广东省2022-2023年高三数学期末试卷汇编08：立体几何解析版.pdf

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1、广 东 省 2022-2023年 高 三 数 学 期 末 试 卷 分 类 汇 编 专 题 08：立 体 几 何 解 析 版 一、单 选 1.（深 圳 市 罗 湖 区 期 末 试 题）正 四 面 体 S-A B C 中，M 是 侧 棱 SA上（端 点 除 外）的 一 点，若 异 面 直 线 MB与 直 线 A C 所 成 的 角 为 a,直 线 M B与 平 面 A B C所 成 的 角 为,二 面 角 M B C A 的 平 面 角 为/,则（）A.a/3 y B./3 a yC./3 y a D.y a,连 接 A D，M D,SD过 M 作 M H L A D 于 H，连 接 H B，M

2、B，过“作 A C 的 平 行 线 交 S O T N，则 N B M N=a,由 SJ_6C,A D J.B C,SD A D=D,S D u 平 面 SAD,A D u 平 面 SAD可 得 B C 1 平 面 SA,则 M D _ L B C,则 NMH=/由 B C 1 平 面 SAD,可 得 平 面 ABC 1 平 面 SAD,又 平 面 A B C c平 面 S4Z）=A D，例 H u 平 面 SAD，M H 上 A D，则 M W，平 面 A B C，则 因 为 sm=-=s in/,且,/G 0,所 以 q y.MB M D 2 j设 正 四 面 体 边 长 为 1,A M=

3、A（O A 1）,有 SM=M V=l-4.MN 1-A2coscz=2，cos/BM BMHD HD-MD BM因 为 四*争 4 除 告 T A 一 普 所 以 cos/cosa,又 a,则 7 a综 上：/3 y a故 选：C2.（深 圳 市 高 级 中 学 集 团 期 末 试 题）已 知 圆 锥 的 表 面 积 为 3TT,它 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆，则 此 圆 锥 的 体 积 为（）A.岛 B.B C,无 兀 D.Ji3 3【答 案】C【解 析】【分 析】求 出 圆 锥 的 底 面 半 径 和 圆 锥 的 母 线 长 与 高，再 计 算 圆 锥 的 体 积.【详

4、解】解：设 圆 锥 的 底 面 半 径 为，圆 锥 的 母 线 长 为/,山 兀/=2jtr,得/=2r,又 S=Tir2+冗 广 2r=3兀 2=3兀，所 以 r=1,解 得 r=1；所 以 圆 锥 的 高 为=J 1 产=J2?一=百,所 以 圆 锥 的 体 积 为 丫=L 兀/0=1 兀 X X 6 旦.3 3 3故 选：C.3.（深 圳 市 高 级 中 学 集 团 期 末 试 题）如 图，棱 长 为 4 的 正 方 体 ABC。-A 耳 G 2,点 A 在 平 面 a 内，平 面 A 8 G D 与 平 面 a 所 成 的 二 面 角 为 3 0，则 顶 点 G 到 平 面 a 的 距

5、 离 的 最 大 值 是（)【答 案】BC.2(7 3+1)D.2(V2+1)【解 析】【分 析】ABC。-A 4 C 2 是 正 方 体，当 底 面 ABC。与 平 面 a 所 成 的 角 与 底 面 对 角 线 A C所 成 的 角 相 等 时，顶 点 C 到 平 面 a 的 距 离 的 最 大；最 大 值 E=q O+O E 作 截 平 面 图，由 题 知 NQ4E=30,利 用 平 面 几 何 知 识 求 得 即 可【详 解】如 图 所 示，当 直 线 AC与 面 a 所 成 角 等 于 面 ABCD与 面 a 所 成 角 时 顶 点 C 1到 平 面 a 的 距 离 最 大,取 截

6、图，如 下 图 所 示：作 G EAA,C G C,C O J AO1,AC=V42+42=472-ZA=3 0，C Q=2 五，C G CtE,CO,A AOt.C,A AOt,CC=GE=2枝,?A?AOE?COG?CC.O,?A?CCtO 30,CC,=4,C,G=CC,?cos30 273,q E=C.G+GE=273+272=2(6+扬，故 选:B.4.（汕 头 市 高 三 期 末 试 题）如 图 1,水 平 放 置 的 直 三 棱 柱 容 器 A B C-中，A C L A B,AB=A C=2,现 往 内 灌 进 一 些 水，水 深 为 2.将 容 器 底 面 的 一 边 A B

