初中中考总复习数学《锐角三角形综合复习》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

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1、中 考 总 复 习：锐 角 三 角 函 数 综 合 复 习 一 巩 固 练 习（基 础）【巩 固 练 习】一、选 择 题 1.如 图 所 示，在 RtZXABC中，ZACB=90,BC=1,AB=2,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.sin A=B.tan A=C.cosB=D.tan B=62 2 2第 1题 2.如 图，在 RtZXABC 中，ZACB=90,CDAB,A.见 30 2旧 D,-5c 12第 2 题 垂 足 为 D.若 AC=后,BC=2,则 sinZACD的 值 为（）D.233.在 AABC 中，若 三 边 BC、CA、AB 满 足 BC：CA：AB=5：12:

2、13,则 cosB=（）5 12 5 12A.-B.-T-C.-D.-4.如 图 所 示，在 aABC中，/C=90,AD是 BC边 上 的 中 线，BD=4,AD=2岔，则 tan/CAD的 值 是（）A.2 B.V2 C.垂）I）.垂）5.（2015大 邑 县 校 级 模 拟）一 个 物 体 从 A 点 出 发，沿 坡 度 为 1：7 的 斜 坡 向 上 直 线 运 动 到 B,AB=30米 时，物 体 升 高（）米.A.m B.372 C.30 D.以 上 的 答 案 都 不 对 7 66.如 图，己 知：45 AcosA C.sinAtanA D.sinAcosA二、填 空 题 7.若

3、 N a 的 余 角 是 30,则 cos a 的 值 是.8.如 图，ABC的 顶 点 都 在 方 格 纸 的 格 点 上，则 sinA=9.计 算 2sin30-sin245+tan30 的 结 果 是.10.已 知 a 是 锐 角，且 sin（a+15）=.计 算 J-4cosa-（-3.14）+tana+（1 的 值 为.11.（2015春 茅 箭 区 月 考）如 图，一 艘 海 轮 位 于 灯 塔 P 的 北 偏 东 30方 向,距 离 灯 塔 80海 里 的 A 处，它 沿 正 南 方 向 航 行 一 段 时 间 后，到 达 位 于 灯 塔 P 的 南 偏 东 45方 向 上 的

4、B 处，这 时，海 轮 所 在 的 B 处 与 灯 塔 P 的 距 离 为 海 里.（结 果 保 留 根 号）12.如 图，正 方 体 的 棱 长 为 3,点 M,N 分 别 在 CD,HE,CM=-DM,HN=2NE,HC与 NM的 延 长 线 交 于 点 2P,则 tan/NPH的 值 为 三、解 答 题 13.如 图 所 示，我 市 某 广 场 一 灯 柱 AB被 一 钢 缆 CD固 定，CD与 地 面 成 40夹 角，且 DB=5m,现 要 在 C点 上 方 2m处 加 固 另 一 条 钢 缆 ED,那 么 EB的 高 为 多 少 米？（结 果 保 留 三 个 有 效 数 字）14.已

5、 知：如 图 所 示，八 年 级（1）班 数 学 兴 趣 小 组 为 了 测 量 河 两 岸 建 筑 物 AB和 建 筑 物 CD的 水 平 距 离 AC,他 们 首 先 在 A 点 处 测 得 建 筑 物 CD的 顶 部 D 点 的 仰 角 为 25,然 后 爬 到 建 筑 物 AB的 顶 部 B 处 测 得 建 筑 物 CD的 顶 部 D 点 的 俯 角 为 15 30.已 知 建 筑 物 AB的 高 度 为 30米，求 两 建 筑 物 的 水 平 距 离 AC（精 确 到 0.1米）（可 用 计 算 器 查 角 的 三 角 函 数 值）15.（2015成 都）如 图，登 山 缆 车 从

6、点 A 出 发，途 经 点 B 后 到 达 终 点 C,其 中 AB段 与 BC段 的 运 行 路 程 均 为 200m,且 AB段 的 运 行 路 线 与 水 平 面 的 夹 角 为 30,BC段 的 运 行 路 线 与 水 平 面 的 夹 角 为 42,求 缆 车 从 点 A 运 行 到 点 C 的 垂 直 上 升 的 距 离.（参 考 数 据：sin42 0.67,cos42 40.74,tan42=0.90）16.如 图 所 示，某 水 库 大 坝 的 横 断 面 是 梯 形，坝 顶 宽 AD=2.5m,坝 高 4 m,背 水 坡 的 坡 度 是 1：1,迎 水 坡 的 坡 度 是 1

