北师大初一数学《有理数的乘方、混合运算及科学记数法》基础提高巩固练习、知识讲解.pdf

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1、【巩固练习】一、选择题1.（南昌）年初，一列CR H 5 型 司速车组进行了“3 0 0 0 0 0 公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将 3 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.3 X 1 06 B.3 X 1 052.下列说法中，正确的是（）.A.一个数的平方一定大于这个数C.一个数的平方一定小于这个数C.0.3 X 1 06 D.3 0 X 1 01B.一个数的平方一定是正数D.一个数的平方不可能是负数3.式子-的意义是（）.5A.4与 5商的立方的相反数C.4的立方的相反数除54 .（宝应县一模）（-1）的 值 是（B.4的立方与5的商的

2、相反数4D.一一的立方5A.1 B.-1 C.D.-5 .计算(-1)、(-1)3=()A.-2 B.-1 C.0 D.26 .观察下列等式：7 1 7 ,72=4 9 ,7，=3 4 3,7，=2 4 察,75=1 6 8 0 7,7，=1 1 7 6 4 9 由此可判断 7 的个位数字是（）.A.7 B.9 C.3 D.17 .一 根 1 米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第 6次后剩下的绳子的长度为（）.A.米 B.米 C.米 D.米二、填空题8 .在（-2）中，指数是,底数是,在-2,中，指数是,底数是22,在二中底数是，指数是5 9 .（郸城县校级模拟）计算

3、：-（-3）J1 0.一(-3)=；-25=TH.4-(-3)3=,-32 x(_ 2)3 =1 2.6008000=（用科学记数法表示），3.0 0 8 x 1（）5=（把用科学记数法表示的数还原）.1 3.1 +3 =2,1 +3 +5 =,1 +3 +5 +7 =2,.,从而猜想：1 +3+5 +2 0 0 5 2三、解答题1 4 .(春浦东新区期中)(-3)2 -(1 1)3x2-6*-2|3.2 9 31 5 .(秋蓬溪县校级月考)某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次(由1 个分裂成2个).若 经 过 4小时，1 0 0 个这样的细菌可分裂成多少个？1 6 .探索规律：观察下面三

4、行数，2,-4,8,-1 6,3 2,-6 4,2f_8,4,-2 0,2 8,-6 8,-1,2,-4,8,-1 6,3 2,(1)第行第1 0 个数是多少？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行第1 0 个数，计算这三个数的和.【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B.2 .【答案】D,1,1 1【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：22=4 2；而(上)2=(-2)叫由-2 的指数规律，可以知道n=1 0 时、即 2 x(-2)”=T 0 2 4 为第 行第1 0 个数.(2)第行数是第行相应的数减4；第行数是第行相应的数的-0.5 倍；(3)第行第1 0 个数为-1

5、0 2 4-4=-1 0 2 8第行第1 0 个 数 为(-0.5)x (-1 0 2 4)=51 2所以第行、第行、第行第1 0 个数字之和为T 0 2 4+(-1 0 2 8)+51 2=-1 54 0.有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)责编：杜少波【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义；2 .掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3 .进一步掌握有理数的混合运算.4 .会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求 n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做第(p o w e r).即有：a a.a =在 中，a叫做底数，n叫做指数.个指数底

6、数要点诠释：(1)乘方与嘉不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，塞是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5 就是5 1指 数 1 通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次嘉都是正数；(2)负数的奇次基是负数，负数的偶次嘉是正数；(3)。的任何正整数次累都是0；(4)任何一个数的偶次基都是非负数，如 屋 0.要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定基的符号，然后再计算幕的绝对值.(2)任何数的偶次暴都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：

7、(1)先乘方，再乘除，最后加减：(2)同级运算，从左到右进行;(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.要点四、科学记数法把 一 个 大 于 10的数表示成a x l O 的 形 式(其 中“是整数数位只有一位的数，1 Wa 1 5.(福 州)计 算 3.8 X1 0?-3.7 X1 0，,结果用科学记数法表示

8、为()A.0.1 X1 07 B.0.1 X1 06 C.1 X1 07 D.1 X1 06【答案】D.解：3.8 X1 07-3.7 X1 07=(3.8 -3.7)X1 07=0.1 X 1 07=i x i o6.【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a X 1 0 的形式，其中n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值.注意灵活运用运算定律简便计算.类型五、探索规律C6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第 3次捏合抻拉得到 根面条，第 5次

