湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题（解析版）.pdf

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1、湖 北 省 重 点 高 中 智 学 联 盟 2022年 秋 季 高 三 年 级 10月 联 考 数 学 试 题(答 案 在 最 后)、单 项 选 择 题 A=-咫 0,8=|x|ln x 0 时,A=(0,m),3=(0,e),B e A,所 以/n N e,即 ee,+oo)；m|-b|=7,则 同=()A.5 B.6 C.7 D.8【答 案】B【解 析】【分 析】利 用,一 目 2=I司 2 2万 石+忸,即 可 得 到 结 果.【详 解】.万=(,2 石)，.同=5+20=5,又 了 石=6,4=7,.a-陷 2=a f-2 a-b+=4 9,即 25 2 x 6+=4 9,解 得 忖=

2、6.故 选:B3.在 AABC中,已 知。+=，一+/,则 AABC的 形 状 一 定 是()tan A tan BA.等 腰 三 角 形 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 边 三 角 形 D.等 腰 直【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 正 弦 定 理,结 合 同 角 的 三 角 函 数 关 系 式、二 倍 角 的 正 弦 公 式、正 弦 型 函 数 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】根 据 正 弦 定 理,由,a b.丄 sin A sin B.，.sin A sin 3Q+-1-=sin A+sin B=-+-n sm A+sin B=-+：tan A ta

3、n B tan A tan B sin 4 sin Bcos A cosB=sin A+sin B=cos A+cos B=(sin A-cos A)2=(cos B-sin B)2=sin2 A+cos2 A-2sin Acos A=sin2 3+cos2 B-2sin BcosBn 1-sin 2 A=1-sin 23 n sin 2A=sin 2B,因 为 A,Bw(0,兀),所 以 2A,2 8(0,2兀)，所 以 有 2A=2 3,或 2A+28=兀,或 2A+25=3兀,当 2A=2 3时,有 A=B,此 时 有 sinA=cosA=4=A=6=一，4 4即。=,所 以 此 时 该

4、 三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形;27 1当 2+28=兀 时,即 A+B=,所 以 此 时 三 角 形 是 直 角 三 角 形;2当 2+28=3兀 时,即 4+6=，不 符 合 三 角 形 内 角 和 定 理,舍 去，2综 上 所 述:AABC的 形 状 一 定 是 直 角 三 角 形，故 选:B4.已 知 函 数 人=:。在 定 义 域 上 是 单 调 增 函 数,则 实 数 0的 取 值 范 围 为()A.0 6z l B.3 a 6C.a4 D.a 2【答 案】c【解 析】【分 析】根 据 绝 对 值 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性 进 行 求 解 即 可.【

5、详 解】.函 数/(x)=代:。;在 定 义 域 上 是 单 调 增 函 数,(logax,0 X 1a-3 l,解 得 1 把 4,0|-6f+4|.实 数。的 取 值 范 围 为（1,4,故 选:C.5.已 知 A A B C 三 边。、。上 的 高 分 别 为;、也、1,则 c o s A=（）2 2A,昱 B.立 C.一 也 D 2 2 4 4【答 案】C【解 析】【分 析】设 A A B C 面 积 为 S,分 别 将 三 角 形 的 边 用 S 表 示,利 用 余 弦 定 理 得 出 cosA.【详 解】设 钻 C面 积 为 S,a=4 5,b=2您,c=2S,则 cs4=0 也

6、半（包 一 也,2x2725x25 4故 选:C.6.5 G 技 术 的 数 学 原 理 之 一 便 是 著 名 的 香 农 公 式:C=Wlog2（l+9，它 表 示:在 受 噪 声 干 挠 的 信 道 中,最 大 信 息 传 递 速 率。取 决 于 信 道 带 宽 W、信 道 内 信 号 的 平 均 功 率 S、信 道 内 部 的 高 斯 噪 声 功 率 N 的 大 小,其 中 士 叫 做 信 噪 比.按 照 香 农 公 式,若 不 改 变 带 宽 W,而 N将 信 噪 比 从 1000提 升 至 2000,则 C 大 约 增 加 了（）NA.10%B.30%C.50%D.100%【答 案

