江苏省宿迁市沭阳县2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析.pdf

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1、2021 2022学年度高二第二学期期中调研测试数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.若向量”=（L 2,2）,”=（一2,-4,4）,则向量。与匕的夹角为（）7t 2nA.0 B.C.D.TC2 3【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量q与人的夹角为。，且0 W 6V乃，a_ a b _-2-8-8-is所以，C O S 忖 堀 y j -+（-2）2 X 7（-2）2+（-4）2+42 =36=1所以，0=71故选：D2.若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人

2、选报1项，则不同的报名方式有（）A.34种 B,下种 C.3x 2 x 1 种 D.4x 3x 2 种【答案】A【解析】分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有3x 3x 3x 3=34种方法.故选：A.-1 -3.在四面体O 48C中，为。1中点，C F =m C B ,若。A=a,O B =b O C=c，则E F=（）1 1,2A.一 a b c2 3 31 1 ,4B.a b+c2 3 31 1,2D.a+b+c2 3 3C+c2 3 3【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的加减法、数乘

3、运算即可求解.【详解】E F =E O +O F =-O A +O C +C F211=-O A+O C +-C B2 3-O A +O C+-(O B-O C 2 3、1 1 .2=a+b+c.2 3 3故选：D4.1 9.+1 9被9除所得的余数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由于1 99+1 9=(1 8+1)|9+1 9,所以将其展开后可求出结果【详解】1 9|9+1 9=(1 8+1)1 9+1 9=C91 8I 9+C；91 8I 8+C1 8I 7+-+C1 8+C+1 9,因 9困9+：91瞟+(4 1 8 +C：；1 8能被9整除,所以1 9必+

4、1 9被9除所得的余数等于C%+1 9被9除的余数，因为C；+1 9=2 0除以9余2,所以1 9 +1 9被9除所得的余数是2,故选：C5.三棱锥 A-BCD 中，AB=AC=AD=2,Z BAD=90 ,Z BAC=60 ，则 等于()A.-2 B.2 C.-2 /3 D.【答案】A【解析】【详 解】试 题 分 析C D A D-A C:.A B C D =AB-AD-A C)=A B A D -A B A C=0 -2 x 2 x c os 60 =-2考点：平面向量数量积的运算6.疫情期间学校采用线上教学，上午有4 节课，一个教师要上3 个班的网课，每个班1节课，若不能连上 3 节，则

5、这个老师的课有()种排法.A.3B.6C.12 D.18【答案】C【解析】【分析】使用插空法，先排3 个班的网课，然后在两个空位中插入一节课.【详解】将 该 教 师 3 节课排成一列，共 有 种 排 法，再在3 节课产生的两个空位中插入一节课有2 种方法，所以该老师的课共有2A；=12种排法.故选：C7.已知是 _ 4 3。所在平面外一点，M 是 P C 中点，且 8 例=xA 8+y A C+z A P,则x+y +z=()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可.【详解】因为M 是 PC 中点，：.BM=PM-PB=PC-AB-AP=A C-A

6、 P)-AB-AP1 1=-AB+AC-i AP,X BM=xAB+yAC+zAP?.x =-l,y =-,z =-,2 2y+z=0.故选：A.8.已知。4=(1,2,3),0 B=(2,1,2),Q P =(1/,2),点Q在直线0 P上，那么当Q A QB取得最小值时，点。的坐标是()A，匕f 1 3 1 A 彳B.门匕32 W1J)C-(了4 4 8、(4 4 7、【答案】C【解析】【分析】设。(x,y,z),根据点。在直线。尸上，求得Q(4Z 2/l),再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得4 一九=时，Q A Q B取得最小值，即可求解.【详解】设。*,y,z),由点。在直线0P

7、上，可得存在实数2使得0 Q =40 P,即(x,y,z)=2(1,1,2),可得 2(/1,4 22),所以 Q A =(1 一 4 2-4,3-22),Q 8=(2 4 1 -人 2-2/1),则 Q A Q B =(l-2)(2-2)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)=2(3%-82+5),根据二次函数的性质，可得当4=一4 时，取得最小值-2：，此时。(4二 三4,三8).3 3 3 3 3故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于X的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多项选择

8、题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上)9.给定下列命题，其中正确的命题是()A.若是平面a的法向量，且向量.是平面a内的直线/的方向向量，则夕=0u UU一 B.若%,%分别是不重合的两平面a,的法向量，则%=0C.若 荒，2分别是不重合的两平面a,夕的法向量，则a/o,%卜 同 加1D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【答案】A C D【解析】【分析】A选项，由线面垂直的定义可判断正确；B选项，两平面平行，则它们的法向量平行；C选项，两平面平行，则它们的法向量平行；D选项，两平面垂直，