9、捏合抻拉得到 根面条，第次捏合抻拉得到根面条，要想得到6 4 根细面条，需 次捏合抻拉.第 1 次 第 2次 第 3次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律.第 1 次：2 =2；第 2次：2 2=4；第 3次：2 3=8；第次：2 .【答案】8；3 2；2 ；6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2 倍，所以可得到：第 1 次：2 =2；第 2次：2 2=4；第 3次：2 3=8；第次：2”.第 3次捏合抻拉得到面条根数：2 3，即 8根；第 5次得到：2$,即 3 2 根；第次捏合抻拉得到2 ；因为2 6 =64,所以要想得到6

10、 4 根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循.举一反三：【变式】已知2 =2,2，=4,2:，=8,2 =1 6,2，=3 2,观察上面的规律，试猜想 颂的末位数字是.【答案】6【巩固练习】、选择题1.下列说法中，正确的个数为（）.对于任何有理数m,都有才 0；对于任何有理数m,都有0）2=（m）2；对于任何有理数m、n（m#n）,都有（m n 。；对于任何有理数m,都 有 胡=（一1 1 1）3.A.1 B.2 C.3 D.02.（春句容市校级期中）与算式炉+22+22+22的

11、运算结果相等的是（）A.2，B.82 C.28 D.2163.设a=3x4?,/?=（3 x 4）。c=（3 x 4）2,则 a、b、c 的大小关系为（）.A.a c b B.c a b C.c b a D.a b c4.（朝阳区校级模拟）观察下列算式：2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,264,2=128,2=256,根据上述算式中的规律，你认为2?的末位数字是（）A.2 B.4 C.6 D.85.现规定一种新的运算*，a*b=a,如 3*2=a=9,则*3 等 于（）.2A.B.8 C.D.8 6 26.“全民行动，共同节约”，我 国 13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1 度

12、电，一年可节约电1 300 000 000度，这个数用科学记数法表示，正确的是（）.A.1.30X 109 B.1.3X109 C.0.13X10 D.1.3X1O107.计 算 32x1 g）（_2）3+（_（）的结果是（）.A.-33 B.-31 C.31 D.33二、填空题8.对于大于或等于2 的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数+的分裂数中最大的数是.9.为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用 科 学 记 数 法 表 示 为.200310.若+(/?2)=0,则(+b)+c

13、 i11.（春张掖校级月考）如图是一个计算程序，若输入的值为-1,则输出的结果应13.（春濮阳校级期中）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2 个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这 4个悟空再变，又变成8个悟空假设悟空一连变了 30 次，那么会有 个孙悟空.三、解答题14 .计算：(1)8 1+2；一(-(卜-16)(2)_ 2；+4；+(_ 3)x(T)(3)(2)3 x 2 +1 5-j-f j (4)-9+5 X (-6)_(_4)4-(-8)(5)(-1)5-3 x f-|j-l1 (-2)216.（宜兴市期末）阅读并回答下列问题.在印度有一个古老的传说：

14、舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人-宰相西萨班达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1 个小格里，赏给我1 粒麦子,在第2 个小格里给2 粒，第 3 小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64 格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？即求：1+2+22+23+2*+2负的值.如何求它的值呢？设 S=1+2+22+23+24+-+263；则 2s=2（l+2

15、+22+23+24+26 3）=2+22+23+24+26 3+2M；两式相减得s=2“-1.问题 1：求 1+5+52+53+54+-+5 的值.问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问尖曾头几盏灯？5 .【答案】【解析】6 .【答案】(注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头：指塔顶层.)答：尖头有_ _ _ _ _ _ _ _ 盏灯？【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B【解析】错：当 m 为 0时，不满足；对；错：次数为3,互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数.2 .【答案】A.3 .【答案】B【解析】a

