2023年九年级数学中考：猜想与证明压轴题.pdf

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1、2023年 九 年 级 数 学 中 考 专 题：猜 想 与 证 明 压 轴 题 1.如 图，正 方 形 ABC。中，BC=1 2,加 是 AB边 的 中 点，连 接 Z W 与 A C交 于 点 P,点:在。上，点 尸 在。”上.图 1 图 2(1)在 图 1中，若 尸 是 的 中 点，且 E F/A C.求 证:DP=2PM；猜 想 P M与 我 的 关 系，并 证 明 你 的 结 论.若 尸 尸=右，E F与 A C不 平 行，一。E F中 是 否 存 在 一 个 内 角 的 度 数 为 4 5的 情 况？请 利 用 图 2 解 决 问 题：如 果 存 在，指 出 这 个 角，并 求 此

2、时 CE的 长；如 果 不 存 在，说 明 理 由.2.如 图，正 方 形 ABCD的 边 长 为“，射 线 4 0 是 外 角 的 平 分 线，点 E在 边 A 8上 运 动(不 与 点 A、B重 合)，点 F在 射 线 A M 上，且 AF=g B E，CP与 AO相 交 于 点 G,连 接 EC、EF、EG.(1)试 猜 想 ACE尸 的 形 状，并 说 明 理 由；(2)求 河 的 周 长(用 含。的 代 数 式 表 示)；(3)试 探 索：点 E在 边 AB上 运 动 至 什 么 位 置 时，尸 的 面 积 最 大(用 含 的 代 数 式 表 示).3.如 图，点 E 是 矩 形 A

3、BC。的 边 AB的 中 点，尸 是 8 c 边 上 一 动 点(点 尸 与 点 B,点 C不 重 合)，线 段。后 和 A F:相 交 于 点 P,连 接 P C.(1)若 在 线 段。尸 上 取 一 点 Q,使 得 DP=2EQ,连 接 A Q,猜 想 P C与 A Q的 关 系 并 证 明;若 A F 1 0 E时，A8=8,A=1 0,求 8F 的 长;AP(3)当 点 F 为 B C的 中 点 时，求 当 的 值.4.(1)观 察 猜 想 如 图 1,在 ABC中，AB=AC,ZBAC=60?，点。是 A B A C 的 平 分 线 上 一 动 点,连 接 D B,将 线 段 OB绕

4、 点。逆 时 针 旋 转 60。得 到 线 段 E,连 接 BE,C E.黑 的 值 是 _;CE 射 线 A D与 直 线 C E相 交 所 成 的 较 小 角 的 度 数 是.(2)类 比 探 究 如 图 2,在 ABC中，AB=AC,N B 4 C=9 0?,点。是 NBAC的 平 分 线 上 一 动 点，连 接 0 8,A n将 线 段 0 8 绕 点。逆 时 针 旋 转 90。得 到 线 段 力,连 接 BE,C E.请 写 出 器 的 值 及 射 线 A Q与 直 线 CE相 交 所 成 的 较 小 角 的 度 数，并 就 图 2 的 情 形 说 明 理 由.(3)拓 展 延 伸

5、在(2)的 条 件 下，若 钻=1,请 直 接 写 出 当/D 8 C=1 5?时，CE=.图 1试 卷 第 2 页，共 11页5.如 图，在 菱 形 ABC。中，/8 4。=120,将 边 A 3绕 点 A逆 时 针 旋 转 至,记 旋 转 角 为 a.过 点。作 _ L BC于 点 尸，过 点 B作 BE J.直 线 于 点 E,连 接 EF.【探 索 发 现】FF 填 空：当 a=6 0时，ZEBB=_若 的 值 是 _DD【验 证 猜 想】(2)当 0 a 3 6 0时，中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立?若 成 立，请 仅 就 图 2 的 情 形 进 行 证 明；若 不 成 立，

