第26讲三角函数的图象与性质（解析版）.pdf

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1、第26讲三角函数的图象与性质学校:姓名：班级：考号：【基础巩固】1.（2022河北邯郸二模）函数x）=s in（2 x+g）在上的值域为（）（A、A.（0,1 B.,0C.-D.一尊【答案】c【解析】当时，2%+畀（一*兀），当2不+=弓时，即X=卷时，/（尢）=s in（2 x +g）取最大值1,当2 x +q,即行=时，/（x）=s in（2 x +）取最小值大于-半，故值域为1字1故选：C2.（2022湖北模拟预测）已知x）=s in（2 x +3）,则（）A./（2）/（1）/（0）B./（2）/（0）/（1）C./（0）/（2）/（1）D./（1）/（2）/（0）【答案】B【解析】因

2、为/（x）在 仁 善）上单调递减，又/（0）=/图，所以7 1（2,，所以 1）/|=0）2）,即 2）0）1）.故选：B.3.（2022湖南长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数x）=20 22cosQq）单调递增的区【答案】D【解析】解：因为x）=2 02 2 c o s（x-S,令-/2 k n$x-三 2kn,kwZ,解得I 1 2；1 2-+2k7 tx 0）的最小正周期为4,则下列区间中f（x）单调递增的是（）【答案】C【解析】作出函数y =ka n“|的图象如下图所示:由图可知，函数y =|t a n|的最小正周期为乃，且其增区间为（4肛版+）（&e Z）,对于函数x）,

3、其最小正周期为7=2=4,可得 =（，则 ）=1 01 1 5尢 一5）,由 人乃1 A乃 H （%G Z）,解得 4%+1 x v 4 Z+3 ,其中 Z e Z,所以，.f（x）的单调递增区间为（4%+l,4 k+3）（丘 Z）,所以，函数“力在1 1 g）匕递减，在（gq）上不单调，在 佟3）上递增，在（3,4）上递减.故选：C5.（2022北京高考真题）已知函数/（x X c o s x-s in。，则（）A.我）在（后，4）上单调递减 B./（x）在（V）上单调递增C.F3在（0,|上单调递减 D./（x）在（5,卷）上单调递增【答案】c【解析】因为 f （-v）=cos2 x-si

4、n2 x=cos 2x.对于-A 选项，当-夕1 3寸，F2X-1,则/（x）在上单调递增，A 错；2 6 3 V 2 0 7对于B 选项，当-”高 时，*2 x*，则/（可在（4噌）上不单调，B 错；对于C 选项，当0 x?时，0 2 x g,则“X）在（0,|上单调递减，C 对；对于D 选项，当（x 喑 时，2 0）的最小正周期为T.若 斗 7 ，且y=f（x）的图象关于点（当,2）中心对称，则/5）=（）3 5A.1 B.-C.-D.32 2【答案】A【解析】由函数的最小正周期T满足=7 乃，得 竺 迎 乃，解得2 口 3,33（0乂因为函数图象关于点（5,2）对称，所以三=且6=2,所

5、以0 =_ 春+夫*2,所以0 =1，f（x）=s in x+2 +2,所以/图=sin臣+升2=1.故选：A7.（2022山东济南三模）已知函数/（x）=sinx+sin2x在（0,。）上有4 个零点，则实数的最大值为)A.九3B.2兀c-rD.3兀【答案】C【解析/(x)=sinx+sin2x=sinx+2sinxcosx=sinx(l+2cosx),令风)=0 得 sinx=0 或 cosx=-y作出y=sinx和产cosx的图象:故选：c.8.(2022广东佛山市南海区艺术高级中学模拟预测)已知直线方和X=寺 是曲线/(x)=2 s i n 3 x+*)(-7tx V 7r)的两条对称

6、轴，且 函 数 在(g q)上单调递减，则夕的 值 是()兀7 1A.一 一 B.0 C.-D.兀2 2【答案】A【解析】由/(X)在 已 为 上 单 调递减可知7(争 是最小值由 两 条 对 称 轴 直 线 和 户 等 可知X =0也是对称轴且/(0)=-2 ,为最小值故 s i n p=-lJT又 一 兀e 兀,解得9 =_,故选：A9.(多 选)(2022广东潮州市瓷都中学三模)设函数f(x)=s i n(2 x +与 则下列结论中正确的是()A.y =x)的图象关于点弓,0%寸称 B.y =/(x)的图象关于直线苫=若 对 称c.“X)在0,|上单调递减 D.“X)在-2,0上的最小值

