高三数学第5讲直线、平面垂直的判定及性质讲义.pdf

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1、第 5 讲 直线、平面垂直的判定及性质-P基础知识整合-|。知识梳理1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线/与平面a 内的回1任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的国 两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直703|.Ua,bua画 山画/I。J2.平面与平面垂直文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条/I h,画a la性质定理直线画平行4#网l aII b(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是同直二面角,就说这两个平面互

2、相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的回垂线，则这两个平面垂直1b回9同l a0 a l 4*3.直线与平面所成的角文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于回交线的直线与另一个平面垂直M/叵3 、1=4回q同/l a ,=/a(1)定义：平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)线面角。的范围：夕 60。，90.4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的回两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半

3、平面内分别作与棱画垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.知识拓展直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.（5）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.必双基自测1 .设 a,4 是两个不同的平面，I,是两条不同的直线，且/Ua,mU6,下列结论正确的是（）A.若/1 4，则 a l 夕 B.若 a l 4,贝/1 机C.若/尸，则 a II0 D.若 a/夕，则/？答 案 A解析 根据

4、线面垂直的判定定理知A 正确；当a l 凡 Z C,机u 4 时，/与加可能平行、相交或异面，故 B 错误；当1110,/U a 时，a 与夕可能平行，也可能相交，故 C 错误；当a/,/Ua,mU4 时，/与机可能平行，也可能异面，故 D错误.故选A.2.（多选）下列命题中正确的有（）A.如果平面a l 平面人 那么平面a 内一定存在直线平行于平面夕B.如果平面a 不垂直于平面从 那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面尸C.如果平面a_|_平面 平面夕平面 y,aC/3=I,那么/J_平面yD.如果平面a l 平面人 那么平面a 内所有直线都垂直于平面夕答 案 ABC解析 若。，夕，则。内至

5、少有一条直线垂直于平面人 而非所有直线都垂直于平面夕.3.若斜线段A3是它在平面a 内射影长的2 倍，则AB与平面a 所成的角的大小为（）A.60 B.45C.30 D.90答 案 A解 析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，NAB。即是斜线段与平面a 所成的角.又A3=2B。，所以C O S/A8O=?|=T，所以NA80=60.B/a4.如图所示，在三棱锥P-A B C 中，布_ L平面ABC,ABAC=90,则二面角的大小为()A.90 B.60C.45 D.30答 案 A解析平面 ABC,BA,CAU平面 ABC,：.BA_PA,C A V P A,因此/区4。即为二面角

6、3-抬-。的平面角.又NBAC=90。，故选A.5.在三棱锥P-A B C 中，点尸在平面ABC中的射影为点。(1)若 必=PB=P C,则点。是ABC的 心；(2)若用 _LPB,PB1PC,P C I PA,则点。是ABC 的 心.答 案 外 垂解 析(1)如图，.J O I平面A3C,连接。A,OB,OC,在 Rt/POA 中，0A2=巩2 pQi,同理 OB1=PB1-PO2,OC2=PC2-PO2.又 弘=PB=P C,故 QA=08=OC,二。是A8C的外心.由而1PB,P A 1 P C,可知朋1 平面PBC,：.PA1BC,又 P 0 1 8 C,.B C l平面站0,：.A

7、O L B C,同理 BO1AC,CO1AB.故。是ABC的垂心.6.（2019 全国卷I）已知NACB=90。，P为平面ABC外一点，P C=2,点 P到NACB两边AC,8C的距离均为小，那么P到平面ABC的距离为.答 案 也解析 如图，过点P作P。！平面ABC于0,则P 0 为P到平面A B C的距离.再过。作。E1A C于瓦 O F I B C F,连接 PC,PE,P F,贝 P E I AC,PF IBC.又 PE=PF=事,所以。所以CO为NACB的平分线，即NACO=45。.在 RtPEC 中，PC=2,PE=事,所以 CE=1,所以。E=l,所以 P。=y)PE1-OE2=7

