2021年全国高考乙卷数学（文）真题试卷（含详解）.pdf

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1、绝 密 启 用 前 河 南 省 2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡

2、一 并 交 回.一、选 择 题:本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 全 集。=1 2 3,4,5,集 合=1,2,N=3,4,则 加(M u N)=()A.B.1,2 C.3,4 D,1,2,3,4)2.设 iz=4+3 i,则 2=()A.-3 4i B.-3+4i C.3-4 i D.3+4i3.已 知 命 题：w R,s in x 1.则 下 列 命 题 中 为 真 命 题 的 是（A.P H B.C.F D.4.x Y函 数/（x）=sin+c o s 3的 最

3、 小 正 周 期 和 最 大 值 分 别 是（）A.3兀 和 0B.3兀 和 2 C.6兀 和 及 D.6%和 2x+y 4,5.若 苍 丁 满 足 约 束 条 件，x-y 2,则 z=3x+y 的 最 小 值 为（）A.18 B.10 C.6 D.46.2K 2 5兀(-12 12A.B/C 6D.23 2 27.在 区 间（。，1 随 机 取 1个 数，则 取 到 的 数 小 于 工 的 概 率 为（I 2_ 3)34 IA.B-ID.I68.下 列 函 数 中 最 小 值 为 4 的 是（）A.y=f+2 x+4 B.|s m x|+|sinx|C.y=2+22T D.4y=lnx+-I

4、nx9.设 函 数/（=匕，则 下 列 函 数 中 为 奇 函 数 是（1+X)A.B./(x-l)+l C.小+1)-1 D./(x+l)+l1 0.在 正 方 体 中，P 为 耳。的 中 点，则 直 线 网 与 AO】所 成 的 角 为（）11.设 B是 椭 圆 C：,+y 2=i 上 顶 点，点 尸 在 C上，则 归 目 的 最 大 值 为（）A.|B.76 C.y/5 D.212.设 a r O,若 x=a 为 函 数/（x）=a（x a）2（x。）的 极 大 值 点，则（）A.,a b C.ab a2二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.已

5、知 向 量 a=（2,5）,B=（%,4）,若 aHb，则 2=.V2 V214.双 曲 线 一 上-=1的 右 焦 点 到 直 线 x+2 y-8=0 的 距 离 为.4 51 5.记 4/6。的 内 角 4 8,（7的 对 边 分 别 为 4,4 c,面 积 为 6，B=60。，q 2+c 2=3 a c，则=1 6.以 图 为 正 视 图，在 图 中 选 两 个 分 别 作 为 侧 视 图 和 俯 视 图，组 成 某 个 三 棱 锥 三 视 图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写 出 符 合 要 求 的 一 组 答 案 即 可）.图 图 三、解 答 题.共

6、 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 17 21题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.(-)必 考 题：共 60分.17.某 厂 研 制 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提 高，用 一 台 旧 设 备 和 一 台 新 设 备 各 生 产 了 10件 产 品，得 到 各 件 产 品 该 项 指 标 数 据 如 下:旧 设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.

7、8 10.0 10.1 10.2 9.7新 设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧 设 备 和 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 样 本 平 均 数 分 别 记 为 最 和 亍，样 本 方 差 分 别 记 为 s：和 官.求 嚏,亍,s：,S；;(2)判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高(如 果 元 2 2)史，则 认 为 V 10新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高，否 则

8、不 认 为 有 显 著 提 高).18.如 图，四 棱 锥 尸 一 A B C D 的 底 面 是 矩 形，尸。，底 面 4 8。，M 为 8 C 的 中 点，且 历.(1)证 明：平 面 平 面 P/m；(2)若 尸。=。=1,求 四 棱 锥 P ABC。的 体 积.19.设 4 是 首 项 为 1的 等 比 数 列，数 列 也 满 足 d=中.已 知 外,3 4,9%成 等 差 数 列.求(和 也 的 通 项 公 式；C 记 S,和 T“分 别 为 凡 和 出 的 前 项 和.证 明：Tn 0)的 焦 点 尸 到 准 线 的 距 离 为 2.(1)求 C 方 程；(2)已 知。为 坐 标

