高考第一轮复习数学-解斜三角形.pdf

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1、解斜三角形知识梳理1.正 弦 定 理：在 一 个 三 角 形 中，各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 的 比 相 等，即a _ b _ c“-，,，.sin A sin B sin C利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2 2abcosC.在余弦定理中，令 C=90,这 时 cosC=0

2、,所 以 C2=a2+拉.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由可得cosA=b 2+c 2-a2；2bccos5=l+空一些；2cacosC=a 2+h 2-c2.lab利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.点击双基1.（2002年上海

3、）在ABC中，若 2cosBsinA=sinC,则ABC的形状一定是A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形解析：由 2cos8sinA=sinC 得 竺 土 竺 二 Xa=c,.a=b.ac答案：C2.下列条件中，A5C是锐角三角形的是1，+cosA=_ B.AB,BC 05+tanB+tanC0=3,c=3、G,5=30解析：由 sinA+cosA=J.5得 2sinAcosA=Zi BC 0,得 西,BC 0,.,.COS V O.,3 为钝角.由 tanA+tanB+tanOO,得 tan（A+8）（1 tanAtanB）+tanC0.tanAtanBtanO0

4、,A、B、。都为锐角.由）_ 得 sinC=3,.C=!L 或竺.sin 8 sinC 2 3 3答案：C3.（2004年全国IV,理 11）ZVIBC中，a、b、c 分别为/A、/C 的对边，如果a、b、c 成等差数列，ZB=30,ZVIBC的面积为3,那么b 等于2A.S +42C.2 +E+百2解析：、b、c成等差数列，.2 A=a+c.平方得。2+2=4拉一2欧.又 A B C的面积为 2,且 N B=3 0 ,故由 S-1 acsinB=1 t z c s i n 3 0 2MB C 2 2=1.ac=-9 得 c=6.2+C2=4/724 2一12.由余弦定理，得 C CW=2+C

5、2 2 一4 -12 2 一。2 4_ 4 解得历=4+2/.又lac 2 x 6 4 2b 为边长,:.b=l+.答案：B4.已知(a+b+c)(b+c a)=3bc,贝!j/A=.解析：由已知得(匕+。)2。2=3 历，/.b2+c2a2=hc./.b 2+c 2 a=1.Z /!=-2hc 2 3答案：135.在锐角 A B C中，边长a=l,b=2,则边长c的取值范围是_ _ _ _ _.解析：若。是最大边，贝i J c o s O O.“2+/户-旧 o,：.c b-a=,2ah：.1C s i n 2 A s i n 2 B=s i n B s i n C=I-c o s 2 A

6、_ 1 -C s 2 =s i n B s i n (A+8)2 2n J.(c o s 2 5 c o s 2 A)=s i n 5 s i n (A+8)2=s i n (A+B)s i n (A B)=s i n B s i n (A+B),因为A、B、C为三角形的三内角，所以s i n (A+B)#0.所以s i n (A-B)=s i n 8.所以只能有 A-8=6,B P A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思 考 讨 论(0该题若用余弦定理如何解决？解：利用余弦定理，由 a2=b(b+c),得 C 0 s A J 2+c 2

7、-a 2=2+c 2)-(b+c)=j ,2bc 2bc 2bC O S2 B=2C O S2 B-1=2 (a2+c2 b )2-1=+c)2 c 2 一1=2ac 2b(b +c)c2 2b所以c o s A=c o s 2 8.因为A、8是 A B C的内角，所以A=2 8.(2)该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决？解：由题设。2=匕(b+C),得，二=2 ，b+c a作出 A B C,延长C4到。，使A D=4 B=c,连结8 0.式表示的即是空=生，所D C B C以 B C O s/V l B C.所以/1 =Z D.又A 8=A O,可知/2=/。，

8、所以/1=/2.因为/胡。=/2+/。=2/2=2/1,所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例 2】(2004 年全国n,1 7)已知锐角 A A B C 中，s i n (A+B)=2,s i n (A-B)5_ 1 .5(1)求证：t a n A=2t a n B;(2)设A B=3,求A8边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以0)为铺垫，解 决(2).(1)证明：Vsin(A+8)=2,sin(A-B)=1,5 5.3sin A cos B+cos A sin 8

9、=一/.5sin A cos B-cos A sin B=-5si.n AA cos nn =25 tan A c=2.，.八 1 tan Bcos Asin B=-5.*.tarL4=2tanS.(2)解：W V 4+8V兀,/.sin(A+B)=2.2 5/.tan(A+B)=2,4即 JanA+tanB=-2 .将 tanA=2tanB 代入上式整理得 2 tan 2 3-4 tan 8-1=0,解得1 -tan A tan B 4tanR=2 K (负值舍去).得 tanB=2+.-.tanA=2tanB=2+.2 2设A B边上的高为8,贝lj AB=AD+DB=2+旦=由AB=3得

10、CD=2+R ,tan A tan B 2+76所以A 8边上的高为2+.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】（2004年春季北京）在ABC中，。、仄c分别是/A、/8、N C的对边长，已知。、b、c成等比数列，且。2。2=儿，求/A的大小及竺哒的值.C剖析：因给出的是。、b、c之间的等量关系，要求/A,需找/A与三边的关系，故可用余弦定理.由岳=可变形为丝=a,再用正弦定理可求bsinB的值.C C解法一：。、b、C成等比数列，.b2=ac.又 az-ci=acbe,：.b+Ci=bc.在ABC中，由余弦定理得cosA=Q_L竺二竺=g=1,NA

