2024年初升高数学全体系衔接专题05二次函数的三种表示方式含答案.docx

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1、2024年初升高数学全体系衔接专题05二次函数的三种表示方式专题综述课程要求二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求了解了一些简单函数图象的变换，如左加右减之类的水平平移

2、，还了解了些简单的对称变换高中课程要求掌握各种平移变换，如左加右减的水平平移，上加下减的垂直平移，还要掌握各种对称变换，特別是关于原点、坐标轴的对称变换知识精讲高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：yax2bxc(a0)；高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：ya(x-h)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标典例剖析高中必备知识点1：一般式【典型例题】已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为x1，且过点（3

3、，0），（0，3）（1）求抛物线的表达式（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中mn，请判断关于t的方程t2+mt+n0是否有实数根，并说明理由【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式) 【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y2.（1）求抛物线y2的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式【典型例题】已知二次函数用配方法将此二次函数化为顶点式；求出它的顶点坐标和对称轴方程【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是

4、（1，2），且经过（1，6），求这个二次函数的解析式【能力提升】二次函数的图象经过点，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点高中必备知识点3：交点式【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k2 的图象与 x 轴有两个交点（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，8)，对称轴是直线x2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(

5、1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式【能力提升】已知二次函数yx24x+3（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y0时，x的取值范围对点精练1已知抛物线（，是常数，）经过点，其对称轴为直线有下列结论：；关于的方程有两个不等的实数根其中，正确结论的个数是（ ）A0B1C2D32如图是二次函数（，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线对于下列说法中，错误的是（ ）ABCD（为实数）3已知抛物线与x轴有两个交点，现有如下结论：此抛物线过定点；若抛物线开口向下，则m的取值范围是；若时，有，则m的取值范围是其中正

6、确结论的个数是（ ）A0B1C2D34二次函数为常数，且)中的x与y的部分对应值如表：x-1013y-1353下列结论： ；当时，的值随值的增大而减小；当时，函数有最值；是方程的一个根； 当时，其中结论正确的有（ ）A2个B3个C4个D5个5如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：；关于x的方程的另一个解在和之间，其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个6二次函数的最大值为，且中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是（ ）A这两点一定是M和NB这两点一定是Q和RC这两点可能是M和QD这两点可能是P和Q7二次函数的图象与一次函数的图象没有

7、交点，则b的取值范围是（ ）ABC或D8函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中有下列结论：；函数在和处的函数值相等；点，在函数的图象上，若，则其中，正确结论的个数是（ ）A0B1C2D39如图是二次函数（，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：；3；当时，；（为实数）其中正确的是（ ）ABCD10已知抛物线yx2（62m）xm23的对称轴在y轴的右侧，当x2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t3，则m的取值范围是（ ）AmBm3Cm3D1m311已知二次函数y4x2mx+5，当x2时，y随x的增大

8、而减小；当x2时，y随x的增大而增大，则当x1时，y的值为_12抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为_.13抛物线图象与轴无交点，则的取值范围为；14抛物线yax2+ax+2（a0）的对称轴是直线_15二次函数的图象如图所示，则下列四个结论：；其中正确的有_（填写番号） 16从，2，5中任取一数作为a的值，能使抛物线的开口向下的概率为_17抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：abc0；b24ac0；5a2b+c0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2，其中正确判断的序号是_18二次函数，当时，的最小值为1，则

9、的取值范围是_19二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点(1，0)，对称轴为直线x2，下列结论：（1）4a+b0；（2）9a+c3b；（3）7a3b+2c0；（4）若点A(3，y1)、点B(，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程a（x+1）（x5）3的两根为x1和x2，且x1x2，则x115x2，其中正确的结论有_20抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，则以下结论：；方程有两个不相等的实数根，其中正确结论为_21在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）当时，抛物线的对称轴为_；若在抛物线上有两点，且，则的取值范围是_；（2）抛物线的对称