6、请 说 明 理 由；【拓 展 应 用】在(2)的 条 件 下，若 AB=2收，当 是 等 腰 直 角 三 角 形 时，请 直 接 写 出 线 段 EF的 长.6.如 图，在 Rt ABC中，ABAC=90,AB=A C,点。，E分 别 在 边 AB,A C上，A D=AE,连 接。C、B E,点 P为 3 c 的 中 点.(1)观 察 图 1,猜 想 线 段 AP与 BE的 数 量 关 系 是,位 置 关 系 是；(2)把 VADE绕 点 A逆 时 针 方 向 旋 转 到 图 2 的 位 置，(1)中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立，若 成 立 请 证 明；若 不 成 立，请 写 出 新

7、的 结 论 并 说 明 理 由；(3)把 VADE绕 点 A在 平 面 内 自 由 旋 转，若 DE=6,BC=10,请 直 接 写 出 线 段”长 的 取 值 范 围.7.某 数 学 课 外 活 动 小 组 在 学 习 了 勾 股 定 理 之 后，针 对 图 1中 所 示 的“由 直 角 三 角 形 三 边 向 外 侧 作 多 边 形，它 们 的 面 积，邑，邑 之 间 的 关 系 问 题”进 行 了 以 下 探 究:A邸 类 比 探 究(l)如 图 2,在 Rt A B C 中，B C 为 斜 边，分 别 以 A8,AC,B C 为 斜 边 向 外 侧 作 用 A B D,Rt ACE,R

8、A_BCF；若 Nl=N2=N3=30,A8=2,通 过 计 算 可 以 得 到 面 积 5,S”S3之 间 的 等 量 关 系 式 为 若 Nl=N2=N3,猜 想 得 到 面 积 S52,53之 间 的 等 量 关 系 式 为；推 广 验 证(2)如 图 3,在 Rt A B C 中，B C 为 斜 边，分 别 以 A8,AC,B C 为 边 向 外 侧 作 任 意 AACE,4 B C F,满 足 Nl=/2=N3,/=/=/尸，则(1)中 所 得 关 系 式 是 否 仍 然 成 立？若 成 立，请 证 明 你 的 结 论；若 不 成 立，请 说 明 理 由.拓 展 应 用(3)如 图

9、4,在 五 边 形 ABCDE中，ZA=Z E=ZC=105,ZABC=90,AB=46，D E=4,点 尸 在 A E 上，ZABP=30,PE=2五,求 五 边 形 ABCDE的 面 积.8.如 图 1,已 知 A 3 C 是 等 腰 直 角 三 角 形，ABAC=90,A3=A C,点。是 B C 的 中 点.作 等 腰 直 角,-使 Z)E=OF,NED/=90,点 A、C 分 别 在 边。户 和 O E 上，连 接 AE,B F.试 卷 第 4 页，共 11页图 1 图 2 备 用 图(1)试 猜 想 线 段 AE和 班 的 数 量 关 系 是，位 置 关 系 是(2)将 绕 点。逆

10、 时 针 方 向 旋 转 a(Oa436O。)，判 断(1)中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立？请 利 用 图 2 证 明 你 的 结 论；若 BC=D E=4,当 AE取 最 大 值 时，连 接 A F,直 接 写 出 tan ZE4c的 值.9.随 着 教 育 教 学 改 革 的 不 断 深 入，数 学 教 学 如 何 改 革 和 发 展，如 何 从“重 教 轻 学 向 自 主 学 习 探 索 为 主 的 方 向 发 展，是 一 个 值 得 思 考 的 问 题.从 数 学 的 产 生 和 发 展 历 程 来 看 分 析，不 外 乎 就 是 三 个 环 节：【观 察 猜 想】-【探 究

11、证 明】-【拓 展 延 伸 下 面 同 学 们 从 这 三 个 方 面 试 看 解 决 下 列 问 题：已 知：如 图 1所 示 将 一 块 等 腰 三 角 板 3 M N 放 置 与 正 方 形 ABCD的 N B 重 含，连 接 A N、CM,E 是 A N 的 中 点，连 接 8E.图 1 图 2【观 察 猜 想】(1)C M 与 5 E 的 数 量 关 系 是,C M 与 BE的 位 置 关 系 是；【探 究 证 明】(2)如 图 2 所 示，把 三 角 板 3 M N 绕 点 B 逆 时 针 旋 转 成(0a90),其 他 条 件 不 变，线 段 C M 与 防 的 关 系 是 否

