广东省惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题及答案.pdf

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1、惠 州 市 2023届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 试 题 数 学 全 卷 满 分 150分，时 间 120分 钟.注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、座 位 号、学 校、班 级 等 考 生 信 息 填 写 在 答 题 卡 上。2.作 答 单 项 及 多 项 选 择 题 时，选 出 每 个 小 题 答 案 后，用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 信 息 点 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案，写 在 本 试 卷 上 无 效。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色

2、字 迹 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 指 定 的 位 置 上，写 在 本 试 卷 上 无 效。一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 满 分 5 分，共 4 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符 合 题 目 要 求，选 对 得 5 分，选 错 得 0 分。1.已 知 集 合 4=0,1,2，5=jl,-L 且 B=则 实 数 x=（）XA.1 B.1 C.1或 1 D.02 22.数 列 4 为 等 差 数 列，/、%oi9是 方 程 X 4x+3=0 的 两 个 根，则 4 的 前 2022项 和 为（

3、）A.1011 B.2022 C.4044 D.80882 23.“加 2”是“方 程 一+=1表 示 双 曲 线”的（）条 件 2-m m+A.必 要 不 充 分 条 件 B.充 分 不 必 要 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 4.已 知 实 数 a b 0 c,则 下 列 结 论 一 定 正 确 的 是（）A a a R M Y（1Y c 1 1 0，b c（2）（2）a c5.已 知 互 不 重 合 的 三 个 平 面 B、丫,其 中 4=a,0 C y=b,yCa=c,且=P，则 下 列 结 论 一 定 成 立 的 是（）A.6与 c是 异 面

4、直 线 B.a与 c没 有 公 共 点 C.b/C D.bc=P数 学 试 题 第 1 页，共 6 页6.若 函 数/（x）=a象 可 以 是（）（a 0且 a w l）在 R 上 为 减 函 数，则 函 数 y=log“（|x|T）的 图 7.在“2,3,5,7,11,13”这 6 个 素 数 中，任 取 2 个 不 同 的 数，这 两 数 之 和 仍 为 素 数 的 概 率 是（）8.已 知 xe 0,且 如$111%区 恒 成 立，则 一。的 最 小 值 为（）、2）A.1 B.2 71二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 满 分 5 分，共 20分。在 每 小 题

5、 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 得 5分，部 分 选 对 得 2分，有 选 错 的 得 0分。9.已 知 复 数 z=,则 下 列 选 项 正 确 的 是（）A.z 的 虚 部 为 1 B.|z|-2C.Z?为 纯 虚 数 D.彳 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 一 象 限 10.在 全 市 高 三 年 级 举 行 的 一 次 数 学 达 标 测 试 中，共 有 20000人 参 加 考 试。为 了 了 解 本 次 考 试 学 生 成 绩 情 况，从 中 抽 取 了 部 分 学 生 的 成 绩（成 绩 均 为 正 整 数，满

6、 分 为 100分）作 为 样 本 进 行 统 计，样 本 容 量 为.按 照 50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,100的 分 组 作 出 频 率 分 数 学 试 题 第 2 页，共 6 页布 直 方 图 如 图 所 示，其 中 成 绩 落 在 区 间 50,60）内 的 人 数 为 16.则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.样 本 容 量=1（XX）B,频 率 分 布 直 方 图 中 x=0.（）30C.估 计 该 市 全 体 学 生 成 绩 的 平 均 分 约 为 70.6分 D.该 市 要 对 成 绩 由 高 到 低 前 20%的 学 生 授 予“优 秀

7、 学 生”称 号，则 成 绩 为 78分 的 学 生 肯 定 能 得 到 此 称 号 11.已 知 函 数“力=3*-2*,x e R,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.函 数“X）在（0,+8）上 单 调 递 增 B.存 在 a e E,使 得 函 数 丁=（为 奇 函 数 axC.任 意 X E R,x）TD.函 数 g（x）=/（x）+x 有 且 仅 有 2 个 零 点 12.画 法 几 何 的 创 始 人 法 国 数 学 家 加 斯 帕 尔 蒙 日 发 现：若 椭 圆 的 两 条 切 线 互 相 垂 直，则 两 切 线 的 交 点 位 于 一 个 与 椭 圆 同 中 心 的 圆

