2023年中考数学训练：三角形综合题.pdf

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1、2023年 中 考 数 学 专 题 训 练：三 角 形 综 合 题 一、综 合 题 1.如 图(1)AC_LAB,BD_LAB,AB=12cm,AC=B D=8 c m,点 P 在 线 段 AB 上 以 2cm/s 的 速 度 由 点 A 向 点 B 运 动，同 时，点 Q 在 线 段 B D上 由 点 B 向 点 D 运 动，它 们 运 动 的 时 间 为 t(s).(1)若 点 Q 的 运 动 速 度 与 点 P 的 运 动 速 度 相 等，当 t=2 时，ACP与 a BPQ是 否 全 等，请 说 明 理 由；(2)在(1)的 条 件 下，判 断 此 时 线 段 P C和 线 段 P Q

2、的 位 置 关 系，并 证 明；(3)如 图(2),将 图(1)中 的“AC_LAB,BDLAB”改 为“NCAB=NDBA=50。，其 他 条 件 不 变.设 点 Q 的 运 动 速 度 为 x c m/s,是 否 存 在 实 数 x,使 得 ACP与 BPQ全 等？若 存 在，求 出 相 应 的 x、t的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.2.在 矩 形 A B C D中，AB=3,BC=4,E、F 是 对 角 线 A C 上 的 两 个 动 点，分 别 从 A、C 同 时 出 发 相 向 而 行，速 度 均 为 每 秒 1 个 单 位 长 度，运 动 时 间 为 t 秒，其 中 0

3、t5.(1)若 G,H 分 别 是 AB,D C中 点，求 证：四 边 形 E G F H是 平 行 四 边 形(E、F 相 遇 时 除 外);(2)在(1)条 件 下，若 四 边 形 E G FH为 矩 形，求 t 的 值；(3)若 G,H 分 别 是 折 线 A-B-C,C-D-A 上 的 动 点，与 E,F 相 同 的 速 度 同 时 出 发，若 四 边 形 EG FH为 菱 形，求 t 的 值.3.如 图 1,已 知 一 次 函 数 y=kx+6 的 图 象 分 别 交 y 轴 正 半 轴 于 点 A,x 轴 正 半 轴 于 点 B,且 AOB的 面 积 是 24,P 是 线 段 O

4、B上 一 动 点.y V(1)求 一 次 函 数 解 析 式；(2)如 图 1,将 AOP沿 A P翻 折 得 到 A O P,当 点 0 正 好 落 在 直 线 A B上 时，求 点 P 的 坐 标；将 直 线 A P绕 点 P 顺 时 针 旋 转 45。得 到 直 线 A P,求 直 线 A P的 表 达 式；(3)如 图 2,上 题 中 的 直 线 A P与 线 段 A B相 交 于 点 M,将 A PIiM沿 着 射 线 PA响 上 平 移，平 移 后 对 应 的 三 角 形 为 PBM，当 APB，是 以 A P为 直 角 边 的 直 角 三 角 形 时，请 求 出 点 P 的 坐

5、标.4.如 图，开 口 向 上 的 抛 物 线 y=a x 2-2 a x-3 a与 X 轴 相 交 于 点 A、B(点 A 在 点 B 的 左 侧)，顶 点 为(1)求 点 C 的 坐 标(用 含 a、k 的 代 数 式 表 示).(2)当 ACD的 内 心 恰 在 X 轴 上 时，求 K 得 值.a(3)已 知 ADB为 直 角 三 角 形：a 的 值 等 于(直 接 写 出 结 果).若 直 线 A C下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 P,使 A P C s A D B,求 k 的 值 及 点 P 的 坐 标.5.问 题 探 究AAA如 图，在 四 边 形 ABCD中，AB=AD,

6、CB=CD,ZA=90;(1)在 图 中 作 一 条 直 线 将 四 边 形 ABCD的 面 积 二 等 分;(2)已 知 AB=2,BC=2/5，在 图 四 边 形 ABCD内 部 求 作 一 点 P,使 得 PB=PD,且 折 线 B-P-D将 四 边 形 ABCD面 积 二 等 分；并 求 折 线 段 B-P-D的 长 度；(3)问 题 解 决：如 图，植 物 园 有 一 块 空 地 ABCD,其 中 AB=AD=l()Om,CB=CD=1()O V5 m,/A=90。.根 据 视 觉 效 果 和 花 期 特 点，植 物 园 设 计 部 门 想 在 这 块 空 地 上 种 上 等 面 积

