高二文科数学暑期讲义第9讲导数在研究函数中的简单应用教师版.pdf

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1、第 9 讲导数在研究函数一中的简单应用。满分晋级新课标剖析当前形势导数及其应用在近五年北京卷（文）中考查13 18分内容要求层次ABC局考要求具体要求利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）导数在研究函数中的应用Y 函数的极值、最 值（其中多项式函数不超过三次）“利用导数解决某些实际问题.北京高考解读2008 年第13题5分第17题13分2009年 2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第18题14分 第18题13分 第18题13分 第18题13分1089.1利用导数分析函数的单调性利用导数判断函数的单调性的方法如果函数y =/(x)在x的某个开区间内，总有/

2、”(x)0,则 在 这 个 区 间 上 是 增函数;如果函数y =/(x)在x的某个开区间内，总有广。)0(1(幻0,切线是“左下右上”式的，这时，函数/(x)在X。附近单调递增；在X =X 1处，/(苔)0,切 线 是“左上右下”式的，这时，函数/(x)在占附近单调递减.2 .已知导函数尸(x)的下列信息：当 l x 0 ;当 x 4 时，fx)0,则函数在给定区间上为增函数；若 竺 o,则函数在给定区间上为增函数；若(a)0 时，函数y=f（x）的单调递增区间是（0,2 ,单调递减区间是（2,+8）.提高班学案2【铺1】若丁=以 与 y=-2 在（0,+8）上都是减函数，对函数丫 =3+质

3、的单调性描述正确的是X（）A.在（V，+8）上是增函数 B.在（0,+8）上是增函数C.在（Y O,+8）上是减函数 D.在（-8,0）上是增函数，在（0,+8）上是减函数【解析】C【例4】已知函数单调性，求参数范围已知函数/（*）=也*-；,4一2.4 声0）不存在单调递减区间，求的取值范围.【追问】若改为存在单调递减区间，则 a 的取值范围是多少.【解析】a 的取值范围为（Y O,-1.【追问】“的取值范围为（一 1,0）（0,+oo）.尖子班学案2【拓2】已知函数/（工）=2-二,x e（0,2 ,若 f（x）在 x e（O,l上是增函数，则a 的取值范围为_【解析】a 一 1.目标班学

4、案2【拓3】设函数f（x）=lnx+x2+ax在其定义域内为增函数，求 a 的取值范围.【解析】a 的取值范围是-2 及，+8）.9.2利用导数分析函数的极值与最值知识点睛1 .利用导数研究函数的极值：已知函数y =/(x),设/是定义域内任一点，如果对乙附近的所有点x,都有/。)f (1),则称函数/(x)在点与处取极小值,记 作y极 小=/(x0).并把也称为函数/(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.【教师备案】老师可以借助经典精讲中的【铺垫】来讲解函数的极值，先让学生自己观察，然后老师再来总结极值，并总结极值中应注意的方面.我们可以从以下几个方

5、面理解概念：极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可.要注意极值必须在区间内的连续点取得.一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系.即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小.函数的极值点的导数为0 ,但导数为0的点可能不是函数的极值点.也就是说，若r(c)存在，r(c)=o是/(X)在x=c处取得极值的必要条件，但不是充分条件.比如在x =0处，/(0)=0但x =0不是函数的极值点，所以一定要注意点的左右变化趋势.若 在 区 间(，与内有极值，那么“X)在(，切内一定不是单调函数，即在区

6、间上单调的函数没有极值.如果函数“X)在 a,可上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地，当 函 数 在 a ,句上连续且有有限个极值点时，函数/(x)在 a ,以 内的极大值点、极小值点是交替出现的.2.求函数y =x)的极值的方法确定函数定义域求导数/(x);求方程(x)=0的根；检查了(X)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/(x)在这个根处取得极大值：如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值【教师备案】使r(x)无意义的点也要讨论.即可先求出尸(x)=0的根和使尸(x)无意义的点，这

7、些点都称为可疑点，再用定义去判断.极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值.3 .求函数y =/(x)在 a,句上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y =/(%)在(a，6)内的极值；将函数y=的各极值与端点处的函数值八。),/伍)必，其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【教师备案】老师在讲最值时,也可以继续以【铺垫】为例，问学生在一个区间上的最值，并提出需114要注意的几点.在理解函数最值时，需要注意以下几点：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是

