高中数学必修、选修全部知识点精华归纳总结新课标人教A版.pdf

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1、高中数学必修+选修知识点归纳高三第一轮复习资料引言1 课 程 内 容：必修课程由5个模块组成:必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、森函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步.必修3：算法初步、统计、概率.必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、二角檀等亦梅必修5：解三角形、数列、不等式.选修课程有4个系列：系 列1：由2个模块组成.选 修1 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数与其应用.选 修1 2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成.选修2 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.选修2 2：导数与其应用，推理与证明、数系的扩

2、充与复数选修2 3：计数原理、随机变量与其分布列，统计案例.系列3：由6个专题组成.选 修3 1：数学史选讲.选 修3 2：信息安全与密码.选 修3 3：球面上的几何.选 修3 4：对称与群.选 修3 5：欧拉公式与闭曲面分类.选 修3 6：三等分角与数域扩充.系列4：由1 0个专题组成.选修4一1：几何证明选讲.选修4 2：矩阵与变换.选修4一3：数列与差分.选修44：坐标系与参数方程.选修4一5：不等式选讲.选修4 6：初等数论初步.选 修4一7：优选法与试验设计初步.选修4 8：统筹法与图论初步.选修4 9：风险与决策.选修4 1 0：开关电路与布尔代数.2.重 难 点 与 考 点：重点

3、：函数，数列，三角函数,平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积与其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线

4、的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理与其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算必 修1数学知 识 点第一章：集合与函数概念 1.1.1、集合1、把研究的对象统称为任，把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素：确定性、互异性、合序性.2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个基合相等.3

5、、常见集合：正整数集合:N*或 N,整数集合:Z,有理教集合:。，实数集合:R.4、集合的表示方法：列举法、描述法.1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A 是集合B的土集.记作A q 3.2、如果集合A =8,但存在元素x e 8,且 x c A,则称集合A 是集合B的真子集.记作：AM B.3、把不含任何元素的集合叫做宅集.记作：0 .并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A 中含有n个元素，则集合A 有 2个子集，2 -1 个真子集.1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B的元素组

6、成的集合,称为集合A 与 B的史基.记作：A U 5.2、一般地，由属于集合A 且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A 与 B的交基.记作：3、全集、补集?C A =x I x e U,且x e U121、函数的概念1、设 A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A 中狼隼意一个数x,在集合B中都有惟一确定的数/Q)和它对应，那么就称f-A-B为集合A 到集合B的一个函数,记作：y =f x),xeA.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、隹 LM.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.122、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法

7、、图象法、列表法131、单调性与最大(小)值1、注意函数单调性的证明方法：vl定义法：设x、x&a,b ,x x那么1 2 I 2f(x)-f(x)o =/(x)在上是增函数；1 2/U)-/(X,)0 o /(x)在 a,b 上是减函数.步 嬴 取值上作差一变形一定号一判断格 式：解：设 X ,x et a/且 x x，则：/G)-A22 1 2导数法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，茬/(x)0.!j i i|f(x)为增函数：若 r(x)o,则7 W为减函数.132、奇偶性1、一般地，如果对于函数/Q)的定义域内任意一个X,都 有/Q x)=/Q),那么就称函数/Q)为偶函数.偶函数

8、图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数/Q)的定义域内任意一个X,都有了(-x)=-/Q),那么就称函数/Q)为奇函数.奇函数图象关于原点对称.知识：函数与导数1、函数y=f(X)在 点.处 的 导数的几何意义：函数y=/U)在点 处的导数是曲线)，=/U)在p(x,/u)处的切4 的斜率r(%)，相应的切线方程是y-y =f(x)(%-x)._()0()2、几种常见函数的导数 C =0；(X),二 ；(si n X)，=co sx；(co sx),=-si n x；()(t z)=a x I n a；(ex),=ex.(l o g x)=-1 ；(l n x)=Ja x m a x3、