9、原 点，点 尸 在 C上，点 Q满 足 而=9 0 R，求 直 线。斜 率 最 大 值.21.已 知 函 数/()=1-/+1.(1)讨 论/(x)的 单 调 性；(2)求 曲 线 y=/(x)过 坐 标 原 点 的 切 线 与 曲 线 y=/(x)的 公 共 点 的 坐 标.(二)选 考 题:共 10分.请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多 做.则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.选 修 4-4:坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy中，O C的 圆 心 为。(2,1),半 径 为 1.(1)写 出 O C的 一 个 参

10、数 方 程；(2)过 点 尸(4,1)作 O C的 两 条 切 线.以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 这 两 条 切 线 的 极 坐 标 方 程.选 修 45:不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数/(%)=卜-4+,+3|.（1）当。=1 时，求 不 等 式“X）2 6 的 解 集;（2）若 a,求 a 的 取 值 范 围.绝 密 启 用 前 河 南 省 2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在

11、 答 题 卡 上.2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题:本 题 共 12小 题，每 小 题 5分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 全 集。=123,4

12、,5,集 合 M=1,2,N=3,4,则 加(M u N)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D,1,2,3,4【答 案】A【分 析】首 先 进 行 并 集 运 算，然 后 进 行 补 集 运 算 即 可.【详 解】由 题 意 可 得：M U N=1,2,3,4,则 加(M U N)=5.故 选：A.2.设 b=4+3 i,则 z=()A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i【答 案】C【分 析】由 题 意 结 合 复 数 的 运 算 法 则 即 可 求 得 z的 值.【详 解】由 题 意 可 得：Z=113Z=(4+3Z)Z=4Z-3=3_4.i i2-1故 选：c.3.

13、已 知 命 题 P：G R,sin x 1,则 F列 命 题 中 为 真 命 题 的 是()A.q B.-pdq C.P A f D.【答 案】A【分 析】由 正 弦 函 数 的 有 界 性 确 定 命 题 P 的 真 假 性，由 指 数 函 数 的 知 识 确 定 命 题 夕 的 真 假 性，由 此 确 定 正 确 选 项.【详 解】由 于 sin 0=0,所 以 命 题。为 真 命 题；由 于 y=，在 R 上 为 增 函 数，国 之（），所 以*iNe=l，所 以 命 题 为 真 命 题；所 以?八 夕 为 真 命 题，力 八 4、P A f、（v）为 假 命 题.故 选：A.x Y4.

14、函 数/（x）=sing+cos 的 最 小 正 周 期 和 最 大 值 分 别 是（）A.3兀 和 Q B.3兀 和 2 C.6兀 和 及 D.6兀 和 2【答 案】C【分 析】利 用 辅 助 角 公 式 化 简/（x）,结 合 三 角 函 数 周 期 性 和 值 域 求 得 函 数 的 最 小 正 周 期 和 最 大 值.x X I-【详 解】由 题，/(x)=sin J+cosy=V2V2.x 42 x sin+cos X 713 4,所 以/（X）的 最 小 正 2 3 2 3 J/sin周 期 为 一 丁 一“，最 大 值 为 3故 选：C.x+y 4,5.若 x，）满 足 约 束

15、条 件 则 z=3x+y 的 最 小 值 为（）”3,A.18 B.10 C.6 D.4【答 案】C【分 析】由 题 意 作 出 可 行 域，变 换 目 标 函 数 为 y=-3x+z,数 形 结 合 即 可 得 解.【详 解】由 题 意，作 出 可 行 域，如 图 阴 影 部 分 所 示,转 换 目 标 函 数 z=3x+y 为 y=-3x+z,上 下 平 移 直 线 y=3x+z,数 形 结 合 可 得 当 直 线 过 点 A 时,z取 最 小 值,此 时 Z,nin=3xl+3=6-故 选：C.-2 兀 26.cos-cos125兀 n)1A.2B 63C.克 2D.32【答 案】D【分

