高考数学专题复习《平面向量》突破解析.pdf

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1、专 题 二 第1讲平面向量【要点提炼】考点一平面向量的线性运算1 .平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法 抓 住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果.2 .在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，A D 是A A B C 的中线，0是 A D 的中点，若。=入 48+口 4。，其中入，u eR,则入+u的值为()【答案】A,-IT-IQ-【解析】由题意知，C 0=5（。

2、D +C 4）=2入c B +C 力1 IT IT 3 -=-0 4 B-A C）+-C A=-A B A C,4 2 4 41 3 1则 z，u=-w，故=-5m(2)已知 e i,e 2 是不共线向量，a =m e i +2 e2,b =n e i e2,且 加之。.若 1)，则一=【答案】-2m【解析】，a b,.m X (-1)=2 X n,一=2.n(3)A,B,C是圆0上不同的三点，线段C O与线段A B交于点D,若 貌=入 万7+口共(入金R,u R),则入+口 的 取 值 范 围 是.【答案】(1,+8)【解析】由题意可得，0 D=k 0 C=k A 0 4+ku 0 B(K

3、k 1,即入+N的取值范围是(1,+).易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形A B C D中，E,F分别为边A B,B C的中点，连接C E,-AD F,交于点 G.若C G=ACD+u C B(入，u w R),则一=.1【答案】-【解析】由题意可设C G=xC E(0 /1 X-则 C G=x(C B+B E)=xl c fi+-c D=-C D+xC B.因为C G=ACO+uCB,。0与。8不共线，x A 1所以入=不 y=x,所以一=7.2 2IT-(2)如图，在扇形O A B 中

4、，Z A O B=-,C为弧A B 上的一个动点，若。C=x O 4 +y O B,则 x+3 y的 取 值 范 围 是.【答案】1,3【解析】设扇形的半径为1,以0 B 所在直线为x 轴，0为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则 B(l,0),C(c os 0 ,si n 0)(其中0 0 j.则O C=(c os 0,sin-j+y(1,0),即E rror!,2 /3 s i n 0解得 x=-,y=c osy/3si n 00 _ -3,27%in 0 r-故 x+3 y=-F 3 c os 0 -A/3 si n 0/3 n=3 c os 0.si n 0 ,0 2+圈 y 2y

5、1团 2.3.若 a=（xi，yi）,b=（x2，y?），为 a 与 b 的夹角，a-b x lx 2+y ly 2人J cos|Q H b I y/xl+y2y/x2+y2【热 点 突 破】【典例】2 （2020 全国HI）已知向量a,b满足|a；=5,b|=6,a b=-6,则cos（a,a+b）等于（）31 19 17 19A.B.C.D.35 35 35 35【答案】D【解析】:a+b|2=（a+b）2=a2+2a b+b2=25-12+36=49,a+b|=7,/.cos（a,a+bQ 1 3 Q+b 团 a2+a b|a|a+b|a a +b25-6 195x7-3527r 1 (

6、2)已知扇形OAB的半径为2,圆心角为耳，点C是弧AB的中点，。=一 万。8,则的值为()A.3 B.4 C.-3 D.-4【答案】C【解析】如图，连接c o,.点C是弧AB 的中点，.C O AB,t 1 2n又；O A=O B=2,O D =-OB,Z A 0 B=y,.,.C D 4 F=(0 Z)-0 C)A BIT T 1 t-0 B A B -0 B-(O B-O A)1 -T 1 7=-O A 0 B 0 B-2 21 f 1 1=-X 2 X 2 X -X 4=-3.2 2 J 2(3)已知在直角梯形AB C D 中，AB=AD=2 C D=2,Z AD C=9 0 ,若点M在

7、线段AC 上，则M B+沅 D|的取值范围为2A/5 1【答案】，一,2A/2【解析】以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0),B(2,0),C(l,2),D(0,2),设A M=A A C(OWA W1),则 M(入，2 人)，故 麻=(一 A,2-2 X),M B=(2-X ,-2 X),则MB+MC=(22 A,2-4 X),M B+M D=，2-2 4 回 2 +团 2 4 4 团 2=j。卜-|人31，当入=0时，沅 B +跌 取得最大值为2/,3 -2 /5当入=与时，|时8 +时。|取得最小值为飞一,2邓：.M B