9、导数的运算法则(1)(w v)=U V,(2)(w v)=H V +W V .(3)(-)1=-(0).V V24、复合函数求导法则复合函数y=(g(x)的导数和函数,=/(),“=g(x)的导数间的关系为y =)，.“，即y 对 X的导数等于y 对的导数与病X的与薮的乘积.解题步骤:分层一层层求导一作积还原.5、函数的极值极值定义：极值是在xo附近所有的点，都有/(X)/(%),则-/3 4了(%)是函数/(X)的极小值.判别方法：如 果 在 附 近 的 左 侧/(X)0,右侧/,(X)0,那么了。0)是极大值；如 果 在 附 近 的 左 侧 广(x)0,那么/(X。)是极小值.6、求函数的

10、最侑 求 =/(x)在(。,6)内的极值(极大或者极小值)将y =f(x)的各极值点与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值.注：极值是在局部对函数值进行比较1 局部性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较 整体性质第二章：基本初等函数(I )2.1.1、指数与指数塞的运算2.2.1、对数与对数运算1、指数与对数互化式：a*=N=x =lo g N；aa 10 a 定义域：R(2)值域：(0,+8)(3)过定点(0,1),即 x=0 时，y=l(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数 x 0,小 1 ;x 0,0 1 x 0,0 a x ；x 12、对数恒等式：出

11、。映=N .1、一般地，如果x =a，那么x叫做a 的“次方根.3、基本性质：lo g 1 =0,lo g l,n E N+2、当 为 奇 数 时,a；当n为 偶 数 时,=同.3、我们规定：a,“=tja C z 0,z n,e N*,m 1 4F C i 0)；a n4、运算性质：=a-h(a 0,r,5 G Q)；4、运算性质：当 0,N0时:lo g (M N)=lo g M+lo g Na a a 偿)=lo g M-lo g N；lo g M=n lo g M.,lo g b5 换底公式：lo g b =ra lo g acQ 0,a 1,c 0,c 工 1,b 0).6、重要公式

12、：lo g =lo g bn a C?)=C z 0,r,s e Q)；Q b)=a rhr(a 0,h 0,r G Q).2 1.2、指数函数与其性质1、记住图象：y=a(a 0,a 1)7、倒数关系：lo g b =Q 0,w l,b 0,b w l).a lo g ab222、对数函数与其性质 /0 a 1-2-/3 41、记住图象：y=lo g x Q 0,a w l)a面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的.3、空间几何体的表面

13、积与体积圆柱侧面积；S=2 兀r/侧 面圆锥侧面积：S=71-rd侧 面圆台侧面积：S=冗 一/+式R1侧 面体积公式:第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程/Q）=o有实根=函数y=/Q）的图象与x轴有交点函数y=/Q）有零点.2、零点存在性定理：如果函数y=/1）在 区 间 上 的 图 象 是 连 续 不 断的一条曲线,并且有/G）-/G）o，那么函数y=/Q）在区间猿。）内有零点,即存在c e （a,6）,使得/0=0,这个C也就是方程/Q）=0的根.3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.1、几类不同增长的函数模型3 2 2、函数模型的应用举例1、

14、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修2数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构（1）常见的名而体衣.棱 柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球.（2）基 拉：有两个面互相平行,其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.榜台：印个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截V =S.；V =Ls-h.柱体 锥 体 3球的表面积和体积：4S=471/?2,V=717?3球 球 3第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公 理 :如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.2、公 理2：过不在

15、一条直线上的三点,有且只有一个平面.3、公 理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.4、公 理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定 理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6、线线位置关系:平行、相交、异面.7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交.8、面面位置关系:平 行、相交.9、线面平行:判 定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行.则线面平行）.性 质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行面;1线线隹）.1 0

16、、面面平行:判 定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行.则面面平行）.性 质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的 交 线 加（简称面面平行.则线线平行）.1k 线面定义:那，-拜线垂直于一个平面内的任意一条直线,襄4线和这个平面垂直.判 定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则-3-/3 4该直线与此平面垂直(简称线线垂直.则线面垂直).性 质：垂直于同一个平面的两条直线平行.12、面面垂直:定 义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.判 定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直(简称