7、】A【解 析】【分 析】根 据 香 农 公 式,分 别 写 出 信 噪 比 为 1000和 2000时 的 传 递 速 率 为 C=Wlog2（l+1000）和 C=Wlog2（l+2000）,两 者 相 比，再 根 据 对 数 运 算 即 可 估 计 得 答 案.【详 解】当 士=1000时,C=Wlog,（l+1000）N当 士=2000时，C=Wlog,(1+2000)NW log,(1+2000)-Wlog2(1+1000)_ log,2001 1 l+log21000 L 丄 则 Wlog2(l+1000)-log21001 log21000 3 81 1 1 1 1又=lgl04

8、lg2 lgl()3=屋 根 据 选 项 分 析,-lg 2 0.1所 以 信 噪 比 从 1000提 升 至 2 0 0 0,则 C 大 约 增 加 了 10%.N故 选:A.【点 睛】本 题 考 查 知 识 的 迁 移 应 用,考 查 对 数 的 运 算,是 中 档 题.7.设 函 数 x)=2 s in(g x+4-1(0)在 0,5可 内 恰 有 3个 零 点,则 9 的 取 值 范 围 是()【答 案】D【解 析】【分 析】先 令.(x)=o,求 得 x=20+4 兀 或=一 2+4 兀,再 根 据 题 意 尝 试 k e Z 的 值 可 确 定=0,1,进 而 得 到(x)=0 的

9、 4个 零 点，结 合 题 意 排 除 其 中 1个 零 点 有 两 种 情 况,分 别 求 之 即 可 得 到 力 的 取 值 范 围.【详 解】:/(x)=0,即 s i n x+e)=g,1 7 T _._1 a B 1 5 兀 _.r_y x(p=F2kli或 一 x cp=-F2 K7 1,k w Z,2 6 2 6TI 5兀 x 2夕+4氏 兀 或=2+4 兀,Z,9 0(/)f 即 2。兀,71 71 1 IjT.当 0 时,x=2 0+4匕 1 2 4兀=-2夕 0且 x=-2(p+4kTi-2(p-4Ti=-2(p 8兀 一 功 5兀 且 x=-2(p+4kjt-2+8兀 8

10、兀 一 2 5兀,即 所 有 根 都 大 于 5兀,7 T!T IT综 上:k=0,1,即/(x)在 0,5兀 内 的 二 个 零 点 为 2,2,彳 2+4兀,-2+4兀 中 的 三 个.由 于 上 述 4 个 值 是 依 次 从 小 到 大 排 列,且 2(p 7 i 0,3 37T _.71 _ _-2?+4T I 0I,解 得，-2+4兀 5兀,故,兀 63或“-2(p 6、兀(p 3，故 e 0),则 Z/(%)=-eve当 0 x O,(x)单 调 递 增，当 x 2 时,(x)O,/z(x)单 调 递 减,而(0)=0,而(x)max=/z(2)=ln/e0J(x)单 调 递 增

11、,当 1时,/(x)g(x)=1-Inx当 x O,g(x)单 调 递 增,当 e 时,g(x)0,当 x一 0时,y,图 象 如 下 图 所 示,当 直 线 y=经 过 曲 线/(x)=和 g(x)=，唯 一 的 公 共 点 时,直 线 与 两 条 曲 线 恰 好 有 三 个 不 同 的 交 点,如 上 图 所 示，则 有 1 e%3,且 对 上 式 同 构 可 得:Ine*1 _ Ine _ In4 _ InXje*e?x2 X30 e,且 函 数 g(x)=-在(e,+8)上 单 调 递 减,e的=七 由 方 程 可 得:8=In-e*,再 结 合 方 程 可 得:x；=玉 七 故 选:

12、D【点 睛】关 键 点 睛:用 转 化 法 判 断 曲 线/(x)=、g(x)=的 交 点 个 数 是 解 题 的 关 键.二、多 项 选 择 题 9.已 知 日=(1,2),b=(-4,r),则()A.若。B，则，=8 B.若。丄 5，则 f=2C.除 一 5|的 最 小 值 为 5 D.若 向 量 与 向 量 B 的 夹 角 为 钝 角,贝/2【答 案】BC【解 析】【分 析】A:两 向 量 平 行,成 数 乘 关 系,坐 标 成 比 例;B:两 向 量 垂 直,数 量 积 为 零;C:当 两 向 量 同 向 时,它 们 差 的 模 最 小;D:两 向 量 夹 角 为 钝 角 时,数 量

