高三数学（理）二轮复习二数列第2讲数列求和及综合应用.pdf

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1、第2讲 数列求和及综合应用高 考 定 位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.真题感悟考点整合明考向.扣要点真 题 感 悟1.(2 0 1 7全 国 I I I 卷)设数列 a”满足 a i+3 a 2+.+(2 n l)a n=2 .(1)求 如 的通项公式;(2)求数列Cln2+1的前项和.解 因为m+3 a 2+(2-1)以=2,故当2 2 时，4 1+3 2+3+(2-3)“?1=2(-1),2一得(2 -所 以=2 p又=1时，。1=2 适合上式，从而他

2、 的通项公式为外=万记.2+1的前n项和为Sn,由知:an2n 1 (2 -1)(2+1)则 S =(l-g1(3-52 2 -1 2 +1 1、In 1 2+1=1 -=-2+i 2 +r2.(2 0 1 7 山东卷)已知 z 是各项均为正数的等比数列，且防十=6,i 2=3.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)为 为各项非零的等差数列，其前项和为S”，已知S 2”+i=。,仇+1,求数列Tn.解(1)设 m 的公比为q,bn.的前n项和由题意知，c i (1 +cj)=6,alq=aiq2,又。0,解得所以a”=2 .+211+.+1(2)由题意知:S2”+i=(2 +1 )(b l+/?

3、2 +l)=(2+1 )/+1,2又 Sln+1=bnhn+1,及 十 1#),所以 bn=2n+.令 则 Cn=2ni-,因此K?=C 1+.+二=3 ,A,Z ,2 T 2+l2 2 2 2 *2n，2n 12 2+12+i，两 式 相 减 得 品=扛 ;+/+薪 9一毯讲,所 以 =5 一歹.考 点 整 合Si(=1),1 .(1)数 列 通 项 与 前”项 和 S 的关系，an=n。/.S S i 532).应 用 z与 S”的关系式式小，S)=0时，应特别注意=1时的情况，防止产生错误.2 .数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重

4、新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列 痴,的前项和，其中伍“,d 分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂 项 相 消 法 适 用 于 形 如(其 中 。“是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温 馨 提 醒 裂 项 求 和 时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.3.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S,的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利

5、用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.隰点聚焦分类突破 研热点析考法热 点 一 小 与&的 关 系 问 题【例1】设数列 服 的前项和为5“对任意的正整数，都 有 小=5 8+1成立，b,=-log2|a”|,数列 bn 的前项和为力 C =J7 1.Lnln+(1)求数列&的通项公式；(2)求数列 c a 的前项和4”并求出4 的最值.解 因 为 a”=5 S+L C N*,所以 Cln+1=5Sn+1+1 ,两式相减，得。+1=一；&“又当=1 时，ai=5ai+l,知 m =一所以数列 小 是公比、首项均

6、为一:的等比数列.所以数列 z 的通项公式而=(一1).(2)bn=1 log2|a|=2 一 1,数列 瓦 的前项和=/,_ bn+_ 2+1 _ 1 _ Cn TnTnu n2(n+1)2 n2(n+1)2所以 A=L (：1)2.因此 4,是单调递增数列，1 3.当“=1时，4有最小值4 =1一,=不4没有最大值.探 究 提 高1.给出S,与以的递推关系求以，常用思路是：一是利用55一1=3(22)转化为斯的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S的递推关系，先求出S 与之间的关系，再求 C ln.2.形如a+i=pa+q(/#l,甘 丹,可构造一个新的等比数列.【训 练1 (2018安徽

7、江南名校联考)已知数列 劣 的首项0=1,S是数列 z 的前项和，且满足2(S+1)=(+3).(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 氏 满 足%=一，记数列 仇 的前项和为T”，求证：T3.C lnC ln+l解 2(5,I+l)=(n+3)a,(,当22 时，2(S-1 +1)=(+2)an-1,一得，(+1)。1 =(+2)2-1,所 以 果=竽(2 2),又 苗=，十 2 十 1 1 +2 3故 上 粗 是首项为W 的常数列.所 以。”=/+2).(2)证 明 由(1)知，_1 _ 9_O _ OaiMn+i(+2)(+3)9(+2+3/.*T=bi+/+b3+加热 点 二 数 列