9、则它们的法向量垂直.【详解】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以a _ L，“=()，A正确：对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；对于c 选项，两平面平行，则它们的法向量平行，.(/,%)=0或万 门久卜81|2|，C正确；对于D选项，两平面垂直O 它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确.故选：A C D.10.若工5 =的+(1+x)+。2(l+x)2+5 (l+x)5,其中 Q o，为实数，则()A.%=1 B.。+。2+。5=1C.。1+。3+。5=-16 D.4+%+2/

10、+3 3+4。4+5。5=-1【答案】B D【解析】【分析】运用赋值法，结合导数的运算逐一判断即可.【详解】在 2 =0+。1 (l+x)+。2(l+x)2+.+。5 (1+x)5 中，令工二一1,得 o=T，故选项A不正确；令X =0,得 0+。+42+。5=0，而。0=-1，所以4+生+%=1(1)，所以选项B正确；令 x 2,得%+%一=32=4 +Q,+5 =31(2),(1)-(2),得 2(4+3+5)=3 2=4+/+%=1 6,因此选项 C 不正确；对 工 5 =40+0 1(1+X)+2(1+X)2+.+怒(1+%)，左右两边求导，得5x4=6+2%(1+元)+3%(1+尤

11、产 +4%(1+X)3+5%(1+X)4,令x =0,得。=4 +2%+3a 3+4%+5%，而/=-1,所以4+6 +久，2+3%+4 4+5。5 =-1,因此选项D正确，故选：B D11.现有6个志愿者排队进入社区服务，下列说法正确的是（）A6A.若甲乙丙顺序固定，共有1 种站法B.若甲乙必须站在一起，共有A；A；种站法C.若甲乙不站在一起，共有A：A；种站法D.若 6 个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有C：C：C；A；种分法【答案】A B C【解析】【分析】根据选项当中的情况，逐个选项采用合理的排列方法进行求解即可.【详解】对于A,对于某些元素顺序固定的排列问题，可将所有元素全

12、排列，然后除以顺序固定的几个元素的全排列，甲乙丙顺序固定，即先对6个志愿者全排列，再除以顺序固定的甲乙丙3个志愿者，所以，共 有 冬 种 站 法，所以，A正确；对于B,某些元素要求必须相邻时，可将这些元素看成一个，然后与其他元素排列；所以，若甲乙必须站在一起，共有A；A；种站法，所以，B正确；对于C,某些元素要求必须相离时，可将其他元素全排列，再将相离元素排入已排好的元素的左右空隙中：若甲乙不站在一起，共有A：A；种站法，所以，C正确；对于D,若 6 个人平均分成A、B、C三组分别进入社区，共有C：C：C；利吩法，所以，D错误.故选：A B C1 2.已知正方体A B C。一A耳G A 的棱长

13、为1，。,。/分 别 在 4 8（。1,。凡上，并满足AP CQ D.R a 小 八=7=TT=；（0。1），设 A B =i,A O =_/,A 4,=3 设A P Q H 的重心为 G,下列说法正确的PB QCl RA-a是（）333n/r （a +1 2 a 1 Q 2、，Q+1 Q+IQ+1、R G =亍，J,D G =I-,-l,/?G.D G =O-D正确.故选：A D._R_ D,c三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）1 3 .若单位向量e与向量。=（0,1,0），人=（0,0,1）都垂直，则向量e的坐标为.答案】（士1,0,0）【解析】【分

14、析】设（x,y,z）,由条件,=1,。二=（）；。=0,可得答案.【详解】设单位向量工（匚z）,由条件e J _a,e _L/?，则e-a =0,e-/?=0，所以e.a =y=0,e./?=z=0又卜|=Jf+y 2+z 2=册=1,解得 x=l所 以 工（1,0,0）故答案为：（1,0,0）1 4 .现将6个相同的小球放在3个不同的盒子里，每个盒子至少一个，共有 种放法.（用数字作答）【答案】1 0【解析】【分析】利用隔板法求解，问题相当于6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分即可【详解】由题意可得，6个球排成一列形成5个空隙，5个空隙中插入2个挡板，分成3部分，则

