角的(基础)知识讲解.docx

《角的(基础)知识讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《角的(基础)知识讲解.docx（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、角的(基础)知识讲解【学习目标】1 .掌握角的概念及角的表示方法，并能进展角度的互换；.借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的对比方法；2 .会利用角平分线的意义进展有关表示或计算；.掌握角的和、差、倍、分关系，并会进展有关计算；3 .掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进展有关计算;. 了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题.【要点梳理】【高清课堂：角397364角的概念】要点一、角的概念1.角的定义：(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两射线旋转时经过的平面局部是角的内部.如图2所示，射线0A绕它的端点0旋转到0B的位置

2、时，形成的图形叫做角，起始位置0A是角的始边，终止位置0B是角的终边.要点诠释：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一 条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫 做周角.2 .角的表示法：角的几何符号用/表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时、要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或 小写希腊字母.3 .角的画法(1)用三角板可以画出30。、45。、60。、90等特殊角.(2)用量角器可以画出任

3、意给定度数的角.(3)利用尺规作图可以画一个角等于角.要点二、角的对比与运算.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1。的,为1分，记作“1，1，的,为1秒，记作“1.这种以度、分、秒为单位的 6060角的度量制，叫做角度制.1 周角=360。，1 平角= 180。，1 =60z, T =60 .要点诠释：在进展有关度分秒的计算时，要按级进展，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除 的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进展运算，在相乘或相加时，当低位得 数大于等于60时要向高一位进位.2 .角的对比：角的大小对比与线段的大小对比相类

4、似，方法有两种.方法1：度量对比法.先用量角器量出角的度数，然后对比它们的大小.方法2：叠合对比法.把其中的一个角移到另一个角上作对比.如对比NAOB和NA O B的大小：如以以下图，由图U）可得NAOBNA O B.3 .角的和、差关系如以下图，NA0B是N1与N2的和，记作：ZAOB=Z1 + Z2； N1是NAOB与N2 的差，记作：Zl = ZA0B-Z2.要点诠释：（1）用量角器量角和画角的一般步骤：对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；重合（一边 与刻度尺上的零度线重合）；读数（读出另一边所在线的度数）.（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90外，根据角的和、差关系，

5、还可以画 出 15 , 75 , 105 , 120 , 135 , 150 , 165 的角.4 .角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如以 下图，OC 是NAOB 的角平分线，NAOB = 2NAOC = 2NBOC,1ZAOC=ZBOC=- ZAOB.2要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.要点三、余角和补角L定义：一般地，如果两个角的和等于90 （直角），就说这两个角互为余角，即其中一个 角是另一个角的余角.类似地，如果两个角的和等于180。（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是 另一个角的补角.

6、2.性质：（1）同角（等角）的余角相等.2同角等角的补角相等.要点诠释：（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们 的位置无关.（2） 一般地，锐角Q的余角可以表示为（90。-a）, 一个角a的补角可以表示为（180。- a）.显然一个锐角的补角比它的余角大90。要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏 东60。；射线OB的方向是南偏西30.这里的“北偏东60 和“南偏西30。表示方 向的角，就叫做方位角.要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作

7、为“基准北偏东60。 一般不说成“东偏北30。 ；（3在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线， 确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点。是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点.要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6。， 时针每小时转30。，时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计 算问题.【典型例题】类型一、角的概念及表示1 .以下语句正确的选项是（）.A.两条直线相交，组成的图形叫做角.B.两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角.C.两条具有公共端

8、点的射线组成的图形叫做角.D.过同一点的两条射线组成的图形叫做角.【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的 一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线的重要 区别.举一反三：【变式】判断以下说法是否正确两条射线组成的图形叫做角（）平角是一条直线（）周角是一条射线（）【答案】XXXCz写出图中（1）能用一个字母表示的角；（2）以B为顶点的角；（3）图中共有几个角（小 于 180 ）.【答案与解析】解：（1）能用一个字母表示的角NA、ZC.（2）以 B 为顶点的角NABE、/ABC、ZCBE.图

9、中共有7个角.【总结升华】（1）顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示；（2）一般数角时不包括平 角和大于平角的角.类型二、角度制的换算C3. （1）把25. 72用度、分、秒表示；（2）把45 12 30化成度准确到百分位. 【思路点拨】第题中25. 72。中含有两局部25和0.72。，只要把0.72。化成分、秒即 可.第（2）题中，45。12 30含有三局部45。，12,和30，其中45。已经是度，只要 把12,和30化成度即可.【答案与解析】解：（1）0.72 =0.72X60 =43.2, ， 0.2 =0.2X60=12，所以 25.72。=25。43 12 .(1 Y 30 =