16、 析】S jr J T jr-cos2=cos2-sin2 一,再 由 二 倍 角 公 式 即 可 得 解.12 12 12由 题 意 结 合 诱 导 公 式 可 得 cos?212【详 解】由 题 意，cos?二-COS,12 12 127 5万 2 K=cos-cos-7-1-si.n 2 112 12=一 37t6 2故 选：D.7.在 区 间（0,；随 机 取 1个 数，则 取 到 的 数 小 于 g 的 概 率 为（）【答 案】B【分 析】根 据 几 何 概 型 的 概 率 公 式 即 可 求 出.【详 解】设 口=区 间（0，：）随 机 取 1个 数”，对 应 集 合 为：p|0

17、x 3,当 且 仅 当 x=T 时 取 等 号，所 以 其 最 小 值 为 3,A 不 符 合 题 意；对 于 B,因 为 0 2 J4=4sin x,当 且 仅 当 卜 inx|=2 时 取 等 号，等 号 取 不 到,所 以 其 最 小 值 不 为 4,B 不 符 合 题 意;对 于 C,因 为 函 数 定 义 域 为 R,而 20,y=2+22f=2+?2 2=4,当 且 仅 当 2、=2,即 x=l时 取 等 号，所 以 其 最 小 值 为 4,C 符 合 题 意;对 于 D,y=l n x+S,函 数 定 义 域 为(O,l)U(l,+8)，而 InxeR 且 InxwO，如 当 l

18、nx=-l,y-5,D 不 符 合 题 意.故 选：C.【点 睛】本 题 解 题 关 键 是 理 解 基 本 不 等 式 的 使 用 条 件，明 确“一 正 二 定 三 相 等”的 意 义，再 结 合 有 关 函 数 的 性 质 即 可 解 出.9.设 函 数/.(3二 上 三，则 下 列 函 数 中 为 奇 函 数 的 是()1+xA./(x-l)B.+l C.f(x4-1 D./(x+l)+【答 案】B【分 析】分 别 求 出 选 项 的 函 数 解 析 式，再 利 用 奇 函 数 的 定 义 即 可.1-Y 9【详 解】由 题 意 可 得 了。)=-=-1+,1+x 1+X2对 于 A,

19、=2 不 是 奇 函 数；x2对 于 B,/(工 一 1)+1=-是 奇 函 数；x2对 于 c,y(x+i)-i=-2,定 义 域 不 关 于 原 点 对 称，不 是 奇 函 数；?对 于 D,/(x+l)+l=,定 义 域 不 关 于 原 点 对 称，不 是 奇 函 数.x+2故 选：B【点 睛】本 题 主 要 考 查 奇 函 数 定 义，考 查 学 生 对 概 念 的 理 解，是 一 道 容 易 题.10.在 正 方 体 ABC0 A 与 G A 中，2 为 4。中 点，则 直 线 与 A Q 所 成 的 角 为()兀 兀 兀 兀 A.-B.C.-D.一 2 3 4 6【答 案】D【分

20、析】平 移 直 线 A A 至 B G，将 直 线 与 A A 所 成 的 角 转 化 为 m 与 8 G 所 成 的 角，解 三 角 形 即 可.【详 解】如 图，连 接 BC|,PG，P B,因 为 AO|BG，所 以 N P B Q 或 其 补 角 为 直 线 P B 与 AD,所 成 的 角,因 为 BBi 1 平 面 A 4 G 2,所 以 J_ P G，又 P G B R,BB。B R=4，所 以 PG _L平 面 PBB,所 以 P G，P B，设 正 方 体 棱 长 为 2,则 BC,=2V2,P G=g,sinZPBC,=-=1,所 以 N P B G=f.故 选：D211.

