高等代数（一）期末考试卷及答案.docx

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1、第1页共10页高等代数（1）试卷（信息与计算科学、统计学专业13级）第1页共10页高等代数试卷（DA120分钟2016.07.15星期五中国民航大学高等代数（1）期末考试卷参考答案及评分标准1.将多项式/表示为x-2的多项式为(x-2)3+6(x-2)2+12(x-2)+83.三元实对称矩阵按合同分类，共有10类。4.设A是一个xm矩阵且A的秩是3,P是一个x的非退化矩阵，则矩阵PA的秩是35.二次型X：+后+纨；-2x/3正定当且仅当a12.行列式填空题（5小题，每小题3分，共15分）题目序号一二三四五合计总分审核人签字得分评阅人签字第2页共10页高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专

2、业13级)二、一单项选择题(5小题,每小题3分，共15分)6 .下列命题不正确的是(a)(a)如果多项式(x)是多项式/(x)与多项式g(x)的一个组合，则d(x)是/(x)与g(x)的最大公因式。(b)如果(/(x),g(x)=1,则(f(x)g(x)J(x)+g(x)=1o(c)对于多项式/(x)与多项式g(x),如果f(x)|g(x),且g(x)|/(X),则f(x)=cg(x),其中C是常数。(d)零多项式只能整除零多项式。7 .矩阵A适合条件(d)时，它的秩为r.(a) A中任何r+1列线性无关。(b) A中任何，列线性相关。(c) A中有r列线性相关。(d) A中线性无关的行向量最

3、多有r个。8 .设A是一个X矩阵，下列命题正确的是(a)(a) A可逆当且仅当A与单位矩阵E”等价。(b) A正定时，未必正定。(c) 13Al=3|4|。(d) |A|=|A*|。9 .下列命题错误的是(c)(a)当机时，任意，”个维向量必线性相关。(b)设是个维向量,将向量a,.(i=1,2,L,)添加一第3页共10页高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专业13级)个零分量，记为以，则向量组线性相关当且仅当向量组国平2，l，b“线性相关。(c)如果向量组ai，a2，L,a“线性无关，则向量组a1,a2，L,a“,a“+线性无关。(d)如果向量组aa2，L,a“线性无关，则这个向量组一

4、定不包含零向量。10 .下列命题错误的是()(a)有理数域上存在任意次数的不可约多项式。(b)实数域上的次数不小于3的多项式，也可能是不可约的。(c)两个本原多项的乘积还是本原多项式。(d)设多项式g(x)除多项式f(x)的余式为r(x).则f(x)与g(x)互素当且仅当g(x)与r(x)互素。三、计算题(共3小题，每小题10分，共30分)第3页共10页高等代数试卷(1) A 120分钟2016.07.15星期五第4页共10页 高等代数（1）试卷（信息与计算科学、统计学专业13级）200010000100110100-10(1)求(2)求|O|.于是(1)D=1-20000100000I00-

5、1200-101I10(2)10分12求下列线性方程的一般解（给出两种表达方式）第5页共10页高等代数试卷（D A 120分钟2016.07.15星期五第7页共10页 高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专业13级)x2+2x3+乙=2.解：方程组的增广矩阵-1-11-2-1103-11A)01212J|_1212显然系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都为2,因此方程组有解。4分方程组的一般解为：X1=1-3x3+x4,x2=2-2%-x4,其中土,工4是自由未知量。8分又方程组的一个特解为=(1,2,0,0).而其导出组的基础解系为Q=(-3,2,1,0),t)2=(1,-1,0,1).故方程

6、组的一般解是Yo+Ml+2.其中仁，原是任意数。10分13.已知二次型f(x,x2,x?i)=x；-x；+2xj-2xtx2+4xyx3.(1) 求/(七,工2，当)的矩阵A(2) 求可逆矩阵使得PAP成为对角矩阵。(3) 求一非退化的线性替换并将/(七,与)化成标准形。(4) 求/（须/2，.）的秩、正惯性指数和符号差。解：（1）/（为，9,/）的矩阵1-12A=-1-10.2022分（2）对（AE）试行第三类初等行变换将A.化为上三角矩阵,（3）/（，/，七）=XAX,其中X=（苞，彳2，七）.令非退化的线性替换为：X=PY,其中丫=（弘.2，力）则/（，/，与）的标准形为:才-24.8分