7、为0【答案】A B C【解析】当吟时，/图=s i n兀=0,所以y =x)的图象关于 点 朋)对称，A正确；当=-合 时，/(_ 昌=3吟=1,所以y (x)的图象关于直线=-卷 对称，B正确；当xe o g时，“=2x+?y,y ,/(H)=s in 在 y.y 上单调递减，故C正确；当时，=2X+4/闿，/()=sin“在 已?上的最小值为 近，D错误._ 6 J 3|_ 3 3 1.3 3 2故选：ABC1 0.(多选)(2022全国高考真题)已知函数/(x)=sin(2x+s)(Oe7r)的图像关于点(g,o)中心对称,则()A.f(x)在区间(),石J单调递减B.f(x)在 区 间

8、 有 两 个 极 值 点C.直线X=:771是曲线y=/(x)的对称轴D.直线丫=立-工是曲线y=/(x)的切线2【答案】AD【解析】由题意得:/l y l=s in ly+l=0,所 以 亍+e=E,k e Z,即 9=_ 1 +E,k Z,又 0 e 0）在（0,）上单调递增，则0的最大值为.【答案】1【解析】/（x）=3 s i n （o x +?卜/0）对应的增区间应满足TC0 X +W4一 1+2 左 4,+2 左 4,k QZ,解得x w3不“-+Z.KK4（0-+2k;r4co,kwZ,当时，T 亮闱，要使/（x）=s +3）在（。制上是增函数，则应满足，套 吟，解得则G 的最大

9、值是1故答案为：11 3.（2022全国高考真题（理）记函数 x）=c o s（的+协（0 0,0 3 0,（）。0,所以当2=0 时访=3；故答案为：314.（2022北京人大附中三模）已 知 函 数 耳=手,4-2阳0）5。，2句，给出下列四个结论：x）是偶函数；/（%）有 4 个零点；f（x）的最小值为的解集为（一,乃，一 卜 卜（0,菅 3,2 乃）.其中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 为.【答案】【解析】对于：因为函数的定义域为卜2万,0）U（0,2司，目 ）=吧 匕。=型 竺=力，所以“X）是-X X偶函数.故正确；对于：在x e|-2 万,0）0,2 司，令/（x）=0,解

10、得：X=-2TT,X=F,x=n,x=2 i.所以 x）有 4个零点.故正确；对于：因为f（x）是偶函数，所以只需研究x 0,2句的情况.如图示，作出y=sinx（x e（0,2句）和y=_ g x 的图像如图所示：1 qi n 丫 1 I在x 0,2 句上，有s i n x g x,所 以 詈 =，即/（尤）的 最 小 值 大 于 故 错 误:对于：当了 4-2%,0）5 0,2 句时，x）（可化为：当x 0 时，sinx；,解得：xw（0,看 卜（得 万,2万；当x ,解得：x&-jr,-7 t.2I 6 6 J综上所述：山)(的 解 集 为 卜 夫,彳)40,看)u(|乃,2.故不正确.

11、故答案为：1 5.(2021浙江高考真题)设函数x)=s i n x+c o s x(X R).(1)求函数y =f x+利 的最小正周期；(2)求函数y =/(x)/卜-?在0卷上的最大值.【解】(1)由辅助角公式得/(x)=s i n x+c o s x=V i s i n(x+看所以该函数的最小正周期T -K(2)由题意，y =x)f(x-?)=应s i n(x+?)&s i n x=2 s i n(x+?卜n xA l-c o s 2 x A/2.41.O 7 2 .(乃L 后=V 2 -H-s i n LX s i n 2 x-c o s 2 x H-=s i n 2 x|+,2 2

12、 2 2 2 4 j 2由 xe 0,g 可得2 x-e ,_ 2 J 4 4 4 _所以当2-=即X =竽0寸，函数取最大值1 +立.4 2 8 21 6.(2022浙江糊州市菱湖中学模拟预测)已知函数/(x)=s i n(2 x+?+c o s(2 x-f6 3 求/(碧7 7 r)的值；求函数/(X+合 在。|上的增区间和值域.【解】解：因为/(X)=s i n(2 x+3+c o s(2 x-6 37 U 7 C 7 1 7 t所 以 f(x)=s i n 2 xc o s +c o s 2 xs i n +c o s 2 xc o s +s i n 2 xs i n 6 6 3 36

