《圆周角定理》练习题(A).pdf

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1、 圆周角定理练习题一.选 择 题（共 16小题）1.如图，A、B、C 三 点 在 上，若/BOC=76。，则/B A C 的度数是（）A.152 B.76 C.382.如图，。是AABC的外接圆,A.30 B.35D.14ZACO=45,则/B 的度数为（）C.40 D.45A.1 B.2 C.3 D.44.如图，在O O 中，直径CD 垂直于弦A B,若NC=25。，则/B O D 的度数是（）A.25 B.30 C.40 D.505.如图，已知在。中，点 A,B,C 均在圆上，/AOB=80。，则/A C B 等 于（）A.1306.如图，M N是。O 的直径，NPBN=50。，则/M A

2、 P 等 于（）A.50 B.40 C.30 D.20第 6 题图7.如图，C D 是。的直径，A、B 是。O 上的两点，若/ABD=20。，则/A D C 的度数为）A.40 B.50 C.60D.708.如图，A B是半圆的直径,点 D 是AC的中点，NABC=50。，则NDAB等 于（9.如图，A B是。0 的直径，C,D 为圆上两点，ZAOC=130,则N D 等 于（)A.25 B.301 0.如图，Zl/2、N3、A.Z 4 Z 1 Z 2 Z 3C.Z 4 Z 1 Z 3 Z 2C.35Z 4 的大小关系是（D.50)B.Z 4 Z 1=Z 3 Z 2D.Z 4 Z 1 AC,/

3、B A C 的平分线交外接圆于D,DEJ_AB于 E,DM1AC于 M.(1)求证：BE=CM.(2)求证：AB-AC=2BE.32.如图，OA是。0 的半径，以O A 为直径的。C 与。0 的弦AB相交于点D.求证:AD=BD.BD33.如 图，已知：AB是。O 的弦，D 为。O 上一点，DCJ_AB于 C,DM平分/C D O.求证：M 是弧A B的中点.34.如图，A B C 的三个顶点都在。0 上，CD 是高，D 是垂足，C E是直径，求证：ZACD=ZBCE.35.已知：如图，A E是O O 的直径，AFJ_BC于 D,证明：BE=CF.36.已知A B为。的直径，弦 BE=DE,A

4、D,B E的延长线交于点C,求证：AC=AB.37.如图，A B是圆0 的直径，OC_LAB,交。0 于点C,D 是弧AC上一点，E 是 AB上一点，E C 1 C D,交 BD于点F.问：AD与 BF相等吗？为什么？38.如 图，AB是。的直径，AC、DE是。的两条弦，且 DE_LAB,延长AC、DE相交于点 F,求证：ZFCD=ZACE.39.如 图，已知。O 是AABC的外接圆，AD是。0 的直径，作 CE_LAD,垂足为E,CE的延长线与AB交于F.试分析/A C F 与/A B C 是否相等，并说明理由.40.如图，ZXABC内接于。0,AD为AABC的外角平分线，交。O 于点D,连

5、接BD,CD,判断aD B C 的形状，并说明理由.41.如图，A B是。的直径，弦 CD_LAB,垂足为点E,G 是AC上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F,/F G C 与NAGD的大小有什么关系？为什么？42.如图，A B 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，D 是弧A C 中点，DELAB垂足为E,AC分别与DE、DB相交于点F、G,则 A F与 FG是否相等？为什么？43.如图，0 A 是。O 的半径，以 0 A 为直径的。C 与。的弦A B 交于点D,求证：D 是A B 的中点.44.如 图，在AABC中，/ACB=90。，D 是 A B的中点，以 DC为直径的。交AABC的

6、边于G,F,E 点.求证：(1)F 是 BC的中点;(2)ZA=ZGEF.4 5.如图，圆内接四边形ABCD的外角/D C H=/D C A,DPLAC垂足为P,DH_LBH垂足为 H,求证：CH=CP,AP=BH.圆周角定理2222222222参考答案与试题解析一.选 择 题（共16小题）1.（2012呼伦贝尔）如图，A、B、C 三点在。0匕 若/BOC=76。，则NBAC的度数是（）A.152 B.76 C.38 D.14【解答】解：筱所对的圆心角是/B O C,圆周角是NBAC,又：NBOC=76。，.NA=76xi=38.2故选C.2.（2015眉山）如图，。是aA B C 的外接圆，