8、+M D G-i 5 ，易错提醒 两个向量的夹角的范围是 0,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线.【拓展训练】2 (1)(2 0 1 9 全 国 I)已知非零向量a,b满 足 a=2 b ,且(ab)，b,则 a与 b的 夹 角 为()Ti 7 i 2 7 r 5 7 rA.-B.-C.-D.6 3 3 6【答案】B【解析】方 法 一 设 a 与 b的夹角为。，因为(ab)_ L b,所以(ab)b=a b|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以 2 1 b l2 c os 0 b|2

9、=0,1即 c o s。=5，7 T又。e o,n ,所 以。=,故选B.,方法二 如图，令。4=a,0 8=b,则8 A =0 4 0 8=a b.B。，人n因为(ab)J _ b,所以N 0 B A=5，n又 I a|=2|b|,所以N AO B=,n即 a 与b的 夹 角 为 故 选 B.（2）（2 0 2 0 新高考全国I ）已知P是边长为2的正六边形AB C D E F 内的一点，则4 P 力B 的取值范围是（）A.(2,6)C.(-2,4)B.(6,2)D.(-4,6)【答案】A【解析】如图，取 A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0

10、),C(3,V3),F(-l,7?).设 P(x,y),则 酢=(x,y),危=(2,0),且一 l x 3.所以4 P A B=(x,y)(2,0)=2 x (2,6).,（3）设 A,B,C是半径为1的圆0上的三点，且0 4L0B,则（。一。4）（。一。B）的最大值是（）A.l+攵B.1-A/2C.A/2-1 D.1【答案】A 【解析】如图，作出。，使得04+。8=0。.则（OC-OA）（OC-OB）=0 C 2 一 -。4 OC-OB 0C+04。8=1 （。4 +。8）。=1 -0 D 0C,由图可知，当点 C在 0 D 的反向延长线与圆0的交点处时，0 0 5 取得最小值，最小值为一

11、贬,此时（万 一6 7）（共 一万%）取得最大值，最大值为1+.故选A.专题训练一、单项选择题1 .已知四边形AB C D 是平行四边形，点 E为边C D 的中点，则 后 等 于（）1 1 -A.-A B+A D B.-A B-A D1 1 C.A B+-A D D.AB一A D2 2【答案】A1 【解析】由题意可知，B E=B C+C E=-A B+A D,2.（2 0 2 0 广州模拟）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向7 T上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为每只胳膊的拉力大小均为4 0 0 N,则该学生的体重（单 位 k g）约为（参考数据

12、取重力加速度大小为g=1 0 m/s2,V3 1.7 3 2）（）A.63 B.69 C.75 D.81【答案】B【解析】设该学生的体重为m,重力为G,两臂的合力为F，,则|G|=|F 由余弦定理27r厂得|b 12=4002+40022x 400X400Xcos 彳=3乂4002,.|F|=400V3 G =mg=4007 3,m=40/3 x 69 kg.3.已知向量 a=(1,2),b=(2,2),c=(入，1),若(3(28+1),则人等于()1 1A.-2 B.-1 C.D.2 2【答案】A【解析】V a=(l,2),b=(2,-2),A 2a+b=(4,2),又 c=(入，-1),

13、c(2 a+b),，2 入+4=0,解得入=-2,故选A.4.(2020 潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，点 P(、俗，1),将向量苏绕点0 按逆时针n方向旋转2 后得到向量。Q,则点Q的 坐 标 是()A.(一1)B.(1,y/2)C.(1)D.(1,V3)【答案】D【解析】由 P(、/3,1),得 P(2 c o sq,2s in7T.将向量。P绕点0 按逆时针方向旋转2 后得到向量。Q，Q(2 c o s(W 2 s i n(i+l)*（n TT n 1又 cos w+彳 =_ sin 7=-,6 Z/6 2（n n n、后s i喘+5 尸。s 6=.*.Q（1,、3）.5.（202

