初中数学重点模型31面积的存在性问题（解析版）.pdf

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1、专 题 3 1 面 积 的 存 在 性 问 题 一、固 定 面 积 的 存 在 性 问 题【知 识 讲 解】1、知 识 内 容：固 定 面 积 的 存 在 性 问 题 最 为 简 单，在 待 求 图 形 中，往 往 只 有 一 个 是 变 量，此 时 只 需 通 过 方 程 将 其 解 出 即 可.2、解 题 思 路：(1)根 据 题 目 条 件，求 出 相 应 的 固 定 面 积；(2)找 到 待 求 图 形 合 适 的 底 和 高；(3)列 出 方 程，解 出 相 应 变 量；根 据 题 目 实 际 情 况，验 证 所 有 可 能 点 是 否 满 足 要 求 并 作 答.【例 题 讲 解】

2、1、如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 A 的 坐 标 为(8,0),点 8 在 y轴 的 正 半 轴 上，且 cotN 048=g，抛 物 线 y=-；x2+fov+c经 过 4 B 两 点.(1)求 久 c 的 值；(2)过 点 B作 CBOB,交 这 个 抛 物 线 于 点 C,以 点 C为 圆 心，CB为 半 径 的 圆 记 作 O C,以 点 A为 圆 心，r 为 半 径 的 圆 记 作 0A.若。C与。4 外 切，求 r 的 值；(3)若 点 D在 这 个 抛 物 线 上，AA08的 面 积 是 AOB。面 积 的 8倍，求 点 D 的 坐 标.【解 析】(1)乂 点

3、坐 标 为(8,0),cot ZOAB=-,3.OB=6,：.B 点 坐 标 为(0,6).将 4 8 两 点 坐 标 代 入 解 析 式 y=-L+b x+c,4解 得 b=,c=6；4(2)CBOB,.C点 坐 标 为(5,6).O C的 半 径 为 5,AC=7(8-5)2+(0-6)2=3N/5.r-AC*-K Q=3/5-5；(3)设。点 横 坐 标 为 d,由 题 意 可 得，SM O B=；8 6=24.：=1e 2 4=3 O又 S=R B.同,=1.Q 点 坐 标 为(1,7)或.【总 结】本 题 是 二 次 函 数 的 综 合 型，主 要 利 用 了 待 定 系 数 法 求

4、 二 次 函 数 解 析 式，利 用 外 切 间 的 数 量 关 系 确 定 圆 的 半 径，在 第(3)问 中，要 注 意 分 类 讨 论.2、如 图，二 次 函 数 的 图 像 过 点 A(-6,0)、B(0,6),对 称 轴 为 直 线 x=2,顶 点 为 C,点 8 关 于 直 线 尤=-2 的 对 称 点 为 D.(1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 以 及 点 C和 点。的 坐 标；(2)联 结 4 8、BC、CD、D A,点 E在 线 段 AB上，联 结。E,若 DE平 分 四 边 形 A8CD的 面 积，求 AE的长:（3）在 二 次 函 数 的 图 像 上 是 否 存 在

5、 点 P,能 够 使 NPC4=N S 4 C?如 果 存 在，请 求 出 点 P 的 坐 标；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 析】（1）.二 次 函 数 过（-6,0）对 称 轴 为 x=-2,二 次 函 数 过 点（2,0）.设 二 次 函 数 为 y=a（x+6）（x-2）,将 8（0,6）代 入，解 得 二 次 函 数 解 析 式 为：y=x2-2 x+6.2（2）顶 点 C的 坐 标 为（一 2,8）,点。的 坐 标 为（7,6）,连 接 8 D,则 SMBD+S&CBD=16.的 解 析 式 为 y=x+6,.设 E点 为（e-6,e）.*,SE B C D=S.BD

6、+SSCBD=4（6-e）+4=-SABCD=8.；.e=4.点 坐 标 为（一 2,4）.长 为 4&.（3）分 情 况 讨 论.若 P在 抛 物 线 AC段 上，山 题 意，则 有 PC A8.PC解 析 式 为 y=x+1 0,可 解 得 P点 坐 标 为（-4,6）.若 P不 在 抛 物 线 4C段 上，设 PC与 A B交 于 M.由 题 意，得 CM=4 M.设 M 点 坐 标 为（m,m+6）,J(加 _(_6)2+(利+6 _ 0)2=(-2-/)2+(8-(1+6)2.解 得：”=,Z.M 点 坐 标 为 f-1,.直 线 CP解 析 式 为：y=7 x+2 2.y=7x+2