7、ZACO=45,则N B 的度数为（）CA.30 B.35 C.40 D.45【解答】解：VOA=OC,ZACO=45,.ZOAC=45,ZAOC=180-45-45=90,3.（2010秋海淀区校级期末）如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（）个.【解答】解：Z 1 和/3 符合圆周角的定义，/2 顶点不在圆周上，Z 4 的一边不和圆相交，故图中圆周角有N 1 和/3 两个.故选B.4.（2015珠海）如图，在。O 中，直径CD垂直于弦A B,若NC=25。，则NBOD的度数是（）【解答】解：在。O 中，直径CD 垂直于弦AB,A D=BD./DOB=2/C=50。.故选：D.5.（199

8、7陕西）如图，已知在O O 中，点 A,B,C 均在圆上，ZAOB=80,则/A C B 等A.130 B.140 C.145 D.150【解答】解：设点E 是优弧AB上的一点，连接EA,EBZAOB=80ZE=iZAOB=402.ZACB=1800-ZE=140.故选：B.E6.如图，M N是。O 的直径，/PBN=50。，则/M A P 等 于（）【解答】解：连接OP，可得NMAP=L/MOP,NNBP=L/NOP,2 2VM N为直径，.ZMOP+ZNBP=180,.,.ZMAP+ZNBP=90,VZPBN=50,ZMAP=90-ZPBN=40.故选B.7.（2007太原）如图，C D

9、是（D O 的直径，A、B 是。O 上的两点，若/ABD=20。，则/A D C的度数为（）A.40 B.50 C.60 D.70【解答】解：.NABD=20。.,.NC=/ABD=20。VCD是。O 的直径ZCAD=90ZADC=90-20=70.故选D.8.（2013苏州）如图，AB是半圆的直径，点 D 是正的中点，/ABC=50。，则NDAB等于【解答】解：连 结 B D,如图，,Z点 D 是正的中点，即弧CD=M AD,；./A B D=/C B D,而 NABC=50。，./A B D=LX50=25,2VAB是半圆的直径，.ZADB=90o,Z.ZDAB=90-25=65.9.（2

10、009枣庄）如图，AB是。O 的直径，C,D 为圆上两点，ZAOC=130,则/D 等于（）A.25 B.30 C.35 D.50【解答】解：NAOC=130。，/BOC=50。，；./D=L/B O C=2 5.故选 A.210.（2013秋沙洋县校级月考）如图，/I、N2、/3、N 4 的大小关系是（)A.Z 4 Z 1 Z 2 Z 3 B.Z 4 Z 1=Z 3 Z 2 C.Z 4 Z 1 Z 3 Z 2 D.Z 4 Z 1 Z 4,Z 2 Z 6,.Z 4 Z 1=Z 3 N A.故答案为第二种.21.（2015黄岛区校级模拟）在。0 中，弦 AB=2cm,ZACB=30,则。O 的

11、直 径 为 4 cm.【解答】解：连接OA,OB,NACB=30,ZAOB=60,.AOB是等边三角形，OA=OB=AB=2cm,0 0 的直径=4cm.22.（2014春海盐县校级期末）如图，。中弦AB等于半径R,则这条弦所对的圆心角是【解答】解：连结OA、OB,NAPB和NAP B 为弦A B所对的圆周角，如图,.弦AB等于半径R,.A O A B 为等边三角形，ZAOB=60,，NAPB NAOB=30。，2.Z A P,B=180-ZAPB=150,即这条弦所对的圆心角是60。，圆周角是30。或 150.故答案为60。；是 30。或 150。.23.（2012义乌市模拟）如图，等腰4A

12、 B C 的底边B C的长为4 c m,以腰A B为直径的。O交 BC于点D,交 A C于点E,则 D E的 长 为 2 cm.解：连接AD,/ZD EC为圆内接四边形ABDE的外角，.ZDEC=ZB,又等腰ABC,BC为底边，；.AB=AC,ZDEC=ZC,；.DE=DC,V A B为圆O 的直径，A ZADB=90,即 ADJ_BC,，BD=CD B C,又 BC=4cm,2DE=2cm.故答案为：224.（2012秋哈密地区校级月考）如图，在 世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点，丙助攻到C 点.有三种射门方式：第一种是甲直接射门；