13、 .c 1 c 1 c 6 .c=s i n 2x+c o s 2 x+c o s 2x+s i n 2 x2 2 2 2 c 1 C)=2 12 s i n 2 x+2 c o s 2 xJ=2sin2x+,即/（x）=2sin2x+,所 以/侍 卜 2 sin 0 x 号+|=2sin弓=2sin卜 尤（2）解：由（1）可得f G+正）=2$访 2x+=2sin（2 x+）,因为xe o,y,所以2+枭y,.y ,所以sin（2 x+?）e _冬1 ,则/卜+意 -6,2 ,令三 口+5,解得0 4 x 4 专，即函数在0,|上 的 单 调 递 增 区 间 为；17.（2022河北石家庄二

14、中模拟预测）已知函数 N）=卜 血+病 0 5）（：0 5-瓜 时.求函数“X）在0,句上的单调增区间；67 T（2）若/（/）=,0,-,求 C OS2AJ）的值.【解】（1）解：/（x）=siiu-4-cosxcosx-V3sinrj,=-2sinxcosx+V3cos2x-/3sin2 x,=-sin2x+5/3cos2x,T T 27r 7i-4-2k7T 2x+-+k7r,k e Z,7yr 7t解得-1-k/r x0,L L -C 2 2 1 、所以2%)+丁 丁 )所 以c o s 2%)=c o s=c o s(2 x 0 +)c o s y+Si n(2 xo+y )s i

15、n y+5 2 1 01 8.(2 0 2 2 海南中学高三阶段练习)已知函数/(x)=s i n W x +*)(o 0,闸 再 从 条 件 、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使 f(x)的解析式唯一确定.求“X)的解析式；设函数g(x)=x)+/|,求 g(x)在 区 间 0,(上的最大值.条件：/(力 的最小正周期为万；条件：/(0)=0；条件：/(x)图象的一条对称轴为x =(.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【解】(D选择条件：由条件及已知得7 =红=7，所以0=2.0)由条件/(0)=0,即s i n e =0,解得。=4 不化2).因为蚓，所以9

16、=。，所以 x)=s i n 2 x,经检验9 =0 符合题意.选择条件：由条件及已知得7 =万，所以0 =2.CO由条件得2 x；+g =E+/a e Z),TT解得(左 e Z),因为IOIC,所以。=0,所以/(x)=s i n 2 r.若选择：由条件 0)=0,即s i n 8 =o,解得e=版 仕w Z),因为冏-)1 1 ；当8 s?x=c o s?y=1时，c o s(x y)1 0,故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式c Nx+c o s?)，-c o s(肛)(x,R)可以取到任意接近T和3的值,从而该式无最值.取 x =T,y=叩(w N ),则 c o s?x+8

17、S/y-c o s(盯)=2-c o s(牡)对任意 0，由抽屉原理，存在Ni N,使 得 公 即-2 e再考虑无e N*，使得kdl0，由抽屉原理，存在N i N使 得 仁QP-2再考虑M w Z,使得必(不取等的理由同上).则=M 时,2k 野P-g ”与P 2九善0-从而 co,P2S （cos七,1）,cos2x+cos2 y-cos（xy）?（1cosdp）,即证.故选：D2.(2022天津一模)已知函数/(x)=s in x-2卜in x|,关于x的方程尸(x)+石/(x)-l =0有以下结论当“2 0时，方程.尸(刈+&/(力-1 =0在 0,2句最多有3个不等实根；当0 4 a

18、 3时，方程/2 (x)+&/(x)-1 =0在 0,2句 内有两个不等实根；若方程./(x)+石“X)-1=0在 0,6句内根的个数为偶数，则所有根之和为15万；若方程尸(x)+G“x)-l=0在 0,6句 内根的个数为偶数，则所有根之和为3 6万.其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【答案】A/、f-3 sinxy2k7v x Ik n +TV【解析】依题意，x)=.,c，k e Z,函数/(幻的值域为-3,0,sinx,2k7c+TTX。(舍去)，而a 2 0,令+则方程尸(力+6“同-1 =0的根是函数丫=门*)的图象与直线丫=%交点横坐标，作H 1函数y=/(X)在 0,6句

19、 的图象与直线y=6，如图，当x w r0,2 句.时，“x)、=f-.3 s i nX90Xc TT，观察图象知，I s i n x,x ITC当a =0 时，乙=-1,函数y =/(x)的图象与直线y =G 有 3个交点，当0 。时，-3 。一1,函数y =/(x)的图象与直线y 有 2个交点，当=与时，=-3,函数y =/(x)的图象与直线y =4 有 1 个交点，当时，4 -3,函数y =/(x)的图象与直线)，=%没有交点，所以当a 0 时，X G 0,2 7 1 ,函数y =/(x)的图象与直线y =4 的交点可能有3个、2个、1 个、0个，正确，不正确；当x e 0,6 句时，函