13、积 为 负 且 夹 角 不 能 为 18.【详 解】由 日/5,得=-8,A 不 正 确；由 行 丄 行，得 4+2/=0，t-2,B正 确;除 5|=訴 5)2+(2)2,当=2 时，|5 5|取 得 最 小 值 5,C正 确;当 庁 石 0 时，即 T+2 f 0,得 2，当 方 与 日 反 向 时，=-8，故 若 向 量 万 与 向 量 b 夹 角 为 钝 角,则 一 8,或 8 f 8 是 5皿 亙!1 8 的 充 要 条 件 C.命 题“V x 0,lo g 2(x+l)0 的 否 定 为 0,log2(Xo+l)W O”D.tan（E+a）=tana,k&Z【答 案】BCD【解 析

14、】【分 析】A 选 项,求 导,设 出 切 点,利 用 直 线 斜 率 列 出 方 程,求 出 切 点 坐 标,进 而 求 出 切 线 方 程;B选 项，结 合 正 弦 定 理，先 证 明 充 分 性，再 证 明 必 要 性:C 选 项，全 称 量 词 命 题 的 否 定 是 存 在 量 词 命 题,把 任 意 改 为 存 在,再 把 结 论 否 定;D选 项,利 用 诱 导 公 式 进 行 求 解.【详 解】/（x）=lnx+ln（2 x）+l 定 义 域 为（0,2）,/（=丄+,设 切 点 为（加,In根+ln（2+1）,令 丄+L n l,解 得:加=2-0 或 2+五（舍 去），m

15、m-2所 以 切 点 坐 标 为（2-a,l n（2-a）+ln血+，所 以 切 线 方 程 为 y-（ln（2一 夜）+l n 0+l）=x（2-0）,所 以=x 不 是 曲 线 的 切 线,A 错 误;在“LBC中,A B,则 由 大 角 对 大 边 得 a（）,由 正 弦 定 理 得:=,sin A sin B因 为 s in A 0,s in 8 0,所 以 s in A s in 5,充 分 性 成 立,在 ABC中,sin A sin B 0,由 正 弦 定 理 得:，一=,sin A sin B所 以 a 6,由 大 边 对 大 角 可 知:A B,必 要 性 成 立,故 B正

16、确;命 题“V x0,log2（x+l）0 的 否 定 为 x（）0，log2（Xo+l）0,C正 确:由 诱 导 公 式 可 得 tan（E:+a）=tana,k w Z,D正 确.故 选;BCD11.已 知 函 数/（x）=cos|x|2卜 山,以 下 结 论 不 正 确 的 是（）A.兀 是 函 数/（x）的 一 个 周 期B.函 数 x）在 0,y 上 单 调 递 减 C,函 数/（X）的 值 域 为 一 6,1 D.函 数/（X）在-2兀,2兀 内 有 6个 零 点【答 案】ABD【解 析】【分 析】根 据 兀）H/（O）判 断 选 项 A错 误;对 于 B,当 W 0,将 力 化

17、简,然 后 检 验 即 可;对 于 C,求 出 函 数 x）在 个 周 期 兀,可 的 值 域,先 求 当 x e 0,兀,再 求 当 x e 兀,的 值 域 即 可 判 断;对 于 D,根 据 函 数，（为 偶 函 数,可 通 过 区 间 0,2兀 上 零 点 个 数 从 而 确 定 其 零 点 个 数.【详 解】对 于 A:因 为/（x）=c o s|x|-2|sin x|,所 以/（0）=c o s0-2|sin 0|=l,/（7 T）=cos7c-2|sin7t|=-1,因 为 兀）H。），所 以 兀 不 是 函 数，（x）的 一 个 周 期,即 选 项 A 错 误;对 于 B:当 O

