第二十四讲随机变量分布列原卷版.pdf

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1、第 二 十 四 讲：随 机 变 量 分 布 列【考 点 梳 理】1.古 典 概 率 列 举 法 列 表 法 画 树 状 图 法 2.条 件 概 率 已 知 A 发 生，在 此 条 件 下 8 发 生，相 当 于 他 发 生，要 求 P(B|A),相 当 于 把 A 看 作 新 的“(AB)基 本 事 件 空 间 计 算 4?发 生 的 概 率，即 P(B|A)=式 黑=上 黑=绊.n(A)n(A)尸(A)加 3.相 互 独 立 事 件 设 A,3 为 两 个 事 件，若 P(AB)=P(A)P(B),则 称 事 件 4 与 事 件 3 相 互 独 立.4.随 机 变 量 分 布 列(1)分 布

2、 列：若 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 不 同 值 为 不，占，匕，匕，X 取 每 一 个 值 x,.(1=1,2,)的 概 率 尸(X=x,)=p，以 表 格 的 形 式 表 示 如 下：我 们 将 上 表 称 为 离 散 型 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 列，简 称 为 X 的 分 布 列.有 时 为 了 简 单 起 见，也 用 等 式 尸(X=x,)=p；,i=l,2,，表 示 X 的 分 布 列.XX2 XiXnP PTP l Pi Pn(2)期 望 或 者 均 值 若 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 Xx x2XiXnpPlP i Pi

3、 Pn称 x)=玉 门+x2 P2+Z P,为 随 机 变 量 X 的 均 值 或 数 学 期 望，它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平.(3)方 差“(X)-石-E(X)P，为 随 机 变 量 X 的 方 差，并 称 其 算 术 平 方 根 向 为 随 机 变 量 X 的 标 准 差.5.两 点 分 布、二 项 分 布、超 几 何 分 布 及 正 态 分 布(1)两 点 分 布 的 均 值 与 方 差：若 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 p 的 两 点 分 布，则 EX)=lx p+O x(l-)=p,D(X)=p(l-p).(2)二 项 分 布 的

4、 期 望、方 差 若 X B(n,p),则 E(X)=p,D(X)=npQ-p).(3)超 几 何 分 布(4)正 态 分 布 正 态 分 布 完 全 由 参 数，。确 定，因 此 正 态 分 布 常 记 作 N(，).如 果 随 机 变 量 X 服 从正 态 分 布，则 记 为 X N（，cr2）.【典 型 题 型 讲 解】考 点 一：古 典 概 率【典 例 例 题】例 1.（2021 广 东 汕 头 高 三 期 末）某 市 场 一 摊 位 的 卖 菜 员 发 现 顾 客 来 此 摊 位 买 菜 后 选 择 只 用 现 金 支 付 的 概 率 为 0.2,选 择 既 用 现 金 支 付 又

5、用 非 现 金 支 付 的 概 率 为 0.1,且 买 菜 后 无 赊 账 行 为，则 选 择 只 用 非 现 金 支 付 的 概 率 为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8例 2.（2022广 东 揭 阳 高 三 期 末）袋 中 有 大 小 和 形 状 都 相 同 的 3 个 白 球 和 2 个 黑 球，现 从 袋 中 不 放 回 地 依 次 抽 取 两 个 球，则 在 第 一 次 取 到 白 球 的 条 件 下，第 二 次 也 取 到 白 球 的 概 率 是（）A.-B.-C.；D.4 5 2 10【方 法 技 巧 与 总 结】（1）分 别 求 出 基 本 事 件 的 个 数

6、 与 所 求 事 件 A 中 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 m;八 4 八 A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 十 山 击 出“砧 皿 说（2）利 用 公 式 一=基 本 事 件 的 总 数 求 出 事 件 A 的 概 率【变 式 训 练】1.（2022广 东 一 模）从 集 合。=1,2,3的 非 空 子 集 中 随 机 选 择 两 个 不 同 的 集 合 4 B,则 A c B=l的 概 率 为（）.4 _ 5 八 1 _ 5A.-B.C.-D.2 1 42 7 562.（2022广 东 汕 头 一 模）有 4 名 大 学 生 志 愿 者 参 加 2022年 北 京 冬 奥

7、 会 志 愿 服 务，冬 奥 会 志 愿 者 指 挥 部 随 机 派 这 4 名 志 愿 者 参 加 冰 壶、短 道 速 滑、花 样 滑 冰 3 个 项 目 比 赛 的 志 愿 服 务，则 每 个 项 目 至 少 安 排 一 名 志 愿 者 进 行 志 愿 服 务 的 概 率（）“9 八 2-4A.B._ C.D.一 16 4 27 93.（2022广 东 广 州 一 模）如 图，在 数 轴 上，一 个 质 点 在 外 力 的 作 用 下，从 原 点 O 出 发，每 次 等 可 能 地 向 左 或 向 右 移 动 一 个 单 位，共 移 动 6 次，则 事 件“质 点 位 于-2 的 位 置”