13、第二种是甲将球传给乙，由乙射门.第三种是甲将球传给丙，由丙射门.仅从射门角度考虑，应 选 择 第 二 种 射 门 方 式.【解答】解：设 A P与圆的交点是C,连接CQ；则/P C Q N A；由圆周角定理知：NPCQ=NB；所以/B /A；因此选择第二种射门方式更好.故答案为：第二.三.解 答 题（共 16小题）25.（2009沈阳模拟）如图，ZABC的高AD、BE相交于点H,延长AD交 ABC的外接圆于点G,连接BG.求证：HD=GD.【解答】证明：V ZC=ZG,aA B C 的高AD、BE,.ZC+ZDAC=90,ZAHE+ZDAC=90%，ZC=ZAHE,NAHE=/BHG=NC,，

14、ZG=ZBHG,；.BH=BG,又：AD_LBC,.HD=DG.26.（2013秋虞城县校级期末）如图，已知C D 是。O 的直径，弦 AB_LCD,垂足为点M,点 P 是窟上一点，且NBPC=60。.试判断aA B C 的形状，并说明你的理由.【解答】解：AABC为等边三角形.理由如下:VABCD,C D 为。O 的直径，.弧 AC=M BC,；.AC=BC,又.,/BPC=/A=60。，/.ABC为等边三角形.27.（2013秋耒阳市校级期末）已知：如图，A B为。O 的直径，AB=AC,BC交。O 于点D,AC 交。O 于点 E.ZBAC=40（1）求NEBC的度数；（2）求证：BD=C

15、D.ZABC=ZC,/ZBAC=40,ZC=1.(180-40)=70。,2V A B为。O 的直径，ZAEB=90,ZEBC=90-NC=20。；证明：连结A D,如图，V A B为。O 的直径，A ZADB=90,；.ADJ_BC,而 AB=AC,；.BD=DC.28.（2014秋高密市期中）如图，A B是。O 的直径，C 是。O 上的点，AC=6cm,BC=8cm,NACB的平分线交。于点D,求 AB和 BD的长.VAB是。O 的直径,.ZACB=90,ZADB=90.,AB=VAC2+B C2=V62+82=1 (CM)-AC=6cm,BC=8cm,C D 是NACB的平分线,.N A

16、 C D=/B C D,则 A D=B D，AD=BD,.,.BD=2Z1AB=5 亚m.2_综上所述，AB和 BD 的长分别是10cm,5亚m.29.（2013秋宜兴市校级期中）如图，4A B C 是。O 的内接三角形，NA=30。，BC=3cm.求O O 的半径.【解答】解：作直径C D,连结B D,如图,V CD 为直径，ZCBD=90,：ND=NA=30,，CD=2BC=2X3=6,.,.O O 的半径为3cm.30.（2010秋瑞安市校级月考）如图，AB是。O 的直径，过圆上一点C 作 CDLAB于点D,点 C 是弧A F的中点，连接AF交 C D 于点E,连接BC交 A F于点G.

17、(1)求证：AE=CE；(2)已知 AG=10,ED：AD=3：4,求 AC 的长.【解答】(1)证明：,点C 是弧A F的中点,AZB=ZCAE,A B是。0 的直径，AZACB=90,UPZACE+ZBCD=90,VCD1AB,NB+NBCD=90。，AZB=ZCAE=ZACE,JA E=CE(6 分)(2)解:V ZACB=90,NCAE+NCGA=90。，又.NACE+NBCD=90,.ZCGA=ZBCD,VAG=10,/.CE=EG=AE=5,VED：AD=3：4,A ADM,DE=3,AC=V A D2+C D2=7 42+82=力(1 0 分 31.(2015秋扬中市期中)如图，

