2021-2022学年吉林省白城市洮南市高二年级上册学期第一次月考数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学 年 吉 林 省 白 城 市 济 南 市 第 一 中 学 高 二 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 试 题 一、单 选 题 1.若 平 面 a,4 的 法 向 量 分 别 为 a=（1,2,4）,b（x,1,2）,且 则 x 的 值 为（）A.10 B.-1 0C.；D.一；2 2【答 案】B【分 析】由 a,夕，可 得 它 们 的 法 向 量 也 互 相 垂 直，从 而 可 求 出 x 的 值【详 解】解：因 为 a,夕，所 以 它 们 的 法 向 量 也 互 相 垂 直，所 以/?=（一 1,2,4）-（x,1,2）=0,解 得 x=-1 0.故 选：B2.直 线

2、/经 过 直 线 x-2），+4=0和 直 线 x+y-2=0 的 交 点，且 与 直 线 x+3y+5=0垂 直，则 直 线/的 方 程 为（）A.3 x-y+2=0 B.3x+y+2=OC.x-3 y+2=O D.x+3y+2=0【答 案】A【分 析】联 立 直 线 x-2），+4=0和 直 线 x+y-2=0,求 出 交 点 P,根 据 直 线 垂 直 求 出 直 线/的 斜 率，利 用 点 斜 式 即 可 求 解.x-2 y+4=0【详 解】联 立，八，解 得 尸（0，2）,x+y-2=0直 线/与 直 线 x+3y+5=0垂 直，则 直 线 直 线/的 斜 率 为&=3,所 以 直

3、线/的 方 程 为 y-2=3（x-0）,整 理 可 得 3 x-y+2=0.故 选：A.3.己 知 点 A（l,2,-1）,点 C与 点 A 关 于 平 面 x0 y对 称，点 5 与 点 A 关 于 x轴 对 称，则 忸。=A.2币 B.26 C.272 D.4【答 案】D【详 解】由 题 意 点 4 1 2-1）,点 C 与 点 A 关 于 平 面 xQy对 称，则 点 C（l,2,l）,点 8 与 点 A 关 于 x 轴 对 称，则 点 B（1,-2,1）,BC=7（1-1）2+（2+2）2+（1-1）2=4故 选：D4.如 图，在 空 间 直 角 坐 标 系 Dxyz中，四 棱 柱

4、ABC。-4 8 c A 为 长 方 体，明=A8=2A。，点 E 为 G R 的 中 点，则 二 面 角 A-A B-E 的 余 弦 值 为（）【答 案】Cc-TD.B2【分 析】根 据 法 向 量 的 求 法，求 得 平 面 A 8 E 和 平 面 A S B 的 一 个 法 向 量 为 m,D A,结 合 向 量 的 夹 角 公 式，即 可 求 解.【详 解】设 4)=1,则 A(1,0,2),8(1,2,0),因 为 E 为 G R 的 中 点，所 以(0,1,2),所 以 4=(1,1,0),43=(0,2,2),设?=（x,y,z）是 平 面 A B E 的 一 个 法 向 量,A

5、 E-777=0则 型 用=0-x+y=2y 2z=0取 x=1,则 y=z=1,所 以 平 面 A/E 的 一 个 法 向 量 为 m=（1/）,又 因 为 D4_L平 面 4 片 5,所 以 D4=（1,0,0）是 平 面 A q B 的 一 个 法 向 量,所 以 cos m,DA)=m-DA 1 _/3|?|D4|一 耳 一 可又 因 为 二 面 角 片-A B-E 为 锐 二 面 角,所 以 二 面 角 4-A B-E 的 余 弦 值 为 4.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 空 间 向 量 求 解 二 面 角 的 大 小，其 中 解 答 中 正 确 求 解 相 应 平

6、面 的 法 向 量,结 合 向 量 的 夹 角 公 式 求 解 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 推 理 与 运 算 能 力.5.以 下 命 题 中，不 正 确 的 个 数 为（）“lal-WRa+bl”是“。，方 共 线”的 充 要 条 件;若 a 11b，则 存 在 唯 一 的 实 数 2，使 得 2=肪;若 力=0，b-c=Q 则.=c|=|aHbHc|.A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】C【分 析】利 用 不 等 式 国+土 等 号 成 立 的 条 件 判 断 即 可;利 用。与 任 意 向 量 共 线，来 判 断 是 否 正 确；利 用 共 面 向 量 定 理 判 断 是