18、WxW 时,3f（x）=cosx-2sinx=/5（cosx sin元）=/5 cos（x+9）其 中 cose=，sine=-，不 妨 设 为 锐 角,则 一 e,3 2因 为 o w x T,所 以 e x+0+,因 为 兀,所 以 函 数/（）在 0,剤 无 单 调 性，即 选 项 B 错 误;对 于 C:因 为 2兀 是 函 数 f）的 一 个 周 期,可 取 个 周 期 兀 兀 上 研 究 值 域,当 x 0,兀,/(%)=c o sx-2 sin x=cos(x+),甘 rh 6 25其 中 co se=，sin 7=-，TT TT不 妨 设 为 锐 角,则 夕,3 23兀 则 x

19、+兀+0,所 以 行 E P/(x)e-V 5,l；又 因 为)是 偶 函 数,所 以 当 x e 兀,时.，/(x)e-V 5,l,故 函 数 人 在 R 上 的 值 域 为-6,1,故 选 项 C 正 确;对 于 D:当 x e 0,兀,令 f(x)=0,W cosx=2 s i n x,即 tanx=丄,只 有 1 个 解;2当 w 兀,2兀,令*)=0,得 cosx=2 sin x,B P tanx=-,只 有 1 个 解;2所 以 门 幻 在。2兀 上 有 2 个 零 点,又 因 为 函 数 幻 为 偶 函 数,所 以 在 区 间-2兀,2兀 内 有 4 个 零 点,即 选 项 D

20、错 误.故 选:ABD.【答 案】ABC【解 析】【分 析】先 判 断 函 数 零 点 的 个 数,再 求 导 函 数,根 据 导 函 数 判 断 原 函 数 的 单 调 性,从 而 逐 判 断 选 项.【详 解】显 然 x）有 唯 一 零 点 x=l,故 D 错 误;/（x）=（lnx+1）,（xlnx）=lnx+l,二 y=xlnx在 0,丄）上 单 减,1,+8）上 单 增,A X InX e-,+ooj,且 x-0时 xlnx 7 0,x+时 xlnx+oo,故 当 OWArWe 时，f（x）0,/（单 增，选 项 A 可 能;当 e 时，/（x）存 在 两 个 零 点 与 丄 1,F

21、（x）在（0,%）和（,+）上 单 增，（,）上 单 减,选 项 B 可 能:当&0时,/（X）存 在 唯 一 零 点 七）1,/（x）在（,%）上 单 增,在（%,+。）上 单 减,选 项 C 可 能.故 选:ABC.【点 睛】关 键 点 睛:函 数 图 像 的 判 断 关 键 在 求 出 导 函 数,用 极 限 思 想 判 断 导 函 数 的 符 号,得 出 原 函 数 的 单 调 性.三、填 空 题 313,角 a 的 终 边 经 过 点 P（根,4）,且 cosa=，则 tancr的 值 为.【答 案】-【解 析】m 3【分 析】根 据 三 角 函 数 的 定 义 列 式 亏-一,求

22、得 再 根 据 正 切 函 数 的 定 义 即 可+16 5求 得 答 案.【详 解】由 题 意 角 a 的 终 边 经 过 点 P(6,4),且 cos。=,可 知 m 0,m 3则 cosa=，=,4 2+16 5解 得=一 3,所 以 tana=一 一,3故 答 案 为:-31 4.化 简(2 log4 3+log8 3)(log3 2+log9 2)=【答 案】2【解 析】【分 析】结 合 log=log/、换 底 公 式 化 简 计 算 即 可 m【详 解】原 式=(2xglog2 3+glog23)(log32+-log,2)4 3=-lo g23 x-lo g32=2.故 答 案

23、 为:2.15.已 知 lW x W 4,则 函 数/(x)=、:+的 值 域 为 _.+4+4【答 案】757_5 4_【解 析】【分 析】将 函 数 化 简 为 了()=4,再 结 合 双 勾 函 数 即 可 得 出 答 案.X H-X【详 解】因 为 l 4 x 4,所 以 x+lw O,弘)+x 一(x+l)_ x _ 1。，X3+X2+4X+4(X+1)(X2+4)+4-X令 g(x)=x+-,x e l,4,由 双 勾 函 数 知,g(x)在 1,2)上 单 调 递 减,在(2,4 上 单 调 递 增,所 以 g(2)=4,g=5,g(4)=5,所 以 g(x)e 4,5,所 以/