7、（4）显然/（2,9,/）的秩是2,正惯性指数是2,负惯性指数是0,从而符号差是2.10分HI分四、证明题(共3题，每小题共10分，共30分)14.设向量组线性无关，判断向量组%+a2,a2+a3,a3+a4,a4+%是线性相关还是线性无关，并证明你的结论。证明：设数须，“2，%3，4使得(a,+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a4)+x4(a4+a.)=0.即(Xi+x4XX)+(2+x2Xx-+(x2+X3XX3+(x3+x4Xx4=0.4分由于线性无关，所以上式成立当且仅当+匕=0,X1+x2=0,x2+x3=0,x3+x4=0.8分方程组的系数矩阵的行列式1001110001i

8、0=，0011所以方程组有非零解，从而a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+%线性相关第8页共10页高等代数试卷(卷A 120分钟2016.07.15星期五第#页共10页 高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专业13级)/O分15 .设B是X”矩阵，如果对于任一维向量X=(X,X2，L,x)都有BX=0,那么B=0.解：由于对于任一维向量乂=(2,/，匚，匕)都有8乂=0,分别取X为维单位列向量片,j=则Bej=0.5分由于E=(e,e2，L,e“),所以B-BE=B(et,e2,l-,en)(Be,fie2,L,Be“)=(0,0,L,0)=0.10分16 .设p,P2，L,p,是

9、，个不同的素数，是一个大于1的整数，判断piPzLp,是否为有理数,并证明你的结论。证明：令,0pbLp，=a,则a=PiPzLp”，即a是多项式/(xAx-pgLpj,的根。5分假如。是有理数，则。是/(x)的有理根，由于1,由爱森斯坦因判别法知，f(x)无有理根，矛盾，因此，。是无理数。10分VI五.应用题(共1小题，共10分)17.一幢大的公寓楼建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元、7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元、4个两室单元和8个一室单元：C设计每层有5个三室单元、3个两室单元和9个一室单元。设该建筑有苞

10、层采取A设计，声层采取B设计，工层采取C设计。，3、(1)向量占7的实际意义是什么？(2)写出向量的线性组合表示该建筑所包含的三室、两室和一室单元的总数。(3)是否可以设计该建筑，使其有66个三室单元、74个两室单元和136个一室单元？若可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。室单元的总数目。表示选择A设计的那些层的三室单元、两室单元和一第9页共10页高等代数试卷(D A 120分钟2016.07.15星期五(2)用向量的线性组合表示该建筑所包含的三室、两室和一室单元的总数为,5分(3)设该建筑共有层，满足要求的设计存在当且仅当下列线性方程组有非零正整数解：第10页共10页 高等代数（D试卷（

11、信息与计算科学、统计学专业13级）f34566、fl1in、7437401266-3nA=889136001136-8i11n0000故系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都为3,所以方程组有解。进一步4 54 38 91 1所以66 、 ( 1740 1136 t 0 01 n A fl 0 02 66-3n0 1 01 136-8n 70010。 J I。70-4、13n-206136-8n0第11页共10页高等代数试卷（1） A 120分钟2016.07.15星期五%,=704几*x2=13-206,x3=136-8/2.由于 X 0,x2 0,x3 0,n 0,所以 172215口.11又由于是

12、整数，所以=16,17.这样所要求的方案是存在的，有两个方案。第一方案：16层，其中A设计6层，B设计2层，C设计8层：第二方案：17层,其中A设计2层，B设计15层，C设计0层。第5页共10页 高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专业13级)中国民航大学高等代数G）期末考试卷参考答案及评分标准|r,题目序号*二二四11.合计总分审核人签字得分评阅人签字填空题（5小题，每小题3分，共15分）第#页共10页高等代数试卷(1) A 120分钟2016.07.15星期五1.将多项式/表示为x-2的多项式为(x-2)3+6(x-2)2+12(x-2)+82.行列式12 4 81 3 9 27-4