7、：1.5,求 坝 底 宽 BC.【答 案 与 解 析】一、选 择 题【答 案】D；【解 析】sinA=1,tan A=,cosB=.故 选 D.AB 2 AC 3 AB 22.【答 案】A；【解 析】在 直 角 AABC中，根 据 勾 股 定 理 可 得：AB=y/AC2+B C2=7（）2+22=3.VZB+ZBCD=90,ZACD+ZBCD=90,AZB=ZACD.A C y/5sinZACD=sinZB=-=-,AB 3故 选 A.3.【答 案】C；【解 析】根 据 三 角 函 数 性 质 cosB=今 踣 故 选 C.4.【答 案】A；【解 析】：AD是 BC边 上 的 中 线，BD=

8、4,ACD=BD=4,在 RtZiACD 中，AC=J AD?-CD=J(2 4=2,/.tan Z CAD 七 C D 4.AC 2故 选 A.5.【答 案】B；【解 析】,坡 度 为 1：7,设 坡 角 是 a则 sin a=/1=V i W 即 1。.上 升 的 高 度 是：3OX返=3/米.故 选 B.106.【答 案】B；【解 析】：45 A45 时，sinAcosA,故 选 B.二、填 空 题 7.【答 案】2【解 析】Z a=90-30=60,cos a=cos60=-28.【答 案】y;【解 析】过 C 作 CDJ_AB,垂 足 为 D,设 小 方 格 的 长 度 为 1,9.

9、【答 案】/日；【解 析】2sin30-s in245+tan300=2X-（也 2 2）、屏）2+3=1+3，+近 3 2 3 2 310.11.【答 案】3；【解 析】；sin60=,A a+15=60，：,a=45,2【答 案】40圾；【解 析】解：作 P C _ L A B于 C,在 R S P A C 中，PA=80,Z PAC=3O。，,PC=40 海 里，在 RtA PBC 中，PC=40,Z PBC=N BPC=45,，PB=40A/每 里，故 答 案 为：4 0 7 2.原 式=2a-4 X-l+l+3=3.212.【答 案】;3【解 析】正 方 体 的 棱 长 为 3,点

10、M,N分 别 在 CD,H E CM=-DM,HN=2NE,2.MC=1,HN=2,VDC/7EH,PC M C 1-,PH NH 2VHC=3,PC=3,；PH=6,NH 2J tanZNPH=-PH 6故 答 案 为：.33三、解 答 题 13.【答 案 与 解 析】解：在 RtzMBCD 中，NBDC=40，DB=5 m,tan N B D C=-.D B，BC=DB ta n Z B D C=5 X ta n 4 0 g 4.195（米）.，EB=BC+CE=4.195+2以 6.2 0（米）.解：如 图 所 示，过 D作 D H L A B,垂 足 为 H.设 A C=x.在 RtA

11、ACD 中，ZA CD=9 0,/D A C=2 5,所 以 CD=AC ta n/D A C=x tan 25.在 RtZXBDH 中，ZBH D=90,/BD H=15 3 0,所 以 BH=DH-tan 15 30=A C-tan 15 30=x-tan 150 30又 CD=AH,AH+HB=AB,所 以 x（tan 25+tan 15 30）=3 0.30所 以 x=-=40.3（米）.tan 25 0+tan 15 30答：两 建 筑 物 的 水 平 距 离 A C约 为 40.3 米.15.【答 案 与 解 析】解：在 R S A D B 中，Z ADB=90,Z BAD=30,

12、AB=200m,BD=lAB=100m,2在 R S CEB 中，N CEB=90,N CBE=42,CB=200m,CE=BCsin420=200 x0.67=1 34m,BD+CE-100+134=234m.答：缆 车 从 点 A 运 行 到 点 C 的 垂 直 上 升 的 距 离 约 为 234m.16.【答 案 与 解 析】解：背 水 坡 是 指 A B,而 迎 水 坡 是 指 CD.过 A作 A E 1 B C于 E,过 D作 DF_LBC于 F,由 题 意 可 知 t a n B=l,tan C=,1.5Ap在 RtABE 中,A E=4,ta n B=1,A B E=A E=4,

13、BEDF 1在 RtZM）FC 中，D F=A E=4,ta n C=,C F 1.5 C F=L 5DF=1.5 X 4=6.又 E F=A D=2.5,，B C=B E+E F+F C=4+2.5+6=1 2.5.答：坝 底 宽 BC为 12.5 m.中 考 总 复 习：锐 角 三 角 函 数 综 合 复 习 一 巩 固 练 习（提 高）【巩 固 练 习】一、选 择 题 1.在 AABC 中，ZC=90,cosA=则 tan A 等 于（）5A 3 R 4 3 n 45 5 4 32.在 RtaABC中，/C=90,把 N A 的 邻 边 与 对 边 的 比 叫 做/A 的 余 切，记 作