12、仍 然 成 立，并 说 明 理 由；【拓 展 延 伸】(3)若 旋 转 角 e=45。，且 NNBE=2 Z A B E,求 生 的 值.BN10.在 4A8C 中，AC=8C=3,ZACB=90,。为 线 段 AC 上 一 点，AD=l.过 点。作 OE BC交 48于 点 E,M 为 力 E 的 中 点.(1)如 图 1,连 接 8 0,取 B。的 中 点 N,求 线 段 M N 的 长；(2)如 图 2,将 z AOE绕 点 A 逆 时 针 旋 转，旋 转 角 为 a,F、N 分 别 为 线 段 CB、的 中 点，连 接 FN,M N.猜 想 N F N M 的 大 小 是 否 为 定

13、值，并 证 明 你 的 结 论；(3)在(2)的 条 件 下，连 接 CN,在 A AOE绕 点 A 逆 时 针 旋 转 过 程 中，当 线 段 CN 最 大 时，请 直 接 写 出 ZF C N 的 面 积.11.如 图 1,在 矩 形 A3C。中，E,F,G分 别 为 边 5 c A 氏 A。的 中 点，连 接 为。产 中 点，连 接 G”，将 AfiEb绕 点 8 旋 转.(1)当 斯 旋 转 如 图 2 位 置，且 AB=BC 时，猜 想 G 与 CE之 间 的 关 系，并 证 明 你 的 猜 想；(2)已 知 A3=6,8C=8,当 Afi防 旋 转 到 如 图 3 位 置 时，猜

14、想 G H 与 CE之 间 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由；射 线 G4,CE相 交 于 点 Q,连 接 B Q,在 M E 尸 旋 转 过 程 中，BQ有 最 小 值，请 直 接 写 出 80 的 最 小 值.“旋 转”即 物 体 绕 一 个 点 或 一 个 轴 做 圆 周 运 动.在 中 国 古 典 专 著 百 喻 经 口 诵 乘 船 法 而 不 解 用 喻 中 记 载：“船 盘 回 旋 转，不 能 前 进 而 图 形 旋 转 即：在 平 面 内，将 一 个 图 形 绕 一 点 按 某 个 方 向 转 动 一 个 角 度，这 样 的 运 动 叫 做 图 形 的 旋 转，这 个 定

15、点 叫 做 旋 转 中 心，转 动 的 角 叫 做 旋 转 角.综 合 实 践 课 上，“睿 智 小 组 专 门 探 究 了 正 方 形 的 旋 转，情 况 如 下：在 正 方 形 ABCD中，点。是 线 段 BC上 的 一 个 动 点，将 正 方 形 ABC。绕 点。顺 时 针 旋 转 试 卷 第 6 页，共 11页得 到 正 方 形 ABCD(点 A,B,C,D0分 别 是 点 A,B,C,。的 对 应 点).设 旋 转 角 为 a(0a8绕 点 8旋 转，在 整 个 旋 转 过 程 中，当 A、E、。三 点 共 线 时，请 直 接 写 出 点 C 到 直 线 AE 的 距 离.14.【问

16、 题 情 境】（1）如 图 1,在 矩 形 ABCO中，将 矩 形 沿 AC折 叠，点 8 落 在 点 E处,设 A D与 CE相 交 于 点 F,那 么 AC与 OE的 位 置 关 系 为.【类 比 探 究】（2）如 图 2,若 四 边 形 A8CQ为 平 行 四 边 形，上 述“问 题 情 境”中 的 条 件 不 变，猜 想 AC与 O E的 位 置 关 系，并 证 明 你 的 结 论；当 N B与 NACB满 足 什 么 数 量 关 系 时，A B C sa F E A?请 说 明 理 由；【拓 展 应 用】（3）如 图 3,oABCQ中，ZB=60,A 8=6,上 述“问 题 情 境”