21、设 B 是 椭 圆。：弓+;/=1的 上 顶 点，点 P 在 C 上，则|尸 邳 的 最 大 值 为（）A.1 B.V6 C.垂）D.2【答 案】A2【分 析】设 点（知 几），由 依 题 意 可 知，8（0,1）,羡+y：=l,再 根 据 两 点 间 的 距 离 公 式 得 到|PB,然 后 消 元，即 可 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 最 大 值.2【详 解】设 点 尸（知 九），因 为 3（0,1）,a+邸=1,所 以|PB=片+（%-1）2=5（1-乂）+（为 一=-4$2%+6=-4（%+今 而 一 1 4%4 1,所 以 当 先=-；时，归 邳 的 最 大 值 为 g

22、.故 选：A.【点 睛】本 题 解 题 关 键 是 熟 悉 椭 圆 的 简 单 几 何 性 质，由 两 点 间 的 距 离 公 式，并 利 用 消 元 思 想 以 及 二 次 函 数 的 性 质 即 可 解 出.易 错 点 是 容 易 误 认 为 短 轴 的 相 对 端 点 是 椭 圆 上 到 上 定 点 B 最 远 的 点，或 者 认 为 是 椭 圆 的 长 轴 的 端 点 到 短 轴 的 端 点 距 离 最 大，这 些 认 识 是 错 误 的，要 注 意 将 距 离 的 平 方 表 示 为 二 次 函 数 后，自 变 量 的 取 值 范 围 是 一 个 闭 区 间，而 不 是 全 体 实

23、数 上 求 最 值.12.设。关 0,若 x 为 函 数/(x)=a(x a)2(x。)的 极 大 值 点，则()A.a b C.aba【答 案】D【分 析】先 考 虑 函 数 的 零 点 情 况，注 意 零 点 左 右 附 近 函 数 值 是 否 变 号，结 合 极 大 值 点 的 性 质，对 0 进 行 分 类 讨 论，画 出 图 象，即 可 得 到。功 所 满 足 的 关 系，由 此 确 定 正 确 选 项.【详 解】若。=b,则/(x)=a(xa)3为 单 调 函 数，无 极 值 点，不 符 合 题 意，故 疝 b./(X)有 x=a 和 x=b 两 个 不 同 零 点，且 在 x=。

24、左 右 附 近 是 不 变 号，在 x=。左 右 附 近 是 变 号 的.依 题 意,为 函 数=的 极 大 值 点，在 x 左 右 附 近 都 是 小 于 零 的.当 a 0 时，由 x/?,/(x)0,画 出/(x)的 图 象 如 下 图 所 示：由 图 可 知 ba,a 0 时，由 时，x)0,画 出/(x)的 图 象 如 下 图 所 示:由 图 可 知 Q 0，故 综 上 所 述，/?/成 立.故 选：D【点 睛】本 小 题 主 要 考 查 三 次 函 数 的 图 象 与 性 质，利 用 数 形 结 合 的 数 学 思 想 方 法 可 以 快 速 解 答.二、填 空 题：本 题 共 4

25、 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.已 知 向 量=(2,5(=(44),若；，则=.Q【答 案】-5【分 析】利 用 向 量 平 行 的 充 分 必 要 条 件 得 到 关 于;I的 方 程，解 方 程 即 可 求 得 实 数 X 的 值.【详 解】由 题 意 结 合 向 量 平 行 的 充 分 必 要 条 件 可 得：2x4-4x5=0,Q解 方 程 可 得：2=-.Q故 答 案 为：.514.双 曲 V线 2 二 v2=1的 右 焦 点 到 直 线 x+2y 8=0的 距 离 为.4 5【答 案】/5【分 析】先 求 出 右 焦 点 坐 标，再 利 用 点 到 直 线 的

26、距 离 公 式 求 解.【详 解】由 已 知，0=而 寿=底 7=3,所 以 双 曲 线 的 右 焦 点 为（3,。），|3+2 x 0-8|5/T所 以 右 焦 点（3,0）到 直 线 x+2y-8=0的 距 离 为 一/,=下=4.VI+22 V5故 答 案 为：V51 5.记 AABC的 内 角 4,B,C的 对 边 分 别 为 a,c,面 积 为 J L B=60。，a2+c23ac则 b=【答 案】2&【分 析】由 三 角 形 面 积 公 式 可 得 ac=4,再 结 合 余 弦 定 理 即 可 得 解.【详 解】由 题 意，S AKC=acsin B=-ac=yj3 2 4所 以