8、 诋2 一 三=3.-P核心考向突破l-考向一有关垂直关系的判断例 1 (1)已知平面a 及 a 外的一条直线/,下列命题中不正确的是()A.若/垂直于a 内的两条平行线，贝B.若/平行于a 内的一条直线，则/aC.若/垂直于a 内的两条相交直线，则/laD.若/平行于a 内的无数条直线，则/a答 案 A解析 由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B,D 正确，选项C 是直线与平面垂直的判定定理，而A 中，直线/可能与平面a 垂直，也可能与平面a 相交但不垂直，还可能与平面a 平行，故选A.(2)三棱柱48。-4 小。中，侧 棱 垂 直 于 底 面 4 3 C,底面三角形是正三角形，E 是

9、的 中 点，则下列叙述正确的是()C G 与 8正是异面直线；AE与 B C i是异面直线，且 A E 1 S C；AC1 平面 ABBiAi；AC I I 平面 ABiE.A.C.B.D.答 案 A解析 对于，CC,H E 都在平面8 3 c le 内，故错误；对于，AE,8 c l为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形A B C是正三角形，E是BC的中点，所以A E 1 8 C,又因为8 G/B C,故A E 1 S C,故正确；对于，上底面A8C是一个正三角形，不可能存在AC1平面故错误；对于，AiG所在的平面4 1 c le 与平面A SE相交，且AiG与交线有公共点，故错误

10、.故选 A.I触 类旁通.判断垂直关系需注意的问题（1）作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准.（2）善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了.（3）要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.即时训练1.（多选）（2021.新高考八省联考）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A.AE I I CD B.CH I I BEC.D G 1 B H D.B G 1 D E答 案 BCD解析 由正方体的平面展开图还原正方体如图.由图形可知，A E L C D,故 A错误；因为HE BC,H E=B C,所 以 四 边 形 为 平 行 四 边

11、 形，所以CH I I BE,故 B 正确；因为。G1C,DGLBC,H C H B C=C,所以。G 1 平 面 所 以D G L B H,故 C 正确；因为BGIIAH,而O E 1 A H,所以B G 1 O E,故 D 正确.故选 BCD.2.如图，在正方形ABC。中，E,尸分别是8C,C。的中点，G 是 E F 的中点，现沿AE,A F 及 E E 把这个正方形折成一个空间图形，使 8,C,。三点重合,重合后的点记为“，那么，在这个空间图形中必有（）I)HB EA.A1 平面 E /B.AGJ_平面 EFHC.H/l 平面 AEfD.”G1 平面 AEF答 案 A解析 由平面图形，得

12、 AHI HE,A H V H F,又H E H H F =H,.A”1 平面E F H,故选A.多角度探究突破考向二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直例 2 如图，在中，AB=BC=4,A ABC=90,E,产分别为A8,AC边的中点，以“1为折痕把4打 折起，使点A 到达点P 的位置，且 PB=BE.证明：BC1平面PBE；求点尸到平面PEC的距离.解证明：因为区尸分别为AS AC边的中点，所以EFIIBC,因为/ABC=90,所以 E F 1 P E,又因为 所以 EF_L平面 P8E,所以8C 1平面P3E.取BE的中点。，连接PO,0C,由，知 BC_L平面PB

13、E,BCU平面8。苦,所以平面PBE1平面BCFE,因为PB=BE=PE,所以P 0 1 3 E,又因为POU平 面 平 面 P8EA平面BCFE=BE,所以 PO_L平面 B C M,在 RtzXPOC 中，PC=yjPO2+OC2=25,在 RtaEBC 中，EC=yEB2+BC2=2yj5,在PEC 中，PC=EC=2y5,P E=2,所以 SAPEC=/E,又因为 S CF=2,设点F 到平面PEC的距离为d,由VF_PEC=VP-ECF,得 SPEc-d=SECF-PO,即 回Xd=2X小,所以d=得好.即点F 到平面PEC的 距 离 为 嚼.(2)在五面体ABCDEF中，四边形CD