8、的 概 率 为.-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 x4.（2022广 东 铁 一 中 学 高 三 期 末）马 林 梅 森（MarinMersenne,1588-1648）是 17世 纪 法 国 著 名 的 数 学 家 和 修 道 士，也 是 当 时 欧 洲 科 学 界 一 位 独 特 的 中 心 人 物.梅 森 在 欧 凡 里 得、费 马 等 人 研 究 的 基 础 上 对 2。-1 作 了 大 量 的 计 算、验 证 工 作，人 们 为 纪 念 梅 森 在 数 论 方 面 的 这 一 贡献，将 形 如 2-1（其 中。是 素 数）的 素 数，称 为 梅 森 素 数.在 不

9、 超 过 4 0的 素 数 中，随 机 选 取 两 个 不 同 的 数，至 少 有 一 个 为 梅 森 素 数 的 概 率 是（）“5-1 门 9-1A.B.-C.D.1 1 6 22 225.（2022广 东 东 莞 高 三 期 末）甲 乙 两 人 在 数 独 A P P上 进 行“对 战 赛”，每 局 两 人 同 时 解 一 道 题，先 解 出 题 的 人 赢 得 一 局，假 设 无 平 局，且 每 局 甲 乙 两 人 赢 的 概 率 相 同，先 赢 3 局 者 获 胜，则 甲 获 胜 且 比 赛 恰 进 行 了 4 局 的 概 率 是（）A.B.|C.D,10 8 16 166（2022

10、广 东 汕 头 高 三 期 末）“四 书”是 大 学 中 庸 论 语 孟 子 的 合 称，又 称“四 子 书”，在 世 界 文 化 史、思 想 史 上 地 位 极 高，所 载 内 容 及 哲 学 思 想 至 今 仍 具 有 积 极 意 义 和 参 考 价 值.某 校 计 划 开 展“四 书”经 典 诵 读 比 赛 活 动，某 班 有 4、B 两 位 同 学 参 赛，比 赛 时 每 位 同 学 从 这 4 本 书 中 随 机 抽 取 1 本 选 择 其 中 的 内 容 诵 读，则 八、B 两 位 同 学 抽 到 同 一 本 书 的 概 率 为.7.（2022广 东 珠 海 高 三 期 末）接 种

11、 疫 苗 是 预 防 控 制 新 冠 疫 情 最 有 效 的 方 法.我 国 自 2021年 1月 9 日 起 实 施 全 民 免 费 接 种 新 冠 疫 苗.截 止 到 2021年 5月 底，国 家 已 推 出 了 三 种 新 冠 疫 苗（腺 病 毒 载 体 疫 苗、新 冠 病 毒 灭 活 疫 苗、重 组 新 冠 病 毒 疫 苗）供 接 种 者 选 择，每 位 接 种 者 任 选 其 中 一 种.若 5人 去 接 种 新 冠 疫 苗，恰 有 3人 接 种 同 一 种 疫 苗 的 概 率 为.开 展 的 知 识 竞 赛 活 动 中，共 有 A&C 三 道 题，答 对 A&C 分 别 得 2 分

12、、2 分、4 分，答 错 不 得 4 2 2分.已 知 甲 同 学 答 对 问 题 A&C 的 概 率 分 别 为 1 乙 同 学 答 对 问 题 A&C 的 概 率 均 为-3,甲、乙 两 位 同 学 都 需 回 答 这 三 道 题，且 各 题 回 答 正 确 与 否 相 互 独 立.（1）求 甲 同 学 至 少 有 一 道 题 不 能 答 对 的 概 率；（2）运 用 你 学 过 的 统 计 学 知 识 判 断，谁 的 得 分 能 力 更 强 考 点 二：条 件 概 率【典 例 例 题】例 1.甲、乙 两 人 到 一 商 店 购 买 饮 料，他 们 准 备 分 别 从 加 多 宝、农 夫

13、山 泉、雪 碧 这 3 种 饮 品 中 随 机 选 择 一 种，且 两 人 的 选 择 结 果 互 不 影 响.记 事 件 A=甲 选 择 农 夫 山 泉”，事 件 3=甲 和 乙 选 择 的 饮 品 不 同”，则 P（B|A）=（）【方 法 技 巧 与 总 结】用 定 义 法 求 条 件 概 率”即 0的 步 骤（1）分 析 题 意，弄 清 概 率 模 型；（2）计 算/A）,R A I B）；A）=%A 出）（3）代 入 公 式 求（4）.【变 式 训 练】1.现 有 甲、乙、丙、丁 四 位 同 学 到 夫 子 庙、总 统 府、中 山 陵、南 京 博 物 馆 4 处 景 点 旅 游，每 人