16、=-3 X4 2=-4 8,b=(-3 X4)=1 4 4,c=-(3 X4”=T44.故 c a b.4 .【答案】C【解析】解：；2 =2,2 q4,2=8,2=1 6,2 7 3 2 ,26=6 4 ,2，=1 2 8,2=2 5 6,.2 2 0 的末位数字是6.故选C.A1*,f 1 Y 1-*3=-=一.2 8B【解析】题目中涉及的数都是准确数，A,B 选项中的数是完全一样的，没必要写成A,所以答案为：B7 .【答案】C【解析】原式=9 x (8)+；=1 +8 x4 =3 1.二、填空题8 .【答案】1 5【解析】每组数中，左边的基的底数。与最下方的数的关系是：n=2a-l.9

17、.【答案】1.6 xlO1 0【解析】将 1 6 0 亿=1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为L 6 xl(V1 0 .【答案】0【解析】绝对值与平方均具有非负性，。+1 =0,0-2 =0,所以。=1,8 =2,代入计算即可.1 1 .【答案】7.【解析】解：依题意，所求代数式为(a2-2)X(-3)+4=(-1)2-2 X(-3)+4=1 -2 X(-3)+4=-I X(-3)+4二 3+4=7.故答案为：7.1 2 .【答案】一 24【解析】由 m+2 n=0 得：m=-2 n,所以(二=J (-)2 mJ-2n)2 41 3 .【答案】23 0.三、解答题1

18、4 .【解析】解:4 9 1 9 9千(1 6)=8 1 x -X =-3 6-=-3 6 9 4 1 6 6 4 6 4(1)-8 1 4-2-I-I4 I 4 J(2)_1 5_21 +41.(-3)X-=,c 1 2 1 1 5 ,1 1 c-1 -2-H-x x =-1-2 +-=-33 5 3 2 13 3(3)1(3 (1 V 99 1 99(-2)3x2-+l4-1=_8x(_g)=_8x jx 8=_ 3 6(4)-9+5 X(-6)-(-4)2 +(-8)=-9-3 0+2=-3 7*/2 丫 1、4 4 1 5 2(5)(-1)5-3 x-l-(-2)2=-l-(-3 x-

19、x-)=-l+-=-、3,3 9 3 4 331 5.【解析解：(1)原式=(-j x 6 0 x|-1|(5 2 12)(7 7 7)=-x6 0-x6 0-x6 0|xl(5 2 1 2=36-30-35-29(2)原式4x32 3X 一1 643 X X-X 3 4 4 4 1 6416【解析】解：问题 1：S=1+5+52+53+54+-+5,则 5s=5(1+5+52+53+54+-+5 )=5+52+53+54+-+5 +5,两式相减得4s=5-1,52015 ts=-；4问题2：设尖头有x盏灯，由题意得，(27-1 )x=381,解得x=3,答：尖头有3盏灯.故答案为：3.有理数

20、的乘方、混合运算及科学记数法(提高)责编：杜少波【学习目标】1 .理解有理数乘方的定义；2 .掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3 .进一步掌握有理数的混合运算.4 .会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做第(powe r).即有：a a.a =a .在 中，a叫做底数，n 叫做指数.个指数底数要点诠释：(1)乘方与嘉不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，塞是乘方运算的结果.(2)底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来.(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如，5就是51

21、指 数 1 通常省略不写.要点二、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次嘉都是正数；(2)负数的奇次基是负数，负数的偶次嘉是正数；(3)。的任何正整数次累都是0；(4)任何一个数的偶次基都是非负数，如要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定基的符号，然后再计算幕的绝对值.(2)任何数的偶次暴都是非负数.要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减：(2)同级运算，从左到右进行;(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二

22、级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；(2)在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.(3)在运算过程中注意运算律的运用.要点四、科学记数法把 一 个 大 于 1 0的数表示成a x l O 的 形 式(其 中“是整数数位只有一位的数，1 Wa 1 10,“是正整数)，这种记数法叫做科学记数法，如4 2 0 0 0 0 0 0 =4.2 x 1()7.要点诠释：(1)负数也可以用科学记数法表示，“一”照写，其它与正数一样，如-3 0 0 0=3 x 10 3；(2)把一个数写成a x l O 形式时，若这个数是大于10 的数，则 n比这个数的整数