7、固 定 于 地 面 上，再 将 容 器 倾 斜，当 倾 斜 到 某 一 位 置 时,图 I 图 2A.3 B.4 C.4 0 D.6【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 两 个 图 形 装 水 的 体 积 相 等 即 可 求 解.【详 解】在 图 1 中 雁=g x 2 x 2 x 2=4,1 1 1 4在 图 2 中，V=VA B C_AiBtCi-Vc_AiBiCi=-X 2 X 2 X/I-X-X 2 X 2 X/I=-/2,4:.h=4,.-./?=3.3故 选：A.5.（清 远 市 高 三 期 末 试 题）在 三 棱 锥 A 中，“三 棱 锥 A-B C D 为 正 三 棱 锥”是

8、“AB _ L 8 且 AC 1 BD”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B,必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D,既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【解 析】【分 析】验 证 充 分 性 可 根 据 正 三 棱 锥 的 几 何 性 质 通 过 线 面 垂 直 的 判 定 及 性 质 判 断 线 线 垂 直，必 要 性 验 证 借 助 直 四 棱 柱 构 造 三 棱 锥 满 足 CD,A C 1 B D,结 合 直 四 棱 柱 的 性 质 判 断 三 棱 锥 A-B C D是 否 为 正 三 棱 锥 即 可.【详 解】解：充 分 性：如 图，在 A BC。中，

9、E 为。中 点，连 接 若 三 棱 锥 A BCD 正 三 棱 锥，则 BCD为 正 三 角 形，且 A5=AC=AD,因 为 E 为。C 中 点，所 以 A EJ_O C,8E_LO C,又 A E c 8 E=平 面.所 以。C J平 面 A B E,又 A B u平 面 M E，则 A3J_CO,同 理 可 得 AC工 8。，故 充 分 性 成 立；必 要 性：如 图，在 直 四 棱 柱 AEBF GCHD中，底 面 为 菱 形，且 AE=A G,但 A D H CD由 直 四 棱 柱 AE377 GCHD及 底 面 AF3E为 菱 形，易 得 ABLC。，又 AE=AG,则 直 四 棱

10、 柱 的 侧 面 均 为 正 方 形，易 得 A C J.B D,且 AD=AC=8C=8，由 于 A D H C D，则 BC。不 为 正 三 角 形，故 上 棱 锥 A-BCD不 为 正 三 棱 锥，故 必 要 性 不 成 立；综 上，“三 棱 锥 A 3。为 正 三 棱 锥”是“A B L C P且 A C/8。”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选：A.6.（惠 州 市 高 三 期 末 试 题）九 章 算 术 是 我 国 古 代 第 一 部 数 学 专 著，其 中 有 如 下 记 载：将 底 面 为 矩 形，一 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥 称 为 阳 马.现 有 如

11、图 所 示 的 直 径 长 为 2 的 胶 泥 球 胚，某 数 学 兴 趣 小 组 的 同 学 需 在 此 胶 泥 球 胚 中 切 割 出 底 面 为 正 方 形，且 垂 直 于 底 面 的 侧 棱 与 底 面 正 方 形 边 长 相 等 的 阳 马 模 型 的 几 何 体（实 物体)，若 要 使 该 阳 马 体 积 最 大，则 应 削 去 的 胶 泥 的 体 积 大 约 为(兀=3)()A.2.8 B.3.2 C.3.5 D.4.8【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 阳 马 的 定 义，可 借 助 截 出 阳 马 的 正 方 体 来 求 解 体 积，要 使 阳 马 体 积 最 大，则 原

12、 正 方 体 的 体 积 应 该 最 大，即 球 的 内 接 正 方 体，此 时 体 对 角 线 的 长 等 于 球 的 直 径.如 图 正 方 体 A6CZ)-中，四 棱 锥 A ABC。即 阳 马.设 正 方 体 边 长 为“，体 积 为 匕，显 然%.8=：5.8-。2=!匕，所 以，当 该 正 方 体 体 积 最 大 时，该 阳 马 体 积 最 大.在 球 的 内 部，任 意 构 造 一 个 正 方 体，显 然 球 的 内 接 正 方 体 体 积 最 大，应 有 正 方 体 的 对 角 线 BD 等 于 球 的 直 径，即 8。=2.Q 同(D c v Q n又 BD|=Ja，所 以

