北京某科技大学2019-2020第一学期线性代数模拟卷答案.pdf

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1、北京科技大学2019-2020第一学期线 性 代 数A模拟试卷答案一、选择题1 .先把4 的第1 行加到第3 行，再把所得矩阵的第1 行与第2行交换得到3 ,由初等行变换与初等矩阵的关系，得舄24 =口，因此选C。2 .按第一列展开得：/(0=-4 7-4,“冷的一次项系数与常数项系数相等。因此选Ao3 .为m阶方阵，当 九 时，由r(4)&,得：r(AB)m i nr(X),r(B)n 0 0 6 卜 力 =6 时，r(Q)=1 ；6 时，r(Q)=2。P Q =。，0 0 0 )有r(P)+r(Q)&3。因此：力於6 时，1&r(P)&3 r(Q)=1,r(P)一定为1；而 =6 时，l&

2、r(P)0 3 r(Q)=2,r(P)可能为 1 或 2。因此，选 C。6 .4*/。，而，*的元素均是力的代数余子式，则说明4 至少有一个九一1 阶余子式不为0,即r(4)三九一1。因为4r =b有解且不唯一，则r(4)-1。因此，r(A)=n l,即4E=。的基础解系仅含一个非零解向量。因此选B。7.易知是正确的，现考察是否正确：AJ =A,Br=B,XE-AB=|(A -A B)T =XE-BTAT =XE-BA,因此4 B 和氏4 有相同的特征值，正确；4 是可逆矩阵，则有4T(4B)4=B 4,则则4 8和8/有相同的特征值，正确。因此，选 D。8.|四 一 川=(1-4)2 =0,

3、则4 的特征值为4,0,0,0；4 为实对称阵，故存在正交矩阵尸，使得P T 4 P =P T/P =5,即4 与3合同且相似。因此，选 A。9 .对A 选项，4*正定是4 正定的必要条件，但不充分，如:A=-E；M,则/*=|川 力 一 1 二 -(-E)T=E,4*正定，但4 不正定。对 C 选项，正惯性指数不一定为n。对 D 选项，4 正定今存在n 阶可逆矩阵C,使/但 D 中没有要求C 可逆，因此D 错误。如:|X|=0 ,A 不正定。对于B 选项，A 正定，且 A 为实对称阵，则有4 =/,且A 的特征值X 0,两边求逆，得(即)t =尸，因此4 T 为实对称阵，且其特征值为y 0,

4、因此A 1 正定；反之，4】正定，故(左1 尸=4 1,且/T 的特征值 0。两边求逆，得力,=/,因此A 为实对称阵，且其特征值为工 0,因此A 正定。即：A 正定台4 T 正定二、填空题1.4 3 =2 4+5 =(A E)B=2 G 4 E)+2 E =(/E)(3 2 石)=2E,/0 0 1 因此4 E可逆，且4 E=义吕一E=1 0 1 0 1 0 0/2.由4)+与=0得 屋=-4*,因此，两边同时左乘方阵人 并取行列式，得至U：1 44Tl =卜 44*|=-|用回=-|川3 =|川2,|川 为 o 或 一 1。又因为I n,当 r(4)=nr Q 4)=(力，)=r(-4)=

5、/G 4)和(4)=I 0 0 -x y j,当;r+y =O 时，r（E A）=1,-l 0 1）0 0 0 /(七一/)立=。有两个线性无关的解向量，此时4 相似于对角矩阵。-18.二次型对应矩阵为4=0o%（5 力 +4）04=V 力 V 0o4V 力 V 05三、(1)按第4 列展开，得:-10 0X 0 0r r -1 0 x-1D4=-a0 x-1 0+0-10一Q 20 x 0+（如+X）0 x0 x-10 X -10 0-10 0=Q o+a1x+a2x2+a3x3+x4x0-1(2)利用加边法，原行列式变为:1的 2 Xn1X1 2 xn0:+1xx2XrXn一，11 0 0

6、Dn=0N2 gX2+1x2xn(一 电)为 +1 (d=1,2,，九)一 宝0 1 00%为 立2 碎+1-Xn0 0 11 +为 2 X 1n t 1 1=10 10 00 01 00 0 0 -1四、n=1+Nxi=l记其增广矩阵为（力,）,则(1111 1 a A/I 1 1 1 1 a（4。）=3211-30初等行变换）0 1 2 2 6 3 a0 1 2 2 6 b000006-3 a1 5 4 3 3 -1 2)0 0 0 0 2 2 a)(1)b 3 a =2 2 a =0,即a =l,6=3 时,r(4)=/(4/3),方程组有解。/I 1 1 1,0 12 2(2)。=1