14、 只 去 一 处 景 点，设 事 件 A 为“4 个 人 去 的 景 点 各 不 相 同”，事 件 8 为“只 有 甲 去 了 中 山 陵”，贝 ij P（川 B）=.2.（2022广 东 深 圳 一 模）假 定 生 男 孩 和 生 女 孩 是 等 可 能 的，现 考 虑 有 3 个 小 孩 的 家 庭，随 机 选 择 一 个 家 庭，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.事 件“该 家 庭 3 个 小 孩 中 至 少 有 1 个 女 孩”和 事 件“该 家 庭 3 个 小 孩 中 至 少 有 1 个 男 孩”是 互 斥 事 件 B.事 件“该 家 庭 3 个 孩 子 都 是 男 孩”和

15、事 件“该 家 庭 3 个 孩 子 都 是 女 孩”是 对 立 事 件 C.该 家 庭 3 个 小 孩 中 只 有 1 个 男 孩 的 概 率 为:O、4D.当 已 知 该 家 庭 3 个 小 孩 中 有 男 孩 的 条 件 下，3 个 小 孩 中 至 少 有 2 个 男 孩 的 概 率 为 了 3.端 午 节 这 天 人 们 会 悬 菖 蒲、吃 粽 子、赛 龙 舟、喝 雄 黄 酒.现 有 9 个 粽 子，其 中 2 个 为 蜜 枣 馅，3 个 为 腊 肉 馅，4 个 为 豆 沙 馅，小 明 随 机 取 两 个，设 事 件 A 为“取 到 的 两 个 为 同 一 种 馅”，事 件 B 为“取

16、到 的 两 个 均 为 豆 沙 馅”，则 P（8|A）=（）4.2022年 3 月，全 国 大 部 分 省 份 出 现 了 新 冠 疫 情，对 于 出 现 确 诊 病 例 的 社 区，受 到 了 全 社 会 的 关 注.为 了 把 被 感 染 的 人 筛 查 出 来，防 疫 部 门 决 定 对 全 体 社 区 人 员 筛 查 核 酸 检 测，为 了 减 少 检 验 的 工 作 量，我 们 把 受 检 验 者 分 组，假 设 每 组 有 k 个 人，把 这 k 个 人 的 血 液 混 合 在 一 起 检 验，若 检 验 结 果 为 阴 性,这 k 个 人 的 血 液 全 为 阴 性，因 而 这

17、k 个 人 只 要 检 验 一 次 就 够 了；如 果 为 阳 性，为 了 明 确 这 k 个 人 中 究 竟 是 哪 几 个 人 为 阳 性，就 要 对 这 k 个 人 再 逐 个 进 行 检 验.假 设 在 接 受 检 验 的 人 群 中，随 机 抽 一 人 核 酸 检 测 呈 阳 性 概 率 为 P=QOO3,每 个 人 的 检 验 结 果 是 阳 性 还 是 阴 性 是 相 互 独 立 的.（1）若 该 社 区 约 有 2000人，有 两 种 分 组 方 式 可 以 选 择：方 案 一 是：1 0人 一 组；方 案 二：8人 一 组.请 你 为 防 疫 部 门 选 择 一 种 方 案，

18、并 说 明 理 由；(2)我 们 知 道 核 酸 检 测 呈 阳 性，必 须 由 专 家 二 次 确 认，因 为 有 假 阳 性 的 可 能；已 知 该 社 区 人 员 中 被 感 染 的 概 率 为 0.2 9%,且 已 知 被 感 染 的 人 员 核 酸 检 测 呈 阳 性 的 概 率 为 9 9.9%,若 检 测 中 有 一 人 核 酸 检 测 呈 阳 性，求 其 被 感 染 的 概 率.(参 考 数 据：(0.9978=0.976,0.9971 0=0.970,)考 点 三：随 机 变 量 分 布 列【典 例 例 题】例 1.(2022广 东 深 圳 高 三 期 末)已 知 甲、乙、丙

19、 三 个 研 究 项 目 的 成 员 人 数 分 别 为 20,15,1 0.现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 9 人，进 行 睡 眠 时 间 的 调 查.(1)应 从 甲、乙、丙 三 个 研 究 项 目 的 成 员 中 分 别 抽 取 多 少 人？(2)若 抽 出 的 9 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足，5 人 睡 眠 充 足，现 从 这 9 人 中 随 机 抽 取 3 人 做 进 一 步 的 访 谈 调 研，若 随 机 变 量 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 充 足 的 成 员 人 数，求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望.例 2.（2022广