14、0 泰安模拟）如图，在aABC中，点 0 是 BC的中点，过点0 的直线分别交直线AB,A C 于不同的两点M,N,若A C=nA N,则 m+n等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C 1 【解析】如图，连接A 0,由。为 BC的中点可得，A O=-（A B+A C）Am t n-=-A M+-A Nf2 2VM,0,N三点共线,/.m+n=2.6.在同一平面中，A D=D C,B E=2 E D.若A E=w4 B+nA C(m,nR),则 m+n 等于()2 3 5A-3 B-4 C6 D-1【答案】A 1 1 T IT IT IT【解析】由题意得，A D=-A C,D E=-D

15、 B,故4 E=/D +D 5=5?!C+3。C+IT t 1-1/-(A B-AD)-AC+-IAB-2JA Cr 1 AT B 1 AT C,所以 m=Q1,n=-1 故 01+11=32.7.若P为AABC所在平面内一点，且I鼠 一 后|=K1+彘-2此，则AABC的形状为()A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】：/M-P B iP A+P B-2 P C ,1541 =|(P A-P C)+(P B-P C)|-|c l+C 8|,即|C 4-C B =：C4+C B|,两边平方整理得，C ACB=O,：.C A C B,.ABC为直角三角

16、形.故选C.8.已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则 向+方+2间的最大值为()A.2-/3 B.3A/3 C.4、后 D.5 3【答案】D【解析】设AABC的外接圆的圆心为0,3 1 J T T T则圆的半径为一/=X-=-/3,。4+。3+。=0,3 2 故 P 4 +P B+2 P C=4 P 0 +0C.又 4 P0 +0 C 2=5 1+8 PO OC 5 1 +2 4=7 5,故 月1+译+2旅 W 54，当P。，oc同向共线时取最大值.9.如图，圆 0是边长为2 7行的等边三角形A B C的内切圆，其与B C边相切于点D,点 M为圆上任意一点，f i 1 i f

17、=x e l+y B l)(x,y G R),则 2 x +y的最大值为()A.-V2 B.A/3 C.2 D.2A/2【答案】C【解析】方法一 如图，连接D A,以D 点为原点，B C所在直线为x 轴，DA 所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设内切圆的半径为r,则圆心为坐标(0,r),1 1根据三角形面积公式，得i Xl A B c Xr n XA B XA CXs i n 6 0 (1 人间为A B C的周长)，解得r=1.易得 B(一0),易一,0),A(0,3),D(0,0),设 M(c o s 0,1 +s i n。)，9 G 0,2 J I),则 盛=(c o s 0

18、+V 3,1 +s i n 6),MA=5,3),0),故B M=(c o s 61 +s i n 0 )=(A/X+、月y,3 x),故E r r o r!则 E r r o r!A/GC O S 0 s in 0 4 2(n 4所以 2 x +y=-1-H-=-s i n 0 +所以 B M 12=3(4x2+2xy+y2)=3(2x+y)22xy.由题意知，xNO,y0,B M 的最大值为、/团2V 3团2 一 团 /3-2=3,0 2%+y 0 2 1 3 2x+y 0 2又-;-2 2xy,即-W-2xy,443所以 3X：(2x+y)2W 9,得 2x+yW2,4当且仅当2x=y=

19、l 时取等号.二、多项选择题10.(2020 长沙模拟)已知a,b 是单位向量，且 a+b=(l,-1),则()A.a+b|=2B.a 与 b 垂直7TC.a 与 a b 的夹角为了4D.ab|=1【答案】BC【解析】la+b=、12+一-1 回2=丁，故 A错 误 因 为 a,b 是单位向量，所以|a|2+b|2+2a b=l+l+2 a b=2,得 ab=O,a 与 b 垂直，故 B 正确；a b 2=a2+b22a b=la-1 2 1 a b lU a 2 a-b-x/22,a b=y/29 故 D 错误 cos(a,a b)=-=-=f 所以 a 与 8一 a a-b i x%/2