18、AABC中，ABAC,NBAC的平分线交外接圆于D,DE_LAB 于 E,DM_LAC 于 M.(1)求证：BE=CM.(2)求证：AB-AC=2BE.【解答】证明：(1)连接BD,DC,VAD 平分NBAC,/.ZBAD=ZCAD,弧BD二弧CD,ABD=CD,VZBAD=ZCAD,DEAB,DMAC,VZM=ZDEB=90,DE=DM,在 RtADEB 和 RtADMC 中,B D=DC,l DE=DM，ARtADEBRtADMC(HL),BE二 CM.(2)VDEAB,DM1AC,ZM=ZDEA=90,在 RtADEA 和 RtADMA 中 A D二A Dl DE=DM.RtADEARt

19、ADMA(HL),JA E 二 AM,A AB-AC,=AE+BE-AC,=AM+BE-AC,=AC+CM+BE-AC,二 BE+CM,=2BE.3 2.（2013宁夏模拟）如图，OA 是。的半径，以O A 为直径的。C 与。0 的弦AB相交于点 D.求证：AD=BD.BD【解答】证明：连结0 D,如图,VOA为。C 的直径，ZADO=90,AOD1AB,AAD=BD.33.（2011秋宁波期中）如图，已知：A B是。O 的弦，D 为。O 上一点，DCLAB于 C,D M 平分N C D O.求证：M 是弧A B的中点.VOD=OM,AZODM=ZOMD,VDM 平分NODC,AZODM=ZC

20、DM,AZCDM=ZOMD,CDOM,VCDAB,AOM1AB,AM二 引 RBM,即点M 为劣弧A B的中点.34.（2009秋哈尔滨校级期中）如图，A B C 的三个顶点都在。O 上,C D 是高，D 是垂J NEAO90。，ZACE=90-ZAEC,CD 是高，D 是垂足，/.ZBCD=90-ZB,VZB=ZAEC（同弧所对的圆周角相等）,/.ZACE=ZBCD,NACE+NECD=/BCD+NECD,AZACD=ZBCE.3 5.已知：如图，A E是。O 的直径，AFJ_BC于 D,证明：BE=CF.【解答】证明：YA E是。O 的直径,ZABE=90,/.ZE+ZBAE=90,VAF

21、BC 于 D,.ZFAC+ZACB=90,VZE=ZACB,AZBAE=ZFAC,弧 BE=M CF,ABE=CF.36.（2015秋哈尔滨校级期中）已知A B为。O 的直径，弦 BE二 DE,AD,B E的延长线交于点C,求证：AC=AB.【解答】证明：连接AE,A B为。的直径，J ZAEB=90,AZAEB=ZAEC=90,二弦 BE=DE,DE=B E，.ZDAE=ZBAE,ZC=90-ZDAE,ZB=90-ZBAE,A ZB=ZC,.AC=AB.3 7.如图，AB是圆。的直径，O C J_A B,交。O 于点C,D 是弧AC上一点，E 是 AB上一点，E C C D,交 BD 于点F

22、.问：AD与 BF相等吗？为什么？c【解答】解：AD和 BF相等.理由：如图,C连接AC、BC,V0C1AB,，ZBOC=90AZBDC=ZBAC=45VEC1CD,/.ZDCE=ZACB=90,A A D C FA A C B 都是等腰直角三角形，/.DC=FC,AC=BC,Z DCA+Z ACF=Z BCF+Z ACF=90,.ZDCA=ZFCB在aA C D 和4B C F 中，AC=BC，Z A C D=Z F C B-e-A C D A B C FCD=CF DA=BF.3 8.如图，AB是。O 的直径，AC、DE是。O 的两条弦，且 D E L A B,延长AC、DE相交于点 F,

23、求证：ZFCD=ZACE.【解答】证明：连接AD,AE,AB 是直径.ABIDE,JA B 平分 D E,弧 ACE二 弧 AD,A ZACD=ZADE,:A、C、E、D 四点共圆,，ZFCE=ZADE,；./FCE=NACD,/FCE+/DCE=/DAC+NECD,.ZFCD=ZACE.39.如图，已知。O 是AABC的外接圆，AD是。O 的直径，作 CEJ_A D,垂足为E,CE的延长线与AB交于F.试分析NACF与/A B C 是否相等，并说明理由.延长C E交。O 于 M,：AD是。O 的直径，作 CELAD,.弧 AC=M AM,.ZACF=ZABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）