20、东 中 山 高 三 期 末）某 科 技 公 司 组 织 技 术 人 员 进 行 某 新 项 目 研 发，技 术 人 员 将 独 立 地 进 行 项 日 中 不 同 类 型 的 实 验 甲、乙、丙，已 知 实 验 甲、乙、丙 成 功 的 概 率 分 别 为=、425、2 1（1）对 实 验 甲、乙、丙 各 进 行 一 次，求 至 少 有 一 次 成 功 的 概 率；（2）该 项 目 研 发 流 程 如 下：实 验 甲 做 一 次，若 成 功，则 奖 励 技 术 人 员 I万 元 并 进 行 实 验 乙，否 则 技 术 人 员 不 获 得 奖 励 且 该 项 目 终 止；实 验 乙 做 两 次，若

21、 两 次 都 成 功，则 追 加 技 术 人 员 3万 元 奖 励 并 进 行 实 验 丙，否 则 技 术 人 员 不 追 加 奖 励 且 该 项 目 终 止；实 验 丙 做 三 次，若 至 少 两 次 成 功，则 项 目 研 发 成 功，再 追 加 技 术 员 4 万 元 奖 励，否 则 不 追 加 奖 励 且 该 项 目 终 止.每 次 实 验 相 互 独 立，用 X（单 位：万 元）表 示 技 术 人 员 所 获 得 奖 励 的 数 值，写 出 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望.例 3.（2022广 东 珠 海 高 三 期 末）为 建 设 粤 港 澳 大 湾 区 教 育 高 地，办

22、 人 民 满 意 的 教 育，深 入 推 进 基 础 教 育 课 堂 教 学 改 革，某 高 中 为 了 提 升 教 育 质 量，探 索 了 一 种 课 堂 教 学 改 进 项 目.某 研 究 机 构 为 了 解 实 施 新 项 目 后 的 教 学 效 果，通 过 随 机 抽 样 调 查 了 该 校 某 年 级 100位 学 生，对 这 些 学 生 的 课 堂 测 试 成 绩 进 行 统 计，得 到 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图，如 图 所 示.（1）若 这 些 学 生 课 堂 测 试 成 绩 的 分 数 X 近 似 地 服 从 正 态 分 布 N（,100）,其 中 近 似 为 样

23、 本 平 均 数 最（同 一 组 数 据 用 该 组 数 据 区 间 的 中 点 值 表 示），求 P（64XM 94）；（2）为 做 进 一 步 了 解，研 究 机 构 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 课 堂 测 试 成 绩 位 于 分 组 50,60）,60,70）,80,90）的 学 生 中 抽 取 1 0人，再 从 中 任 选 3 人 进 行 调 查，求 抽 到 分 数 位 于 80,90）的 人 数 4 的 分 布 列 和 数 学 期 望.附 参 考 数 据：若 X N(,)，则 P(一 bX4+b)=0.6827；P(2CT X M+2T)=0.9545；P(/-3crX/

24、+3cr)=0.9973.【方 法 技 巧 与 总 结】求 解 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 步 骤：(1)审 题(2)计 算 随 机 变 量 取 每 一 个 值 的 概 率(3)列 表：列 出 分 布 列，并 检 验 概 率 之 和 是 否 为 I.(4)求 解：根 据 均 值、方 差 公 式 求 解 其 值.【变 式 训 练】1.某 中 学 课 外 实 践 活 动 小 组 在 某 区 域 内 通 过 一 定 的 有 效 调 查 方 式 对“北 京 冬 奥 会 开 幕 式”当 晚 的 收 看 情 况 进 行 了 随 机 抽 样 调 查.统 计 发 现，通 过 手 机 收 看 的

25、 约 占 通 过 电 视 收 看 的 约 占 g，其 他 为 未 收 看 者：(1)从 被 调 查 对 象 中 随 机 选 取 3 人，其 中 至 少 有 1 人 通 过 手 机 收 看 的 概 率；(2)从 被 调 查 对 象 中 随 机 选 取 3 人，用 X 表 示 通 过 电 视 收 看 的 人 数，求 X 的 分 布 列 和 期 望.2.(2022广 东 惠 州 一 模)惠 州 市 某 高 中 学 校 组 织 航 天 科 普 知 识 竞 赛，分 小 组 进 行 知 识 问 题 竞 答.甲 乙 两 个 小 组 分 别 从 6 个 问 题 中 随 机 抽 取 3 个 问 题 进 行 回