7、2y=-x2-2 x+62解 得:（C点,舍）或 x=-16y=-90综 上 所 述，P点 坐 标 为（-4,6）或（-1 6,-9 0）.【总 结】本 题 综 合 性 较 强，主 要 考 查 二 次 函 数 背 景 下 的 面 积 问 题，解 题 时 注 意 利 用 相 关 性 质 进 行 解 题.练 习：1,抛 物 线 y=（x+z y+Z与 x 轴 交 于 A、B两 点，顶 点 M 的 坐 标 为（1,-4）.（1）求 A、B两 点 的 坐 标；（2）设 直 线 A M与 y 轴 交 于 点 C,求 A fiC W的 面 积；（3）在 抛 物 线 上 是 否 还 存 在 点 P,使 得

8、SU M 8=5 A8OW，如 存 在，求 出 点 P的 坐 标；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 析】（1）将 顶 点（1,Y）代 入 顶 点 式，可 得，抛 物 线 解 析 式 为：y=x2-2 x-3.4 8 两 点 的 坐 标 分 别 为（-1,0）和（3,0）.（2）.,直 线 A M 的 解 析 式 为 y=-2 x-2,点 坐 标 为（0,-2）.*S g c M=S&ABM _ S MBC=8 4=4.（3）分 情 况 讨 论.P在 宜 线 8 M 右 侧 时，此 时 P不 存 在；P在 直 线 8 M 左 侧 时，,*S.PMB-S ABCM，：.CP/BM.8河

9、 所 在 直 线 为 丁=2工-6,/.CP 直 线 为 y=2x-2.,y=2 x-2 x=2-V 5 x=2+V5由 I 2.解 得：L 或 4 1y=x-2 x-3 y=2-2 百 y=2+2V5；.P 点 坐 标 为(2-石,2-2 退)或(2+石,2+2石).【总 结】本 题 是 二 次 函 数 的 综 合 型，主 要 利 用 了 待 顶 点 式 求 二 次 函 数 解 析 式，并 且 求 出 几 何 图 形 的 面 积,在 第(3)问 中，要 注 意 分 类 讨 论.2、如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。为 坐 标 原 点，开 口 向 上 的 抛 物 线 与 x 轴 交

10、 于 点 A(-1,0)和 点 B(3,0),。为 抛 物 线 的 顶 点，直 线 AC与 抛 物 线 交 于 点 C(5,6).(1)求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)点 E在 x 轴 上，且 AAEC和 4 回 相 似，求 点 E的 坐 标；(3)若 直 角 坐 标 平 面 中 的 点 F和 点 A、C、。构 成 直 角 梯 形，且 面 积 为 1 6,试 求 点 F的 坐 标.【解 析】(1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x+D(x-3),将 点 C(5,6)代 入，彳！2/.抛 物 线 解 析 式 为 y=l x2-x-|;(2).抛 物 线 的 解 析 式 为 丫=

11、#一 白*-1)2一 2,二 抛 物 线 的 顶 点。的 坐 标 为(-1，-2),作 C M _Lx轴 于 点 M,作 W_Lx轴 于 点 N,.点 C(5,6),.点 M 的 坐 标 为(5,0),.CM=6,A M=5+1=6,：.CM=A M；轴，：.ZCMA=30在 AACW 中，Z C A M+ZACAf=180-90=90,：.ZCAM=Z A C M=45,同 理 可 求 得，N N A D=N N D A=4 5。；./CAB=NOAB=45。；当 点 E 在 点 A 右 侧：AAEC 和 A4D相 似，且/CAE=ND4E=45。，.AC AE.6/2 _ AE-=-=-:

12、AE AD,AE 2V2A AE=2y/6,.点 E(-1+2后，0).当 点 E 在 点 A 左 侧：AAEC 和 AAD相 似，且/CAE=ND4E=135。，.AC AE.6拒 _ AE-9-=/，AE AD AE 2V2:.AE=2 R,二 点 0).综 上 所 述，点 E(-1+2后，0)或 点(-1-2 6，0)：(3)由 得：ZCAB=ZDAB=45,：.ZDAC=90,当 PD AC 时，ZADP=ZCAD90.,点 A(-1,0)、点 8(3,0)、点。(1,-2),A AD=(-1-1)2+(-2-0)2=272,2D=“1-3)2+(-2-0)2=2夜,48=3+1=4；