8、 上，称 此 圆 为 该 椭 圆 的 蒙 日 圆.已 知 丫 2 v2 历 椭 圆。：方+方=1（4 人 0）的 离 心 率 为 半，耳、鸟 分 别 为 椭 圆 的 左、右 焦 点，点 A 在 椭 圆 上，直 线/:法+0 一。2 一 炉=0,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.直 线/与 蒙 日 圆 相 切 B.椭 圆 C 的 蒙 日 圆 的 方 程 为 2片 C.记 点 A 到 直 线/的 距 离 为 4,则 d|AE|的 最 小 值 为（士 一 产）”3D.若 矩 形 M V G”的 四 条 边 均 与。相 切，则 矩 形 M N G H 的 面 积 的 最 大 值 为 8加 数

9、学 试 题 第 3 页，共 6 页三、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分，其 中 16题 第 一 个 空 2分，第 二 个 空 3分。13.已 知 平 面 向 量 a=(2,4),匕=(几 1),若“与 石 垂 直，则 实 数 4=.14.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，角 8 的 终 边 经 过 点(1,2),则 c o s 2(9+s i n 2 e=.15.在 圆 f+,2 一 2%一 6=0 内，过 点 七(0,3)的 最 长 弦 和 最 短 弦 分 别 为 Z C 和 8。，则 四 边 形 A B C D 的 面 积 为.16.用 数 学 的 眼

10、 光 看 世 界 就 能 发 现 数 学 之“美.现 代 建 筑 讲 究 线 条 感，曲 线 之 美 让 人 称 奇.衡 量 曲 线 弯 曲 程 度 的 重 要 指 标 是 曲 率，曲 线 的 曲 率 定 义 如 下：若 r(x)是/(x)的 导 函 数，/(x)是/(X)的 导 函 数，则 曲 线 y=/(x)在 点 处 的 曲 率 为 J.则 曲 线/(%)=在(1,1)处 的 曲 率 为 正 弦 曲 线 g(x)=sinx(X G R)曲 率 的 平 方 K2的 最 大 值 为.四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或

11、演 算 步 骤。17.(本 小 题 满 分 10分)数 列 4 中，4=2,n+1=2-l.(1)求 证：数 列 4 1 是 等 比 数 列；(2)若 d=4+，求 数 列 4 的 前 项 和 18.(本 小 题 满 分 12分)条 件 sin A-sin C sinS+sinC条 件 V3Z?sin=a sin 8.2请 从 上 述 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 列 问 题 中，并 解 答.己 知 的 内 角 4 8、C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且 满 足(1)求 N；(2)若 A D 是 N B 4 c 的 角 平 分 线，且 4 9=1,求 2+c

12、的 最 小 值.(注：如 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分)数 学 试 题 第 4 页，共 6 页19.（本 小 题 满 分 12分）如 图，在 四 棱 锥 P-45C。中，底 面 为 正 方 形，PA_L底 面 PA=A B=2,E 为 线 段 P 8 的 中 点，E 为 线 段 8 c 上 的 动 点.（1）证 明：平 面 平 面 P B C；（2）若 直 线 A F 与 平 面 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 迪，P5求 点 P 到 平 面 A E F 的 距 离.20.（本 小 题 满 分 12分）某 地 经 过 多 年 的 环 境 治 理，已

13、 将 荒 山 改 造 成 了 绿 水 青 山.为 估 计 一 林 区 某 种 树 木 的 总 材 积 量，随 机 选 取 了 10棵 这 种 树 木，测 量 每 棵 树 的 根 部 横 截 面 积（单 位：，/）和 材 积 量（单 位：加），得 到 如 下 数 据:10 1()10并 计 算 得=0.038,=1.6158,=0.2474./=1 i=l i=l样 本 号 i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 和 根 部 横 截 面 积 为 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6材 积 量 外 0.25 0.40 0

14、.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9（1）估 计 该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 与 平 均 一 棵 的 材 积 量；（2）求 该 林 区 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 与 材 积 量 的 样 本 相 关 系 数（精 确 到 0.01）；（3）现 测 量 了 该 林 区 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积，并 得 到 所 有 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 总 和 为 186m 2.已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比.