14、 cotA=2.则 下 列 关 系 式 a中 不 成 立 的 是（）A.tanA,cotA=l B.sinA=tanA,cosA C.cosA=cotA,sinA D.tan2A+cot2A=lD上 b C BL-第 2 题 第 3 题 3.如 图，在 四 边 形 ABCD中，E、F 分 别 是 AB、AD的 中 点，3 4 3A.-B.C.E4 3 54.如 图 所 示，直 角 三 角 形 纸 片 的 两 直 角 边 长 分 别 为 6、8,合，折 痕 为 DE,则 tan/CBE的 值 是（）C二-；24 77 7 1A.B.C.D.一 7 3 24 35.如 图 所 示，已 知 N a

15、的 终 边 0P_LAB,直 线 AB的 方 程 为 3 B后 少 ka若 EF=2,BC=5,CD=3,则 tanC 等 于（）4.-5现 将 AABC如 图 那 样 折 叠，使 点 A 与 点 B 重 y=x+,贝 I J C O S Q 等 于（）3 36.（2015南 充）如 图，一 艘 海 轮 位 于 灯 塔 P 的 北 偏 东 55方 向，距 离 灯 塔 2 海 里 的 点 A 处，如 果 海 轮 沿 正 南 方 向 航 行 到 灯 塔 的 正 东 方 向，海 轮 航 行 的 距 离 AB长 是（）北 P B1 A.2 海 里 B.2sin55 海 里 C.2cos55 海 里 D

16、.2tan55 海 里 二、填 空 题 7.设。为 锐 角，且 x2+3x+2sin。=0 的 两 根 之 差 为 石.则 0=.8.如 图，在 矩 形 ABCD中，点 E 在 AB边 上，沿 CE折 叠 矩 形 ABCD,使 点 B 落 在 AD边 上 的 点 F 处，若 AB=4,BC=5,则 tan/AFE 的 值 为.COS6Z11.如 图，点 E(0,4),0(0,0),C(5,0)在。A 上，BE 是。A 上 的 一 条 弦.贝 U tanN0BE=12.(2015牡 丹 江)在 aABC 中，AB=12,AC=13,cosNB二 逆，则 BC 边 长 为 2三、解 答 题 13.

17、(2015泰 州)如 图，某 仓 储 中 心 有 一 斜 坡 AB,其 坡 度 为 i=l：2,顶 部 A 处 的 高 AC为 4m,B、C 在 同 一 水 平 地 面 上.(1)求 斜 坡 AB的 水 平 宽 度 BC；(2)矩 形 DEFG为 长 方 体 货 柜 的 侧 面 图，其 中 DE=2.5m,EF=2m,将 该 货 柜 沿 斜 坡 向 上 运 送，当 BF=3.5巾 时，求 点 D 离 地 面 的 高.(巡 心 2.236,结 果 精 确 到 0.1m)B14.为 缓 解“停 车 难”的 问 题，某 单 位 拟 建 造 地 下 停 车 库，建 筑 设 计 师 提 供 了 该 地

18、下 停 车 库 的 设 计 示 意 图，如 图 所 示.按 规 定，地 下 停 车 库 坡 道 1:3上 方 要 张 贴 限 高 标 志，以 便 告 知 停 车 人 车 辆 能 否 安 全 驶 入,为 标 明 限 高，请 你 根 据 该 图 计 算 CE（精 确 到 0.1 m）（sinl8g 0.3090,cosl8 0.9511,tanl8*=0.3249）15.如 图 所 示，某 中 学 九 年 级 一 班 数 学 课 外 活 动 小 组 利 用 周 末 开 展 课 外 实 践 活 动，他 们 要 在 某 公 园 人 工 湖 旁 的 小 山 AB上，测 量 湖 中 两 个 小 岛 C、D

19、 间 的 距 离.从 山 顶 A 处 测 得 湖 中 小 岛 C 的 俯 角 为 60,测 得 湖 中 小 岛 D 的 俯 角 为 45.已 知 小 山 AB的 高 为 180米，求 小 岛 C、D 间 的 距 离.（计 算 过 程 和 结 果 均 不 取 近 似 值）16.在 AABC中，AB=AC,CG1BA,交 BA的 延 长 线 于 点 G.一 等 腰 直 角 三 角 尺 按 如 图 所 示 的 位 置 摆 放,该 三 角 尺 的 直 角 顶 点 为 F,一 条 直 角 边 与 AC边 在 一 条 直 线 上，另 一 条 直 角 边 恰 好 经 过 点 B.（1）在 图 中 请 你 通