7、 的 两 种 不 同 的 花，要 求 从 入 口 B 修 一 条 笔 直 的 小 路 将 这 块 地 的 面 积 二 等 分(小 路 面 积 忽 略 不 计)，以 方 便 游 客 观 赏，请 通 过 计 算，画 图 说 明 设 计 部 门 能 否 实 现，若 能 实 现，求 出 小 路 的 长 度；若 不 能，说 明 理 由.6.如 图 1,在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 点 A(-8,0),B(2,0),以 A B 为 直 径 作，交 y 轴 的 正 半 轴 于 点 C,连 结 AC、BC,过 A、B、C 三 点 作 抛 物 线.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)点 F

8、 是 BC 延 长 线 上 一 点，乙 4CF的 平 分 线 CE交 Q D 于 点 E,求 点 E 的 坐 标；(3)在(2)的 条 件 下，连 结 AE,在。上 是 否 存 在 点 P,使 得/.PEA=/.CAE?如 果 存 在,请 求 出 点 P 的 坐 标；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.7.如 图，直 角 坐 标 系 中，点 A 的 坐 标 为（3,0）,以 线 段 O A为 边 在 第 四 象 限 内 作 等 边 A O B,点 C为 x 轴 正 半 轴 上 一 动 点（O C 3）,连 结 B C,以 线 段 B C为 边 在 第 四 象 限 内 作 等 边 4 C B

9、 D,直 线 DA交 y 轴 于 点 E.（1）证 明 N A C B=/A D B；（2）若 以 A,E,C 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形，求 此 时 C 点 的 坐 标；（3）随 着 点 C 位 置 的 变 化，器 的 值 是 否 会 发 生 变 化?若 没 有 变 化，求 出 这 个 值；若 有 变 化，说 明 理 由.8.已 知 ABC经 过 点 A 作 直 线 1 BC；（1）如 图 1,点 D 在 线 段 A C上 时，点 E 恰 好 落 在 直 线 1上 点 A 的 右 侧，求/A C B 的 度 数；（2）如 图 2,在（1）的 条 件 下，连 接 B E

10、交 A C于 点 E G 是 线 段 C E上 一 点，且 满 足 CG=CF,连 接 D G交 E F于 点 H,连 接 CH.求 证：沁 丝=器；、4CBE BE（3）如 图 3,Z A C B大 小 与（1）中 相 同，当 点 D 不 在 线 段 A C上 时，且 点 F、点 G、点 H 满 足（2）中 条 件，点 M,N 分 别 为 线 段 CE,G D的 延 长 线 与 直 线 1的 交 点.请 直 接 写 出 G M N为 等 腰 三 角 形 时，Z E B C与 N B C D满 足 的 数 量 关 系.9.以 BC为 斜 边 在 它 的 同 侧 作 R tA D B C和 Rt

11、 4 B C,其 中=4。=90。，AB=AC,AC.BO交 于 点 P.ADAA图 1 图 2 图 3(1)如 图 1,BP平 分 乙 4BC,求 证：BC=AB-VAP-,(2)如 图 2,过 点 A作 4E I B P,分 别 交 B P、8 c于 点 E、点 产,连 接 4 D,过 A作 4 G J L 4 D,交 B 0于 点 G,连 接 CG,CG交 A尸 于 点”，求 证：GH=CH；(3)如 图 3,点 M为 边 的 中 点，点 Q是 边 BC上 一 动 点，连 接 M Q,将 线 段 MQ绕 点 M逆 时 针 旋 转 90。得 到 线 段 M K,连 接 P K、C K,当

12、4 cB e=15。，2P=4时，求 PK+CK的 最 小 值.1 0.如 图，在 R S A B C中，ZC=90,AB=10cm,A C=6 c m,动 点 P 从 点 B 出 发 沿 射 线 B C 以 2cm/s的 速 度 移 动，设 运 动 的 时 间 为 t秒.(1)求 B C边 的 长;(2)当 A B P为 直 角 三 角 形 时，求 t的 值;(3)当 A B P为 等 腰 三 角 形 时，求 t的 值.1 1.如 图 1,A B C中，Z A B C=9 0,AB=1,B C=2,将 线 段 B C绕 点 C 顺 时 旋 转 90。得 到 线 段 CD,连 接 AD.图 1

13、 图 3 图 2(1)说 明 4 A C D 的 形 状，并 求 出 4 A C D 的 面 积;(2)把 等 腰 直 角 三 角 板 按 如 图 2 的 方 式 摆 放，顶 点 E 在 C B边 上，顶 点 F 在 D C的 延 长 线 上，直 角 顶 点 与 点 C 重 合.从 A,B 两 题 中 任 选 一 题 作 答:A.如 图 3,连 接 DE,BF,猜 想 并 证 明 D E与 B F之 间 的 关 系；将 三 角 板 绕 点 C 逆 时 针 旋 转 a（0 a 9 0）,直 接 写 出 DE与 B F之 间 的 关 系.B.将 图 2 中 的 三 角 板 绕 点 C 逆 时 针