27、ac=4,/+c?=12,所 以。2=a2+c2-2accos3=1 2-2 x 4 x；=8,解 得 b=2a（负 值 舍 去）.故 答 案 为：2后.1 6.以 图 为 正 视 图，在 图 中 选 两 个 分 别 作 为 侧 视 图 和 俯 视 图，组 成 某 个 三 棱 锥 的 三 视 图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写 出 符 合 要 求 的 一 组 答 案 即 可）.【答 案】（答 案 不 唯 一）【分 析】由 题 意 结 合 所 给 的 图 形 确 定 一 组 三 视 图 的 组 合 即 可.【详 解】选 择 侧 视 图 为，俯 视 图 为，如

28、图 所 示，长 方 体 A 3 C O A 4 G。中，A B=B C=2,BB=1,E,F分 别 为 棱 B C，B C 的 中 点，则 正 视 图，侧 视 图，俯 视 图 对 应 的 几 何 体 为 三 棱 锥 E A 厅.故 答 案 为：.【点 睛】三 视 图 问 题 解 决 的 关 键 之 处 是 由 三 视 图 确 定 直 观 图 的 形 状 以 及 直 观 图 中 线 面 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系.三、解 答 题.共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤，第 17 21题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作

29、 答.第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答.(-)必 考 题：共 60分.17.某 厂 研 制 了 一 种 生 产 高 精 产 品 的 设 备，为 检 验 新 设 备 生 产 产 品 的 某 项 指 标 有 无 提 高，用 一 台 旧 设 备 和 一 台 新 设 备 各 生 产 了 10件 产 品，得 到 各 件 产 品 该 项 指 标 数 据 如 下：旧 设 备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新 设 备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.310610.5 10.4 10.5旧 设 备

30、 和 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 样 本 平 均 数 分 别 记 为(和 亍，样 本 方 差 分 别 记 为 s；和$.求 y,sf,Sj；（2）判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高（如 果 一 了 z 2,生 清，则 认 为 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高，否 则 不 认 为 有 显 著 提 高）.【答 案】（1）7=10,亍=10.3；=0.036,$=0.04；（2）新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较

31、 旧 设 备 有 显 著 提 高.【分 析】（1）根 据 平 均 数 和 方 差 的 计 算 方 法，计 算 出 平 均 数 和 方 差.（2）根 据 题 目 所 给 判 断 依 据，结 合（1）的 结 论 进 行 判 断.，、-9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.7 详 解（I）x=-=10,10-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 y=-=10.3,2 0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.32=-=().()3 6,100.22+0.12+0

32、.22+O.32+0.22+O+O.32+0.22+0.12+0.22 八 八，-=0.04.10(2)依 题 意，y-x=0.3=2x0.15=2V0.152=270.0225.=2,0.0076,歹 一 2 2，且 萨，所 以 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 有 显 著 提 高 18.如 图，四 棱 锥 P ABCD的 底 面 是 矩 形，底 面 A3CD,M为 的 中 点，且 心，A.（1）证 明：平 面 平 面 P/m；（2）若 尸。=。=1,求 四 棱 锥 P ABC。的 体 积.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）走.3【分 析】（

33、1）由 P，底 面 ABCD 可 得 PZ）_LAM，又 P B 上 A M，由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 A/，平 面 PBD,再 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 出 平 面 PA M _L平 面 P B D；（2）由（1）可 知，A M 上 B D，由 平 面 知 识 可 知，ADAB AA B M，由 相 似 比 可 求 出 A O，再 根 据 四 棱 锥 P-A B C D 的 体 积 公 式 即 可 求 出.【详 解】（1）因 底 面 ABC。，A M u 平 面 ABC。，所 以 PD 1.40，又 P B 上 A M，PBCPD=P,所

34、以 AM_L平 面 尸 8）,而 A M u 平 面 P A M，所 以 平 面 PAM _L平 面 PBD.（2）方 法 一:相 似 三 角 形 法 由（1）可 知 4 0，即.丁 e q AD于 是 AA B D ABMA，故 一=.A B B M因 为 6 M=；8C,AO=BC,48=1,所 以;BC2=1,即 8C=a.故 四 棱 锥 P A3CD 的 体 积 V=正.3 3 方 法 二:平 面 直 角 坐 标 系 垂 直 垂 直 法 由 知 所 以建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系，设 3C=2a（。0）.因 为 Q C=I,所 以 A(0,0),B(1,O),