13、也。=2,则。=至，则 匕=/=*=*，3(3)9所 以%.8=，匕=4 4又 球 的 体 积 为 V=-TER=一 兀，3 3A Q 4 8 x 1 73所 以，应 削 去 的 胶 泥 的 体 积 为 V%=3 兀 一 曳 士。7x3-3.5,DABCD 3 27 3 27故 选：c.7.（华 南 师 范 大 学 附 属 中 学 高 三 期 末 试 题）古 希 腊 亚 历 山 大 时 期 的 数 学 家 帕 普 斯 在 数 学 汇 编 第 3 卷 中 记 载 着 一 个 确 定 重 心 的 定 理：“如 果 同 一 平 面 内 的 一 个 闭 合 图 形 的 内 部 与 一 条 直 线 不

14、相 交，那 么 该 闭 合 图 形 围 绕 这 条 直 线 旋 转 一 周 所 得 到 的 旋 转 体 的 体 积 等 于 闭 合 图 形 面 积 乘 以 该 闭 合 图 形 的 重 心 旋 转 所 得 周 长 的 积”,即=5/（V 表 示 平 面 图 形 绕 旋 转 轴 旋 转 的 体 积，S表 示 平 面 图 形 的 面 积，/表 示 重 心 绕 旋 转 轴 旋 转 一 周 的 周 长）.如 图 直 角 梯 形 ABC。，已 知 8。,48_14。,4 0=4,8。=2,则 重 心 6 到 4 3 的 距 离 为（）9 3【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 题 意，用 式 子 分 别

15、 表 示 出 圆 台 体 积、梯 形 面 积 以 及 重 心 绕 旋 转 轴 旋 转 一 周 的 周 长，进 而 求 解 答 案.【详 解】直 角 梯 形 绕 A 6 旋 转 一 周 所 得 的 圆 台 的 体 积 为 丫=（16兀+4兀+8兀）%=号-；梯 形 A B C O 的 面 积 s=1（4+2）/?=3/1,故 记 重 心 G 到 A B 的 距 离 为 h,贝 史=（2血）3/7,则 力=y，故 选：A8.（华 南 师 范 大 学 附 属 中 学 高 三 期 末 试 题）如 图，在 三 棱 锥 A-AQG中，AA _ L平 面 4 4 a，/4 4 G=90,4 4=2 4 A=

16、2BCI=2,P为 线 段 AB1的 中 点，M,N 分 别 为 线 段 A G 和 线 段 4 6 上 任 意 一 点，则 逐 P M+M N 的 最 小 值 为（）*N GA.述 B.-C.75 D,22 2【答 案】C【解 析】【分 析】先 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 推 得 4 G 再 利 用 面 积 相 等 在 RtAAB,Ct中 推 得 加 P M s i n/M P A+M N s i n/M N q=6，从 而 得 到 也 小 P M+M N，由 此 得 解.【详 解】因 为 A&，平 面 A g e,A g，g G u 面 A g G，所 以，与，的,又 Z

17、A 4 G=9 0。，4cl _L A 4，因 为 A41 A 4=4，4，A g u 平 面 A81A，所 以 J_平 面 A 4 A，又 AB|U平 面 A q A，所 以 4 G，Ag,又 在 Rt A4内 中，ABI=J w+W=6,在:RtZkAgC中，S A B M+S B M Ci=S A/G,故 g X 逐 X PMsinNM叫+g X1X MNsinNMN=g x 1 x 石,则&M s i n Z M P B+M N s i n Z M N Q=6,又 yf5PMsinZMPBt 加 P M,MNsin/MNC、M N，所 以#PMsinNMPB+M ZV sinZA fi

18、V C,加 P M+M N,即 y/5 亚 P M+M N，当 且 仅 当 NMPBI=90,N M N C=90时，等 号 成 立，当 N M P q=9 0。时，M 为 A G的 中 点，此 时 当 N M VC|=90。时，N 为 8 的 中 点，综 上 所 述 小 P M+M N 的 最 小 值 是 V5.故 选：C.9.（东 莞 市 高 三 期 末 试 题）已 知 一 个 装 满 水 的 圆 台 形 容 器 的 上 底 半 径 为 6,下 底 半 径 为 1,高 为 5 6，若 将 一 个 铁 球 放 入 该 容 器 中，使 得 铁 球 完 全 没 入 水 中，则 可 放 入 的 铁

19、 球 的 体 积 的 最 大 值 为（）A.B.32百 兀 C.125岛 D.108K2【答 案】B【解 析】【分 析】作 出 体 积 最 大 时 的 剖 面 图，分 析 出 此 时 圆 与 上 底，两 腰 相 切，建 立 合 适 直 角 坐 标 系，设 圆 心 坐 标 为（0）,利 用 圆 心 到 腰 所 在 直 线 等 于 半 径 列 出 方 程，解 出 即 可.【详 解】体 积 最 大 时，沿 上 下 底 面 直 径 所 在 平 面 作 出 剖 面 图 如 图 所 示，显 然 此 时 圆 F 与 等 腰 梯 形 A 5C O的 上 底 以 及 两 腰 相 切，则 建 立 如 图 所 示