14、旋 转 a（0 a 3 6 0。），如 图 4 所 示，连 接 BE,D F,连 接 点 C 与 B E的 中 点 M,猜 想 并 证 明 CM与 D F之 间 的 关 系；当 CE=1,C M=暂 时，请 直 接 写 出 a 的 值.12.如 图，在 Rt A B C 中，乙 4cB=90。,4C=3,BC=4.动 点 P 从 点 A 出 发，以 每 秒 3 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 A C-C B-B A 方 向 绕 行 XABC 一 周，动 直 线 1从 A C 开 始，以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 向 右 平 移，分 别 交 AB.B C 于 D、E 两 点.

15、当 点 尸 运 动 到 点 A时，直 线 1也 停 止 运 动.D R（1）求 点 尸 到 A B 的 最 大 距 离；（2）当 点 P 在 A C 上 运 动 时，求 ta n/P D E的 值；把 A P D E 绕 点 E 顺 时 针 方 向 旋 转，当 点 P 的 对 应 点 P,落 在 E D 上 时，E D 的 对 应 线 段 ED恰 好 与 A B 垂 直，求 此 时，的 值.（3）当 点 P 关 于 直 线 D E 的 对 称 点 为 尸 时，四 边 形 P E F D 能 否 成 为 菱 形？若 能，直 接 写 出 f 的 值；若 不 能，请 说 明 理 由.13.如 图，在

16、 矩 形 ABC。中，AB=6,B C=4,动 点。在 边 AB E 连 接 C。，将 ABOC沿 C。所 在 的 直 线 对 折 得 到 C Q N,延 长 Q N 交 直 线 C D 于 点 M.a C/D 口 A D（备 用 图）（备 用 图）(1)求 证：M C=M Q(2)当 8。=1时，求。M 的 长；(3)过 点。作 OE，C。，垂 足 为 点 E,直 线 QN与 直 线 O E交 于 点 F,且 霁=，求 6。的 长.14.(1)【问 题 情 境】课 外 兴 趣 小 组 活 动 时，老 师 提 出 了 如 下 问 题：如 图，在 ABC中，A D是 a A B C的 中 线，若

17、 AB=10,A C=8,求 A D的 取 值 范 围.图 图 小 明 在 组 内 经 过 合 作 交 流，得 到 了 如 下 的 解 决 方 法：延 长 A D至 点 E,使 D E=A D,连 接 B E.请 根 据 小 明 的 方 法 思 考：I.由 已 知 和 作 图 能 得 到 4 A D C A E D B,依 据 是.A.SSS B.SAS C.AAS D.ASAI.由“三 角 形 的 三 边 关 系”可 求 得 A D的 取 值 范 围 是.解 后 反 思：题 目 中 出 现“中 点”、中 线”等 条 件，可 考 虑 延 长 中 线 构 造 全 等 三 角 形，把 分 散 的

18、已 知 条 件 和 所 求 证 的 结 论 集 中 到 同 一 个 三 角 形 之 中.(2)【学 会 运 用】如 图，A D是 ABC的 中 线，点 E 在 B C的 延 长 线 上,CE=AB,N B A C=N B C A,求 证:AE=2AD.15.A B C(z C 9 0)的 三 条 角 平 分 线 相 交 于 点 D,延 长 A D 交 B C 于 点 E.作/IF 1 BC,交 B C 延 长 线 于 点 F.(1)若 NBAC=40,则 乙 BDC=：(2)判 断 乙 C D E 与 乙 A B D 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由;(3)求 证 AACD=Z.EAF+

19、/.ABD.16.问 题 引 入：(1)如 图 所 示，力 B C 中，点。是 A B C 和 A C B 的 平 分 线 的 交 点，若 zA=a，则 乙 BOC=(用 a 表 示)；不 用 说 明 理 由，直 接 填 空.如 图 所 示，Z.OBC=Z.ABC,乙 OCB=A C B，若=a,则 乙 BOC=(用 a 表 示)不 用 说 明 理 由，直 接 填 空.(2)如 图 所 示，乙 OBC=3 乙 DBC,乙 OCB=ECB，若 NA=a,求 乙 BOC答 案 1.(1)解：4ACP 与 4BPQ 全 等，理 由 如 下：当 t=2 时，AP=BQ=4cm,则 B P=12-4=8