17、线面垂岂则面面垂直).性 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.(简称面面垂皂则线面垂直).第三章：直线与方程A B(3)/和/重 合=1 2 2 B C1 1 2=A B2 1=B C2 1(4)/1 1 0 A A +B B=0.1 2 1 2 1 25、两点间距离公式：6、点到宜线距离公式：7、两平行线间的距离公式：/Lc+By+q =0 与%：Ax+3y+C2=0 平行,y-y1、倾斜角与斜率：k=tan a =2 _x-x2 I2、吉线方程：点 斜 式：y-y =k(x-x )00 斜截 式：y kx +h则d=2A2+B2第 四章：圆与方程1、圆的方程

18、：标准方 程：Q-a%+(y-其中圆 心 为(a,。),半 径 为，.两点式:-Fx-x1y-y9-kX-X2 1X V 截距 式：一+;=1a b一般式：Ax+By+C=O3、对于直线：一般方程：X2 +y 2 +D x +Ey +F =0.其中圆 心 为(-,)，半 径 为r=/2+E?-4尸.2 2 22、直线与圆的位置关系直线 Ax+8y+C=0与 圆(x-a)2 +(y-b)2 =nI :y =k x+b ,1:y=+b 有:111 2 2 2k =k(i)z /=4 1 21 2 b W bl 1 2(2)/和/相 交OR手k；1 212k =k/和/重合J ,2；1 2 b =h

19、12/_L I k k=1.1 2 1 24、对于直线：I:A x+B y+C=0,1 1 1 1 有.I :A x+5 y4-C=022 2 2A B =A B1 2 2 1 .B C B C 、1 2 2 1(1)1 I1 24叫 相 交o A产 产4/的位置关系有三种：d r o 相 离=()；d=r o 相 切 A=0；d ().弦长公式:I =2 y jr2-d23、两圆位置关系：d=|OO I 外 离：d R +r.外 切：d =R +r.相 交：R-r d R +r.(4)内切：d =R-r .(5)内含：d R-r.3、空间中两点间距离公式：必修3数学知识点第 一 章：算法1、

20、算 法 三 种 语 营：自然语 言、流程 图、程序语言；-4-/342、流程图中的图框:起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等直 到 型 循 环（U N T I L）嘴却的一般格式:规X表示方法；3、算法的一种菸本结构：顺序结构、条件结构、循环结构 当型循环结构.直到型循环结构顺序结构示意图:（图1）条件结构示意图：I F-THEN-ELSE 格式：直 卸 型（U N T I l|加）循环结卜1示像:“输?语 句 孙 哪 藁 恒 您F 提 料 凄 变 量输由语句的一般*式：&R I NT”提 忝 而 容 ；表达式赋窗立包的T 造 式”H=表弦式 条 件 语 句 的 二 需 获 两 种：I

21、F一唯1函 二 立6巨 看句府二破格式为：I F条件THEN F T H E N语 镭I断 般 格 丹！循 环 高 礴 场 圈im两种：当型循 环（）2语句的二般格式 D l F条件（组3）循 环 体 _WENDDO 酊 郴 除 （图5）聚盟腌去一结果是以更旌余数为o而得到利蚀 需 而除飒嗫大公畲线的步骤如下：一）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商S。和一八余数R；-i i）：若 =0,则n为m,n的最大公约数；若R#0 c c 00,则用除数n除以余数R得到一个商s和一个余数勺i i i）：若 尺=0,则 勺 为m,n的最大公约数；若R产0,则用除数人除以余薪R得到一个商S和一个旅数c

22、0 1 2 依次计算直至R =0,此时所得到的R 即为所求的 最 大 公 约 数.更更减损术一结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下:i ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.u）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止，则 这 个 数（等数）就是所求的最大公约数.进位制十进制数化为k进制数一除k取余法k进制数化为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简 单 随 机 抽 样（总体个数较少）系 统 抽 样（总体个数较多）分 层 抽 样（总体中差异明显）注意：在N个个体的