35、0(0,2”)，从 而 L-2a)=-202=-1所 以“=正，即=下 同 方 法 一.2 方 法 三【最 优 解】：空 间 直 角 坐 标 系 法 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。-孙 z,设|QA|=f,所 以。(0,0,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),A(f,0,0),所 以 加(耳,1,(),PB=1),A M=(-所 以 而.而=r(；)+lxl+0 x(1)=-+1=0.所 以 r=夜，即|D 4|=&.下 同 方 法 一.方 法 四:空 间 向 量 法 由 得 PA A A/=O.所 以（丽+方+而）而=0.即 网 5 人 必+万 必+A 月 A

36、 M=0.又。，底 面 A B C D,A V 在 平 面 A 8 C O 内，因 此 P D J _ A M，所 以 P/AA/=O.所 以 A M，+A 反 AA/=0，由 于 四 边 形 ABC。是 矩 形，根 据 数 量 积 的 几 何 意 义，得 一 g|ZX4f+|A*=0,即 一 glBCf+1=0.所 以 I前 1=后，即 BC=J 5.下 同 方 法 一.【整 体 点 评】（2）方 法 一 利 用 相 似 三 角 形 求 出 求 出 矩 形 的 另 一 个 边 长，从 而 求 得 该 四 棱 锥 的 体 积；方 法 二 构 建 平 面 直 角 坐 标 系，利 用 直 线 垂

37、直 的 条 件 得 到 矩 形 的 另 一 个 边 长，从 而 求 得 该 四 棱 锥 的 体 积；方 法 三 直 接 利 用 空 间 直 角 坐 标 系 和 空 间 向 量 的 垂 直 的 坐 标 运 算 求 得 矩 形 的 另 一 个 边 长,为 最 常 用 的 通 性 通 法，为 最 优 解；方 法 四 利 用 空 间 向 量 转 化 求 得 矩 形 的 另 一 边 长.19.设 a,是 首 项 为 1的 等 比 数 列，数 列 出 满 足 勿=号 已 知 i-3%，9%成 等 差 数 列.（1）求 4 和 也 的 通 项 公 式；C 记 S,和 T“分 别 为 凡 和 5 的 前 项

38、和.证 明：T“芍.1 n【答 案】（1）为=（；尸，bn=；（2）证 明 见 解 析.【分 析】（1）利 用 等 差 数 列 性 质 及 得 到 9d-6q+l=0,解 方 程 即 可；（2）利 用 公 式 法、错 位 相 减 法 分 别 求 出 S“,7；,再 作 差 比 较 即 可.【详 解】（1）因 为%是 首 项 为 I的 等 比 数 列 且 6,3%，9%成 等 差 数 列，所 以 6a2=q+9%,所 以 6%4=q+9%d,即 9 d 6q+l=0,解 得 q=；,所 以 a,所 以 勿 nan n r（2）方 法 一:作 差 后 利 用 错 位 相 减 法 求 和 1 2 n

39、-n=I+-I-H-3 32 3T 3C 1,1 C 1.1、儿()1 2 n-1 人 设=1+二+2+.+2.3 3 32/、1,1 c 1,11 0 1 2 n-三 则 2,2,2,.2 3 3 32 33 3S，-1。+1+*+击),0 1-1 2-n-2-,*1-2-,；-1-2-,-,-r+3 3 32由 一 得 之 2 3 3_3所 以 1 n 2 nn 4x3-2 X 3T _ 2 X 3Ts因 此 才 n nF-2 X 3,：_,n2x30.q故 心 子 方 法 二【最 优 解】：公 式 法 和 错 位 相 减 求 和 法 证 明：由（1）可 得 5.1X(1-)a 3_3一

