高中数学平面向量的应用(精练) (提升版).pdf
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1、10.3平面向量的应用(精练)(提升版)题组一平面向量在几何中的运用1.(20 23全国高三专题练习)已知A/BC的内角4 B,C所对的边分别为。,b,c,且c =6 0。,a =3S,c=苧,则 边 上 的 中 线 长 为()49A.49 B.7 C.D.7L42【答案】D【解析】因为S“J _ L/s i n C x 3 x b x 3 =,故可得2 2 2 4根 据 余 弦 定 理 可 得 2仍 c o s C =1 9,故。=炳,不妨取 中 点为,故 由=;(与+而),即“8边上的中线长为1.2故选:D.2(20 22 海南模拟预测)在直角梯形“5 8 中,A B C D,AD1AB,
2、且/8 =6,/。=3 若 线 段 上存在唯一的点E满 足 衣,而=4,则线段C Z)的长的取值范围是()A.工2)B-1,5)C 口,+8)D-5,+o o)【答案】B【解析】如图所示,以X为坐标原点,布 和 而 分别为x 轴和y 轴正方向建立直角坐标系.y则 N(0,0),8(6,0),设。的长为 x,则 E(x,3),则 在=(x,3),屉=(x-6,3),所 以 瓦.屁=x(x-6)+9 =4,解得x =l 或x =5,由题意知:D C x .且点E存在于8 上且唯一,知 8 的长的取值范围是口,5),故选:B.3.(20 22云 南)”8C中,若 4B =4 C =5,叱=6 ,点E
3、满足丽+1 无,直 线 与 直 线 初1 5 5相交于点。,贝“C O S/4D EA.亚1 0B.3屈1 0C._巫1 0D.3 M1 0【答案】A【解析】如图所示,以B点为原点,Be 为x 轴构建直角坐标系,因为 =5,BC=6,所以 8(0,0),C(6,0),4(3,4),C D =xCA+yCB 因为A、B、Z)三点共线,所以x0,j?0 x+y=1 ,C F=LCACB C E D 2L 1因为 15 5,、三点共线,所 以 运=5,%y1 x=-y=-CD=-CA+-CB联 立11=5,解得5,5,5 5x yx+y=1因 为 丽=(-6,0),0=(-3,4),所以而=V,反唁
4、,因 为 瓦=(3,4),所以 cos Z.ADE=故选:A.4(2022 全国 信阳高中)已知四边形48C。是矩形,AB=2AD,面=BE=pBC 2+=1,A EL AF,则 空=()ADA 恒 B.C.叵 D.3939【答案】c【解析】解 法-如 图,以A为坐标原点,所在直线为x 轴,/o 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设48=2/0 =2,则4(0,0),8(2,0),0(0,1),C(2,l)-AB=(2,0y=(0,1)旅=(0,1),虎=(2,0)OF=2C =(2A,0)BE=/jBC=(O,p)-AE=AB+BE=(2 y AF=AD+DF=(2A,)-A E V A
5、F 二 荏.万=0,即2x24+xl=0 乂,+=1所以4=-1,/=.313.ND =1 EF V 6 5,_ _ _ _ _ _ _ A D 3故选:C.解法二:JE 7B+BE=JB+BC=JB+(-A.)8CA F=A D +D F=A D +X D C =B C +2.A B -l?=+(l-A)3C (5C +Z A 8)=l +A(l-A)jS.5C +(l-A)|5C|2+A|:!=(1-Z)阿+42阿=0 +32)网.,.A EA F+3。,得 一3尸3团?河+|研EF 隔 旅A D 9 一 亍故选:C.5(20 22湖南张家界)如图,在梯形/8 C。中,”?。,A D =,
6、B C =9,A B =5 ,3B,若2 5M,N 是线段8 c 上的动点,且|必可=1,则 丽.丽 的最小值为()【答案】C【解析】如图,以点8为原点,8 C 所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,9/.4 3,4),。(1 4),设M(x,O),则N(x+l,0),其中0 4 x 4 8,9 7=DN=(x-,-4),.0 7、127,63PA/PA=(X-)(X-)+16=X2-8X+=(X-4)2+,”=4 时,OM-DN取得最小值生4故选:C.6.(2022浙江镇海中学)已知平面向量0、0 满足忤一|=一2q=1,则与c-2 所成夹角的最大值是()A.J B.-C.号 D