23、总体中抽取出n个个体组成样本,每个个体被抽到的机会（概率）均为2.N2、总体分布的估计：（1）一表二图：频率分布表一一数据详实频率分布直方图一一分布直观频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为L茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以与中位数、众位数等.个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写./3 43、总体特征数的估计：平均数：；=A1+-S+-S+-vn；n取值为七,x，,J V的频率分别为P,P、，p，则其1 2 n 1 2 n平均数为X p+冗p+X p；1z 1 2 2 n1 n注意：频率分布表计

24、算平均数要取组中值.方差与标准差：一组样本数据X ,X，,X1 2 n方差：S2=-(X -X)；n II2标准差：S=.1 (X -X)V n i 口注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定.平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平.线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：y=bx+a(最小二乘法)注意：线性回归直线经过定点(；,7).第三章：概率1、随机事件与其概率：事件：试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件A的概率：P(A)=,()?(A)1.n2、古典概型：基本事件

25、：一次试验中可能出现的每一个基本结果;古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生.古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事 件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率尸(A)=%.n3、几何概型：几何概型的特点:所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生.几何概型概率计算公式：P(A)=，吸 贝 啰;。的测度其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等.4、巧刀事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;如果事件A,A，,A任意两个都是互斥事件，则称1 2 n事件A,A，,A彼此互斥.1 2 n如果事件A.B互斥，那么事件A+B

26、发生的概率，等于事件A,B发生的概率的和，即：?(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A,A，,A彼此互斥,则有：1 2 n对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生,则称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记作对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件.必修4数学知识点第一章：三角函数1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角a终边相同的角的集合：加=a+2kn,k&z,1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做L龌的角.I2、卜 1=73、&K公式:Z=|a|/?.1 8 0 1 10 RR2 14、扇形面积公式:S-=IR.3 6 0 21.2.1、

27、任意角的三角函数1、设a是一个任意角，它的终边与矍位回交于点),那么：sin a =y,co s a =x,tan a=2.x2、设点)为角a终边上任意一点,那么：(设r=Jx2+户）y x y xsin a=工，CO S Ct=,tan Ct=,CO ta=r r x y3、sin a,co s a,tan a在四个象限的符号和三角函-6-/3 4数线的画法.正弦线：M P;余弦线：0M;正切线：A T5、特殊角 0 ,3 0 ,4 5 ,6 0 ,9 0 .1 8 0 .2 7 0等的三角函数值.a0先6我43it-23泗4n22L22nsinacosatana1.2.2、同角三角函数的基

28、本关系式1、平方关系:sin z a+co s2 a=1.、sin a2、商教关系:tan a=-.co s a3、倒数关系：tan aco ta=11.3、三角函数的诱导公式（概括为 寺变儡不变，符号看象限ke Z）1、诱导公式一：sin G+2 k n)=sin a,co sQ+2 K t)=co sa,(其中：左 e Z)tan Q+2 E)=tan a.1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能 到一/_2_,_一.鞭 缔 费图象讲出光弦、余弦函数的相关性质：定 域、直域、最 本 和、值、人称轴、3称中心、z3偶 微 洋 洲 岩 牺性.:、刍“畋*2团 金

29、 斯2三712图.-1y =sin x在x w 0,2兀 上的五个关键点为:j r 2立(0,0),(-,1),(兀,0),(_，-D,(2TI,0).2 21.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：tr y r ry=tan xK -兀-*兀2 2 2 22、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切申粤的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性周期函数冬义74寸于函数f Q）他果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一个值时，都有八+7）=八）,那么函数/G）就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期-7-/3 4定义域RR71x +k Ti,k G Z

30、值域r-i,n-1,1 R最值7 1 tx=I k Tt+一,%Z时，y =1m a x兀x=2 攵 兀 一 一，k Z时，y=-12 m i nx=2 k n,k G Z时，y =1m a xx=2 2 兀 +兀，火 w Z时,y -1m t n无周期性T=2TIT =2 兀T =T t奇偶性奇偶奇单调性ke Z在 2 依 ,2 桁+巧上单调递增2 2在 2&兀+三,2 豚+班 上单调递减_ _ _ _ _ _ 2 2在 2 左兀-兀,2 K t 上单调递增在 2*7 1,2 E +兀 上单调递减在（而，,珠+马 上单调递增2 2对称性ke Z7 C对称轴方程：x=k i t+2对称中心（%