26、答，答 对 题 目 多 者 为 胜.已 知 这 6 个 问 题 中，甲 组 能 正 确 回 答 其 中 4 个 问 题，而 乙 组 能 正 确 回 答 每 个 问 题 的 概 率 均 为 5.甲、乙 两 个 小 组 的 选 题 以 及 对 每 题 的 回 答 都 是 相 互 独 立，互 不 影 响 的.(1)求 甲 小 组 至 少 答 对 2 个 问 题 的 概 率；(2)若 从 甲 乙 两 个 小 组 中 选 拔 一 组 代 表 学 校 参 加 全 市 决 赛，请 分 析 说 明 选 择 哪 个 小 组 更 好？3.(2022广 东 湛 江 一 模)中 医 药 传 承 数 千 年，治 病 救

27、 人 济 苍 生.中 国 工 程 院 院 士 张 伯 礼 在 接 受 记 者 采 访 时 说：“中 医 药 在 治 疗 新 冠 肺 炎 中 发 挥 了 核 心 作 用，能 显 著 降 低 轻 症 病 人 发 展 为 重 症 病 人 的 几 率.对 改 善 发 热、咳 嗽、乏 力 等 症 状，中 药 起 效 非 常 快，对 肺 部 炎 症 的 吸 收 和 病 毒 转 阴 都 有 明 显 效 果;2 0 2 1年 1 2月 某 地 爆 发 了 新 冠 疫 情，医 护 人 员 对 确 诊 患 者 进 行 积 极 救 治.现 有 6 位 症 状 相 同 的 确 诊 患 者，平 均 分 成 A,B 两

28、组，A 组 服 用 甲 种 中 药，B 组 服 用 乙 13 9种 中 药.服 药 一 个 疗 程 后，A 组 中 每 人 康 复 的 概 率 都 为 B 组 3 人 康 复 的 概 率 分 别 为 历，3 34 4 1(1)设 事 件 C 表 示 人 组 中 恰 好 有 1 人 康 复，事 件。表 示 B 组 中 恰 好 有 1人 康 复，求 尸(8)；(2)若 服 药 一 个 疗 程 后，每 康 复 1 人 积 2 分，假 设 认 定：积 分 期 望 值 越 高 药 性 越 好，请 问 甲、乙 两 种 中 药 哪 种 药 性 更 好？4.(2022广 东 汕 尾 高 三 期 末)书 籍 是

29、 精 神 世 界 的 人 口，阅 读 让 精 神 世 界 闪 光，阅 读 已 成 为 中 学 生 的 一 种 生 活 习 惯，每 年 4 月 2 3日 为 世 界 读 书 日.某 研 究 机 构 为 了 解 某 地 中 学 生 的 阅 读 情 况，通 过 随 机 抽 样 调 查 了 名 中 学 生，对 这 些 人 每 周 的 平 均 阅 读 时 间(单 位：小 时)进 行 统 计，并 将 样 本 数 据 分 成 0,2),2,4),4,6),6,8),8,10),10,12),12,14),14,16),16,18九 组，绘 制 成 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图.已 知 这。

30、名 中 学 生 中 每 周 平 均 间 读 时 间 不 低 于 1 6小 时 的 人 数 是 2 人.(2)为 进 一 步 了 解 这 n 名 中 生 数 字 媒 体 读 时 间 和 纸 质 图 书 阅 读 时 间 的 分 配 情 况，从 周 平 均 时 间 在 8,10),10,12),12,1 4)三 组 内 的 学 生 中，采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 了 6 人，现 从 这 6 人 中 随 机 抽 取 3 人，记 周 平 均 阅 读 时 间 在 10,1 2)内 的 中 学 生 人 数 为 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.5.今 年 3 月 份 以 来，随

31、 着 疫 情 在 深 圳、上 海 等 地 爆 发，国 内 消 费 受 到 影 响，为 了 促 进 消 费 回 暖，全 国 超 过 1 9个 省 份 都 派 发 了 消 费 券，合 计 金 额 高 达 5 0亿 元 通 过 发 放 消 费 券 的 形 式，可 以 有 效 补 贴 中 低 收 入 阶 层，带 动 消 费，从 而 增 加 企 业 生 产 产 能，最 终 拉 动 经 济 增 长，除 此 之 外，消 费 券 还 能 在 假 期 留 住 本 市 居 民，减 少 节 日 期 间 在 各 个 城 市 之 间 的 往 来，客 观 上 能 够 达 到 降 低 传 播 新 冠 疫 情 的 效 果，佛