7、 否 正 确；根 据 不 共 面 的 三 个 向 量 可 构 成 空 间 一 个 基 底，结 合 共 面 向 量 定 理，用 反 证 法 证 明 即 可；代 入 向 量 数 量 积 公 式 验 证 即 可.【详 解】解：对，向 量 a、h 同 向 时，罔。+们，二 只 满 足 充 分 性，不 满 足 必 要 性，错 误；对，当 a 为 零 向 量，8 为 零 向 量 时，4 不 唯 一，当 人 为 零 向 量，a 不 为 零 向 量 时，入 不 存 在；，错 误；对，a b=0 6=0 则 却 阵=0,|c|-|ft|cos=0,不 能 得 到“=。，故 错 误；对，用 反 证 法，若 a+b

8、,6+c,c+?不 构 成 空 间 的 一 个 基 底;设 a+b=x(A+c)+(l-x)(c+a)n x a=(x-l)6+c=c=xa+(1-x)6,即 a,b,c 共 面，a,b,c 为 空 间 的 一 个 基 底，正 确；对，|(aW c|=|a|c|,|c o s a,历|,.,.错 误.故 选：C.【点 睛】本 题 借 助 考 查 命 题 的 真 假 判 断，考 查 空 间 向 量 的 共 线 向 量 定 理、共 面 向 量 定 理 及 向 量 的 数 量 积 公 式，属 于 中 档 题.6.二 面 角 的 棱 上 有 A、B两 点，直 线 AC、B。分 别 在 这 个 二 面

9、角 的 两 个 半 平 面 内，且 都 垂 直 于 A B已 知 AB=4,AC=6,BD=8,C。=2/万，则 该 二 面 角 的 大 小 为()A.15()B.45 C.60 D.120【答 案】C【分 析】将 向 量 C。转 化 成 C=CA+A8+B O,然 后 等 式 两 边 同 时 平 方 表 示 出 向 量 C O的 模，再 根 据 向 量 的 数 量 积 求 出 向 量 C 4与 8。的 夹 角，而 向 量 C 4与 B O的 夹 角 就 是 二 面 角 的 补 角.【详 解】由 条 件，11CA-AB=0,AB BD=0,CD=CA+AB+BD.A|CD|2=|C 412+1

10、 AB|2+|BD|2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD=62+42+82+2X6X8COS=(2后,.,.co s(C A B O=-,B P(C A B=120,所 以 二 面 角 的 大 小 为 60。，故 选 C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 平 面 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系，考 查 空 间 想 象 能 力、运 算 能 力 和 推 理 论 证 能 力，属 于 基 础 题.7.已 知 定 点 A(0,0)3 0,0),若 直 线 y=上 总 存 在 点 P,满 足 条 件=则 实 数 上 的 取 值 范 围 为()A.(1,3)B.(f l)C.(-1,1)

11、D.-1,1【答 案】D【分 析】设 P(x,爪)，由 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得 x 的 一 元 二 次 方 程，由 A 2 0解 女 的 不 等 式 即 可.【详 解】：点 P 在 直 线 y=船 上，可 设 P(x，g,由 PA=&P B，得 抬 2=2依 2,由 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得：J C2+k2x2=2(x-1)2+2k2x2,整 理 可 得(R+1)X2-4 X+2=0,由 A=168(公+1/0,解 得-I V E,故 选：D.3 1 28.如 图，ABC。一 E F G H 是 棱 长 为 1 的 正 方 体，若 尸 在 正 方 体 内 部 且

12、满 足 4P=aA8+5A/)+A,则 P 到 A B 的 距 离 为()【答 案】C【分 析】以 A 为 坐 标 原 点，AB,AD,A E 所 在 直 线 分 别 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，计 算 出 AB和 A P 的 坐 标，然 后 根 据 向 量 法 求 点 到 直 线 的 距 离 公 式 即 可 求 解.【详 解】如 图，以 A 为 坐 标 原 点，AB,AD,4 E 所 在 直 线 分 别 为 x,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,*7UUU则 A8=(1,0,0),A=(0,1,0),A=(0,0,l),3 i 7 4+4：,所 以”=展 a