31、兀,0）对称轴方程：x-k i tH对称中心（祈+y,0）无对称轴对称中心（-,0）1.5、函数 y =A sin Qr +（p）的图象1、对于函数：y =A sin（co x+（|）+8（A0,8 0）有：振幅 A,周2 兀期丁=一，初相（P，相位co x+（p,频率/=寺=.CO T 2 客2、能够讲出函数y =sin x的图象与y =A sin （co x+p ）+8的图象之间的平移伸缩变换关系.先平移后伸缩：y=si n x 平移 I （左加右减）平稔 181 个 单 俏/=A sin（3 x+（p）+B（上加下减）3、三角函数的周期对称都和对称中心函数 y=si n（c ox+（p）

32、,xGR 与函数y=c os（0 x+（p）,xGR A,3 ,的E 271周期丁 =；函数71y=tan（c ox+（p）,x 手 k R+,/：e Z A,的周期T =.Il对于 y=A si n（o x+（p）和 y=A c os（c ox+（p）来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.求函数y=A si n（c ox+（p）图像的对称轴与对称中心，-8-/3 4I 工 A 7 1 .只需令C Ox+（p=k i t+（k e Z）与3 x+（p=k R（k w Z）2解出工即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函I数的解析式利用图像特征：A =J,B =）.8要

33、根据周期来求,P要用图像的关键点来求.1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换3.1.1、两角差的余弦公式记 住1 5的三角函数值：asi n ac os atan ar r4、242-7 33.1.2,两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、si n G+P)=si n a c os P+c osa si n P2、si n G-P)=si n a c os P-c osa si n P3、c osQ+0)=c os a c os 3 -si n a si n p4、c osG-p)=c osa c os p+si n a si n p5、tan(a+B)=：an

34、 a+ta叫r l-tan atan|i6、tan(a-p)=,t a n a-tanP、r 1+tan atan p,3.1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式1、si n 2 a=2 si n oc c osa,变形：sj n a c osa=；si n 2 a.2、c os 2 a=c os 2 a-si n 2 a=1 -2 si n 2 a.升塞公式:变形如下：-1 +c os 2 a=2 c os 2 a*1 -c os 2 a=2 si n 2 a降幕公式:c os2 a=1(1 4-c os 2 a)si n 2 a=l(l-c os2 a)3、tan 2 a=2 tan；1-t

35、an asi n 2 a 1 -c os 2 a4、tan a=-=-1 +c os 2 a si n 2 a3.2、简单的三角恒等变换1、注意:正切化弦、平方降次.2、辅助角公式（其 中 辅 助 角 P所 在 象 限 由 点（。力）的象限决b定,tan （p=.a第二章：平面向量2.1.1 、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.2.1.2 、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向 量 而的大小，也就是向量方的长度（或称慢）,记作卜B|；长度为零的向量叫做塞包董；长度等于1个单

36、位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 或共线向量.规定:零向量与任意向量平行.2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.2.1、向量加法运算与其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、a +b W a +|/?|.2.2.2、向量减法运算与其几何意义1、与】长度相等方向相反的向量叫做川的相反向量.2、三一形减法法则和平行四边形减法法则.2.2.3,向量数乘运算与其几何意义1、规定：实数九与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：痴,它的长度和方向规定如下：a=四。，当儿0时，九。的方向与a的方向相同；当入0时，

37、入Z的方向与Z的方向相反.1.2、平面向量共线定理:向 量。（）与b共线，当-9-/3 4且仅当有唯一一个实数入，使1 =2.3.1 、平面向量基本定理1、平面向量基_本 基理:如 果 是 同 一 平 面 内 的 两2个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量。，有且只有一对实数入，入，使a=A e+A，e .1 2 1 1 2 22.3.2 、平面向量的正交分解与坐标表示1、a-x i +y j-G,y).2.3.3、平面向量的坐标运算1、设a=Q,)方=Q,y),则：1 1 2 2(1)C I+&=G+x,y+y),1 2 1 2(2)a-b =(x x,y-y ),1 2 1 2(3)Xa