32、 山 市 某 单 位 响 应 政 策 号 召，组 织 本 单 位 员 工 参 加 抽 奖 得 消 费 优 惠 券 活 动，抽 奖 规 则 是：从 装 有 质 地 均 匀、大 小 相 同 的 2 个 黄 球、3 个 红 球 的 箱 子 中 随 机 摸 出 2 个 球，若 恰 有 1 个 红 球 可 获 得 2 0元 优 惠 券，2 个 都 是 红 球 可 获 得 5 0元 优 惠 券，其 它 情 况 无 优 惠 券，则 在 一 次 抽 奖 中：(1)求 摸 出 2 个 红 球 的 概 率；(2)设 获 得 优 惠 券 金 额 为 X,求 X 的 方 差.6.(2022广 东 广 东 一 模)某

33、市 教 育 局 对 该 市 普 通 高 中 学 生 进 行 学 业 水 平 测 试，试 卷 满 分 120分.现 从 全 市 学 生 中 随 机 抽 查 了 1 0名 学 生 的 成 绩，分 别 为 78,81,84,86,86,87,92,93,96,97.(1)已 知 1 0名 学 生 的 平 均 成 绩 为 8 8,计 算 其 中 位 数 和 方 差；(2)已 知 全 市 学 生 学 习 成 绩 分 布 服 从 正 态 分 布 N J。?)，某 校 实 验 班 学 生 3 0人.匚 依 据(1)的 结 果，试 估 计 该 班 学 业 水 平 测 试 成 绩 在(94,100)的 学 生

34、人 数(结 果 四 舍 五 入 取 整 数)：口 为 参 加 学 校 举 行 的 数 学 知 识 竞 赛，该 班 决 定 推 荐 成 绩 在(94,100)的 学 生 参 加 预 选 赛，若 每 个 学 生 通 过 预 选 赛 的 概 率 为:，用 随 机 变 量 X 表 示 通 过 预 选 赛 的 人 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.(正 态 分 布 参 考 数 据：P(-b X+b)=0.6828,P(一 2cr X+2CT)=0.9544)7.为 应 对 气 候 变 化，我 国 计 划 在 2030年 前 实 现 碳 排 放 量 到 达 峰 值，2060年 前 实 现“碳

35、 中 和”.某 市 为 了 解 本 市 企 业 碳 排 放 情 况，从 本 市 320家 年 碳 排 放 量 超 过 2 万 吨 的 企 业 中 随 机 抽 取 5 0家 企 业 进 行 了 调 查，得 到 如 下 频 数 分 布 表，并 将 年 碳 排 放 量 大 于 1 8万 吨 的 企 业 确 定 为“超 标”企 业:(1)假 设 该 市 这 320家 企 业 的 年 碳 排 放 量 大 致 服 从 正 态 分 布 其 中 近 似 为 样 本 平 硫 排 放 量 X2.55.5)5.5,8.5)8.5,115)115,14.5)14.5.175)175,20.5)20.523.5)频 数

36、 5 6 9 12 8 6 4均 值 元，/近 似 为 样 本 方 差 5 2,经 计 算 得 了 a 12.8,S B 5.2.试 估 计 这 320家 企 业 中“超 标”企 业 的 家 数；(2)通 过 研 究 样 本 原 始 数 据 发 现，抽 取 的 5 0家 企 业 中 共 有 8 家“超 标”企 业，市 政 府 决 定 对 这 8 家“超 标”企 业 进 行 跟 踪 调 查，现 计 划 在 这 8 家“超 标”企 业 中 任 取 5 家 先 进 行 跟 踪 调 查，设 Y为 抽 到 的 年 碳 排 放 量 至 少 为 20.5万 吨 的 企 业 家 数，求 V的 分 布 列 与

37、数 学 期 望.(参 考 数 据:若 XX 则 P(-bW XW+(T)=0.6827,P(-2bW XM+2cr)=0.9545,P(-3(rW X+)=0.9973.)8.某 共 享 单 车 集 团 为 了 进 行 项 目 优 化，对 某 市 月 卡 用 户 随 机 抽 取 了 200人，统 计 了 他 们 在 同 一 月 的 使 用 次 数(假 设 每 月 使 用 次 数 均 在 8 至 3 6之 间).将 样 本 数 据 分 成 8,12),12,16),16,20),20,24),24,28),28,32),32,36七 组，绘 制 成 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图

38、,并 用 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 的 频 率 分 布.(1)求 图 中 的 a 的 值；(2)设 该 市 月 卡 用 户 每 月 使 用 次 数 近 似 服 从 正 态 分 布，其 中 近 似 为 样 本 的 平 均 数(各 区 间 数 据 用 中 点 值 近 似 计 算)，取 b=3.16,若 该 城 市 恰 有 1 万 个 用 户，试 估 计 这 些 用 户 中，月 使 用 次 数 X 位 于 区 间 12.36,25 内 的 人 数：(3)现 从 该 市 月 卡 用 户 中 随 机 抽 取 10人，其 中 月 使 用 次 数 在 24,28)的 有 y 人,记“事 件