20、直 角 坐 标 系，由 题 意 得 3（1,0）,C（6,5A/3）,则 噎=孚=6,则 直 线 5 c 所 在 直 线 方 程 为 y=逝（1）,即 岳 y 0=0设 尸（Oj）,体 积 最 大 时 球 的 半 径 为 R，则 H=EF=5 6/，则 点 F 到 直 线 B C 的 距 离 等 于 半 径 R,卜 四 r则 有 了 二-5 6-,J（g）+（-1）解 得 f=3 6 或 1 1 G，.0/5 6，:=3 6，此 时 EF=50-3百=2 百,则 V=g 7iR3=1K X（2 6）3=3267t故 选：B.10.（江 门 市 高 三 期 末 试 卷）攒 尖 是 中 国 古 代

21、 建 筑 中 屋 顶 的 一 种 结 构 形 式，宋 代 称 为 撮 尖，清 代 称 攒 尖.通 常 有 圆 形 攒 尖、三 角 攒 尖、四 角 攒 尖、八 角 攒 尖，也 有 单 檐 和 重 檐 之 分.多 见 于 亭 阁 式 建 筑，园 林 建 筑.如 图 所 示 的 建 筑 屋 顶 是 圆 形 攒 尖，可 近 似 看 作 一 个 圆 锥，已 知 其 轴 截 面（过 圆 锥 旋 转 轴 的 截 面）是 底 边 长 为 6 m,顶 角 为 弓 的 等 腰 三 角 形，则 该 屋 顶 的 侧 面 积 约 为（）A.6-m2 B.6/3m2C.367rm2 D.1267rm?B【详 解】如 图

22、所 示 为 该 圆 锥 轴 截 面，底 面 圆 半 径 为 尸=3加，母 线 鬲，侧 面 积 Ey=nx3x2石=6 6/.311.（佛 山 市 高 三 期 末 试 题）在 四 棱 锥 P ABC。中，9 4,平 面 A B C D,四 边 形 A 8 C D 是 正 方 形，PA=A B,P H=2 H C,E,尸 分 别 是 棱 C。，外 的 中 点，则 异 面 直 线 与 EF 所 成 角 的 余 弦 值 是（）A.1 B Y C.显 D.迪 3 3 3 3【答 案】B二、多 选 12.已 知 球。的 半 径 为 4,球 心 O 在 大 小 为 4 5 的 二 面 角。一/-4 内，二

23、面 角。一/一 尸 的 两 个 半 平 面 所 在 的 平 面 分 别 截 球 面 得 两 个 圆。1,。2,若 两 圆 a,。2 的 公 共 弦 入 8 的 长 为 4,E 为 A B 的 中 点，四 面 体。4 Q Q得 体 积 为 则 一 定 正 确 的 是（）A.O,E,。一。2 四 点 共 圆 B.0 E=6C.（J.=瓜 D.V的 最 大 值 为 a-1【答 案】ACD【解 析】【分 析】连 结。旦。|七。2旦。2，。4 判 断 出 Q4=4,AE=2 利 用 勾 股 定 理 求 0 E 判 断 B 证 明 0 0,1 OiE,O O2l O2E,0,旦。2四 点 共 面，即 可

24、判 断。,后。,。2四 点 共 圆 判 断 A,利 用 正 弦 定 理 求 出。0 2,由 此 判 断 c；设。4=4,0。2=4 求 出 s。的 最 大 值，结 合 体 积 公 式 判 断 D.则 0 E=y J o-A E2=V42-22=26 故 B 错 误 因 为 二 面 角。一/-的 两 个 半 平 面 分 别 截 球 面 得 两 个 圆 5,02.。为 球 心，所 以 0。1,0 02万，又 Q E,A B u平 面 a,Q E,A B u平 面 仅，所 以。0 _ L 01E,00?1 02E,OO AB,OO2 AB,因 为。9，。2 u 平 面 0。0 2,所 以 A B I

25、平 面。2，同 理 可 证 平 面。也。2，所 以。q,E,Q 四 点 共 面，又 ZOO,E=N O Q E=90,所 以 N q E O z+N Q O Q=180。，对 角 互 补 的 四 边 形 为 I 员 I内 接 四 边 形，所 以 0,E,a，2 四 点 共 圆，故 选 项 A正 确；因 为 为 弦 小 8 的 中 点，故 0 E AB 02E AB故 N。E 02为 二 面 角 a-/一 的 平 面 角 所 以 N。EO?=45由 正 弦 定 理 得 O R=0 氏 由 45=#故 选 项 C 正 确设 o=4,O Q=d 2 在 o q a 中，由 余 弦 定 理 可 得 口