38、=Olx,Xy )i i ab x y=x y.1 2 2 i2、设 A(r ,y)B(x,y),则：1 1 2 21、设a=Q,y 亦=1,y),则：1 1 2 2W a-b =x x+y y1 2 1 2(2)Q=J#+y：(3)Q_L5=“5=0OX+y y=01 2 1 2(4)a b o a =o x y-x y=01 2 2 12、设 4(r ,y,y),则：1 1 2 2A B =J Q,-1+(y_ _ y .3、两向量的夹角公式4、点的平移公式平移前的点为？(x,y)(原坐标)，平移后的对应点为 p a ,y)(新 坐 标)，平移向量为P P=(/2,Z),则x-x+hy =

39、y +k.函数V=/(x)的图像按向量a =(h,k)平移后的A8=C-27曰 F2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设 处,yJc&R 则a A B C 的重心坐标为X T3线段A B 中点坐标为2.4.1 、平面向量数量积的物理背景与其含义1、a b=alq c o s 0 .2、。在坂方向上的投影为：a c o s 6 .3、滔=叩4、口 卜 标.f r T5、a A.b a b =0,2.4.2 平面向的铝蹄示、樵 夹角图像的解析式为)一火=/(x-/z).2.5.1 、平面几何中的向量方法2.5.2 、向量在物理中的应用举例知识：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而

40、得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向曷：若 A、B是直线I上的任意两点，则A B为直线/的一个方向向量;与A B平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法向量:若向量 所在直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作，如果n a，那么向量n叫做平面a 的法向量.(3).平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设平面a 的法向量为4 =(x,y,z).设直线/，的方求出平面内两个不共线向量的坐标a =（a ,a ,a）,5=（b ,b ,b ）.1 2 3 1 2 3rn-a =O根据法向量定义建立方程组

41、 一 一 .nb=0解方程组,取其中一组解，即得平面a 的法向量.（如图）2、用向量方法判定空间隼向平行关系线线平行嬴 福 夕峻证明只需证明Z 瓦即。=幼（左/?）.即：两直线平行或重合Q两直线的方向向量共线.（2）线面平行（法一）设直线/的方向向量是平面a的法向量是“，则要证明/a ,只需证明a J _，即d =0.即：直线与平面平行=肖线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 法二）要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面a的法向量为，平面B的法向量为要证a B,只需证/v,即证=大丫.即：两平面平行或重合O 两平面的法

42、向量共线3、用向方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线/,的方向向量分别是入则要证明/1/,只需证明_L瓦即“4 =0.I 2即：两直线垂直=两直线的方向向量垂直.线面垂直（法一）设直线/的方向向量是平面a的法向量是“，则要证明/J L a，只需证明a ，即=九晨 法二）设直线/的方向向量是Z,平面a 内的两一 一 。机=0个相交向量分别为加、，若_ ，则/_ La.a-n=0即：直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直.面面垂直若平面a的法向量为“，平面B的法向量为3,要证a _ L 0 ,只 需 证 i,即证必不=0.即：两平面垂

43、宜=一两平面的法向量怵直.4、利用向求空间角（1）求异面直线所成的角已 知 为 两 异 面 直 线,A,C 与 B.D 分 别 是 上 的任意两点力所成的角为。，则A C B Dcos G =求直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的治求法：设直线/的方向向量为平面a的法向量为，直线与平面所成的角为。与的夹角为中,则。为 P 的余角或中的补角的余角质有：U求二面角 v。定义：平 面 内 的 一 条 直 线 面/磁 节 部 现 其中的每一部分叫做半平面；心 条 叠线 出 魂 两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面