13、=AP=4M=MAB=(1,0,0),时 扑 好(l)T=43 xl+21 x02+3 x0=一 43,所 以 点 尸 到 A 8的 距 离 d=故 选：C.9.将 边 长 为 2 的 正 方 形 相。（及 其 内 部）绕。旋 转 一 周 形 成 圆 柱，如 图，ZAOC=120,NA。内=60。，其 中 4 与 C 在 平 面 4A。的 同 侧，则 异 面 直 线 8。与 4 4 所 成 角 的 大 小 是（）A.90 B.60 C.45 D.30【答 案】C【分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 夹 角 公 式 即 可 得 出 异 面 直 线 8 c 与 AA所 成

14、角 的 大 小.【详 解】C%如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系.0（0,0,0）,A（0,2,0）,A（0,2,2）,C（,-l,0）,耳（6,1,2）,A4,=（0,0,2）,CBt=（0,2,2）设 异 面 直 线 B C与 AA所 成 角 为。e 0,90。,.6=45,异 面 直 线 B 与 所 成 角 的 大 小 是 45.故 选：C.10.已 知、F、O分 别 是 正 方 形 ABCD边 B C、A。及 对 角 线 A C的 中 点，将 三 角 形 AC 沿 着 AC进 行 翻 折 构 成 三 棱 锥，则 在 翻 折 过 程 中，直 线 尸 与 平 面 8 0。所

15、 成 角 的 余 弦 值 的 取 值 范 围 为（）【答 案】A【分 析】设 4。=。，0,万)，直 线 所 与 平 面 8 0。所 成 的 角 为 6,0 e(O,1),以。4,。8,。力 为 一 组 基 底，利 用 空 间 向 量 法 求 解.【详 解】如 图 所 示：设 正 方 形 的 边 长 为 2,fi0A=0B=0D=s/2,0 A 0 B,0 A L 0 D,设 N 8Q D=a,a e(O 9),直 线 E F与 平 面 8。所 成 的 角 为。，0 e(O,1),以 Q AQ B.QD 为 一 组 基 底，则 EF=O F-O E=OA+OD)-+。8)=叫 叫。-O B+-

16、O D=.OA2+-OB+-O D-O A OB+OA O D-O B OD=j3-c o s a,2 2 1 V 4 4 2贝!I AC=OC-OA=-2OA,所 以|A q=2|04=2及，所 以“3 篇 春 春 肃 停 4所 以 cos。=J1-s in 2()，),故 选：A二、多 选 题 Q1 1.如 图，A E m ABCD,CFI/AE,AD/BC,ADA.AB,AE=BC=2,AB=AD=l,CF=-,贝 ij()7EB.8F/平 面 ADEc.二 面 角 E-8C-F的 余 弦 值 为:D.直 线 C E 与 平 面 B DE所 成 角 的 正 弦 值 为 京【答 案】BC【

17、分 析】建 立 空 间 直 角 坐 标 系，逐 项 验 证，即 可 求 解.【详 解】以 A 为 原 点，分 别 以 A R A R A E 的 方 向 为 x 轴，y轴，z轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，可 0得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F(1,2,y),BD=(-1,1,0),E C=(1.2,-2),B EC=l#0.则 BD,E C 不 垂 直，则 A 错 误；(1,0,0)是 平 面 A Q E 的 法 向 量，又 BF=(。，2,y),可 得 B尸-48=0，又 因 为 直 线 BFU平 面 A

18、Q E,所 以 BF/平 面 A C E,则 8 正 确；c-a+b=0,设)=(a b,c)为 平 面 8。尸 的 一 个 法 向 量,则，“:即 L 8 八 令 8=1,可 得 加=(1,一 二)，.m B F=0,2b+c=0,4I 7依 题 意，BD=-(/，1，0),B E-(-1，0,2),CE-1.-1.-2.2).设=(x,y,z)为 平 面 B D E 的 法 x+y=0,1/I m-n 1c c 令 2=1,可 得”=(2,2,1).所 以 的 肌 力=“|=,.则 C 正 确:-x+2z=0,I fnn 3 如。n B E=U,向 量，则 cos(C,/?)CE n _

19、4CEn9则。错 误.故 选 BC.A.过 点 4 L 3),8(-3,1)的 直 线 的 倾 斜 角 为 303B.若 直 线 2 x-3 y+6=0 与 直 线 ax+y+2=0垂 直，则 C.直 线 x+2 y-4=0与 直 线 2x+4y+l=0 之 间 的 星 巨 离 是 正 2D.已 知 A(2,3),D T D,点 P 在 X轴 上,贝”户 爪+|尸 8|的 最 小 值 是 5【答 案】ABC【分 析】运 用 解 析 几 何 的 基 础 知 识，分 析 每 个 选 项 的 几 何 意 义，逐 项 计 算 即 可.【详 解】对 于 A,A,B两 点 所 在 直 线 的 斜 率 为