10、轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围22平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点（1）直接写出点坐标（2）当此函数图象经过点时，求此函数表达式，并写出函数随增大而增大时的取值范围（3）当时，若函数（为常数）图象最低点到直线的距离为3，求的值23已知函数（，为常数）当时，当时，请对该函数及其图象进行探究：（1）_，_；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质（3）已知函数的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式的解集24已知二次函数（是常数）（1）若该函数图像与轴有两个

11、不同的公共点，求的取值范围；（2）求证：不论为何值，该函数图像的顶点都在函数的图像上；（3），是该二次函数图像上的点，当时，都有，则的取值范围是_25已知抛物线（1）求此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；（3）若点与点在此抛物线上，且，求a的取值范围26已知抛物线（1）求该抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）当时，若为该抛物线上三点，且总有，请结合图象直接写出m的取值范围27在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线有且只有一个公共点（1）直接写出抛物线的顶点的坐标，并求出与的关系式；（2）若点为抛物线上一点，当时，均满足，求的取值范围；

12、（3）过抛物线上动点（其中）作轴的垂线，设与直线交于点，若、两点间的距离恒大于等于1，求的取值范围28已知抛物线经过点和点，顶点为（1）求、的值；（2）若的坐标为，当时，二次函数有最大值，求的值；（3）直线与直线、直线分别相交于、，若抛物线与线段（包含、两点）有两个公共点，求的取值范围29在平面直角坐标系中，函数yx22ax1（a为常数）的图象与y轴交于点A（1）求点A的坐标 （2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围 （3）当x0时，若函数yx22ax1（a为常数）的图象的最低点到直线y2a的距离为2，求a的值30已知二次函数yax2

13、bxc的图象经过A(n，b)，B(m，a)且mn1（1）当ba时，直接写出函数图象的对称轴；（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；（3）当a0时，函数有最大值1，bca，n，求a的取值范围专题05二次函数的三种表示方式专题综述课程要求二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足

14、于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求了解了一些简单函数图象的变换，如左加右减之类的水平平移，还了解了些简单的对称变换高中课程要求掌握各种平移变换，如左加右减的水平平移，上加下减的垂直平移，还要掌握各种对称变换，特別是关于原点、坐标轴的对称变换知识精讲高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：yax2bxc(a0)；高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：ya(x-h)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：ya(xx1)

15、 (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标典例剖析高中必备知识点1：一般式【典型例题】已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为x1，且过点（3，0），（0，3）（1）求抛物线的表达式（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中mn，请判断关于t的方程t2+mt+n0是否有实数根，并说明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）方程有两个不相等的实数根【解析】（1）抛物线yax2+bx+c的对称轴为x1，且过点（3，0），（0，3）9a3b+c0 解得a1，b2，c3抛物线yx2+2x3；（2）点（m，k），（n，k）在此抛物线上，（m，k），（n，k）是关于直

16、线x1的对称点，1 即mn2b24acm24n（n2）24nn2+40此方程有两个不相等的实数根【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式) 【答案】y=-x2+2x+3 【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y2.（1）求抛物线y2的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线y2的对称轴与

17、两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) y=12x-22-2 ;(2)4.【解析】（1）抛物线y1=12x2的顶点坐标为0,0，把点0,0先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为2,-2，抛物线y2的解析式为y=12x-22-2；（2）顶点坐标为2,-2，且抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=S矩形OBAC，抛物线y2的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积=4.高中必备知识点2：顶点式【典型例题】已知二次函数用配方法将此二次函数化为顶点式；求出它的顶点坐标和对称轴方程【答案】（1）；（2）（1，2），直线【解析】（1） （2）顶点坐标为（1，2）

18、，对称轴方程为直线.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过（1，6），求这个二次函数的解析式【答案】二次函数的解析式为y=2（x+1）2+2【解析】二次函数的图象的顶点是（1，2），设抛物线顶点式解析式y=a（x+1）2+2，将（1，6）代入得，a（1+1）2+2=6，解得a=2，所以，这个二次函数的解析式为y=2（x+1）2+2【能力提升】二次函数的图象经过点，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点【答案】（1）；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设，把点，代入得