14、EF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=2小，Z EAD=30.求证：平面AOE；求该五面体的体积.解 证明：因为在五面体ABCDEP中，四边形CDE/为矩形，所以EF/ICD,CO1OE.因为EFQ平面ABC。，COU平面ABC。，所以E b/平面ABCD因为 EFU平面 ABFE,平面 AB/EC 平面 A8CO=A B,所以 EF II AB.又 EF II CD,所以 CD II A B.因为 CD=4,AD=2,AC=2下,所以 AD2+CD2=A G,所以CO1AD又因为 COIDE,ADHDE=D,AD,OEU平面 A O E,所以 CO1 平面ADE.又 CD H

15、A B,所以 A B I平面 AOE.因为 N EAO=30。，AD=DE=2,所以/A O E=120。，贝 lj S ADE=X2X2又坐=小.如图，延长AB到 G,使得45=B G,连接GF,G C,贝 SGCF=SADE=小，所以 VGCF-ADE=x4=4小,VB_GCF=g x，X2 二 4 3,所以 V 五 面 体 ABC D EF=VGCF一ADE VB-GCF=4/一 半 二 呼.角度2利用线面垂直证明线线垂直例 3(1)(2020全国卷III)如图，在长方体中，点已厂分别在棱。1,BBi 上,S.2DE=EDi,8/=2F8i.证明：当 AB=8C 时，EF1AC；点Ci在

16、平面AEF内.证明 连接8。,B。|,.在长方体ABC。-A闰 G D|中，BB1_L平面ABC。,ACU平面 ABC。，：.AC_BB.：AB=BC,.四边形 ABC。为正方形，.,.ACLBD：BB QBD=B,BB,8U平面 .AC，平面 BBQiD.EFU平面：.EF1AC.在C G 上取点M 使得CM=2 M G,连接。M,MF,EC,：DiE=2ED,DD II CCi,DD=CC,：.ED=MC,EDU MCi.四边形DMCiE为平行四边形，.OM/EC.在长方体A B C D-A IIG OI中，BF=2FBi,CM=2MCi,：.MF H CB,MF=CB,又 DA II C

17、B,DA=CB,：.MF II DA,MF=DA,，四边形MFAD为平行四边形，：.DMIIAF,：.EC II AF.:.点Ci在平面AE一内.(2)如图，在四棱锥S-ABC。中，底 面 是 正 方 形，SA1底面ABCQ,SA=A D=1,点M 是 S。的中点，A N 1SC,交SC于点N.求证：SC1AM；求AMN的面积.解 证明：.SA I底面ABC。，CDU底面ABC。,.SA IC O,X CD LAD,ADHSA=A,.C O l 平面 SAD AMU平面 SAO,：.CD1AM.又 SA=A O=1,点 M 是 S。的中点，.AMISD：SDnCD=D,.A M I平面 SCD

18、SCU平面 SC。，：.SC1AM.M 是 SD 的中点，,VS_ACM=VD-ACM=VM-ADC,1 1 1 1 1 1VS.ACM=SADC-2 S A=X-X =,：ANA.SC,SC1AM,ANDAM=A,.,.SC_L 平面 AMN,Vs-ACM=SAMN-SC.,:SC=一 3 Vs_ A C M S AMN 的面积 S&AMN=-近 =右.触奏旁通(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系;利用直线与平面垂直的性质.(2)证明线面垂直的常用方法 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理，它是最常用的思路;利 用 线 面 垂 直 的 性 质：若 两 条 平 行 线 之