26、 0Q；=6=d；+d；+何 乩 N（2+0）4 4 所 以 4 d 2 K 3（2 _ 0）故 S.；d&x 与 凶，所 以 V=；ASG；X 23（：7）=0-I 口 当 且 仅 当 以 4=4=6-3 0 时 取 等 号 故 选 项 D 正 确 故 选；ACD1 3.（深 圳 市 南 山 区 期 末 试 题）如 图，正 方 体 ABC。-A B C。的 棱 长 为 2,若 点“在 线 段 B q 上 运 动,则 下 列 结 论 正 确 的 为（）A,直 线 4 M 可 能 与 平 面 AC。相 交 B.三 棱 锥 A-M C D 与 三 棱 锥 2 一 用 6 的 体 积 之 和 为 定

27、 值 C.当 C M，MD、时，与 平 面 ACDX所 成 角 最 大 D.当-A M C 的 周 长 最 小 时，三 棱 锥 例-的 外 接 球 表 面 积 为 16万【答 案】BCD【解 析】【分 析】A.利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理，判 断 A；B.利 用 等 体 积 转 化，可 判 断 B；C.利 用 垂 直 关 系 的 转 化，结 合 线 面 角 的 定 义，即 可 判 断 C；D.首 先 确 定 点”的 位 置，再 利 用 球 的 性 质，以 及 空 间 向 量 的 距 离 公 式，确 定 球 心 坐 标，即 可 确 定 外 接 球 的 半 径，即 可 判 断 D.【

28、详 解】A.如 图，4 c A C,且 4 6 仁 平 面 4。4，A C u 平 面 AC。一所 以 AG 平 面 ACD1，同 理 3 G 平 面 ACD1,且 A C u 平 面 A G，BC|U平 面 A f G，且 4 G?3 a G，所 以 平 面 平 面 AC。，且 A|M u平 面 A G，所 以 AM 平 面 A C 4,故 A错 误;B.如 图，过 点 M 作 ME，BC 丁 点 E，MFI.C Q于 点 F,根 据 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知，也 E 平 面 A C D,M E,平 面。CD-M E+M F=B E+E C=B C=2,A-M C D+V）

29、MCD=V w-ACD+V w-D C D j=xS.,.nxM E+-xS r,rn xM F=-x S.r nx（M E+M F）3/I C tx 3/|L.4 x 3./A C M/1 1 c c c 4=x x2x2x2=.3 2 3C.因 为 A G，平 面 BCG，A/C u平 面 5 C G，所 以 A G M C,且 M|_LMC,且。G DM=D,C g u 平 面。G，Q M u 平 面 R G M,所 以 MC_L平 面。C iM，且 G u 平 面 ACM,所 以 C M J.G，即 C M L B G，点 是 8C1的 中 点，此 时 线 段 C 最 短,又 因 为

30、BC A9,且 B e】(Z平 面 ACD,A Dt|的 距 离 相 等，设 为 h,设 CM与 平 面 A C 2所 成 角 为。，夕 sin6=/，当 CM_LMA时，线 段 M C最 短，所 以 此 时 sin6 最 大，所 以 6 最 大，故 C正 确;D._AMC的 周 长 为 4W+M C+A C,AC为 定 值，即 AM+M C最 小 时，的 周 长 最 小，如 图，将 平 面 8C G展 成 与 平 面 A B G A同 一 平 面，当 点 A M,C 共 线 时，此 时 AM+M C最 小，作 CN_LAB,B M A B B M 2 垂 足 为 N,而=R=解 得：B M=

31、2 6-2,如 图，以 点。为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，C(0,2,0),M(7 2,2,2-7 2),连 结 AG，A。11.平 面。4。1,且 经 过 c 4 A 的 中 心，所 以：棱 锥 M C与。外 接 球 的 球 心 在 AC|上,设 球 心 0(。,2 a,2-a),则 球。=0W,即+(2&2丫+(2=(a 后+(2 a 2 y+(2 a-2+也 丁，解 得：a=0,R2=O C2=4,所 以 外 接 球 的 表 面 积 S=4%R2=16万，故 D正 确.附：证 明 AG，平 面 c q A，因 为 A B上 平 面 B C G，片 C u 平 面 B C