24、.40.如图，ZXABC内接于。0,AD为aA B C 的外角平分线，交。O 于点D,连接BD,CD,判断ADBC的形状，并说明理由.【解答】解：ADBC为等腰三角形.理由如下:VA D为4A B C 的外角平分线，/EAD=NDAC,VZEAD=ZDCB,ZDBC=ZDAC,；./DBC=NDCB,.DBC为等腰三角形.解 答 题（共 6 小题）1.如图，A B是O O 的直径，弦 C D L A B,垂足为点E,G 是众上的任意一点，AG、DC的延长线相交于点F,/F G C 与NAGD的大小有什么关系？为什么？B【解答】解：NFGC与NAGD相等.理山如下:连接A D,如图，VCDAB,

25、AD=AC，NAGD=/ADC,VZFGC=ZADC,/FGC=NAGD2.如图，AB是圆。的直径，C 是圆0 上一点，D 是弧A C 中点，DELAB垂足为E,AC分别与DE、DB相交于点F、G,则 AF与 FG 是否相等？为什么？D【解答】解：AF=FG,理由是：连接AD,；AB 是直径，DE_LAB,.NADB=NDEB=90,ZADE=ZABD,；D 为弧A C中点，/D A C=/A B D,；./A D E=/D A C,AF=DF,/FAE=NDAC,DF=FG,；.AF=FG.3.如图，A B为。O 的直径，以O A 为直径作。C,A D 为。O 的弦，交。C 于 E,试问,当

26、 D 点在（D O 上运动时（不与A 重合），A E与 ED 的长度有何关系？证明你的结论.【解答】解：AE=ED.理由：连接OE,AO是。C 的直径，NOEA=90,AOE1AD,：OE过圆O 的圆心O,，AE=ED.ED4.如图，OA是。的半径，以 OA 为直径的。C 与。的弦AB交于点D,求证：D 是A B的中点.【解答】证明：连接OD,VO A为。C 的直径，.ZODA=90,即 OD_LAB,，D 是 A B 的中点.5.（2007鄂尔多斯）如图，在aA B C 中，ZACB=90,D 是 A B的中点，以 DC为直径的。交AABC的边于G,F,E 点.求证：（1）F 是 B C的中

27、点；（2）ZA=ZGEF.【解答】证明一：（1）连接 DF,V ZACB=90,D 是 AB 的中点,，BD=DC AB,（2 分）2：DC是。O 的直径，ADF1BC,（4 分）；.B F=FC,即 F 是 BC的中点；（5 分）（2）VD,F 分别是AB,B C 的中点,；.DFAC,（6 分）.ZA=ZBDF,（7 分）./BD F=/G EF（圆周角定理），（8 分）ZA=ZGEF.（9 分）证明二：（1）连接 DF,DE,DC是。0 直径，./DEC=/DFC=90。.（1 分）,/NECF=90,.四边形DECF是矩形.；.EF=CD,DF=EC.（2 分）；D 是 AB 的 中

28、点,ZACB=90,；.E F=C D=B D=LAB.（3 分）2.,.DBF丝ZEFC.（4 分），B F=FC,即 F 是 B C 的中点.（5 分）（2）VADBFAEFC,.ZBDF=ZFEC,ZB=ZEFC.（6 分）：NACB=90。（也可证 ABE F,得NA=NFEC）,ZA=ZFEC.（7 分）/FEG=NBDF（同弧所对的圆周角相等）,（8 分）AZA=ZGEF.（9 分）（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考.）6.（2000兰州）如图，圆内接四边形ABCD的外角NDCH=NDCA,DPLAC垂足为P,DH_LBH 垂足为 H,求证：CH=CP,AP=BH.DH【解答】证明：（1）在口?与ADPC中,VZDCH=ZDCA,DPAC,DHBH,DC 为公共边,.DHCADPC,；.CH=CP.（2）连接D B,由圆周角定理得,ZDAC=ZDBH,VADHCADPC,DH=DP,V D P I AC,DH_LBH,，ZDHB=ZDPC=90,.DAPADBH,.AP=BH.DHB