20、 过 观 察、测 量 BF与 CG的 长 度，猜 想 并 写 出 BF与 CG满 足 的 数 量 关 系，然 后 证 明 你 的 猜 想；（2）当 三 角 尺 沿 AC方 向 平 移 到 图 所 示 的 位 置 时，一 条 直 角 边 仍 与 AC边 在 同 一 直 线 上，另 一 条 直 角 边 交 BC边 于 点 D,过 点 D 作 DELBA于 点 E.此 时 请 你 通 过 观 察、测 量 DE、DF与 CG的 长 度，猜 想 并 写 出 DE+DF与 CG之 间 满 足 的 数 量 关 系；然 后 证 明 你 的 猜 想；（3）当 三 角 尺 在 的 基 础 上 沿 AC方 向 继

21、续 平 移 到 图 所 示 的 位 置（点 F 在 线 段 AC上，且 点 F 与 点 C不 重 合）时，（2）中 的 猜 想 是 否 仍 然 成 立？（不 用 说 明 理 由）【答 案 与 解 析】一、选 择 题1.【答 案】D；RC A b 4【解 析】在 R S A B C 中，设 AC=3k,AB=5k,则 BC=4k,由 定 义 可 知 tan A=已 上=竺=2.故 选 D.AC 3k 32.【答 案】D；【解 析】根 据 锐 角 三 角 函 数 的 定 义，得 a b、A、tanA*cotA=-=1,关 系 式 成 立；b anB、s.m AA=a-,t，anA人*cosAA=-

22、a-b-a,关*万 系 式#卡 成 一 乂；c b e cC、cosA=p cotA*sinA=,关 系 式 成 立；c c a cZ7 hD、tan2A+cot2A=()2+()V l,关 系 式 不 成 立.b a故 选 D.3.【答 案】B；.BD=2EF=4VBC=5,CD=3/.ABCD是 直 角 三 角 形.tanC=3故 选 B.4.【答 案】C；【解 析】设 CE=x,则 AE=8-x.由 折 叠 性 质 知 AE=BE=8-x.在 RtZCBE中,由 勾 股 定 理 得 BE?=CE2+BC2,即(8-x)2=X2+62,7.t.an N/r CRBFE=_-C-E=_ 4=

23、_ 7.BC 6 245.【答 案】A；【解 析】l x+且，.当 x=0 时，y=走，3 3 3；.A(1,0),；.0B=当，0A=l,解 得 了=一，4当 y=0 时，x=l,A AB=y/OB2+OA2-,.c o sZ O B A=-.3 AB 2A OP AB,A Z a+Z 0 A B=9 0，又.N 0B A+N 0A B=90,A Z a=Z 0 B A.A c o s a=c o s Z 0 B A=-.故 选 A.6.【答 案】C；【解 析】如 图，由 题 意 可 知 NNPA=55,AP=2海 里,ZABP=90.VAB/7NP,ZA=ZNPA=55.在 RtZABP

24、中，V ZABP=90,ZA=55,AP=2 海 里，.AB=APcosZA=2cos550 海 里.故 选 C.A北/N、I.I J.B二、填 空 题 7.【答 案】30；【解 析】Xi x2=2 s in 0,xi+x2=-3,贝 i j(x 一 X 2)?=(xi+x?)?4X IX 2=9-8sin 0=(6)A s in O=-f：.0=3 0.238.【答 案】士；4【解 析】四 边 形 ABCD是 矩 形，/.ZA=Z B=Z D=9 0,CD=AB=4,AD=BC=5,由 题 意 得：ZEFC=ZB=90,CF=BC=5,NAFE+NDFC=90,NDFC+NFCD=90,A

25、Z D C F=Z A F E,在 RtADCF 中,CF=5,CD=4,ADF=3,D F 3A tanZA FE=tanZD CF=二 一.D C 429.【答 案】-；3【解 析】连 接 AO并 延 长 交 圆 于 E,连 CE.ZACE=90（直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角）；在 直 角 三 角 形 ACE中，AC=4,AE=6,A C 2s in Z E=-二 一；A E 3又 N B=N E（同 弧 所 对 的 的 圆 周 角 相 等），sinB 二 一.310.【答 案】1；【解 析】由 sin2 a+c o s2 a=1,可 得 1 sin2a=c o s2 aV