20、2nb 的夹角为了，故 C 正确.41 1.设向量a=(k,2),b=(l,-1),则下列叙述错误的是()A.若k 一2,则a与b的夹角为钝角B.a的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为（5-,D.若|a|=2|b,则 k=2衣或一2力【答案】CD【解析】对于A选项，若a与b的夹角为钝角，则abO且a与b不共线，则k20且k r 2,解得k 1 2.已知ABC是边长为2的等边三角形，D,E分别是AC,AB上的两点，且4E=EB,AD=2流，BD与CE交于点0,则下列说法正确的是（）K.AB-C E=-1B.OF+OC=OA/3C.0 A+0 B+0T T 7D.E D在B C方向上的投影

21、为之6【答案】BCD【解析】因为5%=品，AABC是等边三角形,所以CE1AB,所以1 CE=0,选项A错误;以E为坐标原点,昌，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示,所以 E(0,0),A(1,O),B(-1,O),C(0,V 3),I)设 0(0,y),y e (0,&),则B 0=(1,y),=y ),又8。，所以 y 一/=一y，解得 y=1-，即 0是 C E 的中点，OE+OC=0,所以选项B正确;A/30 4+0 B +0 C|=|2 0 E+0 C|=OE=-,所以选项C正确；T 1cT /I 2A/3 T T T E D B C 3 +2 7FD=-2 ，

22、8 C=Q,V 3),ED在B C 方向上的投影为-所以选项k 3 3|i c|2 6D正确.三、填空题1 3.(2 0 2 0 全 国 I I)已知单位向量a,b的夹角为45 ,k a b与 a垂直，则 k=.【答案】咚【解析】由题意知(k a b)a=0,即 k a2b a=0.因为a,b为单位向量，且夹角为45 ,所以 k x 1 2-i x i X=0,解得 k=q.1 4.在 A B C 中，A B=1,Z A B C=60 ,4 c 4 8 =-1,若 0 是A A B C 的重心，则B。A C=【答案】5【解析】如图所示，以 B为坐标原点，B C 所在直线为x 轴，建立平面直角坐

23、标系.V A B=1,Z A B C=60 ,.设 C(a,0).AC AB=-,1/1 3=(a I+=1,解得 a=4.:O是A A B C 的重心，延长B 0 交 A C 于点D,二爪小g （H I -咛=5.1 5.（2 0 2 0 石家庄模拟）在锐角三角形A B C 中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,点 0Tt-为A A B C 的外接圆的圆心，A=-（且4。=入 AB+HA C,则入U的最大值为一.1【答案】-【解析】ABC是锐角三角形，.0在aABC的内部，.,.0Xl,0u -V A=-,A Z B 0 C=y,又|4 0|=8。=|C。.(1 X H )2=x2+U

24、2 X U ,1+3 A p=2(A,+y),V0Xl,0 U1,l+3 入 u N4、/瓯y-1设=t,/.3t24t+1 2 0,解得 t2 1 (舍)或、1 1 1即入u 入u 的最大值是j16.(2020 浙江)已知平面单位向量ei，e2满足|2eie?l W、4,设 =由+。2，b=3ei+e2,向量a,b 的夹角为0,则 cos?。的最小值是_ _ _ _ _ _ _.28【答案】【解析】设 e1=(l,0),e2=(x,y),则 a=(x+l,y),b=(x+3,y).由 2ei e2=(2x,-y),故 2e i e?；=A/0 2X 0 2+y 2、0,得(X 2)2+y2W2.又有 x2+y2=L 得(x2)2+1x2W2,3 3化简，得4 x 2 3,即因此近L4 4,百久+1团图+3团+y 2：、/团 x+1 1 2 2 +y 2、/回 x+3 1 3 2+y 2，4%+4 7?x+2,6%+1 0)40%+1月20%+1 0 0 3x+504 8 840 x +1 0 可 团 3%+5团一百 4 33%+5 3%+5 3 3%+5 3当x=2时,C有最小值，为4修+1)33 x 彳+542 82 9,