11、=60.2bc 2hc 2在ABC中，由正弦定理得sin5=i上i ,b2=ac,Z A=60,in g _ fe2sin60=g in 6 no=&.c ac 2解法二：在ABC中，由面积公式得！csin4=1acsinB.2 2bi=ac,ZA=60,hcsinA=hsinB.丝g s i n A=3.c 2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.闯关训练夯实基础1.(2004 年浙江，8)在ABC 中，“4 30”是!的2A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在A8C 中，A 3 0 nOV

12、sinAV lsinA j.;sinA j.=30 A430.答案：B2.如图，4A B C是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成4 0 角，为了使遮阴影面A3。面积最大，遮阳棚A 8C与地面所成的角为O O O O解析：作C E 1平 面ABD于E,则N C 0 E是太阳光线与地面所成的角，即/C D E=4 0,延长。E交直线AB于 力 连 结C F,则N CFO是遮阳棚与地面所成的角，设为a.要使S 最大，只 需 最 大.在C FD中，U=一些一.w sin 40 sin(140-a)D F=C F-s i n（140-a）s i n 40.CF为定值，

13、.当a=50时,DF最大.答案：C3.在八A B C中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积5=1（+枕4-C 2）,则NC的度数是_ _ _ _ _ _ _.解析：由 S=1（Z+拉C 2）得J.as i n C=4,2a&c os C.,.t a n C=l./.C=,4 2 4 4答案：454.在 A B C 中，若/C=60,则，-.b+c a+c解析：a b _a+ac+beb+c a+c（b+c）（a+c）=2+b 2+a c +bc（*）ab+ac+be+c2z C=60,/.a2+b2 C 2=2abcosC=ab.-a2+b2=ab+c2.代 入（*）式得止+

14、.+a c +b c=iab+ac+bc+c2答案：15.在AABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是=20,A=45,C=8 0=30,c=28,5=60=14,b=l6,A=45=12,c=15,A=120解析：由a=14,b=l6,A=45及正弦定理，得列叱=包工，所以s i n氏 迤.因 而16 14 7B有两值.答案：C培养能力6.在 A B C中，角A、B、C所对的边分别为a/、c,依次成等比数列,求 产 上sin2%s i n B+c os B的取值范围.解：.72=ac,.cosi+c 2 山=2+c2 y=(a+)一lac lac 2 c a 2 2 0V 84 巴，3.

15、l+sin2B=(sin8+cosB)=sin5+cos8S in(B+三)/二三 8+三 卫，sin B+cos B sin B+cos B 4 4 4 12.也 Vsin(6+巴)1.故 1 户 户.2 47.已知aABC中，2行(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为行.(1)求NC；(2)求ABC面积的最大值.解：(1)由 2 (sin2A-sin2C)=一/sinB 得 2板(史 _ 一 _)=(a-b)4R2 4K2h2R,又ai-C2=ab-h2.。2+2-C2=ab.cosC=史_ 心1二竺=J.lab 2又 0。C0,x Q),贝 lj总有 sinB=巴，

16、sinC=3(图略)，且由正kx x弦 定 理 得 sinB=siM,所 以 a2=kx2-sinBsinC=tesiM,由 余 弦 定 理，可得acosi x 2+x2-2sin“=(1-s in A),所以狂_L=siM+2cosAW 血=石.所以2kx2 2 k kk 2-、k+l&0,所以或二1 攵 2ab+J2 ab=(2+行)a b,当且仅当 a=b时，“=”成立.又。到AB的距离为1 0,设/。AB=a,则/。A4=45-a.所以”=旦，sin ab=_12_,sin(45-a)丘工 12sin a sin(45-a)100sin a sin(45-a)=_ 100_sin a

17、(旦cos a -旦sina)2 2=_ 100_五.c 收/,c、sin 2ct (1 cos 2ct)4 4_400 400,2 sin(2 a+45。)2-拒当且仅当a=22 3 0 时，=”成立.所以从况 g叵=4 0。（及+i）2,2-、5当且仅当a%,a=2 2 3 0,时，“=”成立.所以当a=b=_匚=1 0 g（2 +6时,於川最短，其最短距离为2 0（行+1）,即si n2 2 03 0,当AB分别在。4、O B上离。点10/2（2+再km处，能使I A8最短，最短距离为2 0（户 1）.思悟小结1.在a ABC 中，-：A+B+C=TI,/.si n+=COS cos A

18、+g=si n tan 7 1+=c ot.2 2 2 2 2 22 ./A、L B、NC成等差数列的充分必要条件是/8=60.3.在非直角三角形中，tarL 4+tanB+tanC=tarL 4 tanB-tanC.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：化边为角；化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是

19、重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例1】已知A、B、C是 A5 C的三个内角，y=cot A+2s in 4.cos A+cos(B-C)(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求)，的最小直解：.y=cot4+2 si n卜一(8+C)cost-(B+C)J+cos(B-C)=cot A+-2SW8C)-cos(8+C)+cos(B -C)=cot A+si n B cos C+cos B si c Csi n 8 si n C=c

20、ot A+cot B+cot C,任意交换两个角的位置，y的值不变化.(2),/cos(B C)cotA+2 s i n A=-l+2 t a n A=l (cot A+3 t an-)i 3 tan-cot-=V3 .1 +cosA 2 2 2 2 2 22 tan-2故当A=B=C=%时，y.=君.3 minv J评述：本 题 的 第(1)问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题：在 ABC中，求证：coL 4+cot B+cot C 3【例2】在 A8 C中，si nA=si n8+si nC.判断这个三角形的形状.cos B+cos C分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就 必 须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=_ b+c_,所以人(。2 岳)+c(a2 C 2)=bc(b+c).所 以(b+c)c2+a2-b2 a2+b2-c2-T-lea laba 2=(3+c3)+bc(b+c).所以。2=。2 松+。2+反所以4 2=0 2+c2.所以 A B C是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.