26、s inJ a+c o s2a=1,/.cos2a=1 sin2a.V 1-sin2 a Vcos2 a cos a|.-=-=-.cos a cos a cos aV0 a 0.目#cos a 原 式=-=1.cos a11.【答 案】I【解 析】连 接 E C.根 据 圆 周 角 定 理/EC0=N0BE.在 RtZXEOC 中，0E=4,0C=5,4,4贝 ij tan Z E C 0=.故 tanZ0BE=.12.【答 案】7 或 17；【解 析】cosz B=选，Z B=45。,2当 A B C为 钝 角 三 角 形 时，如 图 1,1-A B=12&,Z B=45。，AD=BD=1

27、2,AC=13,由 勾 股 定 理 得 CD=5,BC=BD-CD=12-5=7；当 A B C为 锐 角 三 角 形 时，如 图 2,BC=BD+CD=12+5=17.三、解 答 题13.【答 案 与 解 析】解：(1),坡 度 为 i=l：2,AC=4m,:BC=4x2=8m.(2)作 D S _ L B C,垂 足 为 S,且 与 A B相 交 于 H.Z DGH=Z BSH,Z DH G=Z BHS,Z GDH=Z SBH,.GH_1GD 2 DG=EF=2m,.G H=lm,D H=2 2=V 5 m,BH=BF+FH=3.5+(2.5-1)=5m,设 H S=x m,贝 i j B

28、S=2xm,x2+(2x)2=52,x=V 5m D S=4.5m.14.【答 案 与 解 析】解：在 RtZABD 中，ZABD=90,ZBAD=18,B D,tan N B A D-,A BBD=tanZBAD-AB=tan 18 X 9,；.C D=tan 18 X 9-0.5.在 RtZXDCE 中，ZDEC=90,ZCDE=72,CEsin Z.C D E=-,C E-sin A C D E C D=s in 72 X(tan 18 X 9-0.5)弋 2.3(m).C D即 该 图 中 C E的 长 约 为 2.3m.15.【答 案 与 解 析】解：如 图 所 示，由 已 知 可

29、得 A/ACB=60,/ADB=45.在 RtZXABD 中，BD=AB.又 在 R t A B C中，V tan 60=B C器=6 即 B C当 AB.；BD=BC+CD,A A B=A B+C D.3A CD=AB-AB=180-180 X=(180-60 6)米.3 3答：小 岛 C、D 间 的 距 离 为（180-60G）米.16.【答 案 与 解 析】解:(1)BF=CG.证 明：在 4ABF和 4ACG中，：/F=/G=90,/FAB=/GAC,AB=AC,.ABFAACG(AAS),，BF=CG.(2)DE+DF=CG.证 明：过 点 D 作 DH_LCG于 点 H(如 图 所

30、 示).：DE_LBA 于 点 E,ZG=90,DHCG,四 边 形 EDHG为 矩 形，.DE=HG.DH BG./.ZGBC=ZHDCA AB=AC.，NFCD=/GBC=NHDC.又,.NF=NDIIC=90,CD=DC,.FDC丝 HCD(AAS),；.DF=CH.,.GH+CH=DE+DF=CG,即 DE+DF=CG.(3)仍 然 成 立.(注：本 题 还 可 以 利 用 面 积 来 进 行 证 明，比 如(2)中 连 结 AD)中 考 总 复 习：锐 角 三 角 函 数 综 合 复 习 一 知 识 讲 解(基 础)责 编：常 春 芳【考 纲 要 求】L 理 解 锐 角 三 角 函

31、数 的 定 义、性 质 及 应 用，特 殊 角 三 角 函 数 值 的 求 法，运 用 锐 角 三 角 函 数 解 决 与 直 角 三 角 形 有 关 的 实 际 问 题.题 型 有 选 择 题、填 空 题、解 答 题，多 以 中、低 档 题 出 现；2.命 题 的 热 点 为 根 据 题 中 给 出 的 信 息 构 建 图 形，建 立 数 学 模 型，然 后 用 解 直 角 三 角 形 的 知 识 解 决 问 题.【知 识 网 络】解 直 角 三 角 形【考 点 梳 理】考 点 一、锐 角 三 角 函 数 的 概 念 如 图 所 示，在 R t A B C中，/C=9 0,/A 所 对 的