19、 一 垂 直 于 某 平 面，则另一条线必垂直于该平面;利 用 面 面 垂 直 的 性 质：a.两 个 平 面 互 相 垂 直，在 一 个平面内垂直于交线的直 线 垂 直 于 另 一 个 平 面.b.若 两 个 相 交 平 面 都 垂 直 于 第 三 个 平 面，则它们的交线垂直于第三个平面.即 时 训 练3.如 图，在 四 棱 锥P-ABC。中，抬1底 面ABC。，A B 1 A D,A C L C D,Z ABC=60,P A=A B =BC,E 是 PC 的 中 点.证 明：B(1)CD1AE；(2)PD1 平面 ABE.证明 在 四 棱 锥P-ABC。中，,:/M l底面 ABC。，C

20、DU平面 ABC。，：.P A 1 C D,X A C L C D,且=.,。1平 面 玄。.又 AEU平面 R IC,.COIAE.(2)由%=A B C =6Q,可得 AC=%.,E是 PC 的 中 点，由(1)知 AE1CD,PCD CD=C,.AE1 平面 PCD又 POU平面 PC。，:.AE1PD.,/M l底面 ABC。，ABU平面 ABC。，：.PA1AB.又 ABIA。，且出 CAO=A,.A B I平面出。，又 POU平面必。，.AB1PD.又 ABCAE=A,.P O l平面 ABE.4.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO是菱形，A BAD=60,PA=PO=AO

21、=2,点M 在线段PC上，且 PM=2MC,N 为A。的中点.(1)求证：AO_L平面PN8；若平面附。1 平面ABC D,求三棱锥P-NBM的体积.解(1)证明：连接.%=&),N 为AO的中点，：.PN1AD.又底面ABC。是菱形，A BAD=60,.AB。为等边三角形，：.BNIAD.又 PNCBN=N,.乂。1 平面/可反(2)-：PA=PD=AD=2,:.PN=NB=又平面雨。1 平面ABC。，平面%DA平面ABC。=AO,PN1AD,.PN1 平面 ABC。，：.PN1NB,.SAPNB=3 又小 乂小=1-：A D 1 PNB,AD II B C,.BC1 平面 PNB.2又 P

22、M=2MC,Vp_NBM=VM-PNB=Vc-PNB2 1 3 2=-X-X-X2=.考向三面面垂直的判定与性质例 4 在四棱柱ABCD-AIB G DI中，底面ABCD为平行四边形，A4.1平面 ABCD.AB=2AD=4,Z DAB=60.证明：平面DiBCl平面。18。；若直线。出与底面ABC。所成的角为30。，M,N,。分别为80,CD,d。的中点，求三棱锥C-M NQ的体积.解 证明：,OiO_L平面ABC。，8CU平面ABC。，：.DDVBC.又 A8=4,AD=2,Z DAB=60,BD=-22+42-2 X 2 X 4 XCOS60=2小,-：AD2+BD2=AB2,：.AD_

23、BD.X AD II BC,：.BC1BD.又 DiDCBD=D,BOU平面。iBO,OQU平面。出。，.,.BC_L平面。山。，而 BCU平面。山C,平面 Oi3C_L平面 DiBD.平面ABC。，由。即为直线。方与底面ABC。所成的角,即/。归。=30。，而 BD=2小,.DD=2,又 Vc_“NQ=VQ_CMN=1-4-BDC,Vc-MNQ=(xgxT x2S x2 O-SMBC=|XX1XV3XV 3 X=8 -P课时作业-一、单项选择题1.若 凡 乩 c 是三条不同的直线，%夕是两个不同的平面，则 的 一 个充分不必要条件是（）A.a_Lc,hA_c B.aA_i,aU*buC.aJ

24、La,b I I a D.al.a,b_a答 案 C解析 对于A,B,直线a,。可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；对于C,在平面a 内存在c/b,因为a l a,所以a l e,故。_ 1匕；对于D,一定能推出a/b.故选C.2.（2020烟台摸底）已知直线加，I,平面a,小且 ml a,/（=夕，给出下列命题：若。/尸，贝【J?!/；若a l ,则 m/1；若能1/,贝 a l 尸；若加/,则 aA其中是真命题的是（）A.B.C.D.答 案 A解析 对于，若 a/Q,mla,/c ,则机1/,故是真命题，排除B;对于，若 mill,m l a,则/l a,又因为/U ，所以al/T