20、数y =/(x)在 0,6 句 的图象与直线y =的交点个数为偶数，观察图象知，此时-3 r,0)图像的一条对称3 兀轴和一个对称中心的最小距离为二，则()4A.函数/*)的最小正周期为3 7 tB.将函数/(x)的图像向左平移;个单位长度后所得图像关于原点对称4C.函数/(X)在 兀,|兀上为增函数D.设g(x)=eW/(gx+：则g(x)在(一 10兀,10兀)内有20个极值点【答案】ABD【解析】根据题意可得工=包，则7=3 兀，即0=,A 正确;4 4 co 3f(x)=s in(|x 闻将函数/的图像向左平 若 个 单位长度 得 尸 s in(+次=-|x2 y=s in(x 为奇函

21、数，其图像关于原点对称，B 正确;5.x e 兀,贝2 3 6兀 3-,-712 22，/(幻在 兀兀上为减函数，C 错误；g(x)=e|A|/+j=e|r|sin x,则 g(-x)=0Hti sin(-x)=-e国 sinx=-g(x)J g(x)为奇函数当 xNO时，g(x)=exsinx,则 g(x)=e(sinx+cosx)=VJe，sin(x+；令 g(%)=0,则sinb+：)=(),即 x+：=E(攵 wN*)/.x=kji-(k N*)VXG0,107C),即0 也一弓10兀(ZEN*),则k=1,2,3,.,10 共 10 个则g(x)在(-10兀,10兀)内有20个极值点

22、,D 正确;故选：ABD.4.(多 选)(2022湖北嚷阳四中模拟预测)若 x)=M nx+6cosx|+2sin x-c o sx|,则下列说法正确的是()A.f(x)的最小正周期是B.f(x)的对称轴方程为 =券咤，(ZeZ)57rC.存在实数。，使得对任意的x e R,都存在占,-,0 且不二，满足/(x)丁-4(x)/(x J +l=0,(%=1,2)D.若函数g(x)=2x)+b,x e 0,是 实 常 数)，有奇数个零点用，程,%,%+i(e N),则3+2(3+鼻+入“)+*2+15 0 万【答案】A D7 T 1 T 解析】由题设/(幻=2 I S i n(X +y)|+2 I

23、 C O S(X +y)|,所以 f2(X)=4(1+1 s i n(2x+4)I)=4(1+|c o s(2x +)|),故 f(x)=2./l+|c o s(2x +-)|,3 6 v 6I T由y =c o s 2x 的最小正周期为左，则y c o s 2x|的最小正周期为彳，2同理y =2jl+c o s(2x+马 的 最 小正周期 为%则f(x)的最小正周期为1,A 正确;V 6 2对于/(X),令2 x+?=与，则对称轴方程为x =且Are Z,B 错误；对任意x有/(x)w 2,2夜 ,3 aeR,3 x x,e -得,0 且片声吃满足4()=/。)+心则1 且_ J 2 4所以

24、 af(xk)e (2a,a 5(6+l)a,2&a),则|,竽 仁(2a,娓矶2 K 6+l)a,2&a),所以c 52a 建4无解，即不存在这样的“，C错误;由g(x)=0 可转化为f(x)与 y =-4交点横坐标，而x e 0,等上/(x)图象如下:z.L 1 n _Xl+X2 _7 T X2+Xj _57 1 七+%4 _ 2 4 x4+x5 _7 l X5+x6 _ 7 X,+x2 _17 l%7 +x8 _5TI2 6y 2 V2y 2 T 2 一 五 2 不、2 一 石、2 才，4+/_ 23 乃2-2-，所以尹 2仁+七+.+/)+%=竽，D正确.故选：A D5.(多 选)(2

25、0 22江苏常州模拟预测)已知函数/(幻=!$出、|：0$兑%1 2 时，恒有lo g,x g 成立，而/的值域为方程/。)=lo g/在(2,+8)上无零点，JTT T又当0 x l 或 x 0,g(y)=-lo g40且阚 0的 最 小 正 整 数 解 为.【答案】c o s(2 x 4)2【解析】由得：/(1)=c o s(等+3=-1,则 等+9=7 t +23，KeZ,由得：/)=c o s(等+夕)=0 ,则 詈+9=；+&兀,&w Z ,由得：T=-x2,即0。6,CD 6联立得：0 =2 +4(2 匕&)，K，&Z,因为0v gv 6,所以0 2 +4(2-4 2)6,k、,k