13、83.三元实对称矩阵按合同分类,共有10类。4 .设A是一个xm矩阵且A的秩是3,P是一个x的非退化矩阵，则矩阵PA的秩是35 .二次型x：-2%也正定当且仅当a1单项选择题(5小题,每小题3分，共15分)6 .下列命题不正确的是(a)(a)如果多项式d(x)是多项式/(x)与多项式g(x)的一个组合，则d(x)是/(x)与g(x)的最大公因式。(b)如果(/(x),g(x)=1,则(f(x)g(x)J(x)+g(x)=1o(c)对于多项式f(x)与多项式g(x),如果f(x)Ig(x),且g(x)If(x),则f(x)=cg(x),其中c是常数。(d)零多项式只能整除零多项式。7 .矩阵A适

14、合条件(d)时，它的秩为r.(a) A中任何r+1列线性无关。(b) A中任何r列线性相关。(c) A中有r列线性相关。(d) A中线性无关的行向量最多有/个。8 .设A是一个X矩阵，下列命题正确的是(a)(a) A可逆当且仅当A与单位矩阵均等价。(b) A正定时，未必正定。(c) 1341=31A|。(d) |A|=A*|。9 .下列命题错误的是(c)(a)当?时，任意1个维向量必线性相关。(b)设四,。2，匚，。“是个加维向量，将向量a/i=1,2,L,)添加一第3页共10页高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专业13级)个零分量，记为四，则向量组四,。2，匚,。“线性相关当且仅当向

15、量组即外,L,P“线性相关。(C)如果向量组四,。2，匚”“线性无关，则向量组四,。2，匚,见+线性无关。(d)如果向量组外,。2，匚，。“线性无关，则这个向量组一定不包含零向量。10 .下列命题错误的是()(a)有理数域上存在任意次数的不可约多项式。(b)实数域上的次数不小于3的多项式，也可能是不可约的。(c)两个本原多项的乘积还是本原多项式。(d)设多项式g(x)除多项式f(x)的余式为r(x).则/(x)与g(x)互素当且仅当g(x)与r(x)互素。三、计算题(共3小题，每小题10分，共30分)第3页共10页高等代数试卷(1) A 120分钟2016.07.15星期五第8页共10页 高等

16、代数（1）试卷（信息与计算科学、统计学专业13级）11.设。=-1(1)求。T.(2)求解：令人=-1，则于是(1)D(2)|D|=|A-1 =-21-20000100000100一1200101I10.8分10分12.求下列线性方程的一般解（给出两种表达方式）第#页共10页高等代数试卷（1） A 120分钟2016.07.15星期五第5页共10页 高等代数(1)试卷(信息与计算科学、统计学专业13级)xl-x2+x32x4=-1*X2+2&+=2.解：方程组的增广矩阵-Fl-11-2-11103-1rA=.01212J01212_显然系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都为2,因此方程组有解。4分方程

17、组的一般解为：Xj=1-3x3+x4,x,=2-2xjx4,其中工,34是自由未知量。8分又方程组的个特解为人=(1,2,0,0).而其导出组的基础解系为%=(-3,2,1,0),小=(1,1,0).故方程组的一般解是%+上/+&%，其中女”网是任意数。10分13.已知二次型/(XpX2,x3)=x；-x；+2xj2xtx2+4xtx3.(1) 求/区,n2，七)的矩阵A(2) 求可逆矩阵P使得PAP成为对角矩阵。(3) 求一非退化的线性替换并将/(芭,与,与)化成标准形。第7页共10页高等代数试卷(1) A 120分钟2016.07.15星期五第6页共10页高等代数（1）试卷（信息与计算科学