15、共有C；=1 0种放法，故答案为：1 01 5.已知f(x)=(1+x)+(1+x)(根挝N ,N*),/(x)的展开式中含x项的系数为1 3,则当?=,含/项的系数取得最小值，最小值为.【答案】.6或7#7或6 D.3 6【解析】【分析】先由二项式的展开式的通项公式可得出加+=1 3,分当加，中有一个为1和当加，”都大于或等于2进行讨论，从而得出答案.【详解】(1 +x)”展开式中通项公式为：Tr+X=C；nxr,则含X项的系数为(1 +x)展开式中通项公式为：式川=C ,则含X项的系数为C：=，由题意可得加+=1 3 口当?,中有一个为1时，不妨设 =1,则机=1 2,则/(x)的展开式中

16、含炉的项的系数为C；=金=6 6，当机都大于或等于2时，则/(%)的展开式中含x2的 项 的 系 数 为+C；,2 2 I 2 J 4由于机w Z,当根=7或加=6时，此时含x2的项的系数取最小值3 6,综上，当?=7/=6或m=6/=7时，含炉的项的系数取最小值为3 6.16.设空间向量j j,4是一组单位正交基底，若空间向量“满足对任意的羽)，,卜-血-丁_/的最小值是2,则卜+3囚的最小值是.【答案】1【解析】【分析】以i 方向为乐丁轴，垂直于i 方向为z轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由p +3网的表达式即可求得最小值.【详解】以i,j,%方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系

17、，则i=(i,o,o),j=(o,i,o),攵=(0,0,1)设 a =(r,s/)则,-xi-yj|=(r-x)2+(5-y)2+t2,2 rz _ nr+rr-m +n)m n 2f -2 -2(m +n)2-2m n-(m +n)16 9-13-2/%2,-,Q(13丫，143当r =X,S=y时,一 X i 的最小值是2,t=2取a =（x,y,2）则a +3 Z=（x,y,5）:J a +3卬=yjx2+y2+52又因为x，y是任意值，所以卜+3对的最小值是5.取 a =（x,y,-2）则 a +3左=（x,y,l）|a +3|=y/x2+y2+12又因为左丁是任意值，所以卜+3 4

18、|的最小值是i.故答案为：1.四、解答题（本大题共6 小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）求 C；+C：+的值；人7 _人5（2）若 S -8 9,求 的值.A,【答案】（1）3 3 0 （2）15【解析】【分析】（1）由组合数的运算公式c：+C：T =篙连锁运算即得；“I（2）根据排列数的计算公式A：=-可得.（-m）!【小 问1详解】（1）原式=c：+c：+c =c；+c；+C；）=C：+C；+G%=G：+G%=C：=3 3 0；【小问2详解】n（2）因为 =8 9,所以冬一 1=一1 =|1 =（一5）（一6）-1 =8

19、 9,大 ！（-7）!（一5）!则2 -11-6 0=0,解得 n=-4(舍)或=1 5,所以 n=15.18.已知 =(3,2,1),b=(2,1,2).(1)求(a+)(-2/?)；(2)求。与夹角的余弦值；(3)当(版+A)_L(a-姐)时，求实数攵的值.【答案】(1)-10(2)-73 2(3)%=-或 2 3【解析】【分析】(1)根据空间向量的坐标运算律，即可求解.(2)根据空间向量的夹角公式，代入求解.(3)由(版+6)_L(a-妨 转化为数量积为0 即可.【小 问 1详解】(a +/?).(a -2Z?)(5,3,1)(-1,0,-5)=-10 ；【小问2 详解】,a-b 6/4

20、cos=-.-=-=-；a-b V 1 4 x 7【小问3 详解】当(%a+)JL(a-A:h)时，(左 4+)(4 一 。)=0,得(3A+2,2Z+1,&+2)-(3 2七2 七一1 一26=0,3 2(3&+2)(3-2幻+(2%+1)(2-)+(-&+2)(一 1-2&)=0,k=-,2 319.某班级甲组有5 名男生，3 名女生；乙组有6 名男生，2 名女生.(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？(3)若从甲、乙两组中各选2 人参加核酸检测，则选出的4 人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？

21、【答案】(1)64；(2)128；(3)51.【解析】【分析】（1）利用分步原理即得；（2）利用先选后排可求；（3）先分类再分步即得【小 问 1 详解】利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1 人担任组长，共有C；C；=6 4 种不同的的选法；【小问2详解】先选后排，可得从甲、乙两组中各选1 人担任正副班长有C；C；A；=1 2 8种不同的的选法；【小问3详解】先分类再分步：第一类：甲 组 1 男生：C；C；C；=1 5,第二类：乙组1 男生：C；C：C；=3 6,则选出的4人中恰有1 名男生的不同选法共有5 1 种.2 0.如图，在正方体A B C D -ABCR中，。是正方形ABCO 的中心，