7、.甲6 3 3 6【答案】A【解析】设1 2 工 与25夹角为 -町 与1-2 否 所成夹角为夕,Q-4B =(Q-2C)+2(C-2B)所以,卜-叫=卜-2d+4k-2 可 +4|tz-2c|-|c-2ft|cosa=5+4cosa,(-4 孙 卜-23)=(-20)+2(0-2 训.(0-23)=(。-2 9 1-2 3)+2 k-2.=2+cosa 0 乂(4一 43)卜 一 2 3)=,一 4 3|一 25卜 05尸=|a-4.c o sp 0=cosp 0,与联立可得卜/-4qcosP=2+cosa=.一4囚-cos?夕=(2+cosa),(4)联立可得CS2(2+COSQ)cos%
8、-1 1 16cos2Q-25+9 3 5+4cosa 92-J =+-=1 +-;-=+-+-5+4cosa 5+4cosa 16(5+4cosa)8 16 16(5+4cosa)、3.,5+4cosa 9 38 V 16 16(5+4cosa)4当且仅当C O S 彳 时,取等号,c*盛”即时则即%故【布 与 1 2 5 所成夹角的最大值 殿,7(2022 湖南 周南中学)已知边长为2 的菱形4 8 8 中,点F 为 8。上一动点,点满 足 诟=2比万 丽=-2,则力尸,8 E 的最小值为()32 4A.0 B.-C.-D.23 3【答案】C【解析】由题意知:B E-B C,设乙“力”一
9、,3 万.丽=(刀+赤)(力 一 函 =1 5 一 府+:苑 而 一 g 部.在.q 48 8 A 2.八1 八加=4cos0-4 +-cos0=,.cos0=0=,3 3 3 2 3以Z C 与 此 交点为原点,4 c 为x 轴,8 0 为V轴建立如下图所示的平面直角坐标系:力(-。)(2 6 8(0,T)/0,/)T 4 T 1,E,,设,且则=(),诙=(拽,3,赤=2+|f8.(2022江苏无锡市教育科学研究院)点p 是边长为2 的正三角形4 8 c 的三条边上任意一点,则|苏+而+无|的最小值为-【答案】b【解析】不妨假设 尸 在 11/1(0,/3),B(-l,O),C(1,O),
10、如卜图示,所以,尸在y=x +i)IL-1 W W。,设P(x,6(x+1)”则 莎=(-x,-g x),PS=(-l-x,-V 3(x+l)PC=(l-x,-3(x+l)PA+PB+PC=(-3x,-3y/3x-2y/3),故 苏+方+时j 3 6(x+;y+3,当X =6 时,曲+方+南的最小值为行故答案为:g9.(2 0 2 2 上海市晋元高级中学)“燕山雪花大如席”,北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起,天衣无缝,让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边/BCDEE若正六边形的边长为1,点尸是其内部 一 点
11、(包含边界),则万.元的取值范围为.【答案】0,3【解析】过点C作于M,所以而=加+祝,且 卜|,瓯 卜 也,=而+/=2 而+M C 其中一太义4 1,0 4 AB=,8 c =6,N4BC=150,则 cosNC8)=【答案】叵14【解析】如图以人为原点建立直角坐标系,则 5(,0),C,设心),BC LCD 仙、1BCA.CD大II而友=|x鸿樽4o,解得,即。(0,3石),-B C,5 0 =(-1,3 7 3)c o s Z C 5 =3 6 2 用BC BD _2+T附画瓜 而-1 4故答案为:叵.1 4题组二三角形的四心1.(2 0 2 2湖南湘潭高三开学考试)在四边形/BQ)中