20、上 百=5,设 倾 斜 角 为 a,则 tan a=g,a*3 0,A 错 误；2对 于 B,直 线 2 x-3 y+6=0 的 斜 率 4,直 线 ox+y+2=0 的 斜 率 履=-“，由 于 两 直 线 垂 直，.乂 他=一 1,一 32。=1,a=3,错 误；对 于 C,选 取 直 线 x+2 y-4=0 上 一 点(0,2),则 点(0,2)到 直 线 2x+4y+l=0 的 距 离 就 是 两 直 线 的 距 离,对 于 D,如 图:作 点 A关 于 x 轴 对 称 点 A.（2,-3）,连 接 BA,与 x 轴 的 交 点 为 P,则 P 就 是 使 得|P 4|+|P 3|最

21、小 的 点，PA+PB 的 最 小 值 为|网=4 2+1）2+（一 3一 1）2=5,正 确；故 选：ABC.三、填 空 题 1 3.直 线/过 点 P（-2,3）且 与 x 轴、y 轴 分 别 交 于 A,B两 点，若 P恰 为 线 段 A 8的 中 点，则 直 线/的 方 程 为.【答 案】3 x-2 y+12=0【分 析】根 据 题 意 设 出 点 A,8 的 坐 标，利 用 中 点 坐 标 公 式 求 出 A,B,再 写 出 直 线/的 方 程 即 可.【详 解】设 点 A（x,0）、8（0,y）,x+0.-=-27由 中 点 坐 标 公 式 得：,3=32解 得：x=-4,y=6,

22、由 直 线/过 点 A（T 0）、（0,6）,二 直 线/的 方 程 为:吟+5=1,-4 6g|J 3 x-2 y+12=0.故 答 案 为：3 x-2 y+12=0.1 4.已 知 长 方 体 A B C O-4 4 C Q 中，Afi=4,=2,AD=,E 为 C O的 中 点，则 点 打 到 平 面 A RE的 距 离 为.【答 案】76【分 析】利 用 空 间 向 量 的 知 识，点 到 平 面 的 距 离 可 用 公 式 公 曙 来 求，其 中 为 平 面 的 法 向 量,D、B、为 平 面 上 任 意 一 点 到 B 为 终 点 的 向 量.【详 解】解：以。为 坐 标 原 点，

23、射 线 Z M、D C,依 次 为 X、y、z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则 点 成 0,2,0),。(0,0,2),A(l,o,0),B,(l,4,2),从 而 R A=(1,0,-2),AE=(-1,2,0),=(1,4,0),一 n-D,A=0,(x2z=0设 平 面 A A E 的 法 向 量 为=(x,z),由 1八 可 得。八，l/?AE=0-x+2y=0令=（2,1,1）,所 以 点 耳 到 平 面 A*的 距 离 为：胃 喉=【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 向 量 法 求 直 线 与 平 面 所 成 角，以 及 点 到 平 面 的 距 离.属 于 立 体 几

24、何 的 常 规 题，属 于 中 档 题.15.有 一 光 线 从 点 A（-3,5）射 到 直 线/：3x-4.y+4=0以 后，再 反 射 到 点 8（2,15）,则 这 条 光 线 的 反 射 线 所 在 直 线 的 方 程 为.【答 案】18x+y-51=0【分 析】设 点 A 关 于 直 线 的 对 称 点 为 C（?，）,结 合 AC_U,A C 的 中 点 在 直 线/上，可 列 得 关 于 皿 和 的 方 程 组，求 出 点 C 的 坐 标 后，再 由 点 斜 式 写 出 直 线 B C 的 方 程 即 可.【详 解】设 点 A（-3,5）关 于 直 线/：3-4）讣 4=0 的

25、 对 称 点 为（7（5）,2n-5 3+4=0，解 得 m=3,n=-3,C（3,-3）,7+3 4.8(2,15),直 线 BC 的 方 程 为 3=(-3),2-3即 18x+y-51=0.故 答 案 为：18x+y-51=0.16.已 知 三 棱 柱 ABC-A/8/G的 侧 棱 与 底 面 边 长 都 相 等，A/在 底 面 A 8 C 内 的 射 影 为 A A B C 的 中 心,则 AB,与 底 面 A B C 所 成 角 的 正 弦 值 等 于.【答 案】包 3【解 析】过 氏 作 平 面 A 8 C,则/B/4E为 A8/与 底 面 A 8 C 所 成 角，利 用 三 棱