20、cm,A BP=AC=8cm,又,N A=N B=90。，在 ACPflA BPQ 中，AP=BQZ-A=Z.B,CA=PB ACPABPQ(S A S).(2)解：PCPQ,证 明：VA ACPABPQ,A Z A C P=Z B PQ,ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90.NCPQ=90,即 线 段 P C与 线 段 P Q垂 直.(3)解：若 AACP9 PQ,则 AC=BP,AP=BQ,A 12-2t=8,解 得，t=2(s),贝!x=2(c m/s).若 ACPABQP,贝 I AC=BQ,AP=BP,则 2t=J xl2,解 得，t=3(s),则 x=8+3=1(cm/s)

21、,故 当 t=2s,x=2cm/s 或 t=3s,x=g cm/s 时，ACP 与 BPQ 全 等.2.(1)证 明：四 边 形 ABCD是 矩 形，AB=CD,AB CD,AD BC,ZB=90,AC=yjAB2+BC2=5，ZGAF=ZHCE,V G,H 分 别 是 AB,D C中 点,.AG=BG,CH=DH,；.AG=CH,VAE=CF,.AF=CE,在 小 AFG和 a CEH中，,AG=CH乙 GAF=L HCE,AF=CEAFGACEH(SAS),.*.GF=HE,同 理：GE=HF,.四 边 形 EGFH是 平 行 四 边 形；(2)解：由(1)得：BG=CH,BG CH,/.

22、四 边 形 BCHG是 平 行 四 边 形，.GH=BC=4,当 EF=GH=4时，平 行 四 边 形 EGFH是 矩 形,分 两 种 情 况：AE=CF=t,EF=5-2t=4,解 得：t=0.5；AE=CF=t,EF=5-2(5-t)=4,解 得：t=4.5；综 上 所 述：当 t 为 0.5s或 4.5s时，四 边 形 EGFH为 矩 形；(3)解：连 接 AG、C H,如 图 所 示：.四 边 形 EGFH为 菱 形，/.G H EF,OG=OH,OE=OF,/.OA=OC,AG=AH,四 边 形 AG CH是 菱 形，AG=CG,设 A G=C G=x,则 BG=4-x,由 勾 股

23、定 理 得：AB2+BG2=AG2,即 32+(4-x)2=x2,解 得,x=等，,25 _ 7.B G-4-g-g，AB+BG=3+=t为 鲁 时，四 边 形 EGFH为 菱 形.3.(1)解：由 解 析 式 可 得 OA=6A O B的 面 积 是 24.OB=8；.点 B 的 坐 标 是(8,0)将 B 点 坐 标 代 入 解 析 式，得 k=-*一 次 函 数 解 析 式 为：y=-1 x+6(2)解：如 图，当 点 0 落 在 A B上 时，P O=P O 且 PBO,为 直 角 三 角 形。VAO=6,BO=8.AB=10,AO=6.*.OB=4.设 P点 坐 标 为(a,0),由

24、 勾 股 定 理 可 得：P B 2=P O 2+B O2即(6 a)2=a2+42解 得：a=3.点 P 的 坐 标 为(3,0)如 图，过 点 A 作 AQJ_PA交 PA，于 点 Q,过 点 Q 作 QE，y 轴 于 点 E。V ZAPQ=45,AQ1PA APQ是 等 腰 直 角 三 角 形，AQ=APQEAAAOP.EQ=AO=6,EA=OP=3.点 Q 的 坐 标 是(6,9)设 PA，的 解 析 式 为 y=kx+b，将 点 P(3,0)和 Q(6,9)代 入,求 得 k=3,b 9.:.PA，的 解 析 式 为 y=3x-9(3)解:设 点 P 的 坐 标 为(a,3 a-9)

25、，则 点 夕 的 坐 标 为(a+5,3a-9),.点 P 的 坐 标 为(3,0),点 A 的 坐 标(0,6)当 NAPB=90。时，如 图，有 PB2+PA2=AB2(a+2)2 4-(3a-9)2 4-(3石=(a+5)2+(3a-15)2解 得 a=4.点 P的 坐 标 为(4,3).当 NPAB，=90。时，如 图，有 AB2+PA2=PB2工(a+5)2+(3a-15)2+(3V5)2=(a-2)2+(3a-9)2解 得 a=7.点 P的 坐 标 为(7,.综 上 所 述，P 点 的 坐 标 为(4,3)或(7,12)4.(1)解：由 ax2 la x-3a=0,a 0,解 得=