8、的 求 和考 法1分组转化求和【例21】(2018 合肥质检)已知等差数列 ”的前项和为S,且满足8=24,57=63.(1)求数列 而 的通项公式；若 瓦=2%+(-1)”5,求数列 儿 的前n项 和Tn.解(1):。为等差数列,fS4=4tzi+2 d=24,Si=la+d=63,解得ci=3 9d=2.因此(“的通项公式an=2n+l.(2).氏=2%+(一 l)a=22n+1 +(1 产(2 +1)=2x4n+(-l)n-(2n+l),8(4 一 j)/.7)j=2x(41+4?+4)+3+57+9.+(1)(2+1)=+G”.V）当n为偶数时，G”=2 x/=,8(4-1)3二 Tn

9、=卜 ；n1当为奇数时，G”=2 x-y(2+l)=一一2,.8(4-1).Tn=n2,8(4n-l)3+“（为偶数），：.Tn=8(4“-1)n 2（为奇数）.3探 究 提 高1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：（1）根据等差、等比数列分组；（2）根据正号、负号分组.考 法2裂项相消法求和【例22（2018郑州调研）设S为数列 曲 的前项和，Sn=2n2+5n.求 证:数 列 3%为等比数列；设bn=2Sn-3n,

10、求数列|蜀 的 前n项 和Tn.(1)证 明，：Sn=2n2+5n,.当”22 时，a“=S2-i=4 +3.又当=1 时，ai=Si=7 也满足。=4+3.故 m=4+3(N*).,3%+i由 dn+一斯=4,得 3”=3a”+i 0),。4=。同3=81,fai=3由题意，得,2 Q f、解得，1。闻十aiq=3(ai+aq)，lq=3.所以 a”=aig 1 =3Z,.(2)由(1)得=log332n-1=2 n-bn(bi+bn)nl+(2-1),S n=2=2=n2n+V1若恒成立，则A-,An N*)恒成立，2n+1 2 十 1则从袁L x，所 以 恳考 法3错位相减求和【例2一3

11、 (2018潍坊一模)公差不为0的等差数列 z 的前项和为S“已 知S4=10,且a ,。3,。9成等比数列.求 为 的通项公式；(2)求数歹U慨 的 前“项和解(1)设 而 的公差为d,由题设40+64=10,14 i+6d=10,得 彳 ；4、。3=。卜。9，、(ai+2d)2 =ai(”i+8 d).解之得ai=l,且d=l.因此a,i=n.鹿(2)令 C =*,则。=Cl+c2+c”=)+9+*+F!+鼠 1 2.1.n 否孕+3+3 +3+i 一 得:1=(;+/+/涓.T 3 2n+3 7”=1 4x3”，探 究 提 高1.一般地，如果数列 板 是等差数列，为 是等比数列,求数列

12、m为 的前九项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 凡 的公比，然后作差求解.2.在写6”与“qS J的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出6-qSJ的表达式.【训 练 3】已知数列 z 的前项和S”=32 +8，儿 是等差数列，且斯=儿+仇+|.(1)求数列 d 的通项公式；(+),i+i(2)令c“=(；”，求数列 C”的前项 和Tn.k Un I Z)解(1)由题意知，当2 2 时，a“=SS-i=6+5.当=1时，ai=Si=l L符合上式.所以a”=6+5.设数列 加 的公差为d，a=b-bi,11=2b+J,由 即 42=庆+加，,17=2

13、Z?i+3J,/?i=4,可 解 得，、所 以d=3+l.d=3.(6+6),i+l,.(2)由知 c“=(3+3)“=3(+12+L,又 =C1+C2+c,”得 7；,=3x2x22+3x23+.+(n+l)x2,+l,2L,=3x2x23+3x24+.+(/t+l)x2n+2.两式作差，得一 7；=3 x 2x22+23+24+2+1(+1 )X2+24(1 2”)=3x 4+-:-(n+1)x2,+2=3/?-2/,+2.1 2所以 Tn=3 n-2n+2.热点三与数列相关的综合问题【例 3】设/(x)=+2 x,/(x)是 y=y(x)的导函数，若数列。”满 足&+1=/(呢)，且 首

14、项 ai=1.(1)求数列&,的通项公式；(2)数列 而 的前项和为S”等比数列 儿 中，bi=ax,b2=a2,数列 为 的 前 项 和 为T”，请写出适合条件6 M S.的所有n的值.解(1)由y(x)=+2 x,得/(x)=x+2.,*。+1 =f(。)，且。1 =1.，a+i=a+2 则。升1一。=2,因此数列 斯 是公差为2,首项为1的等差数列./.1 +2(1)=2 1.W i/乙乂(1+2-1)c(2)数列 的前项 和S=-2-=后等比数列%中，4=。1 =1,历=。2=3,:.q=3.：.bn=3n13 31 3”1，数列 儿 的前项 和7；,=-=p=.3-1TWS”可 化