26、柱 和 等 边 三 角 形 的 性 质 求 出 B/E和 AB/,则 可 求 得 NB/AE的 正 弦 值.【详 解】解：由 题 意 不 妨 令 棱 长 为 2,如 图，4 在 底 面 A 8 C 内 的 射 影 为 A A B C 的 中 心，由 A B C 为 等 边 三 角 形 可 得 D A=巫,3由 勾 股 定 理 得 A/D=当,过 功 作 B/E_L平 面 A B C,则/8/AE为 48/与 底 面 A B C 所 成 角，且 四，3如 图 作 A/SJ_48交 A 8 于 S,连 接 A/B,AD,BD,明 显 AD4,=,则 4 4 1=A B,即 a A A B 为 等

27、边 三 角 形，则 S 为 A 8 中 点，；.A/S=五 一 1=百，ABI=2 上,2x/6.AB,与 底 面 A B C 所 成 角 的 正 弦 值 sinZBME=8卢 _ 丁 故 答 案 为：立 3GA【点 睛】本 题 考 查 线 面 角 的 计 算，关 键 是 要 做 出 线 面 角 的 平 面 角，考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 空 间 想 象 能 力，是 一 道 中 档 题.四、解 答 题 17.在.ABC中，已 知 在 1,1)灰(3,-2)(1)若 直 线/过 点 M(2,0),且 点 A B 至 IJ/的 距 离 相 等，求 直 线/的 方 程；(2)若 直 线

28、加：2、-、-6=0为/。的 平 分 线，求 直 线 B C 的 方 程.答 案 x=2或 3x+2y-6=0；(2)x-2y-7=0.【解 析】(1)转 化 条 件 为 直 线/过 线 段 A 8 的 中 点 或/M B,结 合 直 线 方 程 的 知 识 即 可 得 解;(2)转 化 条 件 为 点 A 关 于 直 线 团 的 对 称 点 A(a,6)在 直 线 3 c 上，由 轴 对 称 的 性 质 可 得 4(5,-1),再 由 直 线 方 程 的 知 识 即 可 得 解.【详 解】(1)点 A B 到/的 距 离 相 等，.直 线/过 线 段 A 3 的 中 点 或/A3,当 直 线

29、/过 线 段 的 中 点 N(2,-|时，直 线/斜 率 不 存 在，则/的 方 程 为 x=2；_2 _ 1 劣 当/A8时，则 斜 率&=砥 8=工=-彳，3 1 23则/的 方 程 为 y-0=(x-2),即 3x+2y-6=0；综 上，/的 方 程 为 x=2或 3x+2y-6=0；(2)直 线 成 为 N C 的 平 分 线，所 以 点 A 关 于 直 线 机 的 对 称 点 A(a,6)在 直 线 B C 上,则 有。=5,解 得/,二”即 4(5,7),直 线 B C 的 斜 率 kBC=1(2)=(,，直 线 B C 的 方 程 为 y+l=g(x-5),即 x-2y7=0.【

30、点 睛】关 键 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 转 化 题 目 条 件，再 结 合 直 线 的 位 置 关 系、直 线 方 程 即 可 得 1 8.己 知 光 线 通 过 点 A(2,3),经 直 线/：x+y+l=O反 射，其 反 射 光 线 通 过 点 3(1,1),(1)求 反 射 光 线 所 在 的 方 程；(2)在 直 线/上 求 一 点 尸，使 丛=心；(3)若 点 Q在 直 线/上 运 动，求。个+。加 的 最 小 值.【答 案】(1)4 x-5 y+l=0；(2)l-y.y j；(3)【分 析】(1)根 据 题 意，求 出 点 A关 于 直 线/的 对 称 点 C

31、的 坐 标，反 射 光 线 为 直 线 C B,两 点 式 写 出 方 程，化 简 整 理 成 一 般 式 方 程；(2)尸 点 是 线 段 AB的 垂 直 平 分 线 与/的 交 点，求 出 线 段 A B的 垂 直 平 分 线，解 方 程 组 求 交 点 坐 标 即 可；(3)设 Q x,y),Q l+QB?整 理 之 后 为 2 卜-|)+(y-2)2+|,转 化 为 求 卜 一 j+(k 的 最 小 值，进 而 转 化 为 A 8的 中 点。到 直 线/的 距 离 的 平 方 求 解.【详 解】(1)设 线 段 A B 中 点 D,点 A关 于 直 线/的 对 称 点 C(x,y),直