40、一 万 1-3丁 1 2 n-l n-T=I 7+H-H-，3 32 3 T 3 1丁 1 2 n-l n3 1-十 寸+丁+诃，一 得 2 T=l+l+l+.,.+l _ 2 L=3(1-y)_ 2 L=l(i _ l)_ 2 L,3“3 32 33 3 3i,1 3,+1 2 3 3,+11-33 1 后 S 3”1、n 3/I 1、n _所 以 L 二(1)-(1)=-0,2 4 3“2.3 4 3 2.3”q所 以 T“(手 方 法 三:构 造 裂 项 法 由(I)知 4=(3)(1,令 cn=(an+-，且 b”=cn-3 7%”，即“L=(a+4)(g)a(+l)+0,通 过 等

41、式 左 右 两 边 系 数 比 对 易 得 a=：=j,所 以 孰=（；+;）（；、则 骞=4+仇+2=q _q,+i=；_，下 同 方 法 二.方 法 四:导 函 数 法 出 2 a-九)设 f M=x+X2+X3 H-Xn=-，1-X x(l)_ 卜(1),(1)-1(1 7)卜(1-同 _ 1+加 用 5+1)/F T=彼 与=一 七?一 则 f M=1+2x+3x2 H-F nx1+心-(+l)x(1 7)2所 以 Tr l=bt+b2+b,+-+bn13l+2 x l+3 x313 J 咽=臣 北 下 同 方 法 二【整 体 点 评】本 题 主 要 考 查 数 列 的 求 和，涉 及

42、 到 等 差 数 列 的 性 质，错 位 相 减 法 求 数 列 的 和，考 查 学 生 的 数 学 运 算 能 力，是 一 道 中 档 题，其 中 证 明 不 等 式 时 采 用 作 差 法，或 者 作 商 法 要 根 据 式 子 得 结 构 类 型 灵 活 选 择,关 键 是 要 看 如 何 消 项 化 简 的 更 为 简 洁.（2）的 方 法 一 直 接 作 差 后 利 用 错 位 相 减 法 求 其 部 分 和，进 而 证 得 结 论;方 法 二 根 据 数 列 的 不 同 特 点，分 别 利 用 公 式 法 和 错 位 相 减 法 求 得 S,T,然 后 证 得 结 论,为 最 优

43、解;方 法 三 采 用 构 造 数 列 裂 项 求 和 的 方 法，关 键 是 构 造 c,=。+尸）门 上 Y，使 a=c“-c,+i，求 得 7”的 表 达 式，这 是 错 位 相 减 法 的 一 种 替 代 方 法，方 法 四 利 用 导 数 方 法 求 和，也 是 代 替 错 位 相 减 求 和 法 的 一 种 方 法.20.已 知 抛 物 线 C:y2=2px（p0）的 焦 点 F 到 准 线 的 距 离 为 2.（1）求 C 的 方 程；（2）已 知 O 为 坐 标 原 点，点 尸 在 C 上，点。满 足 用=9/,求 直 线。斜 率 的 最 大 值.【答 案】（1）y2=4x；（

44、2）最 大 值 为 3【分 析】（1）由 抛 物 线 焦 点 与 准 线 的 距 离 即 可 得 解；（2）设。（事,%），由 平 面 向 量 的 知 识 可 得 一 9,10为），进 而 可 得 与=生 洋 2,再 由 斜 率 公 式 及 基 本 不 等 式 即 可 得 解.【详 解】抛 物 线。：尸=2川（0）的 焦 点/0,准 线 方 程 为 x=g由 题 意，该 抛 物 线 焦 点 到 准 线 的 距 离 为-D=P=2,所 以 该 抛 物 线 的 方 程 为 2=4x；（2）方 法 一:轨 迹 方 程+基 本 不 等 式 法设 Q(%,%)，则 而=9无=(9一 9%,-9%),所

45、以 P(lOxo-9/O%),由 尸 在 抛 物 线 上 可 得(10%y=4(10%9)，即/=2 5*+9，9 o据 此 整 理 可 得 点。的 轨 迹 方 程 为 k。_)。10%所 以 直 线。的 斜 率 O Q xQ 所 以+9 25必+9,10当 先=时,kpQ=0；k io当。时,。厂 获 了,%9当%0 时，因 为 2 5%+2 2%=30,1 9 3此 时 0%2,当 且 仅 当 2 5%=一，即 为=一 时，等 号 成 立;3%5当%0 时、kOQ 0；综 上，直 线。的 斜 率 的 最 大 值 为 3 方 法 二:【最 优 解】轨 迹 方 程+数 形 结 合 法 2 o同