32、边 BC记 为 a,叫 做/A 的 对 边，也 叫 做/B 的 邻 边，N B 所 对 的 边 AC记 为 b,叫 做 N B 的 对 边，也 是 N A 的 邻 边，直 角 C 所 对 的 边 AB记 为 c,叫 做 斜 边.锐 角 A 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 N A 的 正 弦,记 作 s i n A,即 sin A=乙 曲 勺 对 边 a斜 边 锐 角 A 的 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做 N A 的 余 弦,记 作 c o s A,即 cos A=N怨 辔=-斜 边 C锐 角 A 的 对 边 与 邻 边 的 比 叫 做 N A 的 正 切，记 作 t a n A,

33、即 tan A=2 婴”=且.乙 曲 勺 邻 边 b同 理 sin B=的 对 边 斜 边 cos 5=/加 勺 邻 边 斜 边 tan B 二 的 对 边 NB的 邻 边 b要 点 诠 释：(1)正 弦、余 弦、正 切 函 数 是 在 直 角 三 角 形 中 定 义 的，反 映 了 直 角 三 角 形 边 与 角 的 关 系，是 两 条 线段 的 比 值.角 的 度 数 确 定 时，其 比 值 不 变，角 的 度 数 变 化 时，比 值 也 随 之 变 化.（2）sinA,cosA,tanA分 别 是 一 个 完 整 的 数 学 符 号，是 一 个 整 体，不 能 写 成 S1H 力，COS

34、 A,tan J4,不 能 理 解 成 sin与/A,cos与/A,tan与/A 的 乘 积.书 写 时 习 惯 上 省 略/A 的 角 的 记 号 N,但 对 三 个 大 写 字 母 表 示 成 的 角（如 NAEF）,其 正 切 应 写 成“tan/AEF”,不 能 写 成“tanAEF；另 外，（n 用（8$/）（tan 4）常 写 成 乳 1?4、co J A tanA（3）任 何 一 个 锐 角 都 有 相 应 的 锐 角 三 角 函 数 值，不 因 这 个 角 不 在 某 个 三 角 形 中 而 不 存 在.（4）由 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 知：当 角 度 在 0 ZA

35、90 之 间 变 化 时，0 皿/1，0 C O S J1 tanA0.考 点 二、特 殊 角 的 三 角 函 数 值 利 用 三 角 函 数 的 定 义，可 求 出 30、45、60角 的 各 三 角 函 数 值，归 纳 如 下:锐 角&sin a302245立 T60Tcos a tana迫 2且 3212百 要 点 诠 释：（1）通 过 该 表 可 以 方 便 地 知 道 30、45、60角 的 各 三 角 函 数 值，它 的 另 一 个 应 用 就 是：如 果 知 道 了 一 个 锐 角 的 三 角 函 数 值，就 可 以 求 出 这 个 锐 角 的 度 数，例 如：若 则 锐 角。=

36、45九 2（2）仔 细 研 究 表 中 数 值 的 规 律 会 发 现:sm30、E 4 T、sin&r的 值 依 次 为 苴、立、更，而 cos3T、（：0545*、（：0$60*的 值 的 2 2 2顺 序 正 好 相 反，tan30、tan45、tan60的 值 依 次 增 大，其 变 化 规 律 可 以 总 结 为:当 角 度 在 o Z A 9 0 之 间 变 化 时，正 弦、正 切 值 随 锐 角 度 数 的 增 大（或 减 小）而 增 大（或 减 小）,余 弦 值 随 锐 角 度 数 的 增 大（或 减 小）而 减 小（或 增 大）.考 点 三、锐 角 三 角 函 数 之 间 的

37、 关 系 如 图 所 示，在 RtABC中，ZC=90.(1)互 余 关 系：=cos(9Q-4)=CQS3，cos A=$in(9O0-Z 4)=sin 5；(2)平 方 关 系：sir?n+c o s n=1；(3)倒 数 关 系：tan 力 tan(9Cr-4)=I 或 tan/=-；tan 5(4)商 数 关 系：tan力=巴 吧.cos J要 点 诠 释：锐 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 式 可 由 锐 角 三 角 函 数 的 意 义 推 导 得 出，常 应 用 在 三 角 函 数 的 计 算 中，计 算 时 巧 用 这 些 关 系 式 可 使 运 算 简 便.考 点 四、

38、解 直 角 三 角 形 在 直 角 三 角 形 中，由 己 知 元 素(直 角 除 外)求 未 知 元 素 的 过 程，叫 做 解 直 角 三 角 形.在 直 角 三 角 形 中，除 直 角 外，一 共 有 5 个 元 素，即 三 条 边 和 两 个 锐 角.设 在 RtZABC中，ZC=90,N A、N B、/C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c,则 有：三 边 之 间 的 关 系：abc勾 股 定 理).锐 角 之 间 的 关 系：ZA+ZB=90.边 角 之 间 的 关 系：.a.b.asin zl=，cos A=tanH=一，c c b._ b a bsin=-,cos 8=，t