19、，解得； （2） 函数的顶点坐标为（1，-4）；（3）|1-0|+|-4-0|=5二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点高中必备知识点3：交点式【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+2k2 的图象与 x 轴有两个交点（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y=x2+2x+2k2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标【答案】（1）k32；（2）（2，0）和（0,0）.【解析】（1）图象与x轴有两个交点，方程x2+2x+2k-2=0有两个不相等的实数根，=b2-4ac0，即4-42k-20， 解得

20、k32 （2）k 为正整数，k0，即抛物线的顶点在x轴的上方，且抛物线与x轴有两个交点a0b=2a0 abc0故正确当x=1时，y=-5a；当x=-2时，y=-8aa0-5a-8a故错误当x=-3时，y=-5a；当x=1时，y=-5a当时，函数值随自变量的增大而增大；当时，函数值随自变量的增大而减小当时，当时，函数值随自变量的增大而减小 故正确从而正确的结论有两个故选：C9如图是二次函数（，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：；3；当时，；（为实数）其中正确的是（ ）ABCD【答案】B解：抛物线开口向下，a0，对称轴x1，b2a0，抛物线与y轴的交点在y轴

21、正半轴，c0，abc0，故正确；抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，对称轴为x1，抛物线x轴的另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，当x1时，yab+c0，即a+cb，即正确，错误；抛物线与x轴的交点A在点（2，0）（3，0）之间，9a+3b+c0，又b2a，9a6a+c3a+c0，故错误；由图可知，当x1时，函数有最大值，对于任意实数m，有am2+bm+ca+b+c，即a+bm（am+b），故正确综上，正确的有故选：B10已知抛物线yx2（62m）xm23的对称轴在y轴的右侧，当x2时，y的值随着x值的增大而减小，点P是抛物线上的点，设P的纵坐标为t，若t3，则m的取值范围是

22、（ ）AmBm3Cm3D1m3【答案】B解：抛物线yx2（62m）xm23的对称轴在y轴的右侧，m3，当x2时，y的值随着x值的增大而减小，1m，yx2（62m）xm23（xm3）26m12，抛物线上的点P的纵坐标t3，当x3m时，y3，即6m123，m，综上所述，满足条件的m的值为m3故选：B11已知二次函数y4x2mx+5，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大，则当x1时，y的值为_【答案】25解：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，对称轴，解得，那么当时，函数的值为25故答案为2512抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为_.【答案】（5，6）解：y=

23、mx2+（1-4m）x+1-5m=（x2-4x-5）m+x+1，令x2-4x-5=0，解得x=-1或x=5，当x=-1时，y=0；当x=5时，y=6；非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）故答案为：（5，6）13抛物线图象与轴无交点，则的取值范围为；【答案】解：抛物线图象与轴无交点，该抛物线开口向下，且，即： ，解之得：，故答案为：14抛物线yax2+ax+2（a0）的对称轴是直线_【答案】解：抛物线yax2+bx+c的对称轴方程x，抛物线yax2+ax+2（a0）的对称轴是x即对称轴是x 故答案为：x15二次函数的图象如图所示，则下列四个结论：；其中正确的有_（填写番号） 【答案】解：由图象知，

24、二次函数的图象开口向下，故错误；由图象知，二次函数的图象与轴交于正半轴，故错误；当时，由图可知，故正确；由图可知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，故正确，故其中正确的有，故答案为：16从，2，5中任取一数作为a的值，能使抛物线的开口向下的概率为_【答案】根据使抛物线的开口向下的条件是，只有，-1符合条件使抛物线的开口向下的概率为故答案为：17抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断：abc0；b24ac0；5a2b+c0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2，其中正确判断的序号是_【答案】由图象可知：a0，c0，对称轴：

