高中数学双曲线（精练） （提升版）.pdf

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1、9.3双曲线（精练）（提升版）题组一双曲线的定义及应用1.（2022红塔月考）已 知F是 双 曲 线 上 _片=1的左焦点，点（14）,P是双曲线右支上4 12的动点，则|尸日+|尸/|的 最小值为（）A.9 B.5 C.8 D.4【答案】A【解析】设右焦点为F,则F（4,0）,依题意，有PFHPFl+4,|PF|+|PA|=|PF|+|PA|+4N|AF|+4=5+4=9（当 P 在线段 AF上时，取等号）故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A2.（2022淮南模拟）已知双曲线b。）的左、右焦点分别是 耳、F2,且/下闺&=2,若P是该双曲线右支上一点，且 满 足 网=3|。周，则

2、片与面积的最大值是（）A.2 B.1 C.1 D.2433【答案】A【解析】因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有归闻一上周=2。，又 陷|=3附|,所 以 附|=3a,|叫=*设4尸8=0,所以皿。/+（3比叽至二2 xa x3 a 3a所以(S 4.)2=(；xqx3 0 ks山)=a4 _15a+4 可+，28 J 1 6 1 6所以S rr /3则4加-=2Q，则加 2 +2 =1 0 0e2c2 _ 4 c2a2 4/1 0 01 0 0-5 0 7 3=4+2 =(V3+1)2V3+1，e=.故答案为：B.2.（2 0 2 2雅安期末）已知双曲线C：=b 0）的左、右焦点

3、分别为耳，鸟，点M在双曲线C上，点I为“班 鸟的内心，且SMF +S7MF 1=2 sAF M,MF =2 MF2t则双曲线C的离心率为（）A.2 B.2 C,3 D.2 7 3-12【答案】A【解析】依题意，用=2|M Q|,由双曲线定义知：I呜|-|M/矶=2 a,于是得|K|=4 a,炉=2%令双曲线C 的半焦距为c,町月内切圆半径为r,因+S.“，=2S“”，M Fr+M F2 =2 xFlF2r 即有也耳什也与于是得：4a+2a=2 x 2 c,即g =。，a 2所以双曲线c 的离心率为3。故答案为：A23.（2022怀仁期末）设百，鸟分别是双曲线G _ =QO A0）的左、右焦点，

4、若双曲线右滔b2支上存在一点尸，使 Q P|=|耳I（。为坐标原点），且|。凰=也 归 用，则双曲线的离心率为（）A./3 1 B.V3 1 C,百+1 D,V3+12 2【答案】D【解析】：因为|。耳卜|。用=|尸|,所以N 耳巡=9。,设 飓|=匕 则|尸 娟=,因为忸制+忸闵=2。，所以可得 打-/,C I -2因为出+|用2=同1,所以*+3/=4/,则f =c,所以=5=意7=6+1,2故答案为：D3.（2 0 2 2巴中模拟）设F、,F2分别为双曲线-x-2-/-_-I（a 0,b 0）的左、右焦点，若双曲/b2线上存在一点P使 得|P用+|P周=2及b ,且PF-PF =ab,则

5、该双曲线的离心率为（）A.2 B.V 2 C.V 5 D.V【答案】B【解析】|尸 耳|+归 周=2仞,:.（|尸用+归闾）2=8，即|母;+归用2 +2归用.俨闾=汕2 ,根据双曲线的定义可得 归用|尸引=2 4,:.（|产用|尸闾）2=4/,即附+忸 均 一2附|.|尸闾=4/,减去得4附 卜 陷|=勖2-4力.力尸耳卜匹|=，故 4 a b =8/-4/n仍=2/一4 2n。=2 T=2-1=0 ,解得或a a）a）a ab_-la T（舍），双曲线的离心率为故答案为：B.4.（2 0 2 2 南开期末）已知双曲线二b o）,过原点作一条倾斜角为二的直线分别交/I ，1 3双曲线左、右两

6、支于尸、两点，以线段尸。为直径的圆过右焦点尸，则双曲线的离心率为（）.G +l B.桓+i C.百 口,Q【答案】A【解析】设双曲线的左焦点为尸，连接小、QF,如下图所示：由题意可知，点O 为尸。的中点，也 为 小 的中点，且则四边形P b。7 7为矩形，故Q7,。”，由己知可知N 0 O E =g,由直角三角形的性质可得|O|=|H=c,故A。尸为等边三角形，故|。制=。，所以，QF=ylFFf-QFf=3 c 由双曲线的定义可得2。=|0日-|。目=（6-1）。，所以,2e=t =京V3+L故答案为：A.5.（2022北京）已知双曲线c：4 _ t =i（q o b 0）的左、右焦点分别为