10、30 x =05, 160；12.5r = 12.5xfV 0.21所以 45。12f 30” 45.21 .【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进展，“越级 化单位容易出错.举一反三：【变式】(1)把26.29。转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33。24 36转化成度表示的形式.【答案】解：(1)26.29。=26 +0.29。=26 +0. 29X607 =26 +17. 4，= 26 +17 +0.4X60 =26 17+24 =26 17, 24(1 V(2)33 24 36 =33 +24 +36X 一 =33 +24, +0.67160；(1 =

11、 33 +24. 67 =33 +24. 6X 一 =33.41160；提示：在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进展计算。类型三、角的对比与运算Cd.不用量角器，对比图1和图2中角的大小.(用连接)【思路点拨】图1中两角Na、NB均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图 中的N a向N B平移，让N a与/ B始边重合，观察终边的位置来对比角的大小.图2中的 三个角按角的分类，N1为锐角，N2为直角，N3为钝角，因此按照各自的范围就可以将 它们的大小对比出来.【答案与解析】解：(1)如以下图，将Na平移使Na的始边与NB的始边重合，发现Na落在NB内部， 因

12、此N B N a.(2)由图可知N1是锐角，Zl90 , N2是直角，即N2 = 90 , N3是钝角，即90。Z3 N2N1.【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下对比角的大小，一种方法是叠 合对比法，另外一种方法那么是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角 直角钝角平角周角来对比大小.举一反三：【变式】NAOB(如以下图)，画一个角等于这个角.【答案】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O A,以点0,为圆心，OC长为半径画弧1,交O N于点C；(3)以点C，为圆心，CD长为半径画弧，交弧1于点D，；(4)过

13、点D画射线O B,那么NA O B =NAOB.C5.如以下图，OC平分NBOD,且NBOC=20 , OB是NAOD的平分线，求NAOD 的度数.【答案与解析】解：因为0C平分NBOD,且NBOC = 20 , 所以NBOD=2NB002X20。=40 .又0B是NAOD的平分线，所以NAOD = 2NBOD = 2X40 =80 .【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：假设OB是NAOC的平分线，那么NAOB = ZBOC=- ZAOC； (2)ZAOC = 2ZAOB = 2ZBOC,在解题时要学会灵活应用.2【高清课堂：角397364角的有关计算例3】举一反三：【变式工 如图，0

14、M是NA0B的平分线，0N是NB0C的平分线，NA0080。，求：ZM0N.【答案】解：TOM 平分NAOB, 0N 平分NCOB,A ZM0B=- ZAOB, NB0N=NBOC.(角平分线的定义) 22 NM0N= NMOB+NBON1 11 z、=-ZAOB+- ZBOC=- (ZAOB+ZBOC)2 221 1二一 NAOC二一义80。=40。.2 2即 ZM0N=40.类型四、余角和补角【高清课堂：角397364角的有关计算例1】6.角a的余角比角a的补角的!还少20。，求角a的余角.3【答案与解析】解：由题意可得：角a的余角为(90。-a),补角为(180。-a),于是得:90-a

15、=i (180-a) -20,解得：a=75。390-a=90-75=15答：角a的余角为15。.【总结升华】此题的关键是掌握互为余角、补角的定义，然后根据题中的关键语句列出方程 或代数式，求出相应角的度数.类型五、方位角C7. A看B的方向是北偏东30 ,那么B看A的方向是().A.南偏东60。B.南偏西60。C.南偏东30。D.南偏西30【答案】D【解析】依题意画出示意图.由图可知，图中N1即表示从A看B的北偏东30。，N2是 从B看A的方位角.由此可确定从B看A是南偏西30。.【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A看B与从B看A正好是一对对立的观察过程, 其方向是一种“相反的对应关系.

16、方位角确实定首先以什么点为基点即人站在此处观察) 要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来.举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30。的方向走了 1000米到达小军家，此时小王家在小军家 的 方向.【答案】北偏西30。类型六、钟表上有关夹角问题(1)(1)Cg.计算：4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如图1),设4时15分时针与分针的夹角为(注：夹 角指小于180。的角)，时针转过的角度为：30 X4+0. 5 X15,分针转过的角度为：6 X15,所以=30。X4+0.5。X 15-6 X 15 = 37. 5 .解法二：如图(1), ZAOC = 30 Xl=30 ，Z

17、BOC = 0.5 X 15 = 7.5 .所以NAOB = 37.5。.即4时15分时针与分针的夹角为37. 5【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟 转速求解.，比方解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二.举一反三：【变式】2时48分时针与分针的夹角.【答案】解法1：如图,(2)设2时48分时针与分针的夹角为/ a ,所以Na =360。-(48X6 2X30。-48X0.5 ) =360-204=156解法2：如图(2)ZBOD = 30 X4=120 ,ZCOD = 2X6 =12 ,ZAOB=48XO. 5 =24 ,所以NAOC=NBOD+NCOD+NAOB = 156。.即2时48分时针与分针的夹角为156 .