24、(x)w.故 答 案 为:1-41-516.若 函 数/(x)=2 x-co sx m在(兀,兀)上 存 在 唯 一 的 零 点 演,若 函 数 g(x)=f-sinx-/n r在(一 兀,兀)上 存 在 唯 一 的 零 点 巧,且,则 实 数“Z的 取 值 范 围 是.【答 案】兀,2兀+1)【解 析】【分 析】根 据 导 数 的 性 质，结 合 函 数 的 零 点 定 义 进 行 求 解 即 可.【详 解】由/(X)=2x cosx/n=/(%)=2+sinx,因 为 x e(兀,兀),所 以 IW sin x W l,因 此)0,所 以/(单 调 递 增，故/(x)e(2兀+1,2兀+1

25、,因 为/(x)=2x cosx z在(兀,兀)上 存 在 唯 一 的 一 2 兀+1/一 2兀+1(z0由 g(x)=x-sm x mx=g(x)=2x cosx m=f(x),由 函 数，(x)的 性 质 可 知:当 XG(兀,)时，/(X)0 单 调 递 增,g(兀)=兀 2+!兀 要 想 玉,只 需 m 7 1,g(兀)=兀-一 综 上 所 述:加 e 乃,2乃+1).故 答 案 为：兀,2兀+1)【点 睛】关 键 点 睛:利 用 导 数 性 质,结 合 函 数 零 点 的 定 义 是 解 题 的 关 键.四、解 答 题 17.已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S,a=l,an+

26、=S,+1(e N*),数 列 也 满 足=1,b”+i=2a“+b”.(1)求 数 列 4、的 通 项 公 式;(2)若 数 列%满 足 q,=言 一,求 证:q+c,+4 2),所 以+1=a(n2),即%川=2a,(n2)又 由 4=1,得 4=2,满 足+=2，所 以 4=2一,而“=2册=2,所 以=2T+2-2+2,dri,1 x-1)明 以=2-+2n-2+21+1=-=2-1：”2-1【小 问 2 详 解】证 明:因 为%=2T=丄(L(2-l)(2n+1-1)2 2-1 2n+I-1),g、,L I 1 1 1 1 1、1,1、1所 以 G+2+”=一(i-1 Z-z-f-,

27、-:)=(1-:)一.2 2-1 22-1 22-1 23-1 2-1 2n+1-1 2 2+-1 218.如 图,矩 形 8 8 E 所 在 平 面 与 AABC所 在 平 面 垂 直,ZACB=9 0 BE=2.(1)证 明：:丄 平 面 A C D；（2）若 平 面 A D E与 平 面 A B C的 夹 角 的 余 弦 值 是 好,且 直 线 A E 与 平 面 B C D E所 成 角 的 正 弦 值 是 丄,求 异 面 直 线 与 A B所 成 角 的 余 弦 值.4【答 案】（1）证 明 见 解 析 6【解 析】【分 析】（1）由 矩 形 性 质 和 平 行 关 系 可 证 得。

28、E 丄 C D，D E 1 A C,由 线 面 垂 直 的 判 定 可 得 结 论;（2）方 法 一:由 面 面 垂 直 性 质 可 证 得 A C丄 平 面 B C O E,过 点 A 作/B C,由 线 面 角 和 面 面 角 的 定 义 可 知 s in/A C=L c o s/D 4 C=好,由 此 可 求 得 B C,A 8,由 异 面 直 线 4 5所 成 角 的 定 义 可 知 所 求 角 为 Z A B C,由 cos NABC=可 求 得 所 求 余 弦 值;AB方 法 二:以 C 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,设 A C=a,BC=b,利 用 线

29、面 角 和 面 面 角 的 向 量 求 法 可 求 得。的 值,利 用 异 面 直 线 所 成 角 的 向 量 求 法 可 求 得 结 果.【小 问 1详 解】四 边 形 8 c 0 E 为 矩 形，.）丄 8；V=9 0,即 AC 丄 B C,又 D E H B C,：.D E 1 A C,A C P C D C,A C,C D u 平 面 AC。,.O E丄 平 面 AC。.【小 问 2 详 解】方 法 一:平 面 8C7）E 丄 平 面 A B C,平 面 8。平 面 ABC=B C,B C 1 A C,A C u 平 面 A B C,A C 丄 平 面 8。E,则/A E C 即 为

