高，AE是BAC的外角平分线，Z）EA 8交 AE于点E.求证：四边形AOCE是矩形.解析：首先利用外角性质得出N B=N A C B=N/E=N E 4C,进而得到AEB C,即可得出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，再根据AD是高即可得出四边形ADCE是矩形.证明：；

41、4B=A C,，/台=/4（:8：4 后是BAC的外角平分线，.+ZACB=ZFAE+ZEAC,Z B=ZACB=ZFAE=ZEAC,：.AE/BC.L：D E/A B,：.四边形AEB是平行四边形，平行且等于BD又AOJ_BC,：.BD=DC,.M E 平行且等于。C,故四边形ADCE是平行四边形.又./AOC=90。，.,.平行四边形ADCE是矩形.第1 5页 共3 3页方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可.探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形硼 01如图，在平行四边形4BC中，对角线AC、8。

42、相交于点。，延长。A 到 N,O N=0 B,再延长0 C 至使CM=4V.求证：四 边 形 为 矩 形.解析：首先由平行四边形ABCZ)可得。4=0C,O B=O D.若 O N=O B,那么ON=OD而CM=A N,即 ON=OM.由此可证得四边形N D M B的对角线相等且互相平分，即可得证.证明：；四边形 4BCD 为平行四边形，：.AO=OC,O D=O B：A N=C M,O N=OB,：.O N=O M=O D=O B,：.M N=B D,，四边形 NDMB 为矩形.方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等.探究点三：有三个

43、角是直角的四边形是矩形M B 如图，5 B CD各内角的平分线分别相交于点E,F,G,求证：四边形E F G H是矩形.解析：利 用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形.证 明:四边形 4BCD 是平行四边形,.AD/BC,：.Z D A B+Z A B C=180.,：AH,分 别 平 分 与/ABC,A Z H A B Z D A B,Z H B A=Z A B C,：.Z H A B+Z H B A=3(/。4 8+/4 8 0=9 1 8 0。=90。，；./4=9 0。.同理/7:=/:=90。，.四边形所6 是矩形.方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用

44、“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.探究点四：矩形的性质和判定的综合运用 类型一 矩形的性质和判定的运用硒！如图，。是矩形A8CO的对角线的交点，E、尸、G、H 分别是0 4、O B、OC、O D上的点，且 AE=BF=CG=”.(1)求证：四边形EFG”是矩形；(2)若 E、F、G、”分别是 0 4、O B、0C、。的中点，Ji DG AC,0 F=2 c m,求矩形 ABC。的面积.解析：(1)证明四边形EFG”对角线相等且互相平分；根据题设求出矩形的边长C D第1 6页 共3 3页和B C,然后根据矩形面积公式求得.(1)证 明：；四边形 ABCQ 是矩形，.*.OA=O8=OC=

45、OD：A E=8F=C G=Z)H,，A0-A E=O B-B F=C O-C G=D O-D H,BP O E=O F=O G=O H,四边形 EFG”是矩形；(2)解：YG 是 OC 的中点，：.GO=GC.：DGAC,/GO=NGC=90。.又：。G=DG,:.ADGC会 A D G O,，。=0。二尸是 8。中点，。尸=2cm,；.B0=4cm.：四边形A8C。是矩形，；.O=BO=4cm,：.DC=4cm,DB=Scm,；.CB=y/DB?-DC45cm,:S矩 形A B C。=4X4-/3=16/3(cm2).方 法 总 结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩

46、形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分.【类 型 二】矩形的性质和判定与动点问题例01 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD/BC,ZB=90,AD=24cm,B C=26cm,动点 尸 从 点A出 发 沿AO方 向 向 点。以lcm/s的速度运动，动 点。从 点C开 始 沿 着CB方向向 点8以3cm/s的 速 度 运 动.点P、。分别 从 点4和 点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动.(1)经过多长时间，四 边 形PQCD是平行四边形？(2)经过多长时间，四 边 形PQBA是矩形？解 析：(1)设 经 过/s时，四 边 形PQC。是平行四边形，根 据。P=C。，代入后

47、求出即可：(2)设 经 过r s时，四 边 形PQBA是矩形，根 据A P=8 Q,代入后求出即可.解：(1)设 经 过f s,四边形尸。8 为平行四边形，即PO=C。，所 以2 4-f=3 f,解 得f=6；(2)设 经 过/s,四 边 形PQ8A为矩形，即AP=13B Q,所 以 =263人 解得方 法 总 结：证明一个四边形是平行四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；题设中出现一个直角时，常 采 用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形.三、板书设计1.矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四

48、边形是矩形.2.矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法.教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类 比、迁移地思考、做 题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率.第1 7页 共3 3页18.2.2菱 形第 1课时菱形的性质1.掌握的定义和性质及菱形面积的求法；（重点）2.灵活运用菱形的性质解决问题.（难点）一、情境导入将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.二、合作探究探究点一：

49、菱形的性质 类型 利用菱形的性质证明线段相等睡 I 如图，四边形ABC。是菱形，CEJ_A8交 AB延长线于E,交 4。延长线于尸.求证：C E=C F.解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分Z D A B,再根据角平分线的性质可得C E=FC.证明：连接 A C,：四边形 ABCZ）是菱形，；.AC 平分/D 4 A：CE_LA8,C F1.AD,：.C E=C F.方法总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.类型二 利用菱形的性质进行有关的计算而如图，O 是菱形ABCD对角线AC与 3。的交点，C D=5cm,

50、。=3cm.过点C 作C E/DB,过点8 作 8EAC,CE与 8E 相交于点E.第1 8页 共3 3页(1)求 0 C 的长；(2)求四边形O B E C的面积.解析：(1)在直角三角形OCO中，利用勾股定理即可求解；(2)利用矩形的定义即可证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解.解：(1)T四边形A8C)是菱形,在直角三角形OCO中，O C=&产赤=,J5232=4(cm)；(2)：C E/DB,BE4 C,，四边形 OBEC 为平行四边形.又；4C_L8。，即 NCO8=90,.平行四边形 O8EC 为矩 形.：O B=O D,：.S,：OBEC=OB O C 4X