7、耳，鸟，过点名的直线与双曲线C 的右支交于/，8 两点，点Z）在线段6片上，且/片/。=/A 4，福+2丽=27万，则双曲线0 的离心率为（）A-V2 B.6 C,2 D.下【答案】B【解析】根据题意，作图如下:因 为 福+2通=2而，故可得万;=2（而 一 正）=2月万,AFX DF,1故 可 得 ，旦。鸟=5 片D,F,F、B,AB故 分别为 的中点;又 “A D =N B A D 故可得Z 0 既是三角形/之产的中线又是角平分线，故可得H gl =|Z 8|：又与为8中点，由对称性可知：垂直于“轴.故 4 4 8为等边三角形，则N/6用=3 0。；令*=，可得 _ 己=1，解得 =0,故

8、可得|/6|=贵，cr b1 a 2 a则,耳|=2|/工|=乏，由双曲线定义可得：I 可T?l=2 a,即b2 =2c a,b2 c I 手 r解得/=2,则离心率为 i +/=j 3.故选：B.6.（2 0 2 2德州月考）已知双曲线。：_=（40 b 0）的左、右焦点分别为 斗 巴，曲线./b2C上 一 点P到x轴的距离为&，且N PF，K =12 0，则双曲线C的离心率为（）A.V3 +1 B./3 +1 C,V5 +1 D./5 +12 2【答案】B【解析】作P M L x轴 于M,如图，依 题 意pM=y/3c,/夕工片=12 0 ,则N PF 2 M=6 0 由双曲线定义知|尸耳

9、|=2a+2c,而|耳闾=2c,在 西网中，由余弦定理得:|尸闻2=忸8+比用2 2|尸引.闺用c o s/P/y；,解得：2 a+2 c=2&,即a=（G 1*,又因为离心率e =,于 是 有e=/+1，a2所以双曲线c的离心率为 6 +1。2故答案为：B7.（2022湖南模拟）已知。是坐标原点，F是双曲线。：彳_ _*_ =.0 0）的右焦点，过双曲cT b2线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A,O,则双曲线C的渐近线方程为（）A-y/3xy=0 B,x+y/3y=0 C-2 x y=0 D-x+2 y=0【答案】A【解析】由已知，点”的坐

10、标为（。，故 网=以+/=一因为以F为圆心的圆经过点A,O,所以怛O|=|E4|=c=0 4|,则力为等边三角形,所以2。匠=6。，则 吗 劭60。坨，a所以双曲线C的渐近线方程 为 限y=0.故答案为：A8.（2022湖北模拟）已知双曲线：=（”，b。）的左、右焦点分别为6,Fi,过/b2 耳的直线与。的左支交于,、8两点，且 羽=3 0,乙4BFz=90。,则。的渐近线方程为（）A.=2x B.y=+y/5x C.46 D.4 My=+x y=-x2 2【答案】C【解析】由题意，得 忸 用=%，|码|=3左；根据双曲线的定义，忸闻-忸闻=2a,|2居|-打6|=2。所以忸工|=2 +左,玛

11、|=2。+3左.在直角三角形18月中，|4122=|/8+忸月，即（2a+3左y=（4左+（2a+左，解得a=A在直角三角形8耳鸟中，山用2=忸周2+忸闾2,即（2c）2=/+（3a）2,即4（/+）=1 0/,解得匕一灰，所以C的渐近线方程为、，一 遍.、-=-y=h-xa 2 2故答案为：C.题 组 三 双曲线的标准方程1.（2022东北模拟）我们常说函数y=j.的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个x2X双曲线的标准方程为5 一X函数歹=耳2V 3+的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中,x它的标准方程可能是（)A-三=1B.V6 V1 8-1C.D.2 2二-匕=17

12、 2 13【答案】AX【解析】对函数丁=耳+百,其定义域为X x I X H 0,定义域关于原点对称,一 居 7 X,y x V s用 替换 方程y=耳+工 不变，故其图象关于原点对称;又当x,且X趋近于。时，趋 近于正无穷；当X趋近于正无穷时，虫 趋近于,XX 百 X此时=耳+二 J 的图象与丁=百无限靠近:X 百 V _ X故y=耳+丁 的 两条渐近线为轴与歹=耳，做出其图象如下所示:为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴,y 必须平分两条渐近线的夹角,又=其斜率为后=立，此时其在原坐标系中其倾斜角为3 0,与、轴夹角为6 0 V 3 3故新坐标系中，轴与X 轴的夹角应为6 0。,