17、中 的 条 件 不 变，当 AEC是 直 角 三 角 形 时，请 直 接 写 出。E的 长 为.15.综 合 与 实 践 数 学 素 材：如 图 1,正 方 形 ABCD中，AB=6 c m,正 方 形 EFG”是 一 张 透 明 的 胶 片，EFAB.数 学 猜 想：正 方 形 胶 片 的 顶 点 E在 正 方 形 ABC。的 对 角 线 A C上 运 动，所 过 点 B,E H 与 射 线 D C 交 试 卷 第 8 页，共 11页于 点 P,猜 想 线 段 8E与 线 段 EP之 间 的 数 量 关 系，并 借 助 图 1说 明 理 由；数 学 探 究 一：如 图 2,正 方 形 胶 片

18、 的 顶 点 E 在 A C 上，EF过 点 B,AE=c m,对 角 线 切 过 点 C,2请 直 接 写 出 胶 片 的 边 长；数 学 探 究 二：如 图 3,正 方 形 胶 片 的 顶 点 E 与 正 方 形 A B 8 的 顶 点 A 重 合，连 接 80与 边 防，对 角 线 A G 分 别 交 于 点 M,N,若 DN=2 6 c m，求 A N 和 的 长.16.将 一 个 三 角 形 的 三 个 顶 点 分 别 作 关 于 各 自 对 边 所 在 直 线 的 对 称 点，由 这 三 个 对 称 点 确 定 的 三 角 形 叫 做 原 三 角 形 的“再 生 三 角 形(1)一

19、 个 周 长 为/,面 积 为 S 的 等 边 三 角 形 的“再 生 三 角 形”的 周 长 是,面 积 是(2)如 图 1,已 知 Rt ABC 中，ZCAB=90,ABC是 Rt A5C的“再 生 三 角 形”，其 中 点 A,B,C分 别 是 点 A,B,C 的 对 称 点，试 猜 想 AfiT与 Rt ABC的 面 积 有 怎 样 的 数 量 关 系，并 加 以 证 明.(提 示：连 结 A4,并 延 长 AA交 8C于 点。.)(3)如 图 2,已 知 ABC 中，ZA8C=30。,3A=3C,.ABC是,的“再 生 三 角 形”，其 中 点 A,B,C分 别 是 点 A,B,C

20、的 对 称 点.探 究：线 段 AB 与 线 段 A E 的 数 量 关 系.17.如 图：两 个 菱 形 ABC。与 菱 形 BEFG的 边 AB,8E在 同 一 条 直 线 上，边 长 分 别 为 和 6,点 C 在 B G 上，点 M 为 CG的 中 点.图 图 图(1)观 察 猜 想：如 图，线 段 B M 与 线 段 4E 的 数 量 关 系 是.(2)拓 展 探 究：如 图，ZABC=20,将 图 中 的 菱 形 8EFG绕 点 8 顺 时 针 旋 转 至 图 位 置，其 他 条 件 不 变，连 接 8M,猜 想 线 段 与 线 段 AE 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由.求

21、 出 线 段 B M 与 AE所 成 的 最 小 夹 角.(3)解 决 问 题：如 图，若 将 题 目 中 的 菱 形 改 为 矩 形，且 生=芸=6,请 直 接 写 出 AB BE线 段 B M 与 线 段 A E 的 数 量 关 系.18.如 图，在 矩 形 ABCD中，ZAC5=60,矩 形 A B C 是 由 矩 形 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 一 个 角 度 得 到 的，点 A、B 0 2 分 别 是 点 4、B、。的 对 应 点.在 旋 转 过 程 中，直 线 B q 与 直 线 A A 相 交 于 点(1)当=100。时，求 NAB附 的 度 数;(2)在 旋 转 过 程 中