18、、统计学专业13级）（4）求/（占,看,与）的秩、正惯性指数和符号差。解：（1）/（Xi，/,/）的矩阵-1-12A=-1-10.2022分（2）对（A,E）试行第三类初等行变换将A.化为上三角矩阵,0t0-210 0/ V1 0 0、110-1 1 171-12(A,E)=-1-12202H 1令= 0 1、0 0-np、1，则PAP=-21077（3）/（%,兀2，与）=XAX,其中X=（/,2，七）.令非退化的线性替换为：X=PY,其中丫=（%，丫2，丫3）1则/（修,与）的标准形为:8分（4）显然/（西,乙,修）的秩是2,正惯性指数是2,负惯性指数是0,从而符号差是2.四、证明题(共3

19、题，每小题共10分，共30分)14.设向量组四,。2，。3，线性无关，判断向量组4-CX-,CZ2+。3，+。4，+。是线性相关还是线性无关，并证明你的结论。证明：设数占“2，七,匕使得X(a,+a2)+x2(a2+a3)+(a3+a4)+x4(a4+at)=O.即(Xi+x4)1+(X+x2)a2+(x2+x3)a3+(x3+x4)a4=0.4分由于四,a?,4,a,线性无关，所以上式成立当且仅当X1+%4-0，X1+x2-0,x2+x30,x3+x4=0.8分方程组的系数矩阵的行列式10011100=0,01100011所以方程组有非零解，从而叫+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a,线

20、性相关第8页共10页 高等代数（1）试卷（信息与计算科学、统计学专业13级）10分15 .设8是X”矩阵，如果对于任一维向量X=（X,X2，L，X）都有BX=0,那么8=0.解：由于对于任一维向量X=（用2，1，Z）都有3X=0,分别取X为维单位列向量与，/=1,2,L,则Be=0.5分由于E=（,62，匚，6），所以B=BE=B（e,e2,L,en）=（Bet,Be2,L,Ben）=（0,0,L,0）=0.10分16 .设p”p2，L,p,是f个不同的素数，是一个大于1的整数，判断NprLp,是否为有理数,并证明你的结论。证明：令qPiP?Lp,=a,则a=PP2Lp“，即。是多项式f（x）

21、=xn-PP2Lpn的根。5分假如。是有理数，则a是f（x）的有理根，由于1,由爱森斯坦因判别法知，/（幻无有理根，矛盾，因此，。是无理数。10分得五应用题（共1小题，共10分）分17.-幢大的公寓楼建筑使用模块建筑技术。每层楼的建筑设计由3种设计中选择。A设计每层有18个公寓，包括3个三室单元、7个两室单元和8个一室单元；B设计每层有4个三室单元、4个两室单元和8个一室单元；C设计每层有5个三室单元、3个两室单元和9个一室单元。设该建筑有玉层采取向量$的实际意义是什么？A设计，土层采取B设计，*3层采取C设计。(1)（2）写出向量的线性组合表示该建筑所包含的三室、两室和一室单元的总数。（3）

22、是否可以设计该建筑，使其有66个三室单元、74个两室单元和136个一室单元？若可能的话，是否有多种方法？说明你的答案。解:表示选择A设计的那些层的三室单元、两室单元和一第9页共10页高等代数试卷（1） A 120分钟2016.07.15星期五室单元的总数目。2分（2）用向量的线性组合表示该建筑所包含的三室、两室和一室单元的总数为5分（3）设该建筑共有层，满足要求的设计存在当且仅当下列线性方程组有非零正整数解：第10页共10页 高等代数（1）试卷（信息与计算科学、统计学专业13级）口、(4、（66、74374X8+x28+工9136111n由于q4566、qI1n、7437401266-3A=8

23、89136001136-8111n700007故系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都为3,所以方程组有解。进一步3 4 5-7 4 3 A =8 8 91 1 1n 、10070-466-3n-01013-206136-800I136-80000066、 ( 1 1740 1 2136 t 0 0 1所以%1=70-4m,x2=13-206,x3=1368n.由于XNN0,&N0,N0,所以17NN15k又由于是整数，所11以=16,17.这样所要求的方案是存在的，有两个方案。第一方案：16层，其中A设计6层，B设计2层，C设计8层；第二方案：17层，其中A设计2层，B设计15层，C设计。层。10分第10页共10页高等代数试卷（1） A 120分钟2016.07.15星期五