26、?e Z解得：I va%乃 1,k,k【c Z,所以2仁-&=0,所以3 =2 ,I A 八 八、兀，r 兀，r将69=2代入-(p=FZ,EZ 得：(p-F 兀,2 2 eZ ,3 2 6因为所以9=2 68 s 2兀V 解得：2 台 一 712%喈71+23,当/3=633&EZ,工(一行+%3加，+3兀 左3 W Z ,当&3=1 时，XW1 1 7 1 5 兀五 彳,故最小正整数为3,当山)=c o s(2 x-(71)0 ,解得：2 x-k71 (/+2&兀,/+2攵4兀 ,k&eZ,66xe1+&兀，誉+火 产)，&w Z ,兀5兀当&4=0 时，X,故最小正整数为2,比较得到答案

27、为2故答案为：c o s(2 x-l 27.(2 0 2 2上海华师大二附中模拟预测)已知函数%)=s in(1)解不等式x)2-g；5乃6(2)若工n 7t1 2,T，且尸(=-4 4”力一C O s U x-y j的最小值是-,求实数4的值.【解】：x)=s in2 x)-2 s in(x-(COSx 十 一3 44J2与2in 2才 +(s in x -c o s x)(s in x+c o s x)424高X-+1-sin2x+sin2 x-cos-xsin2x-cos2x由 2k 冗-%&2%4+等，得 kjr x k7 r+-,解 集 为k/、卜 兀+q ,k e Z(2)F(x)

28、=-42 f(x)-cos(4 x-y 卜-42 sin(2*卜 上 2位2 x-=2sin2f2x-4Asinf2x 1-1 =2 sin(2x -丸-1-2分666；x eTC 汽-2x4-f,0sin2x-jl,当41时，当且仅当呵21一看卜1时，“X)取得最小值1-4 2,由己知得1-42=-。，解得4=这与2o21相矛盾.综上所述，28.(2022全国高三专题练习)已知常数。msinx+2m-l,若=求实数机的取值范围;(3)已知常数 eN,且函数y=/(x)在(0,)内恰有2021个零点，求常数a 及的值.【解】(1)当a=T 时，/(x)=cos2x-4sinx=l-2 sin2

29、 x-4 sin x,令1=$皿X-1,1,贝!J y=1-2/一 4 r,开口向下且对称轴为C =一 1,ym ax=l-2 x(-l)2-4x(-1)=3,即 sinx=-l 时，f(X)inax=3,此时j rx-+2女 乃(女$Z)；(2)当 =一2 时，/(x)=cos2x-2sin x=1 -2sin2 x-2sin x,因为 A=则 A=因为4=卜|?4%4等 ,则当 KsinxWl,令 F(x)=/(x)-m sin x-2m+1 =-2sin2 x-(24-m)sinx-2/n+2令 sinx=r e ，l ,则 g =-2-(2+m)f-2，+2,开 口 向下，所以 g(f

30、)0 需满足.g 停 卜-2 传|-(2+62。，解得巾啜,g(l)=-2xF (2+机)一26+20(6_s 5、故实数m 的取值范围为-8,一 L ；(3)/(x)=cos2x+izsinx=l-2 sin2 x+asinx f r=sin x e-l,l,则 y=l-2*+m,所以 l_2+m=0,A=a2+80.所以 1-2/+G=0 有两个不同得实数根i G，又由韦达定理 得 优=-g ，所以两根异号，当一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0 且小于1，方程有偶数个根，不符合题意：当两根绝对值均在(0,1)之间，G=sinx,r?=sinx在区间(0,%)上均有偶数根，不合题意；当

31、4=-1，。=1 时，若 x e 0,27r,sinx=l,即 x=g,sinx=-,即=乂 或 x=U,所以方程f(x)=0 在 0,2句上有三个根，因为2021=3x673+2,所以方程在 0,1346句上有2019个根，又因为方程在 1346万,1347句 上只有1 个根，又因为方程在 1347肛1348句 上只有2 个根，所以方程在(0,1347万)有2020个根，在(0/348万)上有2022个根，不合题意；当 4=-l，G=g,a=-l 时，若 x e 0,2;r|,sinx=-l,B P x=-y-,sinx=g,即=2 或 户 期，所以方程/(x)=0 在 0,2句上有三个根，因为2021=3x673+2,所以方程在 0,1346司上有2019个根，又因为方程在 1346肛1347句 上只有2 个根，又因为方程在 1347乃,1348句 上只有1 个根，所以方程在(0,1347公有2021个根，满足题意；综上：二1347,。二 一 1.