13、A D2+BDr=AB2,；.ZADB=90:.8和 点 4、C、。构 成 直 角 梯 形 又 S g c=g x 2 0 x(2&+6 夜)=16.3和 点 A、C、。构 成 面 积 16的 直 角 梯 形，满 足 题 意;当 CPU AD 时，A PC A=Z C A D=90*7 F：S c=x 6 0 x(2夜+CP)=1 6，CP=-y-;作 P _LCM轴 于 点 H,在 等 腰 直 角 三 角 形 CPH中，可 求 得 CH=PH=2,3.点 P 坐 标 为 与 9 当 A尸 C O时，不 合 题 意，.舍 去；综 上 所 述，点 P 坐 标 为 件 果 或(3,0).【总 结】

14、本 题 综 合 性 较 强，主 要 考 查 函 数 背 景 下 的 相 似 问 题，及 直 角 梯 形 的 存 在 性 问 题，注 意 对 面 积 的 要 求，然 后 进 行 分 类 讨 论.二、有 关 面 积 比 的 存 在 性 问 题【知 识 讲 解】1、知 识 内 容：有 些 问 题 是 关 于 两 个 未 知 面 积 比 的，此 类 问 题 的 难 度 稍 大.一 般 都 需 要 先 通 过 公 共 边 或 公 共 高,将 面 积 比 转 化 为 线 段 之 比，从 而 进 一 步 列 出 方 程 解 决 问 题.2、解 题 思 路：(1)根 据 题 目 条 件，用 函 数 表 示 出

15、 相 关 面 积：(2)利 用 面 积 比 的 条 件 列 出 方 程 并 求 解；(3)根 据 题 目 实 际 情 况，验 证 所 有 可 能 点 是 否 满 足 要 求 并 作 答.【例 题 讲 解】1、如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛 物 线 y=6 2-2 a x+c与 x 轴 正 半 轴 交 于 点 A,与 y轴 正 半 轴 交 于 点 8,它 的 对 称 轴 与 x 轴 交 于 点 C,且 NO8C=NO4B,AC=3.(1)求 此 抛 物 线 的 表 达 式；(2)如 果 点。在 此 抛 物 线 上，DFLOA,垂 足 为 F,DF与 线 段 A 8相 交 于 点

16、G,且 必 啦=3,求 点 D的 坐 标.S/X A F G 2【解 析】(1)y=ax2-2 o r+c=rz(x-l)+c a,对 称 轴 为 x=L C 点 坐 标 为（1,0）.AOC=1,04=4,A 点 坐 标 为（4,0）.V/OBC=/OAB,:.AOBCS AOAB.,OB OA-=-.OC OB：.OB=2.即 8 点 坐 标 为（0,2）.将 4 8 坐 标 代 入 解 析 式 可 得：抛 物 线 的 解 析 式 为：y=-x2+-x+2.4 22解 得：。=3或 0=4（舍），.D点 坐 标 为（3,.【总 结】本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 背 景 下 的 面

17、 积 问 题，注 意 将 面 积 比 转 化 为 线 段 比.（2）设。点 横 坐 标 为。，据 题 意 有 0 v a+2）32、如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 点 A 的 坐 标 为（a,3）（其 中 a 4）,射 线。A与 反 比 例 函 数 y 的 图 像 交 于 点 P,点 8、C分 别 在 函 数=生 的 图 像 上，且 A 8 x 轴，AC y 轴.X X（1）当 点 P的 横 坐 标 为 6 时，求 直 线 A。的 表 达 式；（2）联 结 B。，当 A8=8。时，求 点 A 的 坐 标；（3）联 结 BP、C P,试 猜 想 生 也 的 值 是 否 随 a

18、 的 变 化 而 变 化？如 果 不 变，求 出 包 业 的 值；如 果 变 化，请 说 明 理 由.【解 析】（1）将 P点 横 坐 标 6 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式，解 得 P点 坐 标 为（6,2）.二 直 线。A 的 表 达 式 为：y=x.3（2）；A 8 x 轴,二 8 点 纵 坐 标 为 3.点 坐 标 为（4,3）.。8=2+3?=5.：.AB=5.点 坐 标 为（9,3）.（3）点 坐 标 为（。，3）,.C点 横 坐 标 为 a,A。解 析 式 为 y=x.a.C点 坐 标 为（a,?）,P点 坐 标 为 a 6 6a+a，2 a【总 结】本 题 主 要 考

