高中数学常用公式及常用结论教案.pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论1 .包含关系A B =A o A B =B o A q B C/jB q g A A 0,3 =。QA B =R2 .集合 q,4，,4 的子集个数共有2个；真子集有2 -1 个；非空子集有2 -1个；非空的真子集有2 -2个.3.充要条件若 p=q,则是0的充分条 件,0是的必要条件p 是 q的充分不必要条件p n q且q书pp 是 q的必要不充分条件p#q 且 q0 Pp 是 q的充要条件p o qp 是 q的既不充分也不必要条件p#q 且 q#p4 .全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x,有p(x

2、)成立汉x)特称命题存在M中的一个xo，使p(xo)成立eM,PUO)p(x)5 .函数的单调性(1)设 X w x2 那么(xl-x2)/(x1)-/(x2)0 =/(%)二)Oo/(x)在句上是增函数；%x2(玉-2)/()-/(%2)0 二 步)0,则/(x)为增函数；如果/(x)0)(1)f(x)=/(X+)，则/(x)的周期 T二 a；(2)/(%)=-/(%+)，/(x +a)=(/(x)*0),/(x+a)=-(/(x)(0),则/(x)的周期 T=2 a；f(x)/(%)(3)/(x)=1-1(/(x)*0),则/(x)的周期 T=3a；f(x+a)1 4 .分数指数累 1(1

3、)an-i(a b,m,n s N”,Nd-丝 1且 1).(2)。=N ,且力 1).fl-1 5 .根式的性质(1)(Y Z)=a.(2)当为奇数时，后 二 a；当为偶数时，=a =a，a 0 .-a,a 0,l,N 0)1 7 .对数的换底公式lo g N o a N =-(a 。，且 a w l,根 0,且加 wl,N 4).lo g,a推论 lo g b -lo g“b (a 0,且 al,且 z no l,N 0).m1 8 .对数的四则运算法则若 a 0,a/l,M 0,N 0,则M(1)lo g”(MN)=lo g“M+lo g N ;(2)lo ga =lo g“M-lo g

4、.N ;lo g“M =lo g M(e R).1 9 .设函数 f(x)-lo g,(7 x2+b x+c)(a H 0),记 -4 a c.若/(x)的定义域为 R,则a0,且 0,且 2 0.对于a =0的情形,需要单独检验.2 0 .平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x 的总产值)，有 y=(1+.)2 1 .数列的同项公式与前n 项的和的关系5.,n=lan=(数 列 4“的前n 项的和为s“=q+a,+a“).s“_ s,i，N 22 2 .等差数列的通项公式4=%+(一 l)d=如+%-d(G N*)；其前n项和公式为=(4十%)=+妁 二。d,

5、=n2+(a,d)n23.等比数列的通项公式%=aqT=5 p5 eN*)；,q网 T),i#1其前n 项的和公式为s“=J -q 或S“=J 1-q.叫，夕=1 navq=124.常见三角不等式(1)若丁(0,马,则s i n xxta n x.(2)若丁(0,马,则 1 vs i n尤+c o s x友.2 225.同角三角函数的基本关系式s i n2 c o s2 6=1,ta n 8 二辿-c o s。26.正弦、余弦的诱导公式公式一二三四五六角2 E+Q(%Z)n+aa兀-a兀2 a7 112+a正弦s i n a一 s i n a一s i n as i n ac o s ac o

6、s a余弦c o s a一c o s ac o s a一c o s as i n a一s i n a正切ta n ata n a一Ia n a ta n a一一口诀函数名不变，符:号看象限函数名改变，符号看象限27 .和角与差角公式s i n(tz /?)=s i n a c o s p c o s s i n /?;c o s(c i f (3)=c o s a c o s s i n s i n /?;/,0、ta n a ta n ta n(a 仍=-.14 ta n 0)的周期T =；CD7 T .71函数 y=ta n(G%+/),k/c-,k e Z (A,j,c p 为 常 数,

7、且 A WO,3 0)的周期 T =.2c o30.正弦定理s i n A s i n B s i n C31.余弦定理a2=b2+c2-2 b c c osA b2=c2+a2-2 c a c osB;c2=a 2+Z?2-2a b c o s C.32.面积定理(1)S=；6 1瓦=g b%=；c h,：(h。、叫、力,、分别表示 a、b、c 边上的高).(2)S=a b sinC=-b c sinA=c a sinB.2 2 233.三角形内角和定理在A A B C 中，有 A+3+C=TT=C=万一(A+B)=C =Z L-A O2C=2;T 2(A+B).2 2 234.平面向量基本

8、定理如果a、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数3、3,使得a=入 计入2。2.不共线的向量,、6 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.35.a与 b的数量积(或内积)a ,b=|a b|c o s 0.36.a b的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|c o s 0 的乘积.37 .平面向量的坐标运算设 2=(3，|)飞=(，%)，则 a+b=(X +x2,+2).(2)设 a=(X ,x),b=(，必)，则 a-b=(x,-x2,yt-y2).(3)设 A(X 1,y),13(孙 2)，则 A B =O B-