32、 线 A C与 直 线/交 于(%,%),因 为 直 线 A C与 直 线/垂 直，并 且 过 点 A,所 以 其 方 程 为 y-3=x-2,即 x-y+l=O,由 x+y+l=O,x-y+l=O,解 得 x=l,y=0,即 M 坐 标 为(-1,0).因 为 4、C两 点 关 于 直 线/对 称，所 以 关 于 点 M 对 称，所 以 x=2x0 2=2 x(1)2=-4,y=2y0 3=2 x 0-3=-3,所 以 C(T,-3)根 据 光 线 反 射 定 律，反 射 光 线 经 过 B、C两 点，由 直 线 的 两 点 式 方 程 得：直 线 BC方 程 为 名 二=-二，即 反 射

33、光 线 所 在 直 线 的 方 程 为-5y+1=0(2)设 线 段 AB的 垂 直 平 分 线 为 叩 因 为=所 以 点 P 在 直 线 机 上，又 因 为 点 P 在 直 线/上，所 以 点 尸 为 直 线/与?交 点，由 42,3）的 坐 标 可 知，线 段 相 中 点。2），直 线 A B 斜 率 为&=言=2,所 以 其 垂 直 平 分 线，斜 率 火=-g,因 其 经 过 点 D,由 直 线 的 点 斜 式 方 程 得 直 线 m 的 方 程 为=,g|J 2x+4y-l 1=0.与 直 线/的 方 程 联 立 x+y+=02x+4y-ll=0，解 方 程 组 得 P 点 坐 标

34、 为 葭;（3）设 点 Q 坐 标 为（x,y）,U=QA2+QB2,则“=-2）2+（2+（1）2+（尸 1）2=2（x2-3 x+/-4 y）+15=2（x-|）+（一+|,当 且 仅 当（x-!j+（y-2）2最 小 时，“取 得 最 小 值.即 点 Q 到 线 段 A B 中 点。距 离 最 小，因 为 点 Q 在 直 线/上，所 以 点。是 点 O 在 直 线/上 的 射 影,此 时。是 点。到 直 线/的 距 离，由 点 到 直 线 距 离 公 式 得 1；+2+”95 手 丁 南.所 以.=2（泰）+g 号.19.如 图，在 四 棱 锥 5-ACZJE中，平 面 A 8 C 1

35、平 面 ACDE,4 3 C 是 等 边 三 角 形，在 直 角 梯 形 ACZJE中，AE/CD,AE AC,A=l,AC=C D=2,尸 是 棱 的 中 点.D（1）求 证：E P J,平 面 BCC；（2）设 点 M 在 线 段 AC上，若 平 面 PEM与 平 面 E 4 8所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 巫，求 的 长.5【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）MP3.【分 析】（1）取 BC的 中 点 Q,连 接 P。、A Q,由 线 面 垂 直 判 定 定 理 可 证 A。，面 B C O,即 可 得 证;（2）以 Q 为 原 点 建 立 坐 标 系，利 用 向

36、 量 法 建 立 关 系 可 求 出.【详 解】（1）证 明：如 图，取 B C的 中 点 Q,连 接 PQ、A Q,因 为 ABC是 等 边 三 角 形，所 以 AQ_L8C,又 平 面 A 3C 2 平 面 ACOE,AE L A C,平 面 A B C c平 面 ACZ）E=A C,所 以 AEJ_面 A 8 C,又 A Q u面 A B C,所 以 A E L A Q,又 A E H C D,所 以 C D J_4。，又 C D c B C=C,所 以 A Q，面 BCD,因 为 破=2 P,又 P 是 棱 8。的 中 点，所 以 PQ=：OC=1,PQ/DC,又 AEHCD,AE=,

37、所 以 AE/PQ,AE=P Q,即 四 边 形 AEPQ是 一 个 平 行 四 边 形，所 以 EP/AQ,所 以 平 面 BCD；（2）由（1）得 产。工 平 面 A 5 C,所 以 以 点。为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,D则 Q(0,0,0),A(e,O,O),3(0,IQ),E(6 0,1),P(0,0,I),设 平 面 EAB的 法 向 量 为 根=(内,y,z j,由 K-岛+%=0=加=,0),tn-AE=4=0)因 为 点 M 在 线 段 A C上，设 其 坐 标 为 M(K-A/5/,T,0),其 中 0 4 f 4 1,所 以