44、叫做二面角的面.二面角的平面角是指在二面角-/-P的棱上任 取 一 点 0,分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线A0 _U,80 _U,则 NAOB 为二面角 a-/B 的平-11-/34a-/-P的平面角为0,则二面角0 为 加、的夹角 p 或其补角兀-g根据具体图形确定o是锐角或是钝角二h-MP即H异面直线间的距离m n设向量与两异面直线出。都垂直，加。,仇 如果G是锐角,则cos。=|cos(p|inn则两异面直线。泊间的距离就是初户在向量方向m-n上投影的绝对值.即。=a r ccos碉 in-n如果。是钝角，则C O S。=一|cos p|=一叫M 即 0=arccos5、

45、利用法向求空间距澳点 Q 到直线/距离若 Q 为直线7 外的一点，p在直线/上，1 为直线/的方向向量，3=PQ,则点Q 到直线/距离为h=l_ y l(db)2-(a-b)2(2)点 A到平面巴的距离若点P为平面a外一点，点M为平面a 内任一点，平面a 的法向量为，则 p 到平面a 的距离就等于6、三垂线定理与其逆定理(1)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.推理模式：影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.PO L a,0 ECI.推理模式：P4 n a=A

46、)=a，A。a u a,a APM P在法向量3 方向上的投影的绝对值.即d=4 卜 os 1 旃）概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦宗理设 A C 是平面a 内的任一条直线,A D 是a的一条斜线A B 在a 内的射影，且 B D _ LA D,垂足为D.设A B 与a直线上与平面上之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等.由此可知.百线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即1=两平行平面a,p之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等.可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.所 成 的 角 为 A D 与 A C 所成的角为力，

47、A B 与 A C所成的角为。.则C O S =C O S 0 C O S 08、直定理一IB2积 射 影n-MPIT知的c它在平面a 内的射影图形的面积为S(S J知 T已面 B 内多 边 形积?,平面a与平面P所成的二面角的大小为锐二面角0，则9、一个结论长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射-12-/34影长分别为/、/、，夹角分别为、。、，则有1 2 3 I 2 3/2=/2+拉+/2 O C O&。+C O S 0 +C O S 0 =112 3 1 2 3o s i m。+s in 2 0 4-s in 2 0 =2.1 2 3（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.必修

48、5数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：s in A s in B s in C（其中R为A4 BC外接圆的半径）用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素；已知三角形两边和其中一边的对角,求其它元素.2、余弦定理：用途：已知三角形两边与其夹角,求其它元素；已知三角形三边,求其它元素.做题中两个定理经常结合使用.3、一:角形面积公式：4、三 角 形 内 角 和 画：在a A B C 中，有 A +8 +C =OC=T I-（A+8），士 =2 C=2兀-2（A +B）.2 2 25、一个常用结论：在 A A 5 C 中，a b o s in A s in 8 o A 8;若 s in 2 A=

49、s in 28,则A =3 或A +5 =-.特别注意，在三角函数中，s in As in 8 o A 8不成立.第二章：数列1、数列中a 与S 之间的关系：=4=4=a ,5=1)S S,(2 2).n T注意通项能否合并.前“项和公式：常用性质：若加+=p +q（m,n,p,q e N）,则a +a a +a；i n n p q下标为等差数列的项Q,a ,a，），仍组成k k+m k+2m等差数列；数列A a +h（九 力为常数）仍为等差数列；n若。、g 是等差数列，则伙&、履+P b n n n n n、a （p,q w N*）、，也成p 五 q等差数列.单调性：的公差为d,则：ni ）

50、，/0 =为递增数列；ni i ）d 0 0 为递减数列；niii）d =0=为常数列；n数列 0 为 等 差 数 列=p n +q（p,q 是常数）n n若等差数列1 的前项和s，则s、s -s、n n k 2 k k是 彝 数 现3、等比数列定义;如 果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.笠比史项J 若三数。、G、6成等比数列=G?=,（u b同号）.反之不一定成立.2、等差数列：定义鼠,.如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即。一 a,=d,（n 2,nn TG N +),那么这个数列就叫做等差数列.等差中项