39、 Y=k”的 概 率 为 P(y=Z),其 中 4=0,1,2,10,当 2 卜=心 最 大 时，求 k 的 值.参 考 数 据：若 随 机 变 量：服 从 正 态 分 布 则 P(-b4,4+b”0.6827,P(/-2cr+2cr”0.9545,P(/z-3 T/+3 T)0.9973.【巩 固 练 习】一、单 选 题 1.从 3 男 2 女 共 5 名 医 生 中，抽 取 2 名 医 生 参 加 社 区 核 酸 检 测 工 作，则 至 少 有 1 名 女 医 生 参 加 的 概 率 为().“2A.-B.-5 52.2 0 名 学 生，任 意 分 成 甲、乙 两 组，的 概 率 是()C

40、.D.y10 2每 组 10人，其 中 2 名 学 生 干 部 恰 好 被 分 在 不 同 组 内 A 5 p 5p lO D,1 05。y。“2 n y 1 8p lO 10j o J o3.为 进 一 步 强 化 学 校 美 育 育 人 功 能，构 建“五 育 并 举”的 全 面 培 养 的 教 育 体 系，某 校 开 设 了 传 统 体 育、美 育、书 法 三 门 选 修 课 程，该 校 某 班 级 有 6 名 同 学 分 别 选 修 其 中 的 一 门 课 程，每 门 课 程 至 少 有 一 位 同 学 选 修，则 恰 有 2 名 同 学 选 修 传 统 体 育 的 概 率 为（）A5

41、 I c 7-7A.B.-C.D.36 6 36 184.在 某 次 数 学 考 试 中，学 生 成 绩 X 服 从 正 态 分 布（100,关 卜 若 x 在（85,115）内 的 概 率 是 0.5,则 从 参 加 这 次 考 试 的 学 生 中 任 意 选 取 3 名 学 生，恰 有 2 名 学 生 的 成 绩 不 低 于 8 5的 概 率 是（27 9 3 9A.B.C.-D.64 64 4 165.新 冠 肺 炎 疫 情 期 间，某 公 司 采 用 网 络 远 程 面 试 招 聘 新 员 工，其 面 试 方 案 为：应 聘 者 从 6 道 备 选 题 中 一 次 性 随 机 抽 取

42、3 道 题，按 照 题 目 要 求 独 立 完 成.规 定：至 少 正 确 完 成 其 中 2 道 题 的 应 聘 者 才 可 通 过 面 试.已 知 应 聘 者 小 王 在 6 道 备 选 题 中 有 4 道 题 能 正 确 完 成，2 道 题 不 能 完 成，则 小 王 正 确 完 成 面 试 题 数 的 均 值 为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多 选 题 6.盒 中 装 有 大 小 相 同 的 5 个 小 球（编 号 为 1 至 5）,其 中 黑 球 3 个，白 球 2 个.每 次 取 一 球（取 后 放 回），则（）A.每 次 取 到 1号 球 的 概 率 为，B.每 次 取

43、到 黑 球 的 概 率 为，C.“第 一 次 取 到 黑 球”和“第 二 次 取 到 白 球”是 相 互 独 立 事 件 D.“每 次 取 到 3 号 球”与“每 次 取 到 4 号 球”是 对 立 事 件 7.一 口 袋 中 有 大 小 和 质 地 相 同 的 4 个 红 球 和 2 个 白 球，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.从 中 任 取 3 球，恰 有 一 个 白 球 的 概 率 是|B.从 中 有 放 回 的 取 球 6 次，每 次 任 取 一 球，恰 好 有 两 个 白 球 的 概 率 为 太 C.从 中 不 放 回 的 取 球 2 次，每 次 任 取 1球，若 第 一

44、次 已 取 到 了 红 球，则 第 二 次 再 次 取 到 红 球 的 概 率 为：D.从 中 有 放 回 的 取 球 3 次，每 次 任 取 一 球，则 至 少 有 一 次 取 到 红 球 的 概 率 为 称 三、填 空 题 8.某 校 为 落 实“双 减 政 策.在 课 后 服 务 时 间 开 展 了 丰 富 多 彩 的 体 育 兴 趣 小 组 活 动，现 有 甲、乙、丙 三 名 同 学 拟 参 加 篮 球、足 球、乒 乓 球 三 项 活 动，由 于 受 个 人 精 力 和 时 间 限 制，每 人 只能 等 可 能 的 选 择 参 加 其 中 一 项 活 动，则 恰 有 两 人 参 加 同