15、利 用 以 上 数 据 给 出 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值.支（七 一 元）（y 一 刃 _附：相 关 系 数=I 丁“，VL896*1.377.、位 5-利（%-守 V T i=l数 学 试 题 第 5 页，共 6 页21.(本 小 题 满 分 12分)已 知 函 数 f(x)=2x-anx.(1)当。=1 时，求 函 数 y=/(x)的 单 调 区 间；(2)若 函 数/(x)2(a+2)xxe恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.22.(本 小 题 满 分 12分)2 2已 知 椭 圆 C:,+方=l(a b 0)的 右 焦 点 为 F，点 A(

16、-2,0)在 椭 圆 上 且|AE|=3.(1)求 椭 圆。的 方 程；(2)点 尸、。分 别 在 椭 圆 C 和 直 线 1=4 上，OQ/AP,M 为 N P 的 中 点，若 7 为 直 线 与 直 线。尸 的 交 点.是 否 存 在 一 个 确 定 的 曲 线，使 得 T 始 终 在 该 曲 线 上？若 存 在，求 出 该 曲 线 的 轨 迹 方 程；若 不 存 在，请 说 明 理 由.数 学 试 题 第 6 页，共 6 页惠 州 市 2 0 2 3届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 数 学 试 题 参 考 答 案 与 评 分 细 则 一、单 项 选 择 题：本 题 共 8小 题，每

17、 小 题 满 分 5分，共 40分。2题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 A C B A D C A D1.【解 析】由 集 合 元 素 的 互 异 性 及 子 集 的 概 念 可 知,=2,解 得 实 数=.故 选 A.X2.【解 析】4+“2019=4 所 以 a“的 前 2022项 和，_ 2022(%+4022)!2 一=1011(%+4019)=1011x4=4044,故 选 C.23.2 2【解 析】因 为 方 程 上 _+上=1表 示 双 曲 线，所 以（2-间（加+1）2,即 2-m 加+1_（2,+oo）,所 以“帆 2”是“方 程 2 2J+上 2 m 772+1

18、1表 示 双 曲 线”的 充 分 不 必 要 条 件，故 选 B.4.【解 析】A 项 中，因 为 aZ,0c，所 以 0 0 q,故 A 项 正 确；B 项 中，因 为 函 数 b cy在 27R 上 单 调 递 减 且 a c，所 以,故 B 项 错 误；C 项 中，因 为 a 0 c，则，0 La c故 C 项 错 误；D 项 中，若=1,c=2，则/，故 D 项 错 误.故 选 A.5.【解 析】.屹=P,：.P e a,P e b，：a=a(3,b=/3 y y,:.P&a,P&/3,P&y,V P y=c,:.P G c,:.b c=P,:.a c-P,如 右 图 所 示：故 A,

19、B,C 错 误；故 选 D.6.【解 析】由 函 数/（x）=a：在 R 上 为 减 函 数，可 知 0。l或 xv-1,故 排 除 A,B,又 y=loga(|x|-1)=1/可 知”在（1,4W）单 调 递 减，故 排 除 D.故 选 C.7.【解 析】由 题 意 得，6 个 数 中 任 取 2 个 数，共 有 戏=15种 可 能，2 个 素 数 之 和 仍 为 素 数，则 可 能 为（2Q 1和 3）、（2 和 5）、（2 和 11）共 有 3种 可 能，所 求 概 率 尸=J.故 选 A.15 5数 学 试 题 答 案 第 1 页，共 1 5页8.【解 法 一】数 形 结 合，当 时，

20、曲 线 y=sinx介 于 直 线 口 和 之 间,2 一 即 一 xsinxx,又 因 为 sinxvbx恒 成 立,712 2所 以 依 W x且 rWbx,即。工 一 月 力 2171 712(b-d).=b e Qmax=1-.故 选 D./m in min max 乃【解 法 二】由 oxvsinx，xe唱 得:sinxa-x令 x)=sinxX0 x-|，(x)、=xcosx-sinx.V令 g(x)=xcosx-sinx 0 x I 2，则 g(x)=-xsinx0,r.g(x)在(0弓)上 单 调 递 减，.g(x)g(O)=O，则,(兀、一)在 里 上 单 调 递 减,./川