12、,G为 8。的重心,AG=2点.在线段/G上,则 刀(砺+反+砺)的最小值为()A-3C-1D.0【答案】AB-2因为诟=丽+瑟,诟=诙+而,诟=历+而,所 以 幅+反+历 =3砺,丁是 有 京.(而+云+而)=3方.而=_3网 网,又 网.阿 卜 H1 M=1,当且仅 当 囱 一.卜 1时取等号,所以德(丽+反 +/)=3刀 花 2-3故 选:A2.(2022全国课时练习)平面内“BC及一点。满 足 力.砺=丽.双=觉.次,则点。是“8CA.内心 B.外心 C.重心 D.垂心【答案】D【解析】O A.O B =O B-O C =O B.(O A-O C)=0=;O B C A =OOB r
13、C A同理可得 反 _L 0,E _L而,所以点。是dBC垂心,选 D.3.(2021湖南怀化市第三中学)已 知.8C,/为三角形所在平面上的一点,且点/满足:“耳+6 历+c元=0,贝打点为三角形的A.外心 B.垂心 C.重心 D.内心【答案】D【解析】在上分别取点,E 使 得 亚=至 近=,则|而|=|/卜 1,作菱形。照,则由c b箫=9+9=垂+三所以为的平分线因为“万+人.厉+。而二,所以c b Z 4 +6(Z 4 +ZB)+C-(Z 4 +C)=6所 以 万=-AB+-ACa+b+c a+b+che(AB 就、-1-a+b+cy c b,尻 万,所 以 三 点 共 线,即/在/8
14、/C的平分线上一同理证 得,在其它Q+b+C两角的平分线上,由此求得尸是三角形的内心.,故选D.4.(2022全国高三专题练习)己知。是三角形8C的外心,若+AB丝 就.而=2m(而)且sin8+sinC=K,则实数加的最大值为()A.3 B.-C.-D.-552【解析】如图所示:【答案】D设/8 =c AC=b NBAO=9 ZCAO=a 1由 吟 屈 利 嘿 而 而=2相(可bc得c/O c o s e +bZ O cosa=2m-AO2 3 3 2 1A.-B.r C.-D.74 5 3 4【答案】A【解析】设三角形NBC的外接圆半径为及,因为。是三角形48C 的外心,故可得J o 卜
15、R,化简侍 b cos e+c cos a=2m A0由。是三 角 形 的 外 心 可 知,。是三边中垂线交点,得cose=J,cosa=2AO 2AO代入上式得心,.小杀根据题意知,。是三 角 形 外 接 圆 的 半 径,可得Sin3=2 _,sinC=J2A0 2AO代入sin 8+sin C=V5 得 b+c=2&。b-c当且仅当“时,等号成立.故选:D.5.(2022江西 高三阶段练习(理)已知。是三角形N8C的外心,若些 瓦 9+电1就 彩=2?(彩 产,且 2sin8+sinC=6,则实数加的最大值为()AB M C|且 而 衣 号 画 注2 AC AOC 一22=%故 四 而.前
16、+四%.粉=2皿 粉)2,AB AC即;|/3|M q +g|/即/C|=2mR2,也艮产=2”町则,=挤乂2sin3+sinC=A/5,由正弦定理可得:2b+c=2 R ,则 R2 _(26+C)2,-126bc 6 6 6 3m=-=-c-“8 4一+工 +4 2 J+4c b V c b当且仅 当 竺=,即c=2b时取得最大值3.c b 4故选:A.6.(2022辽宁沈阳市第一中学)已知。为锐角三角形Z 3C 的外心,2方+3丽+43=6,则cos乙4c8的 值 为()A.叵 B.返 _ C,1 D,-4 4 4 4【答案】A【解析】设锐角三角形/8 C 的外接圆的半径为K,即O4=08
17、=OC=/?,-_-2-2-2-2CM+3O8+4OC=0n 4 O C =-(2CM+3OB)=16OC=404+9OB+120408167?2=4/?2+9A2+12-?/?.cosZ05=cosZ?IO5=-0 ,显 然 是 锐 角,4因为O为锐角三角形/B C的外心,所以在锐角三角形4 8 c 内部,由圆的性质可知:Z A C B =-ZAOB,显然“C 3 是锐角,2c osZ A O B =-2 c os2 Z A C B-=-c osZ A C B =或 一 画 舍去,4 4 4 4故选:A7.(2022全国高三专题练习)若“为 8 C 所在平面内一点,且 网,+国 =|而 +同
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