39、an.c c a-Sc=-=-cA,h 为 斜 边 上 的 高 3 2 2要 点 诠 释：(1)直 角 三 角 形 中 有 一 个 元 素 为 定 值(直 角 为 90),是 已 知 的 值.(2)这 里 讲 的 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 指 的 是 等 式，没 有 包 括 其 他 关 系(如 不 等 关 系).(3)对 这 些 式 子 的 理 解 和 记 忆 要 结 合 图 形，可 以 更 加 清 楚、直 观 地 理 解.考 点 五、解 直 角 三 角 形 的 常 见 类 型 及 解 法 和 解 法 三 角 形 类 近 7、已 知 条 件 解 法 步 骤 RtAABC两 边 两

40、 直 角 边(a,b)由 tan 4=乌 求 NA,bZB=90-ZA,c=J J+斜 边，一 直 角 边（如 c,a）由 sin=求 NA,cZB=90-Z A,b=J c-J边 角 一 直 角 边 和 一 锐 角 锐 角、邻 边（如 N A,b）NB=90-Z A,bc=a=b tan A,8 s A锐 角、对 边（如 N A,a）ZB=90-Z A,a.ac=b=-sin A,tan A斜 边、锐 角（如 c,Z A）ZB=90-Z A,a-c sin-4,b=c cosl要 点 诠 释：1.在 遇 到 解 直 角 三 角 形 的 实 际 问 题 时，最 好 是 先 画 出 一 个 直

41、角 三 角 形 的 草 图，按 题 意 标 明 哪 些 元 素 是 已 知 的，哪 些 元 素 是 未 知 的，然 后 按 先 确 定 锐 角、再 确 定 它 的 对 边 和 邻 边 的 顺 序 进 行 计 算.2.若 题 中 无 特 殊 说 明，“解 直 角 三 角 形”即 要 求 出 所 有 的 未 知 元 素，已 知 条 件 中 至 少 有 一 个 条 件 为 边.考 点 六、解 直 角 三 角 形 的 应 用 解 直 角 三 角 形 的 知 识 应 用 很 广 泛，关 键 是 把 实 际 问 题 转 化 为 数 学 模 型，善 于 将 某 些 实 际 问 题 中 的 数 量 关 系 化

42、 归 为 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 是 解 决 实 际 应 用 问 题 的 关 键.解 这 类 问 题 的 一 般 过 程 是：（1）弄 清 题 中 名 词、术 语 的 意 义，如 仰 角、俯 角、坡 度、坡 角、方 向 角 等 概 念，然 后 根 据 题 意 画 出 几 何 图 形，建 立 数 学 模 型.（2）将 已 知 条 件 转 化 为 几 何 图 形 中 的 边、角 或 它 们 之 间 的 关 系，把 实 际 问 题 转 化 为 解 直 角 三 角 形 的 问 题.（3）根 据 直 角 三 角 形（或 通 过 作 垂 线 构 造 直 角 三 角 形）元 素（边、角）

43、之 间 的 关 系 解 有 关 的 直 角 三 角 形.（4）得 出 数 学 问 题 的 答 案 并 检 验 答 案 是 否 符 合 实 际 意 义，得 出 实 际 问 题 的 解.拓 展：在 用 直 角 三 角 形 知 识 解 决 实 际 问 题 时，经 常 会 用 到 以 下 概 念：（1）坡 角：坡 面 与 水 平 面 的 夹 角 叫 做 坡 角，用 字 母&表 示.坡 度（坡 比）：坡 面 的 铅 直 高 度 h 和 水 平 距 离/的 比 叫 做 坡 度，用 字 母【表 示，则 i=/=t a n a,如 图,坡 度 通 常 写 成 z=A:/的 形 式.(2)仰 角、俯 角：视 线

44、 与 水 平 线 所 成 的 角 中，视 线 中 水 平 线 上 方 的 叫 做 仰 角，在 水 平 线 下 方 的 叫 做 俯 角，如 图.(3)方 位 角：从 某 点 的 指 北 方 向 线 按 顺 时 针 转 到 目 标 方 向 的 水 平 角 叫 做 方 位 角，如 图 中，目 标 方 向 PA,PB,PC的 方 位 角 分 别 为 是 40,135,245.(4)方 向 角：指 北 或 指 南 方 向 线 与 目 标 方 向 线 所 成 的 小 于 90的 水 平 角，叫 做 方 向 角，如 图 中 的 目 标 方 向 线 0A,OB,OC,OD的 方 向 角 分 别 表 示 北 偏