15、为-2 一W/.又W N,，=1,或=2故 适 合 条 件 的 所 有 的值为1和2.探 究 提 高1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数,利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【训练4】(2018长沙雅礼中学质检)设数列 痴(“=1,2,3,)的前项和S,满足S“=2a”a,且a i,或+1,。3成等差数列.(1)求 数 列 的 通 项 公 式；记 数 司:的 前 项和为Tn,

16、求 使 得1|焉 成 立 的 的最小值.解(1)由已知 Sn=2cin-d 9有 dn Sn Sn 1 =2o 2-l(S 2),即。/?=2 一|(22).从而 c i 2 2al，43=2。2=4 0.又因为。1,s+l,3成等差数列，即1+3 =2(42+1),所以。|+4。1=2(2的 +1),解得。1=2,所以数列。,是首项为2,公比为2的等比数列，故 an=2n.(2)由(1)可得C l n N所以由000，得 1一的一 1、(jo。即 251 0 0 0,又YeN*,29=5121 000Tio+1 013,所以整数m 的最小值为1 024.答 案 C4 已知数列”满足a”+ia

17、”=2,ai=-5,则向|+|阅+.+|。6|=()A.9 B.15 C.18 D.30解析a,；=2,ai=-5,.,.数列 a”是公差为2,首项为一5 的等差数列.an=5+2(-1)=2-7.山一,/上.(-5+2 -7)o数列 0 的刖项和Sn=2=2 6几.7令 z=2 -7 N 0,解得71W3 时，dn 三 4 时，贝！+|燃|=-C l Q 2。3 +。4+。5+。6=S6-2S3=62-6X62(32-6X3)=18.答 案 C5.对于数列 z ,定义数歹U z+ia 为数列 斯 的“差数列”,若 0=2,数列 0 的“差数 歹 定的通项公式为小+1 =2 3 则数列 如 的

18、前n 项和Sfl=()A.2 B.2 C.2+i-2 D.2 一2解析 因为 a+i=2 ,所以 an=(ana；1-1)+(a；?-1a _2)+Q ai)+ai=2 i+2n-222n22+2 2+2+2=K+2=22+2=2,所以 S尸 下 =2 计 2.答 案 C二、填空题6.（2018.昆明诊断）数列”满足=则:+!+士等于.乙C l 1 C*2 Liz 01 o心解析 m=-n（n2+一1），则1 =（2+i）=20。-1+,、a ai 02 0181 )_ 4 036一2 019尸 2 019答案4 03620197.记S,为正项数列 而 的前项和，且。“+1=2的，则S2oi8

19、=.解 析 由题意得4 S”=(z+l)2,当 =1 时，4m=(m+l)2,a=i,当 时，4s-1=(即 1 +1E 一得益一足_ 112(z+q _i)=0,所以(一。1 2)(。+。i)=0,又 z 0,所以 C ln Q n I =2,则 跖，是以1 为首项，2 为公差的等差数列.匕 c 2018(1+2x2018-1)C,所以 C ln -2H-1,S2018=zj=2 01 8.答 案 2 01828.（2018 贵阳质检）已知田表示不超过x 的最大整数，例如：2.3=2,1.5=-2.在数列&中，Z =Ug,W N+,记的为数列“的前项和，则2018=.解析 当 1W W9 时

20、，a=lg=0.当 102+24,：.Tn=(n-l)-2n+2+4,4 4 E 4/,+I+8故 Sn=Tn+-,_4-=(-1)-2，,+2+.11.若数列 z 是公差为2 的等差数列，数列 瓦 满足夷=1,82=2,且如氏+%=是+1.(1)求数列 ,瓦 的通项公式;(2)设数列 0 满足C=用 1，数列 以 的前项和为T”,若不等式(-1)%。+/7对一切WN*恒成立，求实数的取值范围.解(1),.,数列 E 满足从=1,历=2,且 anbn+bn=nbn+1.时,41+1=2,解得 01=1.又数列 为 是公差为2 的等差数列，Zn=1 +2(-1)=2-1.2.nbnnbn+1,化为 2b=b+l,数列 儿 是首项为1,公比为2 的等比数列.：.bn=2nl.(2)由数列 金 满 足 的=第=号,On 1 乙 L数列 0,的前项和为5=1+介 宗+赤 ,.17 _1./一 2两式作差，得n-1 .2n9.,1 _J_A-1 十2 十22十十2-i 21 22=2+22 ，.Tn=4+22n,n z不等式(1)”4+子，化为(1)4/，2=2 Z/N*)时，A4-7，取=2,衣3.2n=2k1(%N*)时，一z4取=1，工 2.综上可得：实数2的取值范围是(一2,3).