38、而=卜,/,1),EP=(-G,0,0)设 平 面 P E M的 法 向 量 为=（*2，%*2）n-EM=-J3tx2-ry,-z,=0由 I=n-EP=-J3X2=0=(O,l,T),由 题 意，设 平 面 与 平 面 EAB所 成 的 锐 二 面 角 为 6,_则.c 八 丽 m n 茄 a7 7=三 V15=一 21 或 七 1,因 _为 金 所 以 M 曰；，O）,所 以 应.【点 睛】方 法 点 睛：向 量 法 求 二 面 角 的 步 骤：建、设、求、算、取.1、建：建 立 空 间 直 角 坐 标 系.以 三 条 互 相 垂 直 的 垂 线 的 交 点 为 原 点，没 有 三 垂

39、线 时 需 做 辅 助 线;建 立 右 手 直 角 坐 标 系，让 尽 量 多 的 点 落 在 坐 标 轴 上。2、设：设 所 需 点 的 坐 标，并 得 出 所 需 向 量 的 坐 标.3、求：求 出 两 个 面 的 法 向 量.4、算：运 用 向 量 的 数 量 积 运 算，求 两 个 法 向 量 的 夹 角 的 余 弦 值；5、取：根 据 二 面 角 的 范 围（0,万）和 图 示 得 出 的 二 面 角 是 锐 角 还 是 钝 角，再 取 值.20.在 正 四 棱 柱 A B C O-A B C Q 中，AB=2BBt=2,尸 为 B g 的 中 点.(1)求 直 线 A C 与 平

40、面 ABP所 成 的 角；(2)求 异 面 直 线 A C 与 3 P 所 成 的 角；(3)求 点 8 到 平 面 A P C 的 距 离.【答 案】(1)30；(2)60；(3)空.3【分 析】建 系 设 点，利 用 空 间 直 角 坐 标，结 合 求 空 间 角 和 距 离 公 式 求 解.(1)平 面 的 法 向 量?，则 A C 与 平 面 所 成 的 角 为，由 公 式 sin，=|cos|求 得。;(2)异 面 直 线 A C 与 B P 所 成 的 角 氏 利 用 公 式 cosd=|cos|求 得。；(3)平 面 A P C 的 法 向 量，则 B 到 平 面 A P C 的

41、 距 离 d 1”,A 3 1求 得 1 1【详 解】(1)建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.A(2,0,0),C(0,2,0),8(2 2 0),P(l,2,l).AC=(-2,2,0),A B=(0,2,0),”=(-1,2,1)设 平 面 A BP的 法 向 量 切=(x,y,z),则 tn AB=0m AP=0 化 为 2y=0-x+2y+z=0令 x=l,解 得)=。，z=l/n=(l,O,l).设 直 线 A C 与 平 面 所 成 的 角 为 仇 则 风.讣 黑 事 熹:4,直 线 与 A C 与 平 面 所 成 的 角 为 30.2(2)BP=(-1,0,

42、1),A cos(AC,BP=A C B P|AC|BP|-2 异 面 直 线 A C 与 3 P 所 成 的 角 为 60。.(3)设 平 面 A P C 的 法 向 量=(占,%,Zo),则 n-AC=Q1-Xo+2%+Zo=O1-2%+2%=0 令%=1,解 得%=1,z(,=1.=(1,1,T).点 B 到 平 面 4 P C 的 距 离 d=回 型=2=2 叵.|n|73 3【点 睛】本 题 考 查 了 利 用 空 间 向 量，解 决 立 体 几 何 中 的 空 间 角 和 距 离 问 题，建 系 设 点，求 出 点 的 坐 标，并 运 用 夹 角 和 距 离 公 式 求 解，还 考

43、 查 了 学 生 的 运 算 能 力.2 1.已 知“A B C 的 两 条 高 所 在 的 直 线 方 程 为 x+y=0,2x-3y+l=0,若 点 4 坐 标 为(1,2)(1)求 垂 心，的 坐 标；(2)若(-3,4)关 于 直 线/:x-y+3=0 的 对 称 点 为 N,求 点 N 到 直 线 8 c 的 距 离.【答 案】(1)(2)犯 叵.1 5 5；13【分 析】(1)根 据 三 角 形 垂 心 的 意 义，结 合 条 件 已 知,M C 的 两 条 高 所 在 直 线 的 方 程 分 别 为 x+y=o,2x-3y+l=0,只 须 求 得 这 两 条 高 线 的 交 点