19、查 反 比 例 函 数 背 景 下 的 面 积 比 问 题，此 题 也 可 以 将 面 积 比 利 用 同 底 等 高 或 同 高 等 底 转化 为 线 段 比.练 习：1、如 图，抛 物 线 y=/+b x-c 经 过 直 线 y=x-3与 坐 标 轴 的 两 个 交 点 4、B,此 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 C,抛 物 线 的 顶 点 为 D.(1)求 此 抛 物 线 的 解 析 式；(2)点 P 为 抛 物 线 上 的 一 个 动 点，求 使 SAAPC：SAA8=5:4 的 点 P 的 坐 标；(3)点 M 为 平 面 直 角 坐 标 系 上 一 点，写 出

20、使 点 M、A、8、。为 平 行 四 边 形 的 点 M 的 坐 标.【解 析】(1)由 题 意，y=x-3与 两 坐 标 轴 分 别 相 交 于 点 A(3,0)、8(0,-3),将 此 两 点 坐 标 代 入 抛 物 线 解 析 式，解 得 抛 物 线 的 解 析 式 为：y=V-2x-3.(2).抛 物 线 顶 点。的 坐 标 为(1,-4),C 点 坐 标 为(一 1,0),S 1 fAe0=8.由 题 意，SM P C=10.设 P 点 的 纵 坐 标 为 p,g.4.|p|=10，解 得 p=5.抛 物 线 最 低 点(顶 点)纵 坐 标 为-4,p 5.二 户 点 坐 标 为(4

21、,5)或(一 2,5)；(3)A M 平 行 等 于 BD时，M 为(2,1)或(4,-1)；8 M 平 行 等 于 A D 时，M 为(2,1)(重 复，舍)或(2,-7).综 上，M 点 的 坐 标 为(2,1)、(4,-1),(-2,-7).【总 结】本 题 考 查 了 二 次 函 数 的 综 合 应 用，主 要 考 查 了 平 行 四 边 形 的 存 在 性 以 及 面 积 比 的 相 关 问 题，熟 练 掌 握 待 定 系 数 法 是 解 本 题 的 关 键.2、如 图，已 知 抛 物 线 y=x 2-2 a+”-2 的 顶 点 A 在 第 四 象 限，过 点 A 作 轴 于 点 8

22、,C是 线 段 A B上 一 点（不 与 A、B重 合），过 点 C作 CDJ_x轴 于 点 D,并 交 抛 物 线 于 点 P.（1）若 点 C的 横 坐 标 为 1,且 是 线 段 A 8的 中 点，求 点 P的 坐 标；（2）若 直 线 AP交 y 轴 负 半 轴 于 点,且 A C=C P,求 四 边 形。EPD的 面 积 S关 于 t的 函 数 解 析 式，并 写 出 定 义 域；（3）在（2）的 条 件 下，当 A 4D E的 面 积 等 于 2 s时-，求 t 的 值.【解 析】(1)y=x2-2tx+r2-2=(x-r)-2(t,-2).点 C的 横 坐 标 为 1,且 是 线

23、 段 4 B 的 中 点，t=2.y=(x-2)-2,：.P(1,-1);(2)据 题 意，设 C(x-2)(0 x t),P(x,(x-t)2-2)A C=t-x,PC=(x-t)2.：AC=PC,：.t-x=(x-r)2.x t t-x=l,即 x=t T.：.AC=PC=1.：DC/y 轴：.EB=t.EB AB：.OE=2-t.i i 3：.S=-(O E+D P)x O D=-(3-t)(t-l)=t2+2 t-(l t 2)；2 2 2 2(皿 2 3)Sy2.n,=-D P2x A B=-x x t=-t.1 i-Q,SM D E=2 S，于=2(一 耳 产+2,-5)，解 得：4=|,t2=2(不 合 题 意).3 1=2【总 结】本 题 主 要 考 查 了 二 次 函 数 背 景 下 的 面 积 存 在 性 问 题，解 题 时 注 意 点 的 位 置，从 而 对 所 求 出 的 坐 标 进 行 取 舍.