26、-1,%2 3，A 4(-1,0),6(3,0).直 线 y=kx+b 经 过 点 A,，一 k+匕=0,b=k,直 线 A C 的 解 析 式 为 y=kx+k.由 y ax2 2 ax 3a、y=kx+k解 得:Xi=1.%=o/C+3 Q%2二-fc24-4afc9A+3a k 4-4afc.：)；a a(2)解：过 D 作 Y 轴 的 平 行 线 D E 交 4 c 于 E、交 X 轴 于 点 E*y=ax2-2ax-3a 的 对 称 轴 为 x=而-=1，D(1,-4 a).U：D E/Y轴 且 点 E 在 直 线 y=kx+k 上，E(l,2 k).U：L A C D 的 内 心

27、恰 在 x 轴 上，x 轴 平 分 Z.CAD,：.Z-EAF=/-DAF,：.EF=DF,：.2k 4a,.k 4)1 2=2；(3)9为 等 腰 三 角 形，A CP=AP,/.APC=90,APM+乙 CPN=90.,:APM+/.MAP=90,乙 CPN=MAP,v A AMP=Z.PNC.AP=PC，Rt CNP=Rt PM A，：.CN=PM,ANAM.设 m 1),由 CN=PM 得(m2 m|)=m+l 由 PN=AM得 2 k+3-血=一&血 2 一 6 一|),注 意 到 k 0 由 上 两 式 可 解 得 f c=1,m=2，,P(2,-|).5.(1)解:如 图，连 结

28、 AC,则 直 线 A C把 将 四 边 形 ABCD的 面 积 二 等 分，理 由 如 下:(AB=AD在 A A BC和 ACD中，V CB=CD,AC=ACVAB=AD,(2)解：连 结 B D,取 A C的 中 点 P,则 A 在 B D的 垂 直 平 分 线 上，：C B=C D,则 C 在 B D的 垂 直 平 分 线 上，.AC是 B D的 垂 直 平 分 线,PB=PD,VPA=PC,；.S AABP=S ABCP(等 底 同 高)，同 理 S AADP=S ACDP.,.S A ABP+SA ADP=S ABCP+S ACDP.即 S 1M彩 ABPD=S A BCP+S A

29、 CDP./.折 线 B-P-D 将 四 边 形 ABCD 面 积 二 等 分；：ABC丝 ZXACD,ZBAC=ZDAC=45,：.AH=BH=A B=*x 2=叵 C H=V F C2-BH2=J(2V5)2-(V2)2=3V2,AAC=AH+PH=V2+3V2=4 vL CP=*AC=2怎;PH=CH-PC=3近-2鱼=也,B P幻 B l+PH2=J(2+(匈 2=2,二 折 线 段 B-P-D 的 长 度=BP+DP=2BP=4.(3)解：如 图，过 P 作 PQ B D交 C D于 点 Q,过 Q 作 QG_LBD,则 B Q为 观 赏 小 路，理 由 如 下：VPQ/7BD,:.

30、S A BPD=S A QPD(同 底 等 高)，；S A BPD-S A POQ=S A QPD-S A POQ,S A POB=SA DOQ,*S 四 边 形 ABPD=S 四 边 形 ABQD=S 四 边 形 ABCD,*B Q为 所 求 的 线 路；V AB=AD,NBAD=90,BAD为 等 腰 直 角 三 角 形，AHJ_BD,.ABH为 等 腰 直 角 三 角 形，.AH=BH=HD=A B=50立，.C H=,B C2 _ B 2=J(1OOV5)2-(50V2)2=150V2,A AC=AH+CH=50V2+1505/2=200V2,.*.CP=|AC=100V2,.，.PH

31、=CH-CP=150V2-100V2=50V2=QD,VPQ：HD=CP：C H,即 PQ：5072=10072：150V2,.丁(2=苧，.BG=BH+HG=50鱼+蜉 鱼=生 臀，.*.BQ=J BG2+Q G2=J 智 心+(so 2=呼 6.(1)解：如 图 1,连 接 DC,771(-8,0),8(2,0),AB=2(-8)=10,.AD=BD=CD=5,OD=BD OB=5 2=3,OC=y/DC2-D O2=J52-32=4,AD(-3,0),C(0,4).设 抛 物 线 为 y=a(x+8)(%-2),则 16a=4,得 a=-上,y=i+8)(%1 2)3=一 4 2 _ 尸

