高考文科数学大二轮复习新讲义3.pdf

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1、第1讲平面向量考点1平面向量的概念与线性运算1.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化.2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.例1(1)2019河北衡水中学摸底 如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与8 0 交于点0,且薪=2访，则防=()f 2 fA.eqA。一QA3B.eqAD+AB*2 fD.eqAD+AB(2)2019四川绵阳联考 如图，在ABC中，。为 5 c 边上的一点,且2 D C.C=mAB+nAD(

2、m,R),则 mn=()A.2 B.1C.-2 D.3-A-1-A-A 1-A-A-2 -A 1【解析】(1)ED=E4+AZ)=AC+AD=(AD-AB)-AD=AD 3 A 1(2Y：BD=2DC,：.AD-AB=2(AC-AD),：.AC=-AB+AD3n=&,.,./一 =2.故选 C.【答案】(1)C(2)C,技法领悟-.1.平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算.(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，

3、常利用共线向量定理(当方/0时，a b?存在唯一实数九 使得。=劝)来判断.2.警示 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.对接训练1.2019福建三明期末 在ABC中，3CD=BD,4。为8 C边上的高，O为4。的中点，若43=2蕊+/，贝IJ九 =()3A-4 B.316C.eqD.eqD.解析：12如图，.,3日)=访,O为AD的中点，./=；箭)=短+；砺=多%+xX321 3 1 3 _1 3BCAB-ACAB)AB-AC=XAB-/2AC,.,=4,=不:.人平=一3,记.故选B.答案：B2.201

4、9福建宁德五中期中 设O为ABC的重心，若 蓝=/3+启 ，则%+/=()A.eq B.22D.eq D.g A.C 解析：解法一：0 为3 c 的重心，.,.AO=-3，又A3=Z4O+AC,%+修+jiZ=0.,.兄与公 不共线，.二21=0,.2=3,(1 1,+/z=0,.+=2.故选 B.f 7 AD解法二 设 8 c 的中点为Q,连接AD,T O 为ABC的重心，:.A 0=-一,又 蓝=总+启 .AB=yAD+/AC,：.A D A B A C.：B,D,C 三点共线，且。为 BC的中点，.京=一条=；,.2=3,4=1,.)+4=2.故选Z Z Z Z ZB.解法三连接 OB,

5、OC,VAB=14O+x/AC,：.OB-OA=-XOA+LO C-己，即(一i+a+”)&+防一5 b=0,又 o 为A B C的重心，.二+防+左=0,.一 1+丸+=1,=-1,；=3,.丸+=2.故选8.答案：B考点2向量的平行与垂直1.向量平行(共线)(1)向量a(aWO)与方共线，当且仅当有唯一一个实数九 使力=/(2)设“=(%I,y),b=(X2,竺)，其中 bW0.a?iy 2%2 y i=0.2.向量垂直向量”，方是非零向量，a_Lb?a8=0?%1%2+)1)2=0.例2(1)2018全国卷明已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(L 幻.若c (2a+方)，贝 I

6、 2=；(2)2019江西南昌二中期末 已知向量蓝=a+3。，丽=5。+3 C D=-3a+3 b,贝 1)()A.A,B,。三点共线B.A,B,力三点共线C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线【解析】(1)2“十 分=(4,2),因为c(2a+)，所以4 2=2,得2=；.(2)VCD=-3+3Z,说=5a+3b,.B D=cb+B C 2a+6b,又低=a+3b,：.AB=BD,：.AB/BD,：.A,B,。三点共线.故选 B.【答案】(1)1(2)Br 技法领悟i共线向量定理的应用(1)证明向量共线，对于向量a,b,若存在实数晨 使。=2瓦 则a与方共线.(2)证明三点共线，若存在

7、实数九使A 8=Z 4C,则A,B,C三点共线.(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.提醒 证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.对接训练3.2019河北六校第三次联考 已知向量a=(2+sin%,l),b=(2,2),c=(sin%一3/)，d=(l,k),%R,%R.7 1 7 1(1)若%2，且。S+c),求 的值；(2)是否存在实数2,使得(a+J)_L 3+c)?若存在，求出左的取值范围；若不存在，请说明理由.解 析:(l)Z+c=(sin JC1,1),因为 a3+c),所以一(2+sin%)=sin x-1,即 sin x=一；.又入 卷

8、，所以x=一专(2)a+d=(3+sin%,l+A),方+c=(sin%1,1),若(a+J)_L S+c),则(a+J)S+c)=0,即(3+sin x)(sinx1)(1+)=0,所以 Z:=sin2x+2sin%4=(sin%+1)25,由 s in x -l,l,可得攵 -5,-1,所以存在女 5,1 ,使得(a+tZ)J_(A+c).考 点3向量的数量积1.平面向量的数量积有两种运算形式：(1)数量积的定义：a/=|a|b|cos6(其中。为向量a,的夹角)；(2)坐标运算：a=(x,%),b=(xi,”)时,a-b=xiX2+yy2.2.平面向量的三个性质若“=(%,y),则|”|

9、=6 =？+优(2)若 A(xi,yi),WX2,y2)则AB=AJ?X2-JCl?2+?2-JI?2.n*h(3)若 a=(%i,yi),b (X2,yi),。为 a 与 b 的夹角，则 8S。=而 而=xxz+yyz5+成 例3(1)2019全国卷H已知蓝=(2,3),就=(3,。，|辰:|=1,则蓝丽=()A.-3 B.-2C.2 D.3(2)2019全国卷HI已知m方为单位向量，且a协=0,若c=2a小，则c o sa,c=.【解析】(1)本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.因 为 就=/一低=(1,1-3),所以|丽