21、=771 71令/i(x)=sinx-/?x 0%D 则/2(x)=cosx-b，0 x/,0cosx妆 0)=0,不 合 题 意;当 力 2 1 时，(x)0，.(%)在 上 单 调 减，.(x)(0)=0,满 足 题 意;上 单 调 递 减,当 0 b 0，在(0,%)上 单 调 递 增，贝！=不 合 题 意;综 上 所 述 e-4max71二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 满 分 5 分，共 2 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 得 5 分，部 分 选 对 得 2 分，有 选 错 的 得。分

22、。题 号 9 10 11 12答 案 AC BC ABC AC数 学 试 题 答 案 第 2 页，共 1 5 页9.10.1*，2*【解 析】2=二 詈=彳=1+,；.Z的 虚 部 为 1,|z|=0,z?=2i为 纯 虚 数，3=1 i在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 四 象 限，故 选 AC.【解 析】对 于 A：样 本 容 量=-=100,故 A 不 正 确；0.016x10对 于 B：因 为(0.016+x+0.040+0.010+0.004)xl0=l,解 得=0.030，故 B 正 确：对 于 C：学 生 成 绩 平 均 分 为 0.16x55+0.30 x65+0.

23、40 x 75+0.10 x 85+0.04x 95=70.6,C 正 确；11.对 于 D：因 为 10 x(0.004+0.010)+(80-78)x0.040=0.22 0.20，即 按 照 成 绩 由 高 到 低 前 20%的 学 生 中 不 含 78分 的 学 生，所 以 成 绩 为 78分 的 学 生 不 能 得 到 此 称 号，故 D 不 正 确，故 选 BC.【解 析】对 于 A：/(x)=3ln3 2ln2=2*|)In3-ln2(3)J j因 为 xe(0,+8),所 以 2,1,1,因 此 f 目 3Y In3ln3ln2,故/(x)0,所 以/(x)在(0,+8)上 单

24、 调 递 增，故 A 正 确;12.对 于 B：令(1=瓜,则 y点 对 称,且 g(f)=岛 令 8(力 闺-岛 闺 一 岛-闺=对 于 C：x()时，/(x)=2 T-1 0；x 2 1；C 正 确;定 义 域 为 A,关 于 原-g(x),故 g(x)为 奇 函 数，B 正 确 x=0 时，/(x)=0；对 于 D：x=0 时，g(x)=o,x 0 时，g(x)3*2，=2.0,x 0 时，g(x)3-2v=2v-1 0,所 以 g(x)只 有 1个 零 点，D 错 误；故 选：ABCV 2/【解 析】当 两 切 线 分 别 与 两 坐 标 轴 垂 直 时，两 切 线 的 方 程 分 别

25、 为 x=a、y=b,所 以，点(a,坊)在 蒙 日 圆 上，故 蒙 日 圆 的 方 程 为 2+了 2=/+。2,因 为 可/=开=可 当 可 得。2=2庐 数 学 试 题 答 案 第 3 页，共 1 5 页对 于 A 选 项，蒙 日 圆 圆 心 到 直 线/的 距 离 为 d=寿，故/与 蒙 日 圆 相 切，A 对;sla2+b2对 于 B 选 项，C 的 蒙 日 圆 的 方 程 为 d+y2=a2+62=3a2,B 错；对 于 c 选 项，由 椭 圆 的 定 义 可 得|A制+|Ag|=2a=2V2/7，则 I 叫=2回-|4周，所 以 1|4月=4+|4用 2岳，因 为 c=a=，直

26、线/的 方 程 为 x+0 y _ 3 8=O,点（3,0）到 直 线/的 距 离 为=竽），所 以 4 二 鸟|=d+|A用 一 2回 Nd_2舟=（4；3）当 且 仅 当 A6 JJ 时，等 号 成 立，C 对；对 于 D 选 项，若 矩 形 M V G H 的 四 条 边 均 与 C 相 切，则 矩 形 肱 VG”的 四 个 顶 点 都 在 蒙 日 圆 上，所 以|MV+|M”=（2屉 y=1方，所 以 矩 形 M V G H 的 面 积 为 S=陛 粤 丝 11=2,D 错.故 选：AC三、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分，其 中 16题 第 一 个 空