13、故/轴所在直线在原坐标系中的方程为y=&，/轴与其垂直,在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为 _片=|,/b2 联立4J丫 =瓜 A%2 _ 3 ,y,-_ 9 a2=x2+y2=6X 6 可得 2 2 ,则r+v又在新坐标系下，双曲线的渐近线x =o 与X，的夹角为3 0。，故2=且，即/=_ 1/=2，故在新坐标系下双曲线方程为二 _ =.a 3 3 6 2-故答案为：A.2.（2022湘赣皖模拟）已知双曲线c.x?_ =1以 0 60）的左、右焦点分别为片（一。，0）,6（3）,双曲线C上一点P到x轴的距离为c,且/尸乙耳=135。，则双曲线c的 离 心 率 为（）A.V3+1 B.

14、也+1 C,氏+五 D,V5+1242【答案】C【解析】作轴于M,依题意1PM=。，/尸 鸟 耳=135。，则/。入 河=45，贝1晨 也 为等腰直角二角形令 工（G。），则|P周=缶，由双曲线定义知|尸 耳|=24+J5c.而闺M|=3 j在 总 尸 用f中，附 旧 耳 必+归 时,解得：2 c2-42 ac-a2=0,双曲线离心率0 1,则 c V 1 0 +V 2 .故答案为：C.e=-=-a 43.(2 0 2 2 南昌模拟)已知中心在原点的双曲线厂的离心率为2,右 顶 点 为 过 尸 的 左 焦 点 作工轴的垂线/,且/与 交于，N两点，若A4W 的面积为九 则E的标准方程为.【答案

15、】x2,/=132 2【解析】设双曲线标准方程为 三 二=1 5 0,b 0)a2 h2令X ，则 晨 g =l，得 尸 土 匕 所 以.上”，a2 b2 a 1 1 a易知|明=a+c ,所以S.M=1 M M 叫=；x 之x(a+c)=9，又，a，联立求解得/,=百，所以双曲线方程为 3 。c=22故答案为：r2 yX-134.(2 0 2 2 成都期末)已知焦点在“轴上的双曲线，其渐近线方程为y=_Lx，焦距为2 石，则该双2曲线的标准方程为.-)【答案】工 _/=14【解析】由题设，可知：L =L,c=45 ,a 2二由/+人2 =。2 =5，可得/=4,=1，又焦点在X 轴上,.双曲

16、线的标准方程为二 _ y2=1.故答案为：2=145.（2 0 2 1 成都期末）已知焦点在*轴上的双曲线，其渐近线方程为y=-x半焦 距c=则双曲线的标准方程为【答 案】【解析】由题可设双曲线方程为 一片/b2由渐近线方程可得2 =c=后,a 2又因为2+6 2=。2,即4 b2+=5,解得=1，则/=4,所以双曲线的标准方程为二一/=1。故答案为：工 _J=i6.（2 0 2 2 太原期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程:（1）焦点在x 轴上，实轴长为2,其离心率e=2；（2）渐近线方程为y=_ L x，经过点尸（2 2）.2 2双曲线氏fW。）离 心 率 为近,且 点（2,&）在 双

17、曲 线 七 上，求E的方程;C（4）双曲线C实轴长为2,且双曲线与椭圆x 2 y 21+=18 4的焦点相同，求双 曲 线 的标准方程.【答案】(1)3 12(3)x2【解析】(1)解：设双曲线的标准方程为:X2a2鼻=l(a0,b0)b22 a=2J=2ac2=a2+b2=0,60)，所以 2 a=2 ,且 a2+b2=4，所以 6 7 =1，b2=3所以，双 曲 线C的方程为x2_/=1.32 27.(2 0 2 1 包头期末)已知双曲线X y _a 0 h 06),且过点尸(G，2).(1)求双曲线C的虚轴长；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点。(-3,6)的双曲线的标准方程.【答案

18、】见解析【解析】(1)由题意，易知I 明=2,闺 周=2 百，且尸工，耳工.在R t g 耳中，户用=,旧不+会丁=4由双曲线的定义可知，I 尸娟-忸玛=2。，2。=2,即a=1.,双曲线c的两个焦点分别为耳 卜 省,0）,乙（百,0）,.c =G.又=。2，/,=&故双曲线C的虚轴长为202（2）解：由（1）知双曲线C的方程为2 _匕=.2设与双曲线C有相同渐近线的双曲线的方程为/_片=凝0声）将点。（一3,6）的坐标代入上述方程，得 入处一2 2故所求双曲线的标准方程为2 2一 二=11 8 9题组四直线与双曲线的位置关系1.（2 0 2 2广东）（多选）下列曲线中与直线y=_ 2 x_