9、O A =(x2-xi,y2-yl).(4)设 a=(x,y),2 e R ,则 X a=(%x,4y).(5)设 a=(否，),b=*2,%)，则 a ,b=0 也+-%)-两向量的夹角公式c o s 0 =/工也+芈(a=(x|,y1),b=(x2,y,).村+货 收+平面两点间的距离公式dA B=AB-4A B-A B=yl(x2-xl)2+(y2-yty(A(X|,%),B(,).向量的平行与垂直设 a=(X 1,yJ,b=(X 2，y2)，且 b H O，则a b b=X a x2yy=0.a _ Lb(a H 0)oa b=0 x,x2+y%=0.38.三角形的重心坐标公式A B

10、C 三个顶点的坐标分别为A(X ,%)、B(x2)y2),C G 3,y),则a A B C 的重心的坐标是C(x,+x2+x3,%+%+%)3 339 .三角形五“心”向量形式的充要条件设。为 A A6 C所在平面上一点，角 ARC所对边长分别为。,仇。，则.2,9 。2(1)。为 A A B C 的外心=O/T=0=。二(2)。为 A4 6 C的重心o0 4 +O 6 +OC=O.(3)0 为M BC的垂心 O A O B =O B O C =O C OA.(4)。为 A4 8 c的内心oa0 A+6 0 B +c 0 C =0.(5)。为4 1 8。的NA的旁心oaQ4 =b O B +

11、c O C.40.基本不等式：(1)a,b e R a2+b2 la b(当且仅当 a=b 时 取“=”号).(2)=巴 也 2 J 茄(当且仅当a=b时 取 =”号).2注：已 知 都 是 正 数，则有(1)若积移是定值p,则当x =y 时和x+y 有最小值2 1 万；1 ,(2)若和x+y 是定值s,则当x=y 时 积 孙 有 最 大 值.4 1 .含有绝对值的不等式当 a 0 时，有|x|x2 a o a x 。或 xv a .4 2 .指数不等式与对数不等式(1)当 a 1 时：af M ag M o /(x)g(x)；f(x)01 o g f(x)l o gu g(x)0.f(x)g

12、(x)(2)当 0 a ag(x)o f(x)g(x)；0b g“/(x)l o ga g(x)=0/(x)+G=0,4 ：A 2 x+82 y+。2 =0,且 A i、A?、B i、B?都不为零,/J|/2OA=WG；4 _L，2 O+=0；2 B C4 6 .常用直线系方程(1)平行直线系方程：直线了=+人 中 当 斜 率 k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线A r+8)，+C =0 平行的直线系方程是A r+8 y+/l =0(%。0),人是参变量.(2)垂直直线系方程：与直线A x+B y +C =0(A W O,B W 0)垂直的直线系方程是&-A y+/1 =0,人是参

13、变量.4 7 .点到直线的距离d=坐+为。+0(点 P(x0,%),直线/：A x+8)，+C =0).VA2+B24 8 .圆的方程(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程 x2+y2+D x+E y+F =0 (D2+E2-4 F 0).x-a+r c o s 0 .(3)圆的参数方程1 .即三角换元y=b +rsinff4 9 点与圆的位置关系点 尸(不，%)与圆(%-。尸+(-W =*的位置关系有三种若 d=-y(a-x0)2+(l-y0)2,则d r o点、P在圆外；4 =r o 点尸在圆上；d r o 相 离=()；d =r o 相 切=()；rt+r

14、2 外 离 4条 公 切 线；d-ry+r2 o外 切o 3条 公 切 线；rx-r d rx+r2。相 交o 2条 公 切 线；d=rx-引 o 内 切o l条 公 切 线；0 c d e，-胃内 含 o 无公切线.52.圆的切线方程（1）已知圆 X?+y2+D x+E y+F =0 .过圆外一点的切线方程可设为y-%=M x-X o）,再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.XX y y斜率为k的切线方程可设为丁=辰+匕，再利用相切条件求b,必有两条切线.方+哀=1（2）已知圆/+;/=产.过圆上的兄（X。,打）点的切线方程为x0 x+y0 y=r2;斜率为左的

15、圆的切线方程为y=丘 A/诟/.53.椭圆的概念平面内与两个定点Q,巳的距离的和等于常数（大于IQBI）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的姬.集合 P=M|MFil+|M&l=2a,F iF=2 c 0,c 0,且 a,c 为常数.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1+1=1(a b 0)W+Q la b(a b 0)y*图形/b8中,AFOJ Z 42 1性质范围a W x W a-b W y W b-b W x W b一 a W yW a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点坐标A 1(a,0),4 2(。,0)B i(0,b)9 B2(0,b)A i(

16、0,4 2(0，a)9(一W),82S Q)轴长轴A A2的长为2；短轴B Bi的长为焦距1尸 画=筵离心率a,b,C的关系椭圆的切线方程2 2（1）椭圆5+与=1 3 匕0）上一点（/，%）处 的 切 线 方 程 是 誓+理=1a-b-a b2 2（2）过椭圆5 +2 =1（。匕 0）外一点P（小,%）所引两条切线的切点弦方程是a b 5 4.双曲线的概念平面内与两个定点Q,B 的距离的差的绝对值等于常数(小于项)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 P=M IIM Fi|-|M BII=2,F F 2 c 2 a,其中 a,c 为常数且 a