46、 方 法 一 得 到 点 Q 的 轨 迹 方 程 为.2 Q设 直 线。的 方 程 为 y=履，则 当 直 线。Q 与 抛 物 线 一 三 相 切 时，其 斜 率 上 取 到 最 值.联 立 y=kx./、2J 7 Q(Q 1,2 9 得 人 2-4+1=0,其 判 别 式=，-4 F x N=0,解 得=,所 以 直 线 0。y=-x，5 25 1 5J 25 3I 5 25 斜 率 的 最 大 值 为 g.方 法 三:轨 迹 方 程+换 元 求 最 值 法2 o同 方 法 一 得 点 Q的 轨 迹 方 程 为 丁=y 无 一 石.设 直 线 0 Q的 斜 率 为 鼠 则 公 J?)=2 一

47、 一 5x 25x2令 L u/o v f w 瞿，则 二=一 的 对 称 轴 为 f=2,所 以 0 左 24J_ 故 直 线。斜 x I 9；25 5 9 9 3 3率 的 最 大 值 为 一.3 方 法 四:参 数+基 本 不 等 式 法 由 题 可 设 尸(4尸,4。(/(),Q(x,y).因 为 尸(1,(),而=9/，所 以(x 4”,y-4 f)=9(l x,-y).于 是 X-4/=9(1)y-4 z=-9 y10 x=4/+9l0y=4t，所 以 _y _4_t _4_ 0),Q(x,y),求 得 x y关 于，的 参 数 表 达 式，得 到 直 线 OQ的 斜 率 关 于

48、f 的 表 达 式，结 合 使 用 基 本 不 等 式，求 得 直 线。斜 率 的 最 大 值.2 1.已 知 函 数/(X)=-V+4X+1.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性;求 曲 线 y=/(x)过 坐 标 原 点 的 切 线 与 曲 线 y=/(x)的 公 共 点 的 坐 标.【答 案】答 案 见 解 析；和(1，一 1一。).【分 析】(1)首 先 求 得 导 函 数 的 解 析 式，然 后 分 类 讨 论 导 函 数 的 符 号 即 可 确 定 原 函 数 的 单 调 性；(2)首 先 求 得 导 数 过 坐 标 原 点 的 切 线 方 程，然 后 将 原 问 题 转 化 为

49、方 程 求 解 的 问 题，据 此 即 可 求 得 公 共 点 坐 标.【详 解】由 函 数 的 解 析 式 可 得：f(x)=3x2-2x+a,导 函 数 的 判 别 式=4 12。，当=时，/(x)N O J(x)在 R上 单 调 递 增,当 A=4-12a0a0,x)单 调 递 增；当 X W 3-1+W；二 3a 时，r(x)o/G)单 调 递 增；综 上 可 得：当 心/时，(#)在 R上 单 调 递 增，J.、，(1 _ A/1-3a(1+J l 3a当 a 2时，在 一%-，-,+0 0上 3 1 3 J I 3.丛、田 士 工 品”1 3a 1+J1 3a 1Ml、出、拈、廿

50、单 调 递 增，在,上 单 调 递 臧.(2)由 题 意 可 得：/(也)=片 一 片+诙+1,/,(xo)=3%o-2xa+a,则 切 线 方 程 为：y-(片 xj+av()+1)=(3x；2x()+a)(x%),切 线 过 坐 标 原 点，则：()一(片 一 片+1)=(3片 2%+。)(0),整 理 可 得：%：-1=0,即：(x0 1乂 2%+玉)+1)=(),解 得:%=1，则，/)=/(l)=I-l+a+I=a+L r(x0)=r(l)=l+a切 线 方 程 为：y=(a+l)x,与/(*)=x1-x2+O X+1 联 立 得/一+OX+1=(Q+1)X,化 简 得 丁 d-x+