27、2分，第 二 空 3分。13.2；14.1；15.6V10；16.-（2分），1（3分）2513.14.【解 析】因 为。与 万 垂 直，所 以 之 6=0,即 一 24+4=0,解 得；1=2.【解 法 一】由 三 角 函 数 的 定 义 可 知 sin8=乎，cos6=g,+2x述 x好=15 5所 以 cos?+sin2=cos2 6+2sinecos9=9【解 法 二】因 为 角 8 的 终 边 经 过 点（1,2）,所 以 tan8=j=2,c r,，八.cos?e+2sin8cose l+2tan。1+2x2,所 以 cos-0+sin 2。=-5-=-5-=z-=1.sin2+c

28、os2 tan2+l 22+11 5.【解 析】圆 的 标 准 方 程 为（*一 I）：+（y 3）2=10,数 学 试 题 答 案 第 4 页，共 1 5 页则 圆 心(1,3)半 径 r=W，由 题 意 知 最 长 弦 为 过 E 点 的 直 径，最 短 弦 为 过 E 点 和 这 条 直 径 垂 直 的 16.弦，即 且|AC|=2jIU,圆 心 和 E 点 之 间 的 距 离 为 I,3。|=2，(加 5-12=6,所 以 四 边 形 NBC。的 面 积 为 S=3 A C M q=；x2jI5x6=6x/i5.故 答 案 为：6 M1 1 _ 1【解 析】由/(“二：,r(x)=-%

29、2,20 x 4小 5 3=-J=W=*，/、”/、.Isin x|(2)由 g(x)=cosx,g(x)=-sinx,则 长=-!y(1+cos2%尸 K?_ sin2 x sin2 x(1+cos2 X)(2-sin?x于，令 f=2-sin2x,则，E 1,2故 K 2=n、几/2t.,/-3/(2。2z6设 M。=p，则 夕=-p-在 fel,2时 p(f)递 减，所 以 1rax=(1)=1,K2最 大 值 为 1.故 答 案 为：-，125四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 7.(本 小 题

30、满 分 10分，其 中 第 一 小 问 4 分，第 二 小 问 6分)【解 析】(1)因 为%+|=2%-1,所 以 见 X-1=2(%-1),且 4 2 2.1 分 得 LZ1=2.2 分 4-1又 4 1=1.3 分 所 以 数 列 4 1 是 以 1为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列.4 分【注：无 首 项 和 公 比 的 说 明，本 得 分 点 不 得 分】(2)由(1)可 知 an-l=2n-,“e V.1 分 数 学 试 题 答 案 第 5 页，共 1 5 页所 以 2=a”+=2T+1.2 分 又 由 题 知=+4+a+bn所 以 7；=(2+l+l)+(2i+2+l

31、)+(22+3+l)+(2”T+1)=(20+2+22+2T)+(l+2+3+,+“)+.3 分+型 上 又+.5 分【注：等 差 等 比 求 和 公 式 各 1分】1-2 2=2+-3 _22+3-12Tn=2+.6 分 1 8.(本 小 题 满 分 12分，其 中 第 一 小 问 6 分，第 二 小 问 6 分)【解 析】(1)选 E、L sin A-sin C sin B 4-sin C因 为-=-b a+c由 正 弦 定 理 一 9=2=一=2Rsin A sin B sinC所 以 a-c _ b+cb a+c.1分 即/+。2。2=一 历,.2 分 i,2 2 _ 2由 余 弦 定

32、 理 cos4=；.3 分 2bc因 为 Ae(0,7i),.5 分【注：无 此 步 骤，本 得 分 点 不 得 分】所 以 A=f2兀.6 分 3选 因 为 6 b sin+C=asinB,2由 正 弦 定 理 一 J=也 一=J=2R 且 A+B+C=T Tsin A sin B sin C所 以 GsinBsin-=sin Asin B,.1 分 2l A A ABP V3 sin Bcos=2sincossin B.3 分 2 2 2A而 A、B G(0,TI),/.sinB0,cos-0,.4 分 1注：无 此 步 骤，本 得 分 点 不 得 分】数 学 试 题 答 案 第 6 页，