22、，请 你 猜 想 A用 与 A M 之 间 存 在 的 数 量 关 系，并 根 据 所 给 图 形 证 明 你 猜 想 的 结 论；(3)如 图，设 点 N 在 边 AB上，且/BCN=30,BC=1,在 旋 转 过 程 中，当 N C+NB、的 值 取 最 小 值 时，请 直 接 写 出 点 片 与 点 之 间 的 距 离.19.如 图，在 锐 角 ABC中，NACB=45。，点。是 边 BC上 一 动 点，连 接 A。，将 线 段 A D 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90。得 到 线 段 A E,连 接 D E 交 AC 于 点 F.(1)如 图 1,若/AQC=60。，求 证：DF=

23、AF+EF；(2)如 图 2,在 点。运 动 的 过 程 中，当 NA O C 是 锐 角 时，点 M 在 线 段。C 上，且 AM=A D,连 接 ME,猜 想 线 段 ME,MD,4c 之 间 存 在 的 数 量 关 系，并 证 明 你 猜 想 的 结 论；(3)在 点。运 动 的 过 程 中，当/4DC 是 钝 角 时，点 N 是 线 段。E 上 一 动 点，连 接 CN,3若 C F=A F=m,请 直 接 用 含 m 的 代 数 式 表 示 2CN+及 NE 的 最 小 值.试 卷 第 10页，共 11页A AE2 0.如 图 所 示，在 Y 4 3 C D中，连 接 对 角 线 A

24、 C.把 A 8绕 着 点 A 逆 时 针 旋 转 60,，得 到 线 段 A E,点 E 在 边 8 c 上.点 F 在 线 段 A E上，S.AF=C E.连 接 3 E O E G 是 叱 的 中 点，连 接 4G,CG（1）求 证：NBAG=N E A C；（2）猜 想 A G与 CG存 在 的 数 量 关 系，并 证 明 你 猜 想 的 结 论；（3）当 NBAG=15时，请 直 接 写 出 D F 与 A B存 在 的 数 量 关 系.备 用 图 CB EB参 考 答 案:1.PM=2FP(2)存 在 中 一 个 内 角 的 度 数 为 45,即 N)FE=45,CE=12.(1)

25、等 腰 直 角 三 角 形，2a(3)点 E 在 AB边 中 点，面 积 最 大 为！83.PC=2AQQ)BF=32”二 PF 34.(1)1,60；(2)亚,45；(3)石-1 或 3-6.5.(1)30,；(2)当 0 a360时，(1)中 的 结 论 仍 然 成 立，(3)线 段 EF 的 长 为 3+62或 3-石,6.(1)AP=；BE,APA.BE-,(2)AP=；BE,伸 1.8仍 成 立，(3)夜 4 Ap440.7.(1)5+邑=邑；耳+邑=53；(2)St+S2=S(3)246+288.(1)BF=AE,B F Y A E；(2)成 立，;9.(1)CM=2BE,CMBE

26、；(2)成 立，(3)叵 史 210.(1)M N=0;(2)的 大 小 为 定 值 135,(3)SAPCN=18+3-.161 311.(1)GH LCE,GH=-CE-(2)G H=-CE-36-厉.2 812.(1)AADD；AA=-J5BB；(2)矩 形，(3),=.OQ 213.(1)CD=AE,Z/VWC=45；(2)CD=AE,ZAMC=30；(3)3.+3 或 3、-32 2 2 214.(1)AC/DE；(2)AC/DE；NB+3NCCB=180。，；(3)6百 或 3百.答 案 第 1页，共 2 页15.数 学 猜 想：BE=EP；数 学 探 究 一：红 叵；数 学 探 究 二：AN=2石，BA仁 述 10 216.(1)21,4S；(2)SM,B.C,=3S ABC,(3)A H=近 AB.17.(1)B M=-A E；(2)B M=-A E；线 段 B M 与 AE所 成 的 最 小 夹 角 为 60。；(3)2 2nBM=AE.218.(1)50；(2)AM=,(3)019.(2)M D+42ME=y/2AC;(3)2CN+&NE 的 最 小 值 为 女 g%.20.(2)CG=&G;(3)DF=A B答 案 第 2 页，共 2 页