23、位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1.（虞城县一模）下列各数：-F；-（-1）2;-F：（-1）2,其中结果等于-1 的 是（）A.B.C.D.【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断.【答案】A.【解析】解：-1=-1,符合题意；-符合题意；-=-1,符合题意；（-1）2=1,不符合题意.故选A.【总结升华】注意（一。）与 屋 的意义的区别.（一。）2 =/（n为正整数），（一。）2 日=一“2 e（n为正整数）.举一反三:【变式】已知a2,且,一 2|=4,则a?的倒数的相反数是【答案】-8类型二、乘方运算的符号法则C 2.不做运算，判断下列各运算结果的符号.（-2）1（-3

24、）”,（7 0 0 0 9）吗,-（-2）2 0,0【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则.【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：（-2 厂运算的结果是负；（-3）2 运算的结果为正；（-1.0 0 0 9）2 0 .运算的结果是负；（|）运算的结果是正；Y-2）刈。运算的结果是负.【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0,指数不为 0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数,结果为负.举一反三：【变式】（春富阳市校级期中）计 算（-2）+（-2）所得的结果是（）A.2 B.2 C.-2 D.2【答案】C.解：

25、（-2）+（-2）=（-2）（-2+1）=2 X （-1）=-2.类型三、有理数的混合运算3.计算:(1)-(-3)2+(-2)34-(-3)-(-5)(2)7-6 X (-7)-(-1)l 0 4-(-2 1-2 4+2 1 )x 2 4-(-0.2)【答案与解析】(1)-(-3)2+(-2)34-(-3)-(-5)=-9+(-8)4-(-3+5)=-9+(-8)+2=-9+(-4)=-1 3(2)7-6 X (-7)-(-1)l 0 4-(-2 1-2 4+2 14)=(7 X 72-6 X 72-1)+(-2 1 +2 14-2 4)=7叹(7-6)-1 4-(-2 4)=(4 9-1)

26、+(-2 4)=-2(3)有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.1 2 5c“7 c”=-x-x 2 4 +x 2 4 +1 2 51 6 5 2 3=-6 0 +5 6 +1 2 54 0【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提.类型四、科学记数法C4.（酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为6 7 5 0 0吨.将 数6 7 5 0 0用科学记数法表示为（）A.0.6 7 5 X 1 05 B.6.7 5 X 1 0 C.6 7.5 X 1 0，D.6 7 5 X 1 0?【思路点拨】科学记数法的

27、表示形式为a X 1 0 的形式，其 中l W|a|1 0,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 1时，n是正数；当原数的绝对值 1时，n是负数.【答案】B.将 6 7 5 0 0 用科学记数法表示为：6.7 5 X 1 01.【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法a x l O”的形式时，其 中 l W|a|1 0,n为比整数位数少1 的数.在进行运算时，a部分和1 0 的部分分别运算，然后再把结果整理成 10的形式.类型五、探索规律5.下面是按一定规律排列的一列数:第 1 个数：+y L那么，在 第 1 0

28、个数、第 1 1 个数、第 1 2 个数、第 1 3 个数中，最大的数是().A.第 1 0 个数 B.第 1 1 个数 C.第 1 2 个数 D.第 1 3 个数【答案】A【解析】第 1个数结果为一!=0；第 2个数结果为 一=；第 3个数结果为2 2 3 2 6发现运算中在+匚 后边的各式为，分子、分母相4 2 4 V 2 J 3 4 5 6约 为 1,所以第n个数结果为 一-把第1 0、1 1、1 2、1 3 个数分别求出，比较大小即n+2可.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循.举一反三：【变式

29、】观察下面三行数：-3,9,-2 7,8 1,-2 4 3,7 2 9,0,12,-24,8 4,-2 4 0,7 3 2,-1,3,-9,2 7,-8 1,2 4 3,(1)第行数按什么规律排列？(2)第行数与第行数分别有什么关系？(3)取每行数的第1 0 个数，计算这三个数的和.【答案】解:(1)第行数的规律是：-3,(-3)(-3 尸，(-3),:(2)第行数是第行数相应的数加3,即：-3+3,(-3 尸+3,(-3 尸+3,(-3 尸+3,;第行数是第行数相应的数的g，H P -3 x 1,(-3)2X1,(_ 3 F x g,(3)4X；,；(3)每行数中的第 1 0 个数的和是:(-3)1 0+(-3)+3 +(-3)x-=5 9 0 4 9+5 9 0 5 2+1 9 6 8 3 =1 3 7 7 8 4.