30、直 线 A七 与 平 面 3 C D E所 成 的 角,.sin ZAEC=-,AE 4过 点 A 作/B C,则 平 面。平 面/3 C=/，D由 Q）可 得:/丄 面 ACD,.A 丄/,AC L I,平 面 OE与 平 面 ABC 夹 角 为/D 4 C,.cosND4C=任=好,A D 5又。=5E=2,AC=1,则 AE=4,CE=A/T，/.B C VTT，AB 2fs 又 异 面 直 线。E 与 AB所 成 的 角 为 ZABC,cos N A B C.A B 6即 异 面 直 线 D E 与 A B 所 成 角 的 余 弦 值 为 叵.6方 法 二:由（1）可 得:C A L

31、C B,C A L C D,C D 丄 CB,以 点。为 坐 标 原 点,。4,。8,。正 方 向 为 2轴,可 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系,设 AC=a,B C=b,则 4（a,0,0）,。（,0,2）,七（0,仇 2）,5（0,）,AD=（-tz,0,2）.历=（0,0）,A E=（-a,b,2）,8 丄 面 ABC,平 面 A B C 的 个 法 向 量 加=（0,0,2）；设 平 面 AED的 法 向 量=（x,乂 z）,AD-n=-ax+2z=0,公、则.,令=2,解 得:y=0,z=a,.=(2,0,a)；D E n=b y=Q、I.-I CD-A.cos=

32、7 j=,叫 2 4la害,解 得：4=1；+4AC丄 平 面 BCDE，平 面 BCDE的 个 法 向 量 C4=（l,0,0）；|cos CA,AEa 1r 解 得:b=布，.0E=(O,VTT,),AB=(-1,曰,),|D-AB|HI cos|=J 网 网 VT1X 2A/3 6即 异 面 直 线。E 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 叵 61 9.2022年 9月 2 8日 晩,中 国 女 排 在 世 锦 赛 小 组 赛 第 三 轮 比 赛 中,又 一 次 以 3:（）的 比 分 酣 畅 淋 漓 地 战 胜 了 老 对 手 日 本 女 排,冲 上 了 热 搜 榜 第 八 位，令 国

33、 人 振 奋!同 学 们，你 们 知 道 排 球 比 赛 的 规 则 和 积 分 制 吗?其 规 则 是:每 场 比 赛 采 用“5局 3 胜 制”（即 有 一 支 球 队 先 胜 3局 即 获 胜，比 赛 结 束）.比 赛 排 名 采 用 积 分 制，积 分 规 则 如 下:比 赛 中,以 3:0或 3:1取 胜 的 球 队 积 3分，负 队 积 0分;以 3:2取 胜 的 球 队 积 2分,负 队 积 1分.已 知 甲、乙 两 队 比 赛,甲 队 每 局 获 胜 的 概 率 为.（1）如 果 甲、乙 两 队 比 赛 1场，求 甲 队 的 积 分 X 的 概 率 分 布 列 和 数 学 期

34、望;（2）如 果 甲、乙 两 队 约 定 比 赛 2 场,求 两 队 积 分 相 等 的 概 率.4【答 案】（1）分 布 列 答 案 见 解 析,（X）=11120(2)-6561【解 析】【分 析】（1）分 析 可 知 随 机 变 量 X 的 可 能 取 值 有、1、2、3,计 算 出 随 机 变 量 X 在 不 同 取 值 下 的 概 率,可 得 出 随 机 变 量 X 的 分 布 列,进 步 可 求 得 七（X）的 值;（2）设 第 i 场 甲、乙 两 队 积 分 分 别 为 X，分 析 可 得 X 1+X?斥 事 件 的 概 率 公 式 可 求 得 所 求 事 件 的 概 率.3,利