7、2 =3 时，(/,/5)=0 0 0 0（1）（%,0 2。3,必）=112 +Q233 +a44初等行变换-a-aa00a00I 1234+a J-a0 0组为（&2,。3,。4都可以，但一般选取表示其他向量简单的极大线性无关组）。此时：a 2 =2 a i,a 2 =3 a i,a 4=4a i/a+1 0 0 0 0（2）。中0（。1,。2,出,阳）国箜骂 一；：；：-1 U 1 Uk-1 0 0 1 J即。=-1 0,（。1,。2,。3,0 4）=34,必,。3,。4线性相关，极大线性无关组为。2,。3,。4。此时：=一 2。3 因（1）二次型的矩阵的秩为2,/=1 a1 +a1 +

8、a1 a=0 0 Q =01 a1 +a01 +Q1 a0002即A 1(2)a=0 时，|A E /|=-10-1A 1000 =(A-2)2A =0A-2则A的特征值为=%=2,=0对 于 入=%=2,解齐次线性方程组(2 E 4)c =。/1 -1 0 /I-1 0 2 E-A=-1 1 0 -0 0 0 0 0 0/0 0 0/得两个线性无关的特征向量：1=(1 1 0)。&=(0 0 1尸对于=0,解齐次线性方程组-4r=。，解得特征向量为&=(-1 1 0)，易知三者正交，因此将其单位化，得:4=我(1 1 0)7,3=(0 0 1)7,小=我(-1 1 0)7取Q=(小内2,小)

9、，则二次型在正交变换下的标准形为/=2%2 +2加2七、42 =E 0(4+E)(a _ E)=o 今 (力 +或+r(A _ E)0 八r(A E)=r-A+E)=r(4+E)+r(A E)=r(A+E)+r(-A+E)=N r(A+E A+E)=r(2E)=n综上：r(A+E)+r(A E)=n.附加题l.B为反对称阵，即=(XE B2)T=XET =E _ (BTY X E-(-B)2=X E-B2故四一8 2是对称阵；对任意的n维列向量/中。，有X1(XE B2)x x1(A E +Br B)x=Xxrx+(Bx)7 Bx因0,rrW O,有A x T rrA O KA i Q T A

10、 c N O,因此对任意比W。，有xT(X E-B2)x=XxTx+(Bx)TB x 0,因此M 为正定矩阵。2.实对称阵一定能对角化成对角阵，即有/-I 0 0 PTA P=0 10 0 0 1/设属于特征值入2 =%=1 的特征向量为(2 y z),，其应与&正交，则g +z=0,解得：(2+噌因此得两个线性无关的特征向量&=(i o 0)r,6=(0 -1 1)7,且正交，令/0 1 0 1 0 1p=0 一 01 0 _1_ 7 2 7 2)/-I 0 0 /I 0 0 因此，A=p 0 1 0 P =0 0 -10 0 1/0 -1 0 /3.因为以2,。3,。4 线性无关，且6=2

11、a 2。3，即r(4)=3,因此4 r =。的基础解系只有一个解向量。以 1 =2 3 一。3即 2a 2+。3=。，即(1 /f=01 0 J因此，4 r =0的通解为痣(1 -2 1 0)。/?=%+a 3+。4 即A/1 I=力得4 r =/3的特解为（1 1 1 17。因此 4c=。的通解为/=R(1 -2 1 0)T+(1 1 1 l)To(14.31,。2,。3脑,优,尸3)=1a1 1-2 -2 初等行变换、alia a1 1 a 4 a/I 1 a 1-2 -2 I 0 C L-1 1 -a 0 Q+2 a +2 0 0 2 C L a2 0 6 +3a 4a+2Ja=-2,1

12、 r（ax,a2,a 3）=r（仇,仇,仇）=3 ,此时，向量组等价，可互相表示。=-2 r（a i,o：2,a 3）=2,r（仇,/?2,仇）=2/I 1-2 1 -2-20 -3 3 0 0 0两个向量组的极大线性无关组不能互相表示，则两 0 0 0 0 0 -6 7向量组也无法互相表示。Q =1r（刖3,3）=1 r（/31,/32,/33）=3 符合要求注：一般若向量个数等于向量维数，秩相等的时候可以推出等价，其他情况下,不一定。5.设存在常数瓦#2,鼠，使得自氏+自4+除 仇=0,即（鼠 十-1）&1+（k1+无）。2 T-卜（鼠 一 1+鼠）4 O由6,3,以线性无关，得一 +-=0kY+k2=0k3-i ks=0其系数行列式为:1 01 1D=0 10 00 10 00 01 1按最后一列展开11,-010 -001.-0(-l)s+s11,-000 100 1=1+(-1)1+因此：(1)当S 为奇数时，行列式的值不为零，方程组只有零解，k1=k2=-=ks=O,此时用,仇,凡线性无关。(2)当s 为偶数时，行列式的值为零，方程组有非零解，即存在自，后，口不全为零，使得自仇十口仇十十口仇=0,此时等,乐,凡线性相关。