22、是 的 中 点.（1）求证：O M 是 平 面 的 法 向 量；（2）求 4G 与平面ABO 所成角的余弦值；（3）求二面角A-A3。的正弦值.【答案】（1）证明见解析 同33【解析】【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得;【小 问 1 详解】解：设正方体棱长为2,如图建立空间直角坐标系力一孙z.zt3/z0(1,1,0),M(0,2,1).0 M=(-1,1,1),又 8(2,2,0),D(0,0,0)，A(2,0,2),.AB=(0,2,-2),BD=(-2,-2,0)所以0 4 3 =lx0+lx 2+1x(2)=0,OM BD=-

23、lx(-2)+lx(-2)+lxO=0即 OM_LAB,OM LBD 又 B cB D =B,AB,B)u 面 4 8。，OM _L面4 8。，所以OM是平面ABD的法向量.【小问2详解】解：4(2,0,2),C,(0,2,2),/1,0,=(-2,2,0),又 由(1)知平面4 8。的法向量O M=(T,I)设A G与4 8。所成的角为e,ICj-OM 2+2 2 兀1 i_ R所以 sin。=j-j；-7 =,因为。0,则 cos，=J1-sin?0=四 卜 皿 V8V3 V6 L 2J 3即4 G与平面A BD所成角的余弦值是昱.3【小问3详解】解：在正方体 中，A D J/lSA A

24、f,.AO是面A A f的法向量，又A=(2,0,0),w ADOM-2 百阿OM|V3X2 3 由图可知二面角A-A B-D为锐二面角，设为a,所以 sin a =j 一cos?(AD,OM)=当，所以二面角A-A B-。平面角的正弦值为 逅.32 1.在（4+壶）”的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.（1）证明：展开式中没有常数项；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）证明见解析7 1 1 7 o（2）第二项和第三项一炉3 3【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出 =7,然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾.假设第

25、什1项系数最大，根据（乎 好2（；产和（g）c号 厂G，解出厂的范围，进而可求解.【小问1详解】证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为C，c；,c；依次成等差数列，.2 C；=C+C；,2 x-=n-,2 3 x 2 x 12-9M+1 4 =0,（-2）（-7）=0,n =2 （舍）或 =7.“1 1?-王 7 3厂 i d二项展开式中第厂+1项 加=/（五 产（T=）=（*GX2 4,令=o,3yJ x 3 2 4 3所以展开式中没有常数项得证.【小问2详解】由（1）知二项展开式中第一+1项的系数为（$3,设第一+1项系数最大，则（g）G 2（g）川c;+1且1 1 1-1

26、-化简得i r/3)2=16=A,则 AE ED又 42+452=42+22=20=依2,则 以_LABP A A D,又AZ)cAB=A,所以Q4_L平面ABC。O E u平面ABC。，所以。E1.B4又PA AE=A,则。石1平面Q4E，且。E u平面产。七所以平面PZ）E_L平面P A E【小问2详解】由 AB/CD,C D u平面PCD,A B a平面P C D,所以 A 8/平面PC。则点B到面P C D的距离等于A到面P C D的距离等.在一4 5 c中，当E为8 c中点时，由（1）可知AE=，3。，则 为 直 角 三 角 形.2即 ZR4C=9 0,则/4 0）=90,即0），4

27、。，则 一 g=2下）由（1）有4_LCD,且APcAC=A,所以8,平面PAC由CO u平面P C D，则平面P A C 平面P C D过点A作A”,PC交PC于点“，则AH_L平面尸CD即A”为A到面P C D的距离等，由p c=y/AF+A C2=V16+12=2币所以4H=A P x A C 4x273 4721P C _ 2V7 _ 7所以点B到面P C D的 距 离 为 还17【小问3详解】过点作A G,8 c交8 c于点G,以/G为x轴，为y轴/P为z轴建立如图坐标系,则 G（G,0,0）,B（73,-I,o）,C（V3,3,0）,D（,0,4,0）,P（0,0,4）设M（0,0,加），则0WmK4,E（G,f,0）,-l r 3CD=（-x/3,l,0）,DP=（0,-4,4）,n-CD=0 y/3x+y=0设面PC。的法向量=（x,y,z）,贝1，即n-D P -0-4y+4z=0取=（V3,3,3）则当直线M石 面PC。，时可得=即3+31 3m=0,所以m=/+1又忸目=1+1,又当，=3,加=4时，M E 就为P C ,此时MEu平面PCD所以=时，直线M E/面PCD