35、 用 独 立 事 件 和 互【小 问 1 详 解】解:随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0、1、2、3,P（X=O）=&P（X=2）=C 丄、3。P（x=1）y I381i-i择 16 P（X=3）=C;.I81 27 37+c；.|.32 23713 2722 271 2一 F3 323 37所 以 X 的 分 布 列 为 X0 1 2 3P988116811627所 以 数 学 期 望 E（X）=Ox丄+1X+2 X 3+3 X竺=出）9 81 81 27 81小 问 2 详 解】解:记“甲、乙 两 队 比 赛 两 场 后,两 队 积 分 相 等”为 事 件 A,设 第

36、i 场 甲、乙 两 队 积 分 分 别 为 x,则 X,=3 工,，=1、2,因 两 队 积 分 相 等,所 以 X 1+X 2=X+,即 X 1+X 2=（3 X j+（3 X2）,则 X,+X2=3,所 以 P（A）=P（X,=O）P（X2=3）+P（X,=l）P（X2=2）+P（X,=2）P（X2=1）+P（X,=3）P（X2=0）1 16 8 16 16 8 16 1 1120=X-1-X-1-X-1-X=-.9 27 81 81 81 81 27 9 65612 0.已 知 向 量/=（sinx,l）,万=（j c o s x,-g）,设 函 数/（x）=（2+。）.（1）求 函 数

37、/（x）的 最 小 正 周 期:（2）在 A A B C中，角 A,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,c,NACB的 角 平 分 线 交 AB于 点 D.若/（C）恰 好 为 函 数,/（H 的 最 大 值,且 此 时 CD=/（C）,求 3a+的 最 小 值.【答 案】（1）兀（2）4+亜 3【解 析】【分 析】（1）先 利 用 平 面 向 量 加 法、数 量 积 的 坐 标 表 示、二 倍 角 公 式、辅 助 角 公 式 得 到 x)=sin 2 x-5+1,再 利 用 周 期 公 式 进 行 求 解;k 6丿(2)先 利 用，(C)恰 好 为(的 最 大 值 求 得 C=三,利 用

38、正 弦 定 理 得 到 1 1C=-1-sin A sin B,菱 和 E H,再 利 用 基 本 不 等 式 进 行 求 解.【小 问 1详 解】V?n=(sinx,l)1=(百 cosx,一 m+n-sinx+G c o sx,丄),I+2/(x)=sinx 卜 in x+G co sx)=sir 2 x+6 s i n x c o s x+一 21-cos 2x 6sin 2x+-2 2=sinf 2x 1+1则 7(x)的 最 小 正 周 期 为=万=兀;【小 问 2 详 解】由/(C)恰 好 为 了(力 的 最 大 值,得 C)=sin2C 弓)+1=2,即 sin(2C 一 1=1

39、,；0。兀，所 以 C=弓，则 CD=/(C)=2；CD在 ZACD 中，由 sin A 念 4CD BD-=-I在 BCD中,由 sinB.1,可 得 8。=1；sm-C s inB2c=AQ+B=sin A sin B在 AABC中,由 a bsin A sin B sin C,得 1 1a=b=sin A sin 3sin A sin B TsinB 八-+1sin A V sin A 0,sin B 0,r,2A/3 f/3sin A sin 53 1 sinB sin A J2 Vs 7 G、8上=（4+2V3）=4+,（当 且 仅 当 百 sin A=sin 8,即 tan A=纟

40、 公 5 时,等 号 成 立）1 1故 3。+的 最 小 值 为 4+曳 5.32 1.已 知 直 线:y=一 走 x+2与 椭 圆 E:土+匕=1相 切 于 点 M,与 直 线 厶:2 4 2、万 y=%+/相 交 于 点 N（异 于 点）.2（1）求 点 M 的 坐 标;（2）直 线 交 七 于 点 A（%,y），5（,）两 点,证 明:公 ANM s M NB.【答 案】（1）M（V2,1）；（2）证 明 见 解 析.【解 析】【分 析】（1）通 过 解 方 程 组 进 行 求 解 即 可;（2）将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立,结 合 椭 圆 弦 长 公 式、相 似 三