45、 一 项 活 动 的 概 率 为.9.盒 中 有 2 个 白 球，3 个 黑 球，从 中 任 取 3 个 球，以 X 表 示 取 到 白 球 的 个 数，表 示 取 到 黑 球 的 个 数.给 出 下 列 各 项：E（X）咚 E（7）=|；E（X2）=E（7）；E（r f）=E（X）；D（X）=D（7）=.其 中 正 确 的 是.（填 上 所 有 正 确 项 的 序 号）四、解 答 题 10.某 中 学 课 外 实 践 活 动 小 组 在 某 区 域 内 通 过 一 定 的 有 效 调 查 方 式 对“北 京 冬 奥 会 开 幕 式”当 晚 的 收 看 情 况 进 行 了 随 机 抽 样 调

46、查.统 计 发 现，通 过 手 机 收 看 的 约 占 通 过 电 视 收 看 的 约 占 g，其 他 为 未 收 看 者：（1）从 被 调 查 对 象 中 随 机 选 取 3 人，其 中 至 少 有 1 人 通 过 手 机 收 看 的 概 率；（2）从 被 调 查 对 象 中 随 机 选 取 3 人，用 X 表 示 通 过 电 视 收 看 的 人 数，求 X 的 分 布 列 和 期 望.1 1.有 3 名 志 愿 者 在 2022年 1 0月 1 号 至 1 0月 5 号 期 间 参 加 核 酸 检 测 工 作.（1）若 每 名 志 愿 者 在 这 5 天 中 任 选 一 天 参 加 核 酸

47、 检 测 工 作，且 各 志 愿 者 的 选 择 互 不 影 响，求 3名 志 愿 者 恰 好 连 续 3 天 参 加 核 酸 检 测 工 作 的 概 率；（2）若 每 名 志 愿 者 在 这 5 天 中 任 选 两 天 参 加 核 酸 检 测 工 作，且 各 志 愿 者 的 选 择 互 不 影 响，记 4表 示 这 3 名 志 愿 者 在 1 0月 1 号 参 加 核 酸 检 测 工 作 的 人 数，求 随 机 变 量 4 的 分 布 列 及 数 学 期 望（/.12.某 产 品 年 末 搞 促 销 活 动，由 顾 客 投 掷 4 枚 相 同 的、质 地 均 匀 的 硬 币，若 正 面 向

48、上 的 硬 币 多 于 反 面 向 上 的 硬 币，则 称 该 次 投 掷“顾 客 胜 利”.顾 客 每 买 一 件 产 品 可 以 参 加 3次 投 掷 活 动，并 且 在 投 掷 硬 币 之 前，可 以 选 择 以 下 两 种 促 销 方 案 之 一，获 得 一 定 数 目 的 代 金 券.方 案 一：顾 客 每 投 掷 一 次，若 该 次 投 掷“顾 客 胜 利”，则 顾 客 获 得 代 金 券 看 万 元，否 则 该 次 投 掷 不 获 奖；方 案 二：顾 客 获 得 的 代 金 券 金 额 和 参 加 的 3 次 投 掷 活 动 中“顾 客 胜 利”次 数 关 系 如 表：获 得 代

49、 金 券 金 额(万 元)01551T T15“顾 客 胜 利”次 数 0 1 2 3(1)求 顾 客 投 掷 一 次 硬 币，该 次 投 掷“顾 客 胜 利”的 概 率；(2)若 某 公 司 采 购 员 小 翁 为 公 司 采 购 很 多 件 该 产 品，请 从 统 计 的 角 度 来 分 析，小 翁 该 采 取 哪 种 奖 励 方 案？13.目 前，教 师 职 业 越 来 越 受 青 睐，考 取 教 师 资 格 证 成 为 不 少 人 的 就 业 规 划 之 一.当 前，中 小 学 教 师 资 格 考 试 分 笔 试 和 面 试 两 部 分.已 知 某 市 2021年 共 有 10000名

50、 考 生 参 加 了 中 小 学 教 师 资 格 考 试 的 笔 试，现 从 中 随 机 抽 取 100人 的 笔 试 成 绩(满 分 100分)作 为 样 本，整 理 得 到 如 下 频 数 分 布 表：笔 试 成 绩 X 40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人 数 5 10 25 30 20 10由 频 数 分 布 表 可 认 为 该 市 全 体 考 生 的 笔 试 成 绩 X 近 似 服 从 正 态 分 布 n J q),其 中，近 似 为 100名 样 本 考 生 笔 试 成 绩 的 平 均 值(同 一 组 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点