45、 东 30,南 偏 东 45,南 偏 西 80,北 偏 西 60.特 别 如：东 南 方 向 指 的 是 南 偏 东 45,东 北 方 向 指 的 是 北 偏 东 45,西 南 方 向 指 的 是 南 偏 西 45,西 北 方 向 指 的 是 北 偏 西 45。.要 点 诠 释：1.解 直 角 三 角 形 实 际 是 用 三 角 知 识，通 过 数 值 计 算，去 求 出 图 形 中 的 某 些 边 的 长 或 角 的 大 小，最 好 画 出 它 的 示 意 图.2.非 直 接 解 直 角 三 角 形 的 问 题，要 观 察 图 形 特 点，恰 当 引 辅 助 线，使 其 转 化 为 直 角

46、三 角 形 或 矩 形 来 解.例 如：3.解 直 角 三 角 形 的 应 用 题 时，首 先 弄 清 题 意（关 键 弄 清 其 中 名 词 术 语 的 意 义），然 后 正 确 画 出 示 意 图，进 而 根 据 条 件 选 择 合 适 的 方 法 求 解.【典 型 例 题】类 型 一、锐 角 三 角 函 数 的 概 念 与 性 质.如 图，在 4 X 4 的 正 方 形 网 格 中，tana=（）(A)l2【思 路 点 拨】把/a 放 在 一 个 直 角 三 角 形 中，根 据 网 格 的 长 度 计 算 出/a 的 对 边 和 邻 边 的 长 度.【答 案】B；【解 析】根 据 网 格

47、 的 特 点：设 每 一 小 正 方 形 的 边 长 为 1,可 以 确 定 N a 的 对 边 为 2,邻 边 为 1,然 后 利 用 正 切 的 定 义 tana=Na的 对 边 Na的 邻 边 故 选 B.【总 结 升 华】本 题 考 查 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 及 运 用，可 将 其 转 化 到 直 角 三 角 形 中 解 答，锐 角 的 正 弦 为 对 边 比 斜 边，余 弦 为 邻 边 比 斜 边，正 切 为 对 边 比 邻 边.举 一 反 三：【变 式】在 RtABC中，/C=90,若 AC=2BC,则 sinA的 值 是（）(A)2(B)2(0(D)5 2【答 案】

48、选 C.因 为 NC=90AB=7AC2+BC2-V5BC，所 以 sin AB CA BB C V5石 B C-5类 型 二、特 殊 角 的 三 角 函 数 值 已 知 a=3,且(4tan45 8)2+3+一 8 c=0,以 a、b、c为 边 长 组 成 的 三 角 形 面 积 等 于().A.6 B.7 C.8 D.94 tan 45-b=0,【思 路 点 拨】根 据 题 意 知 1 1 求 出 b、c 的 值，再 求 三 角 形 面 积.3+-b-c=0,【答 案】A；【解 析】根 据 题 意 知 4 tan 45-/?=0,3+U-c=0,2b=4,c=5.解 得 4所 以 a=3,

49、b=4,c=5,即/+力 2=。2,其 构 成 的 三 角 形 为 直 角 三 角 形，且/c=90,所 以 S=a/?=6.2【总 结 升 华】利 用 非 负 数 之 和 等 于 0 的 性 质，求 出 b、c 的 值，再 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 判 断 三 角 形 是 直 角 三 角 形，注 意 tan45的 值 不 要 记 错.举 一 反 三：【变 式】计 算：30+cosa 450+J 2 sin60 tan45-【答 窠】原 式 丫+(理 正*=1+_ 1+且=2+它.I 2 J 2 4 2 2 4 23.如 图 所 示，在 AABC中,ZBAC=120，AB=10,

50、AC=5,求 sinB sinC 的 值.【思 路 点 拨】为 求 sinB,sin C,需 将/B,/C 分 别 置 于 直 角 三 角 形 之 中，另 外 已 知/A 的 邻 补 角 是 60,若要 使 其 充 分 发 挥 作 用，也 需 要 将 其 置 于 直 角 三 角 形 中，所 以 应 分 别 过 点 B、C 向 CA、BA的 延 长 线 作 垂 线,即 可 顺 利 求 解.【答 案 与 解 析】解：过 点 B 作 BD_LCA的 延 长 线 于 点 D,过 点 C 作 CE_LBA的 延 长 线 于 点 E.VZBAC=120,.ZBAD=60.AD=AB cos600=10X-