32、 G，所 以 A B _ L B C，又 因 为 8 c且 ABI B C B,4 9 u 平 面 ABC,BQ u 平 面 A B Ct,所 以 BXC 平 血 ABC,A G u 平 面 ABC一 所 以 B C，AC1，同 理 4 A _ L A G，且 4 C c 与。=4,所 以 A G，平 面 CBQ1,且 三 棱 锥 G 一 C A。是 正 三 棱 锥，所 以 A q 经 过,CB1。的 中 心.故 选：BCD1 4.(汕 头 市 高 三 期 末 试 题)在 直 四 棱 柱 ABC。A g G A 中，AB/CD,AB AD,AB=2 A 0=2OC=2。=4.()A.在 棱 A

33、 B上 存 在 点 尸，使 得 R P/平 面 A 8 GB.在 棱 B C上 存 在 点 尸，使 得 O f/平 面 A B GC.若 尸 在 棱 A B上 移 动，则 D.在 棱 4 耳 上 存 在 点 尸，使 得。平 面 A B C【答 案】ABC【解 析】【分 析】通 过 线 面 平 行 的 判 定 定 理 来 判 断 A B选 项 的 正 确 性，根 据 线 线 垂 直、线 面 垂 直 的 知 识 来 判 断 C 选 项 的 正 确 性，利 用 向 量 法 判 断 D选 项 的 正 确 性.【详 解】A 选 项，当 尸 是 A B 的 中 点 时，依 题 意 可 知 G O。尸 比

34、G A=D C=P B,所 以 四 边 形 A P B G是 平 行 四 边 形，所 以 AP G8,由 于 平 面 ABG，GBU 平 面 AG,所 以。尸 平 面 A B G,A 选项 正 确.B 选 项，设 E 是 A 8 的 中 点，P 是 8 c 的 中 点，由 上 述 分 析 可 知 DEH平 面 4 BQ.由 于 PE/ZAC/ZA,P E.平 面 4 8 G，ACi u 平 面 Af G,所 以 P E 平 面 A B C 1.由 于 R E c PE=E,所 以 平 面 平 面 A G，所 以 R P 平 面 AG.B 选 项 正 确.C 选 项，根 据 己 知 条 件 可

35、知 四 边 形 AOA A 是 正 方 形，所 以 山 于 A4,AOcA41=A，所 以 平 面 A O Q A，所 以 AB_LA。.由 于。AcAB=A，所 以 AO_L 平 面 ADf,所 以 AOLRP.C 选 项 正 确.D选 项，建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系，4（2,0,2）,3（2,4,0），G（0,2,2）,/、/、c，/I OP-A,B=4t 4=0AB=（O,4,2），A G=（-2,2,0）.设 尸（2/2）,/（）,4.1L J I,z i i 乙 l U此 方 程 组 无 解，所 以 在 棱 A B|上 不 存 在 点 P,使 得。上 平 面.

36、D错 误.故 选：ABC1 5.（清 远 市 高 三 期 末 试 题）已 知 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。-A B G A 的 中 心 为。，正 方 体，则（）用 过 点。的 平 面 去 截 A.所 得 的 截 面 可 以 是 五 边 形 B.所 得 的 截 面 可 以 是 六 边 形C.该 截 面 的 面 积 可 以 为 3百 D.所 得 的 截 面 可 以 是 非 正 方 形 的 菱 形【答 案】BCD【解 析】【分 析】利 用 正 方 体 的 对 称 性 逐 一 判 断 即 可.【详 解】过 正 方 体 中 心 的 平 面 截 正 方 体 所 得 的 截 面 至 少 与 四

37、个 面 相 交，所 以 可 能 是 四 边 形、五 边 形、六 边 形，又 根 据 正 方 体 对 称 性，截 面 不 会 是 五 边 形，但 可 以 是 正 六 边 形 和 非 正 方 形 的 菱 形（如 图）故 A 错 误，BD正 确；因 为 四 边 形 A 4 G R 的 面 积 为 4,当 截 面 过 中 心。且 平 行 与 底 面 A 5 C D时，截 面 为 矩 形（此 时 也 是 正 方 形）,且 面 积 为 4 3 6，所 以 在 转 动 过 程 一 定 存 在 截 面 面 积 为 3 6，C 正 确.故 选：BCD.1 6.（东 莞 市 高 三 期 末 试 题）已 知 正 方