8、整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小者.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值：极值不一定是最值，比如说，某位同学在班里的成绩最好，可以认为是班里的极大值，但在全校不一定是最好的，即使在全校最好，也不一定在全国最好，所以极大值不一定是最大值，老师也可以以此为例讲解极小值不一定是最小值.藻)经 典 精【铺垫】如图所示，函数y=x

9、)在a,b,c,d,e,f,g,人等点的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？y=x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=x)的导数的符号有什么规律？【解析】以“，力两点为例，我们可以发现，函数y=/(x)在点x=a的函数值/(“)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，/()=();而且在点x=a附近 的 左 侧(x)0.类似地，函数)=f (x)在点x=6的函数值/()比它在点x=附近其他点的函数值都大，/修)=0；而且在点=人附近的左侧r(尤)0,右侧尸(x)0.其它的点老师可以自由发挥，随便问学生.考点4：与极值相关的图象问题【例5】与极值相关的图象问题函数/(x)的导函数图象

10、如图所示，则函数/(x)在图示区间上A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点(2010朝阳二模6)【解析】(DC(2)A考 点 5：求函数的极值与最值尖子班学案3【铺 2】用导数法求函数/(x)=x +2 的极值.X【解析】/(x)在 x =-0时取得极大值-2&,在 工=亚 时，取得极小值2 立.【例6】求函数的极值与最值己知函数/(x)=2 x3 3 x2+l(x G R).求X)的极值；求函数/(X)在闭区间-1 2 上的最值.【解析】,f(x)的极小值为了。)=0;极大值为 0)=1.函数f(x)在闭区

11、间-1,2 上的最小值为-4,最大值为5.提高班学案3【铺1】设函数f(x)=，1+3 x +2 有极值，求。的取值范围.【解析】的取值范围为a 0.【例7】已知函数存在极值，求参数范围设函数/(X)的导函数为尸(X),若/(*)=加-#+X,a e R .用a表示:；若 函 数 在R上存在极值，求。的范围.【追问】若函数在R上不存在极值，则。的取值范围是多少？【解析】/(l)=2 a-2.(2)0 a 0）,且方程f （x）-9x =0的两个根分别为1,4.（1）当”=3且曲线y=/（x）过原点时，求“X）的解析式；（2）若/（x）在（Y O,+8）内无极值点，求a的取值范围.【解析】/（X

12、）=X3-3X2+12X.（2）a的取值范围是 1,9.右图是导函数y=/（x）的图象，试 找出函数），=x）的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.【解析】根据导函数的正负，我们可以判断原函数的单调性，由此，我们可以得到，函数在x =%处取得极大值，即超为极大值点；函数在x =x4处取得极大值，即匕为极小值点.【点评】一方面，学生在看到此图时，第一反应会默认为4和与分别为极值点，但是我们要审清题意，这里给的是导函数的图象，不是原函数的图象，我们要根据导函数的图象画出原函数的图象;另一方面，学生也会误认为五为函数的一个极值点，我们从图象上就可以看出原函数在（工5,+8）一直是单调递增的

13、，所以人不是函数的极值点.所以原函数的单调性只与导函数的正负有关，与导函数的单调性无关.o 实战演练【演练1】已知函数“X）的导函数/（X）的图象如右图所示，那么函数“X）的图象最有可能的【解析】A【演练2】向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深/?的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（）.【解析】B【演练3】设（x）是函数f（x）的导函数，将y=可能正确的是（）.二上XA B【解析】D【演练4】函数y=4/+J的单调增区间为（XA.（0,+o o）B.（；,+8）【解析】B【演练5】已知a20,函数/（1=，-2 a x）e*【解析】。的取值范围是1 3,+8 1.4）.j j 大千世界函数y=2 x +J l-2 x的最值为（）A 5 5BCD:/（x）和），=/（幻的图象画在同一个直角坐标系中，不C D）C.（c o ,1）D.0 0,设f（x）在-1,1 上是单调函数，求a的取值范围.B.无最小值，C.Z n i n =-，无最大值【解析】B解法一：函数的定义域为,8,/J,D.既无最大值也无最小值1 4 2对原函数求导得y =2-/,令），=0得=士；于是x 士时/1 2x 8 8118y 0,|x g时y =1一产+,其中f0,+8）；而二次函数y=l-/2+r=l-（，-g）,其在0,+8）上显然有最大值;而无最小值.