33、共 1 5 页所 以 sin=.5分 2 2因 为 A e(O,2),所 以 4=至，即 4=.6 分 2 2 2 3 3选 I a h c因 为 4cos5=c+b,由 正 弦 定 理=-=一 二 2R2 sin A sin B sinC所 以 sin AcosB=sinC+sinB,.2即 sin AcosB=sin(A+8)+g sin 5,.-1 c.4分.5分.6 分【备 注：从 3个 条 件 的 思 维 量 及 计 算 步 骤 数 综 合 分 析，从 易 到 难 排 序 为 V】2而 3(0,兀),.sin8wO,e A 1故 cos A=,22,71因 为 人 6(0,兀)，所

34、以 4=千 1分.2分 3分(2)【解 法 一】如 图，过。分 别 作 OE/A B,D F/A C由 题 意 可 知 AADE和 AADE都 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 由 D E/A B得 匹=出.AB CB所 以=生，即 q=c CB cI口 R J 理，-D-F=-B-D-，所 仁 以 匕 CB=BnDr yAC BC b由 CB=C 0+O 3 得+色，即，+，=1c b b c1 1 c 2b因 此 2+c=(2/?+c)(-+-)=3+2+.b c b c3 分 4分 23+2仁 竺=3+2 0.5 分 V b c当 且 仅 当 C=?=0+1时 取 等 号.6分【注

35、：无 此 步 骤，本 得 分 点 不 得 分】所 以 2 c 的 最 小 值 为 3+2血.【解 法】由 题 尽 可 知，SMBC=S&JB0+5 盘 C D，.1分 由 角 平 分 线 性 质 和 三 角 形 面 积 公 式 得，I 27r 1 7 T 1 7 1-c sin=-h x l x s i n-+-c x l x s i n-.2分【注：面 积 公 式 正 确 可 得 1分】2 3 2 3 2 3数 学 试 题 答 案 第 7 页，共 1 5 页化 简 得 bc=/?+c,即,+=1.3分 b c1 1 c 2b因 此 26+c=(2/?+c)(+)=3+士+.4 分 b c b

36、 c3+2.=3+272,b c当 且 仅 当 C=J=0+1时 取 等 号.6分【注：无 此 步 骤，本 得 分 点 不 得 分】5分 所 以 助+c的 最 小 值 为 3+20.19.（本 小 题 满 分 12分，其 中 第 一 小 问 6分，第 二 小 问 6分）【解 析】（1）【解 法 一】因 为 PAJ底 面 ABC。，B C u 平 面 A3CD,所 以 5c.1分 因 为 A3CZ）为 正 方 形，所 以 A3_L5C,又 因 为 24nA3=A,P A u 平 面 A B u 平 面 P A B【见 注 1】所 以 BC_L平 面 PAB.2分 因 为 A E u 平 面 PA

37、8,所 以 AEJ_BC.3分 因 为 B4=AB,E 为 线 段 P8 的 中 点，所 以 AE1PB,.4 分 又 因 为 尸 3 n 3。=8,P B u 平 面 PBC,B C u 平 面 P B C【见 注 1】所 以 AE_L平 面 PBC.5分 又 因 为 A E u 平 面 AEF,所 以.平 面 AEF _L平 面 PBC.6分【注 1：证 明 线 面 垂 直 过 程 中，无 写 出 三 个 辅 助 条 件，扣 1分】【解 法 二】因 为 P4J底 面 ABCD,P A u 平 面 PAB,所 以 平 面 PAB_L底 面 ABCD.1分 又 平 面 PABQ 底 面 A5C