41、角 形 判 定 定 理 进 行 运 算 证 明 即 可.【小 问 1 详 解】解:“交+25 2,消 y得:2/x+2=0,解 得:=枕,故 x2+2y2=4【小 问 2 详 解】y 二 联 立,y-x+2x+f，解 之 得:N/2-+2 2联 立 y=+，消 y 得:X2+y2tX+t2-2=Qx2+2y2=4由 题 可 得：=8 2/0，.玉+=一，xtx2=r-2.|A 4|B|-xtx2-y/2-t（玉+）+2-t-I）I 2 守 一 2 仔 創（一 砂 件 率）宁,加 划=冋 伝 仔 争 卜 局 争，NMf=|网,A N M N：.=,又 Z A N B=/M N B,；.4 A N

42、 M s M N B.N M N B【点 睛】关 键 点 睛：结 合 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 关 系,运 用 椭 圆 的 弦 长 公 式 是 解 题 的 关 键.2 2.已 知 函 数/（X）=e 2-X,weR.（1）若，0,求 函 数/（x）的 单 调 区 间;若 任 意 xNO,f（x）l+m x2,求，的 取 值 范 围.【答 案】（1）递 减 区 间 为（双，一 一;递 增 区 间 为 I 2m 2 m）X 丄 in丄,+82m 2m【解 析】【分 析】(1)对 x)求 导,则 f(司 在/?上 单 增,令 f(x)=0,解 得 x=，一 In，一,2m 2m即 可

43、求 出 函 数./(x)的 单 调 区 间;(2)方 法 一:设 g(尤)=/(x)_(mx2+)=e2皿 做 2_尤,转 化 为 求 g(x)m,()，求 g(x),得 出 g(x)的 单 调 性,即 可 得 出 答 案.方 法 二:Vx0,/却+初 恒 成 立 等 价 于 1 e-2皿(储+恒 成 立.设 g(%)=e m mx1+x+l),求 g(x),分 类 讨 论 1 2 加 MO,1 2m 0,m-0,得 出 g(x)的 单 调 性，即 可 得 出 答 案.【小 问 1详 解】/(x)=2me2mv-l,.加 0,./(x)在 R 上 单 增，令/(x)=0,解 得 1,1x=In

44、,2m 2m则 当 时,/(x)0.I 2m 2m)(2m 2m)7/(対 的 递 减 区 间 为 1-8,，-111，一;递 增 区 间 为(，T n，一 收 I 2m 2m J 2m 2m)【小 问 2 详 解】方 法 一:设 g(X)=/(%)_(痛 2+1)二 匕 2 心 一 痛 2_x_1,%0,g(0)=0,g(x)=2m,nx-2tnx-,x0,gr(0)=2m-l,令(x)=2rn,m-2mx-1,)=(2my e2fnx-2m=2m(2me2,lx 1)=2时(x),x 0,当 2m-12 0 即，2 丄 时,(x)在,+)上 恒 成 立,./z(x)在 0,+)上 单 增，

45、h(x)/(O)0,，8(6 在 0,+)上 单 增,g(x)2g(O)=O,.当 丄 时，不 等 式 恒 成 立，符 合 题 意 2 当 2加 11即 根 时,由 可 得:/i(x)=2W(x)0,在(一 8,In 上 恒 成 立,又 一 I n 0,Z/(%)()在 0,!n-成 立,I 2/7 1 2/71)2m 2m _ 2m 2 m)(x)在,;In:)单 调 递 减,(x)(0)=2 7 10,.,.(x)在 0,5 1 n)单 调 递 减,g(x)g(O)=O,与 g(x)2 0 恒 成 立 矛 盾,故 不 符 合 题 意 当，0时,此 时 g 丄 l=e-2 l 0，/(x)l+初 恒 成 立 等 价 于 iNe-2m(四 2+x+l)恒 成 立.设 g(x)=eT(/+x+l),x 0,gf(x)=e2,u-2m2%2+(l-2 m),当 1 2，即，之 J 时,8(%)0且/7 2 W 0 即 2 丄 且 2 W 0 时,2若。下 时,g a)，函 数 式 工)单 调 递 增,Vxe，刀 厂 J时,g(x)之 g(O)=L与 g(x)W l矛 盾,不 符 合 题 意;当，=0时,g(x)=x+l,显 然 不 等 式 g(x)W l不 恒 成 立,与 题 意 矛 盾.!综 上,实 数，的 取 值 范 围 是 5,+8.L 7