25、 故是真命题.故选A.3.如图，在四面体ABC。中，已知AB1AC,B D L A C,那么。在平面A8C内的射影”必在（）A.直线AB上B.直线8 c 上C.直线AC上D.ABC内部答 案 A解析 由 AB_LAC,BDVAC,A B C B D =B,贝 AC_L平面 AB。，而 ACU平面ABC,则平面ABC1平面A B D,因此。在平面A B C内的射影“必在平面ABC与平面A3。的交线AB上，故选A.4.（2020福建质量检查）如图，A8是圆。的直径，区 垂直圆。所在的平面，C 是圆周上不同于A,3 的任意一点，M,N 分别为例,VC的中点，则下列结论正确的是（）A.M N I I

26、ABB.MN与 所 成 的 角 为 45C.OCL平面 VACD.平面区C l 平面答 案 D解析 依题意，得 M N M A C,又因为直线AC与AB相交，因此MN与不平行，A 错误；因为A3是圆。的直径，所以A C 13C,因此MN与 8C 所成的角是 90。，B 错误；因为直线OC与AC不垂直，因此。与平面山。不垂直，C 错误；由于3clA C,B C L V A,因此BC1平面3 c 又 BCU平面V 3C,所以平面以C 1平面VBC,D 正确.故选D.5.在如图所示的四个正方体中，能得出AB_LC。的是（)C答 案 A解析 A 中，CO_LAB;B 中，A 3与 CO成 60。角；C

27、 中，与 CO成 45。角；D 中，A8与夹角的正切值为啦.故选A.6.如图，在四边形A8CO中，AD I I BC,AD=AB,Z BCD=45,NBAD=90。.将ADB沿 8。折起，使平面A8D1平面B C D,构成三棱锥A-B C D,则在三棱锥A-BCD 中，下列命题正确的是（）A.平面ABO_L平面ABCB.平面AOC1平面C.平面ABC1平面D.平面AOC1平面ABC答 案 D解析 因为在四边形 A8CO 中，AD I I BC,AD=AB,/B C D =45。,/BAD=9 0,所以3O 1C D,又因为平面4?。1 平面8C。，且平面ABDA平面BC。=B D,所以CO1平

28、面A 8O,所以C 0 1 4 5,又因为AO1AB,A D Q C D =D,所以AB1平面A O C,即平面A8CL平面A O C,故选D.7.（2020.山东高考）日号是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的暑针投射到暑面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A 的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A 处放置一个日辱，若暑面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40。，则号针与点A 处的水平面所成角为（）A.20 B.40C.50 D.90答 案 B解析 画出截面图如图所示，其中是赤道所在平面的截线，/是

29、点A 处的水平面的截线，依题意可知OA1/,A3是唇针所在直线，加是辱面的截线，依题意，暑面和赤道平面平行，号针与唇面垂直，根据平面平行的性质定理可得机I I C D,根据线面垂直的定义可得A 31 z.由于NAOC=40。，mil C D,所以/OAG=ZA2,所以 A O IB C,又因为=所以A。！平面BBiGC,因为ADU平面ADBi,所以平面A D 81平面BBiGC.(2)4 C 与平面ADB平行.证明如下：取 8 G 的中点E,连接。瓦 CE,AE,因为8D=C。，所以。E/A 4 i,且。E=4 4 i,所以四边形ADE4为平行四边形，则 4E/A D 同理可证 CE/31D因为 4E nC E=E,ADBD=D,所以平面ADB/平面ACE,又因为ACU平面4CE,所以A C/平面AOB.因为 A 41/8B 1,所以 VBl-A41D=又 因 为 BO=小，且 易 证 8。1 平 面 4 4。，所 以 以-A1B1O=V31-A41QVB-AA lD =-jX y3X X 2X 1 二堂.