32、+4.(2)解:如 图 1,连 接 DE U：A B 为 直 径，J.Z.ACB=90=Z.ACF,:CE 平 分 Z.ACF,乙 4=45。,J.Z.ADE=90,即 DE 1 OA,以 一 3,5).(3)解：如 备 用 图，情 况 1：点 P i在 A E 的 上 方 时，过 E 作 EPJ/AC 交 O D 于 点 Pi,则 4Pl瓦 4=Z.CAE,过 Pi 作 P1H，04,交 04 于 H,交 于 P?,连 结 P i D、CD,则 APX=CE,z.ADP1=Z-CDE,v ED 1 AB,CO 1 AB,DEI/CO,乙 EDC=Z-DCO,.出 DH=Z.DCO,DP】=D

33、C/PiHD=乙 DOC=90%P】DH=DCO,:DH=CO=4,PH=OD=3,A OH=3+4=7,A Pi(-7,3).情 况 2：点 P 在 4 E 的 下 方 时，,AD 1 P R,:.HP】=HP2=3,仍=AP2,:.Z-AEP2=Z-AEP1=乙 CAE,出(-7,-3).综 上：P(-7,3)或 P(-7,-3).7.(1)证 明：AOB和 A C B D是 等 边 三 角 形 AOB=AB,BC=BD,ZOBA=ZCBD=60,ZOBA+ZABC=ZCBD+ZABC,即 NOBC=/ABD.,.在 A OBC与 小 ABD中，OB=AB,ZOBC=ZABD,BC=BDO

34、BCAABD(SAS).,.ZOCB=ZADB即/ACB=NADB 解：*/OBCAABDZBOC=ZBAD=60又：NOAB=60NOAE=180-60-60=60,A ZEAC=120,ZOEA=30,.在 以 A,E,C 为 顶 点 的 等 腰 三 角 形 中 A E和 A C是 腰.,在 R SA O E 中，OA=3,NOEA=30，AE=6AC=AE=6.003+6=9.以 A,E,C 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 时，C 点 的 坐 标 为（9,0）（3）解：器 的 值 不 变.理 由：由（2）得 ZOAE=180-ZOAB-ZBAD=60ZOEA=30在

35、RtA AOE 中，EA=20A.OA _ 1AE-28.（1）解：V1/BC,.,.ZEAC=ZACB,VA ABCAEDC,/.ZACB=ZACE,AC=EC,NEAC=NACE=NAEC,.ACE是 等 边 三 角 形，即：ZACE=60,ZACB=60；（2）证 明：过 点 C 作 CMJ_DG,CN1BE,图 2由（1）可 知：ZACE=ZACB=60,ABCAEDC,；.BC=DC,在 BCF和 CGD中，BC=CD9：ACB=Z.ACE,FC=GC*BCF=DCG,AZEBC=ZGDC,在 BCN和 DCM中，ZCNB=乙 CMDV zE6C=zGDC,BC=CD BCNA DC

36、M,ANC=MC,:SKHG=HG-CM，SK B E=/B E,C N,SCHG _ GH一 葡(3)解：由(1)可 知：ZA CB=ZD CE=60,延 长 B E交 1于 点 S,延 长 B C交 N H 于 点 T,图 3 当 4 G M N是 等 腰 三 角 形，GN=GM时,设 NEBC=a,ZBEC=p,J ZECT=a+p,AZMSE=ZEBC=a,，Z GMN=Z MNG=a+p=Z NTB,在 BCFAL CGD中，BC=CDV Z/1CF=乙 DCE,FC=GC BCF=DCG,AZCDG=ZEBC=a,VZBOC=ZDOH,ZDCB=ZDHO,ZDH0=ZEBC+ZHT

37、B=a+a+p=2a+p,ZDCB=2a+p,又：NDCB=18()o-NDCT=180。-(a+p)-60=120-a-p,.,.2a+p=120-a-p,化 简 得：p=60-|a,/.Z DCB=Z DHO=2a+p=2a+60-|a=60+la,即：ZBCD=60+1ZEBC；当 NG=NM时，同 理 可 得：ZGCT=a+p,A ZDCB=1800-ZDCT=180-(a+p)-60=120-a-p,又,：XBCF 三 DCG,Z DGC=Z BFC=180-60-a=1 20-a,又：/DGM=60+a,VNG=NM,1/7 BC,二 Z GCT=Z NMG=ZDGM,.-.a+p

38、=60+a,解 得：p=60,A Z BCD=180-Z DCT=180-60-(60+a)=60-a,A ZBCD=60-ZEBC(不 合 题 意 舍 去)；当 MN=MG时，同 理 可 得：ZMNG=ZMGN=ZCGT=ZCTG=1(180-a-p)Z BCD=Z CDT+Z DTC=a+l(180-a-p),又 V Z BCD=180-ZDCT=180-60-a-p=1 20-a-p,A a+l(1800-a-p)=120-a-p,.*.p=60o-3a,Z BCD=180-Z DCT=180-60-a-p=180o-60-a-60o+3a=600+2a,即：ZBCD=60+2ZEBC,