38、D=AB,BCLAB,8 C u 平 面 ABC,【见 注 1】所 以 5C_L平 面 Q4B.2分 p因 为 A E u 平 面 PAB,所 以 AE_L3C.3分 因 为 PA=AB,为 线 段 P3 的 中 点，所 以 A E L P R.4 分 因 为?5口 3。=3,P B u 平 面 PBC,B C u 平 面 尸 B C【见 注 1】%?二、:A B所 以 A E,平 面 PBC.5分 又 因 为 A E u 平 面 AEF,所 以 平 面 AEF _L平 面 PBC.6分 数 学 试 题 答 案 第 8 页，共 1 5页【解 法 三】因 为 P A，底 面 ABC。，AB L

39、A D,以 A 为 坐 标 原 点，以 A5,AD,A尸 的 方 向 分 别 为 x 轴,y 轴，z轴 的 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-町 z.1分 则 A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,）（0,2,0）,P（0,0,2）,（1,0,1）,设 所=4 c 0,2）,则 尸（2,f,0）所 以 4E=（l,0,l）,AF=（2,r,0）,P8=（2,0,2）,8C=（O,2,O）2 分 设=（%,y,zj为 平 面 A M 的 法 向 量，n AE=0,“I.所 以 n-AF=0,则 X.4-Z,=0,./、八 八 取 y=2,则

40、玉=-,Z=，,则=(T,2j)3 分 2玉+以=0,设 机=（无 2,%，Z2）为 平 面 P 3 C 的 法 向 量,则 m PB=0,所 以 X2x?-2z/?=0,取=1,则 y2=，Z2=l，则 加=(1,0,1、)4 分/n-BC=0,2%=0,-V 7因 为 ni=T+0+r=0,所 以 _L/n.5 分 所 以 平 面 AEF 1 平 面 PBC.6 分（2）【解 法 一】（基 于（1）解 法 一、二）因 为 PAJ底 面 ABCD,A B 1 A D,以 A 为 坐 标 原 点，以 AB,AD,AP的 方 向 分 别 为 x 轴，y 轴,z轴 的 正 方 向，建 立 如 图

41、所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-孙 z,1分 则 A（0,0,0）,8（2,0,0）,尸（0,0,2）1（1,0,1）,易 知”=（0,1,0）是 平 面 切 8 的 法 向 量.2 分 设 M=e0,2D，则 尸（2,f,0）,所 以 AE=（l,0,l）,AF=（2,r,0）,所 以|cos|=AFu即=M 解 得，=1,所 以 AR=（2,l,0）,+4 5.3 分 设=（%,y,zj为 平 面 A E P 的 法 向 量，则 n-AE=0,h-AF=0,所 以 平 面 A M 的 法 向 量=（一 1,2,1）,.4 分 又 因 为 AP=(0,0,2)所 以 点 尸 到

42、平 面 A E F 的 距 离 为 dAP-n.5 分 数 学 试 题 答 案 第 9 页，共 1 5 页2 76%F所 以 点 尸 到 平 面 A M 的 距 离 为 逅.6分 3【解 法 二】（基 于（1）解 法 一、二）由（1）可 知，N A 4 b 是 直 线 A F 与 平 面 以 8 所 成 的 角，所 以 cos/B A F=丝=-筋=述 A F V/W2+B F2 5.1分 解 得 故 尸 是 8 c 的 中 点.2 分 2 2所 以 AF=(筋 2+8E2=也,A E=-P B=y/2,E F=lAF2-A E2=732A 4 M 的 面 积 为 5=工 4 七 尸=逅.3分

43、 因 为 PA=AB=2,APA 的 面 积 为=-PA，A B=1 4 分 1 1/U-*/U J设 点 P 到 平 面 A E F 的 距 离 为 h,则 有 P-AEF F-P A E.，分 解 得=2 3所 以 点 P 到 平 面 A M 的 距 离 为 Y 5.6 分 3【解 法 三】（基 于（1）解 法 三）易 知=（0,1,0）是 平 面 E4B的 法 向 量.1分 AFU 5 即=且，解 得 1=1.2 分#74 5所 以=(1,2,1),.4 分 又 因 为 AP=(0,0,2)所 以 点 尸 到 平 面 A E F 的 距 离 为 d=.5 分 数 学 试 题 答 案 第