44、即 可.求 出 例(-3,4)关 于 直 线/：x-y+3=0 的 对 称 点 为 N(l,0),求 出 BC：2x+3y+7=0,根 据 点 到 线 的 距 离 公 式 计 算 即 可.【详 解】设 C D x+y=0,B：2x-3y+l=0,（1）由 题 意,x+y=02 x-3 y+l=0（2）由（1）知：AH32由“三 条 高 线 交 于 一 点”得：A H B C,2/.,又 AC_L8E,可 设 AC:3x+2y+机=0,代 入 A（l,2）,解 得：m=-l,A C:3x+2y 7=0,3 x+2 y-7=0 x+y=0,可 得,即。（7,-7）,x=7y=T2B C:y+7=-

45、（x-7）,整 理 后 得：2x+3y+7=0,设 M（-3,4）的 对 称 点 W伍,%）,则 有 M N _ L/,且 M N的 中 点 母 口，用 心）在/上,7%+3-A t l+3=02 2,整 理 得 xn+yft-1=0 解 得 N（/l,0、）,-N o _ _ UN 到 直 线 B C的 距 离 为 d=+7=IV22+33 132 2.己 知 三 棱 柱 A B C-A B C 中，ZACB=90,AtB A C,AC=AA.=4,BC=1.（1）求 证：平 面 A4CC|J_平 面 ABC；（2）若“AC=60。，在 线 段 A C上 是 否 存 在 一 点 尸，使 二

46、面 角 3-A P-C 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 正？若 4存 在，确 定 点 P 的 位 置；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】（1）证 明 见 解 析；一 3（2）存 在，=理 由 见 解 析.4【分 析】（1）连 接 A C,由 线 面 垂 直 的 判 定 有 平 面 A C 8,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 A G _ L B C,最 后 根 据 线 面 垂 直、面 面 垂 直 的 判 定 证 结 论.（2）构 建 空 间 坐 标 系，假 设 存 在 钎=几 4 7（0 4/1 4 1）使 题 设 条 件 成 立，进 而 求 得 面 区 4.P、面 APC的 法

47、 向 量，根 据 已 知 二 面 角 余 弦 值 及 空 间 向 量 夹 角 的 坐 标 表 示 列 方 程 求 入，即 可 判 断 存 在 性.【详 解】（1）由 AC=A 4知：四 边 形 4 A G C为 菱 形.连 接 A C,则 AC L A G，又 AB AG 且 AC A/=A，A G，平 面 4 C B,B C u 平 面 A C B，W lJA C.lB C；又 ZACB=9 0,即 8 C _ L A C,而 A C c A G=A,B C J,平 面 A|ACC,而 B C u 平 面 ABC,平 面 A A C G，平 面 ABC.（2）以 C为 坐 标 原 点，射 线

48、 C4、CB为 x、y 轴 的 正 向，平 面 A A C Q上 过 C且 垂 直 于 A C的 直 线 为 z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.；AC=4,B C=2,NAAC=60。，/.C（0,0,0）,B（0,2,0）,A（4,0,0）,A（2,0,2月.设 在 线 段 A C上 存 在 一 点 P,满 足 4尸=/1AC（0 4/l4 1）,使 二 面 角 8-A P-C 的 余 弦 值 为 手，则”=（-4 4 0,0）,所 以 8P=B A+=（4,-2,0）+（-4 Z 0,0）=（4-4/l,2,0）,A p=AA+AP=（2-4/l,0,-2&）.设 平 面 B A/的 一 个 法 向 量 为 机=（3,y,z j,m BP=4-4 A）x1-2 y,=0由 rm-P=（2 4A）x,-2yj3z1=0取 X=1,得 机 二 平 面 P C 的 一 个 法 向 量 为 n=（0,1,0）.I/的|由 I|时 同|2 2|3限 一 绮 十 号）二 彳 4 3解 得 4=5 或 3因 为 0 W 4 W 1,则 丸 二:.4故 在 线 段 AC上 存 在 一 点 P,满 足 AP=A C,使 二 面 角 B-A P-C 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 走.4 4