38、 体 A 6 C D-，E,F,G 分 别 为 B C,CC,的 中 点，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.直 线 g C 与 直 线 人 方 垂 直 B.直 线 A G 与 平 面 2 E F 平 行C.平 面 与 平 面 垂 直 D.点 C和 点 A 到 平 面 尸 的 距 离 相 等【答 案】BC【解 析】【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 得 相 关 点 坐 标，求 得 相 关 向 量 的 坐 标，求 出 平 面 平 面 Q E F与 平 面 4 4。的 法 向 量，根 据 空 间 位 置 关 系 的 向 量 方 法，可 判 断 A,B,C,利 用 空 间 距 离

39、 的 向 量 求 法 可 判 断 D.【详 解】如 图，以 人 为 原 点，以 所 在 直 线 为 x轴、y轴、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系：设 正 方 体 棱 长 为 2,则 4(2,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0),F(2,2,1),D(0,2,0),故 4 c=(0,2,-2),AF=(2,2,l),由 于 4 c-A 尸=0 x 2+2 x 2 2*l=2 w 0，故 4 C,A F不 垂 直,即 直 线 5 c 与 直 线 Ab 不 垂 直，A错 误；又 4(0,0,2),G(2,0,l),R(0,2,2),E(2,l,0),所 以 4 6=(2,0,-1),

40、=(2,1,2),尸=(2,0,1),n-D.EO 2 x-y-2 z=Q设 平 面 O g F 的 法 向 量 为=(x,y,z),则,：.l-八 n-DtF=0 2 x-z=0取 x=l,则 y=-2,z=2,即=(1,-2,2),故 A G=2 2=0,而 A G a 平 面 直 线 4 G 与 平 面。山 尸 平 行，故 B正 确;A 4=(2,0,0)，4。=(0,2,2),设 平 面 4 片 C。的 法 向 量 为 加=(。力,c)m 4 4=0 2a=0则 4。=028 2c=0取 力=1,则 C=1,即 帆=(0,1,1),因 为 质 为=(0,1,1)-(1,-2,2)=0,

41、故 平 面 R E F 与 平 面 B.C D 垂 直，c 正 确；ICE-n 2 2CE=(0,T,0),则 点 C到 平 面 的 距 离 为-=r=-，n 79 314 n.n l 4 4A A=(0,2,0),则 点 A 到 平 面 D,E F 的 距 离 为=尸=,n V9 3即 点 C 和 点 4 到 平 面 D g F 的 距 离 不 相 等，D 错 误，故 选：BC17.(梅 州 市 平 原 县 高 三 期 末 试 题)如 图，在 棱 长 为 2 的 正 方 体 48C O-A4 G。中，M,N,尸 分 别 为 8C,A.直 线。与 直 线 AN垂 直 B.直 线 A P与 平

42、面 4WN平 行 I oC.直 线 A B和 M N夹 角 的 余 弦 值 为 D.点 C到 平 面 AM N的 距 离 为:【答 案】BCD18.(江 门 市 高 三 期 末 试 卷)如 图，在 长 方 体 A 8 8-A M G。中，M=2AB=2AD,E,尸 分 别 是 棱 G,CG的 中 点，则()A.C BDF是 等 边 三 角 形 B.直 线 A E与 B尸 是 异 面 直 线 C.4 尸 _1平 面 8。尸 D.三 棱 锥 A-A B。与 三 棱 锥 A-F Q B的 体 积 相 等【答 案】A C【详 解】对 于 A,设 4 8=1,则=尸=0，故：B D F 是 等 边 三

43、角 形,A 正 确；对 于 B,连 接 E F、DtC,如 图 所 示：易 知 所，所,故 点 A，E,B,尸 共 面，B 错 误:对 于 C,设 A B=1,则 DF=&,A F=&,所 以 A。、。尸+A 尸 所 以 尸，同 理 可 知 4 尸，5尸，又 因 为 班 c B F=F,所 以 A F，平 面 8。尸，故 C 正 确;对 于 D,三 棱 锥 A-48。与 三 棱 锥 A-FOB有 公 共 的 面 AQ B,若 要 它 们 的 体 积 相 等，则 点 八 与 点 尸 到 平 面 A Q 8的 距 离 相 等，这 显 然 不 成 立，故 D 错 误.故 选：AC.19.（佛 山 市

44、 高 三 期 末 试 题）数 学 中 有 许 多 形 状 优 美，寓 意 独 特 的 几 何 体，如 图 1 所 示 的 礼 品 包 装 盒 就 是 其 中 之 一.该 礼 品 包 装 盒 可 以 看 成 是 一 个 十 面 体，其 中 上、下 底 面 为 全 等 的 正 方 形，所 有 的 侧 面 是 全 等 的 等 腰 三 角 形.将 长 方 体 ABC。-A 4 G 2 的 上 底 面 4 与 G A 绕 着 其 中 心 旋 转 45得 到 如 图 2 所 示 的 十 面 体 A B C D-E F G H.已 知 A 8=AO=2,A E=近，贝 ij()B.十 面 体 ABC。-FG