39、综 上 所 述：ZBCD=60+1ZEBC 或/BC D=6(r+2NEBC.9.(1)证 明：过 点 P 作 PT L B C于 点 T,如 图 所 示:DB r CVz/1=90,BP平 分 乙 4BC,：.AP=PT,VBP=BP,ARtA ABP丝 RtZkTBP(HL),AB=BT,：AB=AC,z.A=90,：./.ABC=Z.ACB=45,VZPTC=90,：.TPC=MCP=45,AAP=PT=TC,VBC=BT+TC,：.BC=A B+A P；(2)证 明：过 点 C 作 CR_LAF交 A F延 长 线 于 点 R,如 图 所 示:9：AE 1 BP,：.z.AEB=Z.C

40、RA=90,：.z.ABE+Z.BAE=Z.BAE+乙 CAR=90,：.ABE=乙 CAR,9：AB=A Cf.*.ABEACAR(AAS),：.AE=CR,U：AG A.AD,：.DAG=Z.BAC=90%：.DAG-z-GAC=Z.BAC-乙 GAC,KPzDC=乙 GAB,%：L.BDC=Z.BAC=90,Z.ABP=Z.DPC,：.ABG=LACD.9：AB=A C,/.A B G A A C D(ASA),AAG=AD,A G D为 等 腰 直 角 三 角 形，VAE 1 DG,：.AE=GE=DE,：.CR=GE,:(HEG=乙 HRC=9 0,乙 EHG=乙 RHC,?.E H

41、 G A R H C(AAS),：.GH=CH；(3)解：过 点 A 作 AO_LBC于 点 O,连 接 O M、B K,如 图 所 示:9AB=AC,Z.BAC=90,：.AO=BO=CO,点 M 是 A B 的 中 点，：.OM=BM=AM,OM L A B,=乙 OBM=45,线 段 MQ绕 点 M逆 时 针 旋 转 90。得 到 线 段 M K,；MQ=MK,“MK=90。,：.Z.OMB=乙 QMK=90,，乙 0MB-(OMQ=乙 QMK-*)M Q,即 4 BMQ=4 OMK,/.M B Q A M O K(SAS),.M B Q=乙 MOK=45,.点 K 在 O A所 在 的

42、 直 线 上 移 动,：O A垂 直 平 分 BC,：.CK=BK,.PK+CK=PK+BKNBP,.当 且 仅 当 B、K、P 三 点 共 线 时 PK+CK取 得 最 小 值，：z.ABC=45,/.DBC=15,：.z.ABP=30,在 RtaBAP 中，ZBAP=90,AP=4,：.BP=2AP=8,.PK+CK的 最 小 值 为 8.10.(1)解：在 RtZkABC 中，BC2=AB2-AC2=102 62=64,；.BC=8(cm)(2)解：由 题 意 知 BP=2tcm,当 N A PB为 直 角 时，点 P 与 点 C 重 合，B P=B C=8 c m,即 t=4；当/B

43、A P 为 直 角 时，BP=2tcm,CP=(2t-8)cm,AC=6cm,图 图 在 RtAACP 中,AP2=62+(2t-8)2,在 RtA BAP 中，AB2+A P2=B P2,即：102+62+(2t-8)2=(2t)2,解 得：t=竽,故 当 A A B P为 直 角 三 角 形 时，1=4或 1=?(3)解：当 AB=BP 时，t=5；当 AB=AP 时，BP=2BC=16cm,t=8；当 BP=AP 时，AP=BP=2tcm,CP=|2t-8|cm,AC=6cm,在 RtZACP 中，AP2=AC2+CP2,所 以(2t)2=62+(2t-8)2,解 得：t=碧,综 上 所

44、 述：当 ABP为 等 腰 三 角 形 时，t=5 或 1=8或 1=等 11.(1)解：A A CD是 等 腰 三 角 形，理 由 如 下：过 点 A 作 AE1CD 于 点 E,则 ZAEC=ZAED=90.又：/A B C=90。，ZBCE=90,四 边 形 ABCE 是 矩 形，；.AE=BC=2,AB=CE=1,/.CD=1,.AE 垂 直 平 分 CD,；.AC=AD,/.ACD是 等 腰 三 角 形，1 1:.S AACD=2 CD-AE=,x 2 x 2=2;(2)解：A:DE=BF,DE_LBF.理 由 如 下：由 旋 转 可 知，BC=CD=2,ZBCD=90,等 腰 直