19、3有交点的是（）A 4x+2 y-l=0 B.Y+/=3 c/_%2=,D.工 _/=22【答案】B C D【解析】对丁 A,直线y=_ 2 x-3和4x+2 y-l=0的斜率都是，所以两直线平行，不可能有交点.对于B,由D =-2X-3,得5/+1 2 x+6 =0,-。，所以直线与B中的曲线有交点.（X2+/=3y=-2 x-3 2/+7 =0 A=1 22-5 6 0对于C,由，得，所以直线与C中的曲线有交点.匕3=12y 2 x-3对于D,由1 ,得-y2=12故选：B C D7X2+2 4X+2 0 =0 A=2 42-5 6 0 0,所以直线与D中的曲线有交点.v Y+4 2 22

20、.（2 0 2 2全国高二课时练习）直 线 与双曲线2 1 一二=i上支的交点个数为1 6 9【答案】2y=-x+4 lx1+72 x=0 7 2 x=0 7 2 _ 1 0 0 x=0【解析】由x2 ,可得，解得x-一亍或.当=一亍时，I 厂；当 时,-=11 1 6 9y=4,所以直线广-x+4 与双曲线上支的交点个数为2.故答案为：23.（2 0 2 2全国高二课时练习）直线2 x-T =与双曲线 一 片=1 的交点坐标为2 0 5【答案】（6,2）,律 一|）2 x-1 0 =0 y 1 5 x2-1 6 0 x+42 0 =0 3 x2-3 2 x+84=0 x=6 =L 4【解析】

21、由J x2 2 ,消 得 即，解得 或“=了二-匕=1I 2 0 5=6 f =1 4（6,2）二）代入直线得卜=2 或（%所以直线与双曲线的交点坐标为，V=故答案为：（6,2）,（弓,_|4.（2 0 2 2 全国高三专题练习）直线夕=4（）与双曲线 _ 仁=1 没有交点，则”的取值范围为2 6 答案 6 +8)【解析】由题意，双曲线 一片=1 的渐近线方程为：夕=任,2 6因为直线丁=h ）过 原 点 且 与 双 曲 线 没 有 交 点,2 6故需满足上士 6，故答案为：Q +8）5.（2 0 2 2 全国专题练习）双 曲 线/_ =1 与直线Ly =l交 点 的 个 数 为.【答案】1【

22、解析】联立方程可得卜、=1,消 可 得 一一（x T=l,x-y =即 2L1 =1 故 X=1故方程组有且只有一组解，故双曲线/_/=与直线x-y=1 有且只有一个交点.故答案为：16.（2 0 2 2 四川内江模拟预测（文）若 双 曲 线/_ 亡=1 上存在两个点关于直线/：y =_ L x+f 对称，则3 2实数 的取值范围为【答案】/4或/+y2=26 2(%j+x2)=-6b 由A=16-4 W+3)0，可得b l或b 4或,4或f 二丘+1与双曲线C：_ 必=相交于不同2的两点4 B,则 的 取 值 范 围 为.1 /、1（T,一）（一_）u（-J）y=kx-（-2 k2）x2-4

23、 kx-4 =0 At6/历。2-12 0【解析】联 立/2 J肖去齐，-V=12得到一1 “0 ；即直线/与双曲线交于x2-2y24两点，所以/的斜率为2.故选：C2.（2 0 2 2 河南）已知双曲线c：q _=l（a 0,6 0）的离心率为2,直线/与。交 于 两 点，。为线a2 o段P 0 的中点，O为坐标原点，贝 IJ/与0。的斜率的乘积为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】BP（X|，凹）0（2，%）【解析】设，则，=1-2%至2%官-2去2X,/两式作差，并化简得,（为一人）。+）（必一为乂乂+%）所=（乂+%）（乂-%）a2-b2 a （xi+x2）U-QD PQ _ _

24、x,+x2 02-不=2%（乂-必）e?-l=k1kpe e=2 k,kPQ=3因 为 为 线 段 的中点，即0 2所 以/2 x （x xj,即，由 ，得.y。2故选：B.3.（2023全国高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为尸（_ 2,0），过产的直线/与双曲线C 交于4、8 两点，且4 8 的中点为N（-3,-1），则 C 的离心率为（）A.B.毡 C.好 D.632【答案】B【解析】由尸、N两点的坐标得直线/的斜率“=.双曲线一个焦点为（-2,0）,：.c=2.设双曲线C 的方程为=1（。0 b 0），则/+=4.a2 b2 X）设8（,外）|J 1|JX1+X