25、x0，b0，abc0，故错误由抛物线的对称性可知：0，即b24ac0，故正确1，b2a，令x1代入，ya+b+c0，a+2a+c0，c3a，5a2b+c5a4a3a2a0，故正确（0.5，y1）与（1.5，y1）关于直线x1对称，由于1.52，y1y2，故错误故答案为：18二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是_【答案】二次函数，函数图像开口向下，对称轴，当，即时，当时，y随x的增大而减小，当时，或，不符合题意；当时，时，y随x的增大而增大，x=0时，恒成立，此时都满足题意；时，即当时，y在随x的增大而增大，x=0时，符合题意，则此情况下；当时，即，当时，当时，的最小值为1，此时，综上：

26、19二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点(1，0)，对称轴为直线x2，下列结论：（1）4a+b0；（2）9a+c3b；（3）7a3b+2c0；（4）若点A(3，y1)、点B(，y2)、点C(7，y3)在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程a（x+1）（x5）3的两根为x1和x2，且x1x2，则x115x2，其中正确的结论有_【答案】（1）（2）（5）x2，4a+b0，故（1）正确抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=2，另一个交点为（5，0），抛物线开口向下，当x3时，y0，即9a+3b+c0，9a+c3b，故（2）正确抛物线与x轴的一个交点为（

27、1，0），ab+c0b4a，a+4a+c0，即c5a，7a3b+2c7a+12a10a9a，抛物线开口向下，a0，7a3b+2c0，故（3）错误；抛物线的对称轴为x2，C（7，y3）在抛物线上，点（3，y3）与C（7，y3）关于对称轴x2对称，A(3，y1)在抛物线上，y1=y3，3，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，y随x的增大而增大，y1y3y2，故（4）错误方程a（x+1）（x5）0的两根为x1或x5，过y3作x轴的平行线，直线y3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，x1x2，抛物线与x轴交点为（-1，0），（5，0），依据函数图象可知：x115x2，故正确故答案为：（1）（2）（5）20

28、抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，则以下结论：；方程有两个不相等的实数根，其中正确结论为_【答案】解：抛物线与轴有两个交点，所以错误，不符合题意；顶点为，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点和之间，抛物线与轴的另一个交点在点和之间，当时，所以正确，符合题意；抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，即，所以正确，符合题意；当时，二次函数有最大值为，即只有时，方程有两个相等的实数根，所以错误，不符合题意故答案为：21在平面直角坐标系中，已知抛物线（1）当时，抛物线的对称轴为_；若在抛物线上有两点，且，则的取值范围是_；（2）抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3

29、个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围【答案】（1）1；或；（2）或（1）抛物线的对称轴为：，故答案为：1；（2）根据抛物线图象特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故在抛物线上有两点，且，则的取值范围是或，故答案为：或；（2）抛物线的对称轴为：，且对称轴与x轴交于点M，点与点关于轴对称，M向右平移3个单位得到点，依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，把点代入抛物线，可得，把点代入抛物线，可得，把点代入抛物线，可得，根据所画图象可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时，或22平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点（

30、1）直接写出点坐标（2）当此函数图象经过点时，求此函数表达式，并写出函数随增大而增大时的取值范围（3）当时，若函数（为常数）图象最低点到直线的距离为3，求的值【答案】（1）；（2），；（3）或解：（1）当时，所以；（2）将点代入，得，解得，所以，抛物线的开口向上，其对称轴为，当时，随的增大而增大；（3）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，由题意，分以下三种情况：如图，当时，则对称轴在轴右侧，当时，此函数图象的最低点就是顶点，最低点到直线的距离为3，解得或（不符题设，舍去）；如图，当时，则对称轴在轴左侧，当时，此函数图象的最低点就是点，最低点到直线的距离为3，解得或（不符题设，舍去）；如图，当时，则对称轴为轴，直线为直线，当时，此函数图象的最低点就是点，则最低点到直线的距离为1（不符题意，舍去）；综上，的值为或23已知函数（，为常数）当时，当时，请对该函数及其图