44、1 0 页，共 1 5 页2 _ 76所 以 点 P 到 平 面 A E F 的 距 离 为 逅.6 分 2 0.（本 小 题 满 分 12分，其 中 第 一 小 问 3 分，第 二 小 问 5分，第 三 小 问 4 分）【解 析】（1）样 本 中 10棵 这 种 树 木 的 根 部 横 截 面 积 的 平 均 值 了=竺=0.06.1分 10样 本 中 10棵 这 种 树 木 的 材 积 量 的 平 均 值 下=3 2=0.39.2 分 10据 此 可 估 计：该 林 区 这 种 树 木 平 均 一 棵 的 根 部 横 截 面 积 为 0.06m2,平 均 一 棵 的 材 积 量 为 0.3

45、9n?3 分【注：最 终 结 果 无 单 位 扣 1分】X&-可(-了)i=lHo io、区(%-元)2(*一 刃 2V i=l i=l0.2474-10 x0.06x0.397(0.038-10 X 0.062)(1.6158-10 X 0.392)1分 0.0134V0.0001896.3 分 0.01340.01377*0.97.4 分 则 ra0.97.5 分【备 注：运 用 参 考 公 式 计 算 过 程 可 通 过 下 面 的 列 表 进 行 分 步】：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合 计 平 均 值 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05

46、 0.07 0.07 0.06 0.6 0.06y,0.25 0.4 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.4 3.9 0.39-0.02 0-0.02 0.02 0.02-0.01-0.01 0.01 0.01 0y y-0.14 0.01-0.17 0.15 0.12-0.05-0.03 0.07 0.03 0.01日-祖 必-目 0.0028 0 0.0034 0.003 0.0024 0.0005 0.0003 0.0007 0.0003 0 0.0134 分 子 0.0004 0 0.0004 0.0004 0.0004 0.0001 0.0001

47、 0.0001 0.0001 0 0.002(“亚 0.0196 0.0001 0.0289 0.0225 0.0144 0.0025 0.0009 0.0049 0.0009 0.0001 0.09480.0001896分 母 的 平 方【备 注：运 用 变 形 公 式 计 算 过 程 可 通 过 下 面 的 列 表 进 行 分 步】：数 学 试 题 答 案 第 1 1 页，共 1 5页1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合 计 平 均 值*0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 0.06y,0.25 0.4 0.22

48、 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.4 3.9 0.39 30.01 0.024 0.0088 0.0432 0.0408 0.017 0.018 0.0322 0.0294 0.024 0.2474 部 分 分 子 0.0016 0.0036 0.0016 0.0064 0.0064 0.0025 0.0025 0.0049 0.0049 0.0036 0.038 部 分 分 理.V?0.0625 0.16 0.0484 0.2916 0.2601 0.1156 0.1296 0.2116 0.1764 0.16 1.6158 部 分 分 母(3)设 该 林 区

49、 这 种 树 木 的 总 材 积 量 的 估 计 值 为 yn?.1分 又 已 知 树 木 的 材 积 量 与 其 根 部 横 截 面 积 近 似 成 正 比，可 得 幽=跑 2 分 0.39 Y解 得 y=1209.3 分 则 估 计 该 林 区 这 种 树 木 的 总 材 积 量 为 1209m3.4 分 2 1.(本 小 题 满 分 12分，其 中 第 一 小 问 4 分，第 二 小 问 8 分)【解 析】(1)函 数/(X)的 定 义 域 是(0,48).1分 当。=1 时，/(%)=2-工.2 分 X令 八 幻 0 得 x；,所 以 函 数/在 g，T 上 单 调 递 增；.3 分

50、令 r(x)0得 o x 0),因 为 g(x)=(x+l)ev 0 恒 成 立，所 以 g(x)在(0,48)上 单 调 递 增，所 以 g(x)g(0)=0,即/0,.2 分 所 以/(x)2(a+2)x-xe恒 成 立，等 价 于/a In r之 0 恒 成 立 令 力(。=/一。山，0),问 题 等 价 于/2(。之 0 恒 成 立.3 分 若 a=()时，坂。=/0恒 成 立，满 足 题 意；.4 分 数 学 试 题 答 案 第 1 2 页，共 1 5 页1 1 1 1 1 若 a v O 时，则 所 以(e)=e-olne”=e 一 1 0 时，因 为 令(f)=0,得，=a,tZ