25、2=-6 y+y2=-2 yt-y2=1由&-左=1，考得（而+电）（石-幻（必+乃）/b2 a2 b2/lr即W+4 =0,易得=3,=1,c2=4,a2 b2双曲线。的离心率e =H l.a 3故选：B.4.（2022重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）（多选）已知双曲线c-工-且=1的一条渐近线方”7 t程为4*-3 =0,过点（5,0）作直线/交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（）A.该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B.该双曲线的离心率为？3A R DC.若 和 在双曲线的同一支上，则 围 若D.若A和B分别在双曲线的两支上，则|48性8【答案】BC【解析】对于A选项，若双曲线

26、C的焦点在“轴上，则!7 0,可得 7,t 0旦 彳*=3 L =上解得 =16,则双曲线0的方程为止一片=,其焦点在“轴匕a 3 9 16若双曲线的焦点 在 轴上，则双曲线的标准方程为 一 =1，-t 1-t则 厂 ,可得且有=一 日,=3,无解，A错；7-/o b 77 7 3对于 B选项，a =3,6=4，c=&+及=5,所以，双曲线C的离心率为,丁屋B对;对于C D选项，当直线/不与x轴重合时，设直线/的方程为=吵+5,设点”（看,必）、5小,外），联立x=m y+5 可得（16加 2 9）/+160/y+256=01 6/一 9 y2=144）16 加 2-9*0AM0 366m29

27、-）W 2 4%（m2k）0 解得由韦达定理可得必+为=-160?25616W2-9 -6相2_ 9 则4,/_ /2 r（c u 144加2 225=（加 必 +5）（加V 2+5）=加 +5加（必 +）+25=-6 /_ 99 0再+寸?（乂+%）+10=-4三AB=，1 +疗，（+为-4%为=；A B若 和 在 双 曲 线 的 同 一 支 上，则.144，/+2 2 5x,x2=-：-16m 2_ 99 0X,+X2=-z-1 6/_ 9 0,可得 0,9 16则吠霭善仁外卜孝。对;若A和8分别在双曲线的两支上且直线/不与x轴重合时，144m2+225 而徂、9|.|9 6（+1）|50

28、占 =二 2。R，则 4 5 =_ =6+,6）16加-9 1。I I 1 6/-9 1 6/-9若直线/与X 轴重合，则A、8 分别为双曲线c的两个顶点，则|/8|=24=6,故当A和8 分别在双曲线的两支上时，D错.故选：BC.5.（2022全国专题练习）双曲线“：一/=1（0,6 0）被斜率为4 的直线截得的弦,8 的中点为（2,1）,则 双曲线E 的 离 心 率 为.【答案】G【解析】设“（孙 乃），8（%）,则须+/=4,乂+%=2,心=4A D2 2，2将 两点坐标代入双曲线方程得：也_2L=I；_ 2 =1/b2 a2 b2将上述两式相减可得：（演-力 演+引=（凶-%）（必+%

29、）a2 b2即4（再一%）_2（必一%）,也即耳一（凹-%）（必+%）-2a2 b2 a2（x1-x2）（x1+x2）所 以/=_ =立金=1+=3,即e=a2 a2 a2故答案为：百6.（2 02 2 四川内江）若双曲线 2 _ 片=1上存在两个点关于直线/：=丘+%”0）对称，则实数”的取3值范围为.【答案】（0即停I【解析】依题意，双曲线上两点凰芭,必），8（乙，歹2），若点48关于直线/：y=fc c +4（左0）对称，则设直线的 方程是、=一 如+,代入双曲线方程/上3（3公-1犷-6kny+3 n2-3 =0 则A =3 6%2”2-4（3 A：2-l）（3 2-3）0，且3公一1工0，解得头?又M+%=含7,设 的中点是%），JK 11化简得:1 +/0，且3左2_130G-I、I 必+为 3kn n所以为=丁 =门，七二-机+二-才3.因为N5的中点。在直线/:y=A x+4伏0）上,所 以 将7 6五 三+4,所以成=3代-1,又弘27 HooK 1 3K 1山|、|*口 口“0，咐、I 3 4 2-1所以，即，所以=:所以3人1 +（专可 0，整理得函。,所以0&；或4亘2 3实数，的取值范围为：（o,ju,+8、故答案为：（o,g）u y-,+o o