17、0,c0.双曲线的标准方程和几何性质标准方程J Ja2 b2X(a0,b0)/一 记=1 a-(。0,0)图形性质范围或m yRxR,或对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点4(4,0),42(,0)Ai(0,-a)9 A2(0,a)渐近线b2-aav=+T r离心率eG(l,+),其中 c=q/+实虚轴线段A/2叫做双曲线的实轴,它的长|AIA2尸%,线 段8山2叫做双曲线的虚轴,它的长|8|&|=%；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=标+(co,cb0)双曲线的方程与渐近线方程的关系2 2 2 2(1)若双曲线方程为三一=1=渐近线方程：二一4 =0。y

18、=-x.a b ar b-a2 2(2)若渐近线方程为旷=20土2=0=双曲线可设为。一2=九.a a b a b2 2 2 2(3)若 双 曲 线 与 二-二=1 有公共渐近线，可 设 为 二 4 =九(入 0,焦点在x 轴上，入 0,焦点在ya b a b轴上).双曲线的切线方程2 2(1)双曲线 一 马=1 5 0 力0)上一点P(%,%)处的切线方程是学浑=1.a a b 2 2(2)过双曲线二-2=1伍0 出0)外一点尸(七,治)所引两条切线的切点弦方程是a b5 5.抛物线的概念平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点尸的距离相笠的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的焦点,直线

19、/叫做抛物线的准线.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y1=2px(P0)y2=-2 p x(P0)W=2py(P0)x2=-2 p y(P0)p的几何意义：焦点F到准线/的距离图形1k11tfrp顶点坐标0(0,0)对称轴X轴y轴焦点坐标卷,0)一 星 )*,2)电,-身离心率e=l准线方程x 2x 2V=2)2y 2范围xO,ySRxWO,yR代0,XSRyWO,xSR开口方向向右向左向上向下焦半径沏+5r o+?-州+?通径长2P抛物线丁=2x的焦半径公式抛物线 y2=2Px(p 0)焦半径CF=XQ+.过 焦 点 弦 长=X+=X+%2+P.2抛物线V =2px上的动点可设为P(T,y

20、。)或。(2产,2。或P(x,y),其 中/=2px.2P56 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _AB=A/(1+*2)(XI+X2)2-4XIX2=J(1+5)心 +刃)24乂)，2(%为直线斜率).57.(1)线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行=线面平行”)/_7l/aaUa=/aIda,性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行=线线平行”)l/a IUB=

21、/baCB=b,(2)面面平行的判定定理和性质定理(3)直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条桓交直线与另一个平面1ax 7口a/H、b/SdCb=PaUabUa 平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行=面面平行”)性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行77a/H 1aOy=a=a/h.尸/J(4)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直/7a,bUa、IlalA-b=/_La性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行azb7aa a,=a/

22、b文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直/,.L以al2性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直/a邛、I EaCfi=al-La=/_LQzu58.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bWO),ab。存在实数A使 a=、b.P、A、8 三点共线o =0 O P =(1-f)QA+fOB.A B C D A B.CO共线且A8、8不共线。AB=rC D 且 AB、8不共线.5 9 .共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的o 存在实数对x,y,使=zr+b y.推论 空间一点P 位于平面M A B内的O 存在有序实数对x

23、,y,使=+,或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使 O P =OM+x VA+y M6.6 0.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使 p=xa+yb+zc.推 论 设 0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数X,y,Z,使O P =x O A +y O B +z O C.6 1 .球的半径是R,则其体积V =2万 R,其表面积s =4 万女.36 2 .球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长

24、，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.63 .柱体、锥体的体积V =s h(5是柱体的底面积、是柱体的高).%体=！5/?(S是锥体的底面积、人是锥体的高)64 ./(x)在/处的导数八%)=l im 包=l im +)一。).65 .函数y =/(x)在点/处的导数的几何意义函数y =/(x)在点/处的导数是曲线y =/(x)在 P(x0,/(x0)处的切线的斜率/(%),相应的切线方程是丁一%=(工-/).66.几种常见函数的导数(1)(7=0(C 为常数).(2)(xw)=nxn n e Q).(3)(sinx)r=c o sx.(4)(c

25、 o sx/=-sinx.(5)(I nx)z=；(l o g 6z/=l o g/.(6)(ex)r=ex;(ax)f=axh a.X X67.导数的运算法则(1)(w v)=u v.(2)(w v)=uv+uv.(3)(-)Vu v-u v /八、68.复数的相等a +b i=c +di o a =c,b =d.(a,b,c,d w R)69 .复数z=a +h i的 模(或绝对值)I z|=|a+bi|二 .70.复数的四则运算法则(1)(a +b i)+(c +di)=(a+c)+(b +d)i;(2)(a+b i)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(a+b i)(c +di)=(a c -b d)+(b e+a d)i;/、/,a c +b d b e-a d 八、(4)(+bz)+(c +力)=-z-+-彳 i(c +di w 0).c +d c +d