10、|=(0,l),贝c=(2,一小)，所以 co sa,c=x T p|=3-【答案】(1)C(2)|(一O技法领悟 B-,1.一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式2 =层，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法.解决向量的夹角问题主要是利用公式“cosa,b)=舌 云”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决.2.求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值.(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.L 对接训练4.2019河北衡水中学三调 在ABC中，AB=3,AC=2,B D=B

11、 C,则A D B D=()5A./B.eqB.5C.4D.eqD.1 A 1 1 1 角 星 析：.AOAB=2(AC4B),.4。=4。+厘3.又8。=4。-*-*A C AB A C2AB2 5,、如-AB,：.B D=-，=一a.故选C.答案：C5.2019河南中原名校指导卷 已知平面向量a=(-l,2),b=(l,3),c=2a-b,则向量C 在向量G 方 向 上 的 投 影 为()A.eq B.eqC.2啦 D.3解析：1,2),方=(1,3),a=y5,c=2aZ=(3,1),.,.ac=5,.向量c 在向量a 方向上的投影为定=小.故选B.答案：B课时作业6平面向量1.2019

12、北京八十中学月考 已知向量i与/不共线，且薪=i+旬，AD=ni+j,mW1.若A,B,。三点共线，则/%=()A.eq B.2C.1 D.-3-*-1 71，解析：B,。三点共线，：,A B/A D,设贝心.：.mnm=A,=1.故选C.答案：c2.2019湖南重点中学联考 已知机=(5,1 2),则与m 方向相同的单位向量的 坐 标 是()A.eqB.eqB.C.eqD.eqD.解析:设所求向量为=痴 0),.,/n=(5,12),.干=(5九 122).25712+144A2=1,得2=击，=信，H.故选 A.答案：A3.20及河北邢台月考 若向量。=(1,2),方=(一2,1)送=(3

13、,4),则。=()A.3a+B.2abC.a2b D.a3b 3=/-2/,解析：设 c=2a+,:。=(1,2),方=(2,1),c=(3,4),，彳.-4=2/1 十 ，-1,_ 之 c=-a2反故选 C.答案：C4.2019河南安阳一模 已知向量a=(l,-1),=(-1,0),若痴一和 2a十 共线，则2=()A.2 B.eqC.-1 D.-2解 析:*.*(1,1),b=(1,0),Xa)=(2+l,A),2G+=(1,一2),又翁一力和 2a+2 共 线,.*.-2=-2(A+l),.期=一2.故选 D.答案：D5.2019四川绵阳一诊 已知向量a=(l,2),8=(%)，若a_L

14、，则=()A.2 B.-2C.1 D.-1解析：Va=(l,2),b=(%,l)且 a_LZ,.,.a b=x+2 0,，=2.故选 B.答案：B6.2019湖南重点中学联考 在A A 3c中，AB=1,AC=3,B B C=,则ABC的面积为()A.eq B.1C.eqD.eqD.A A A A A A A A解析：ABBC=ABACAB)ABACcos AAB2=1,.cosA=g,AsinA=W，.4BC的面积S=JB.eqB.a+ZC.eqa+；AD.eqD.a+；b解析：如图，M,P,C 三点共线，则A P=m A C+(l-M A M=/+(l-/n)aO R),又 N,P,B 三

15、点共线，所以AP=A 8+(l)A/V=a+g(1R),所以r 1H=T;?1m?,2 1 2-*2 1 1 1 1 +(1 又 BD=DC,所以所以A 21 -1 -2-1 -*,3 9 1TAC于是，解得：+)=3.故选 D.?1 T?=.,答案：D11.2019江西南昌二中期末 已知向量。=(一2,-1),6=(九1),若a与的夹角为钝角，则丸的取值范围是()A.eq B.(2,+)C.eqU(2,+D.eqD.U(0,+=)解析：,与的夹角为钝角，.-2 1；.又aW血/),.*.(+2 Z)=0,.,.a2-2ab=0,.a-b2=a2+2。仍+从=方2,.白+臼=|“，.已用=1.

16、b优解BKa+2”A如图，在 0 43中，点。为A B的中点，令&=而=+2瓦 则靠=f|。+引2b,V a （a+2 Z）,:OA工OB,；,O C=a+b,Aa+b=b,：.LA=.答案：115.2 019黑龙江鹤岗一模如图，A,8分别是射线OM,ON上的两点，给出下列向量：OA+2 QB；1 -1 3-1 3-1 -3 1 -OA+QOB；拊4+0&（DTOA+TOJB；工04 08.若这些向量均以0为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有.（填序号）解析：如图，若点P在阴影部分内（包括边界），过点。作A 3的平行线与OA,OB的交点分别为C,D,连接0 P,则d=。元+4砺，其中a

17、+夕=1,a 20,哈 0,若设d=2&+/而Q 2 0,4 2 0）,显然 OWAWa,所以 0W2+/W1且丸 力0,2 0,给出的5个向量中，只有满足条件0W2+/W1且2 N0,/N0,所以终点落在阴影区域内（包括边界）的有.答案：16.2019北京人大附中期中 已知平面上有四点O,A,B,C,向量属，OB,庆 满 足 豆+而+元=0,OA OBOB OC=OC OA=1,则ABC的周长是解析：OA+OB+OC=Q,：.0 为43。的 重 心.又6A 6B=GBGC,：.05(04-O C)=0,A OB CAO,.08_LCA 同理 0A_L3C,OCAB,：.O为ABC的垂心，.,.ABC为等边三角形，：.OA,OB,5 2两两所成的角均为120,且模相等.又H 防=而 次=元 罚=一1,二.51,O B,女 的模均为啦,:.AABC的边长为 玳,.ABC的周长是3册.答案：3#