45、”的 表 面 积 是 86+8C.十 面 体 A B C D-E F G H 外 接 球 球 心 到 平 面 A B E 的 距 离 是 也 坦 2D.十 面 体 ABC。一 EFG”外 接 球 的 表 面 积 是（11+2&）兀【答 案】BCD三、填 空 题 20.（广 东 省 五 校 期 末 试 题）如 图 正 方 体 ABC。-A A G A 的 棱 长 是 3,E 是。A 上 的 动 点，P、尸 是 上、卜 两 底 面 上 的 动 点，Q是 E F中 点，E F=2,则 P 4+P Q 的 最 小 值 是【答 案】376-1-1+3/6【解 析】【分 析】以 A、B、C,。为 顶 点

46、构 造 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCO A B C。，利 用 对 称 性 将 PB|+P Q转 化 为 P B M P Q,由 图 形 得 到 R、Q、P、8 四 点 共 线 时 取 最 小 值，进 而 求 解.【详 解】以 A、B、a。为 顶 点 构 造 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABC。一 ABC。，由 对 称 得 PB=PBX,PBX+P Q=PB+P Q,因 为 E 是。A 上 的 动 点，尸 是 下 两 底 面 上 的 动 点,则 V。专 尸 是 直 角 三 角 形，。是 E R 中 点，且 七 尸=2,故。2=1,所 以 PB+P Q取 最 小 值 时，R、Q、P、

47、6 四 点 共 线,则。3=3几，此 时 P A+PQ=3#-1.故 答 案 为：3/6 1.21.（深 圳 市 罗 湖 区 期 末 试 题）若 正 方 形 A B C D 的 顶 点 均 在 半 径 为 1 的 球。上，则 四 棱 锥 O-A 3 C D 体 积 的 最 大 值 为.【答 案】巫 27 27【解 析】，令【分 析】设 正 方 形 A B C O 的 边 长 为*,可 得 到 四 棱 锥 O-A 8 C D 体 积 为 V=L%2.3x2=re（O,2）,则 v=一?3,利 用 导 数 的 知 识 求 得 最 大 值 即 可 求 解【详 解】设 正 方 形 A 5 C D 的

48、中 心 为 E，连 接 0 E,由 球 的 性 质 可 知 O E L 平 面 ABC。,设 正 方 形 ABC。的 边 长 为 x,因 为 正 方 形 A 8 C O 的 顶 点 均 在 半 径 为 1 的 球。上，且 不 在 大 圆 上，所 以 尤（0,a）,所 以，四 棱 锥 O A B C O 体 积 为 丫=1 5 葭。：=”2 1 _1 23 ABCD 3 V 2令 2=/(0,2),则 y=,令)一 一/，则 y=2r-二 3 产，故 了 二？/-53 产=1/2-53)=0 得 f=0,=一 j2 2 2 L)3所 以，当 re(o,g)时，y=2f|r0,=/一 单 调 递

49、增，当 f e,2)时，y 2.tf!=更，3 2 max 2 U J 27所 以，V=-.f-7 lAP=，当 且 仅 当 x=M 时 四 棱 锥 O A 3 C D 体 积 的 最 大 值.3V 2 3V27 27 3故 答 案 为：迪 272 2.（华 南 师 范 大 学 附 属 中 学 高 三 期 末 试 题）已 知 在 四 面 体 V-A 5 c 中，L4=V8=VC=百,A8=后,Z A C B=-,则 该 四 面 体 外 接 球 的 表 面 积 为 _.49zr 9【答 案】#-7：2 2【解 析】【分 析】先 判 断 出 K 在 平 面 A B C 的 射 影 为 三 角 形

50、4 B C 的 外 心，求 出 四 面 体 外 接 球 的 半 径，即 可 求 出 四 面 体 外 接 球 的 表 面 积.【详 解】.忆 4=VS=VC=6 V 在 平 面 A B C 的 射 影 为 三 角 形 A B C 的 外 心.又 A B=a/A C B=,所 以 山 正 弦 定 理 得:4三 角 形 A B C 的 外 接 圆 的 半 径=7 f=12sin 4设 四 面 体 外 接 球 的 半 径 为 R,（&R）2=穴 2-1.解 得：/?=所 以 外 接 球 的 表 面 积 为 4成 2=4兀（逑）2=电 4 2BC故 答 案 为：.223.（东 莞 市 高 三 期 末 试