45、角 CEF顶 点 E 在 C B边 上，顶 点 F 在 D C的 延 长 线 上,，CE=CF,ZBCF=ZDCE=90.在 ABCF 和 4D CE 中，BC=DC,ZBCF=ZDCE,CF=CE,B C FA D C E(SA S),，DE=BF,NCBF=NCDE,延 长 D E交 B F于 点 H,VZDEC+ZCDE=90,N D E C=N B E H,，NBEH+NCBF=90。，.,.ZBHE=90,.D E 1 B F；DE=BF,DE_LBF.证 明 方 法 同；B:CM=1 DF,CM_LDF.理 由 如 下：延 长 M C交 D F于 点 N,延 长 C M至 点 G,

46、使 C M=M G,连 接 EG,Z M 是 BE 的 中 点，ME=MB.在 M EG 和 aM BC 中，ME=MB,ZEMG=ZBMC,MG=MC,；.MEG空 MBC(SAS),?.CM=MG=|CG,BC=GE,BC GE,V B C=C D,，EG=CD.由 旋 转 得 NBCE=a,.BC GE,.,.ZCEG=180-a,Z DCF=360-Z ECF-ZBCE-ZBCD=180-a,ZCEG=ZDCF,在 aEC G 和 aC FD 中，CE=CF,ZCEG=ZDCF,ZCEG=ZDCF,ECG之 C FD(SA S),，CG=DF,NECG=NCFD,VMG=MC,；.MC

47、=DF,:Z E C F=90,，Z ECG+Z FCN=Z FCD+ZFCN=90,A ZCNF=90,.,.D EB F；作 FH_LDC,交 D C的 延 长 线 与 点 H,设 FH=x,CH=y.(%2+y2=1(x2+(y+2)2=7Ix=y=7321_2.，.FH=j CF,AZFCH=30,r.ZFCD=120,A ZBCE=60,.”60。或 300.12.(1)解：当 点 P 与 点 C 重 合 时，点 P 到 A B 的 距 离 最 大,过 点 C 作 CFJ_AB于 Fv AC=3,BC=4,Z.ACB=90.根 据 勾 股 定 理，得 AB=5,1 1 SA A B

48、C=AC-BC=AB-CF 5CF=3 x 4,厂 12 CF=-?-.当 点 P 与 点 C 重 合 时，点 P 到 A B的 距 离 最 大，最 大 值 为 RtA ABC斜 边 A B上 的 高 CF,即 点 P 到 A B 的 最 大 距 离 是 空.（2）解：当 点 P在 A C 上 运 动 时，设 运 动 时 间 为 ts,则 有 AP=3t,CE=t,直 线 1/AC,：.乙 PDE=乙 APD,如 图，过 点 D 作 DG 1 A C 于 点 G,则 四 边 形 CEDG是 矩 形，.DG=CE=t,PG=AP-AG=3t-AG,ADG BC 日 n t 4t a nA=AG=

49、AC 即 AG=3-3 AG=-rt,43 Q 9-PG=3t-71=-rt,A n r DG t 4 A tan/A P。=丽=i=,即 tanZ)E=：ED 1 AB,Z4+zfi=90,Z.A+Z.B=90,Z4=Z.A.直 线 1/AC,:.直 线 11B C,A Z1+Z2=90,43+44=90,由 旋 转 的 性 质，得/2=/3,Z.1=Z.4,z l=z.A,RtCEP RtCAB,CE PC 日 口 t 3-3t-,-A C B C 即 3=-.1.t=.(3)能,ti=y,t2=13.(1)解：证 明：.四 边 形 ABCD是 矩 形，ADC|ABBPZMCQ=ZCQB,

50、VA BQC沿 C Q所 在 的 直 线 对 折 得 到 CQN，NCQN=NCQB,即/MCQ=NMQC,AMC=MQ.(2)解：.四 边 形 ABCD是 矩 形，BQC沿 C Q所 在 的 直 线 对 折 得 到 CQN,.*.ZCNM=ZB=90,设 D M=x,则 MQ=MC=6+x,MN=5+x,在 RtA CNM 中，MB2=BN2+MN2,即(x+6)2=42+(x+5)2,解 得:X=|,；.DM=1,ADM 的 长 2.5.(3)解：解：分 两 种 情 况：当 点 M 在 C D延 长 线 上 时，如 图 所 示：由(1)得/M C Q=/M Q C,VDE1CQ,，NCDE