第5章 章末综合提升.docx

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1、综合提升ZHANG MOZONGHETISHENG层知娱整自介 提h层题型探弃 6/(xo+A%)-y(%o)/z(%o)=limAxAx*0在区间(G, 6)上r(%)0n(a,6)上单调递增 ，(幼v0n(46)上单调递减导数及其应用(u vf-uf v (uv)f=u,v+uv, Lf_UV-UVf类型1导数的几何意义1 .导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点 处的切线方程y、()=/，(%()(%一%(),明确“过点P(%(), yo)的曲线y=/(%)的切线方 程”与“在点P(%o, yo)处的曲线y=/(x)的切线方程”的异同点.2 .围绕着切点有三个等量

2、关系：切点(xo, yo),贝琳=f(xo), yo=/(xo), (%o, 刈满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.【例1】已知函数/(%)=九3+%16.(1)求曲线y=/(x)在点(2, 6)处的切线方程；(2)直线/为曲线y=/(%)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=/(%)的某一切线与直线y=5+3垂直，求切点坐标与切线 的方程.解(l)V/z(x) = (x3+工- 16丫=3f +1,在点(2, 6)处的切线的斜率为仁(2)=13.工切线的方程为v=13(x-2) + (-6),即 y=13x32.(2)设切点为(xo, yo),则直线/的斜率为/

3、(xo) = 3/+1, 直线/的方程为y=(3xj+ l)(xxo)+xj+xo -16.又直线/过点(0, 0),.e.O=(3xo+1)(xo)+xj+xo16.整理得，xo=-8,/.xo= -2.e.0时，xfx) -JW0成立的X的取值范围是()A. (8, -l)U(0, 1)A. (8, -l)U(0, 1)B. (-1, 0)U(l, +8)C. (8, -1)U(-1, 0)C. (8, -1)U(-1, 0)D. (0, 1)U(1,+8)2xl)+a cosx=3C (2)A|cos 2x+ cos x= j JCOS2J； + 6Z cosx+1, /(x)在 R 上

4、单调递增,-J则/(x)N0在R上恒成立，令cosx=/, re1, 1,45则一尸+，+三0在1, 1上恒成立，即4P3QL5W0在1, 1上恒成立,令 g(0=3L5,g(l)=43-5W0,g(1)=4+3。-5W0,解得一gwaW：,故选C.(2)令g(x)=,则(%)=必空四，由题意知，当x0时，/(VO,，g(x)在(0, +8)上是减函数.；f(x)是奇函数，f(1)=0, /./(1)=f(l)=0?(1) 0,从而/(%)0;当 x(l, +8)时,g(%)V0,从而/(x)V0.f1X)-fix) f(x)又 V (-)=V=gW(O),. g(%)是偶函数，当(-8, 一

5、1)时，g(x)0；当工(1, 0)时，g(%)0,从而/a)V0.综上，所求尤的取值范围是(一8, -l)U(0, 1).故选A.口类型3函数的极值最值与导数1 .求连续函数/(%)在区间。，加上的最值的方法若函数/在区间切上单调递增或递减，贝厅与/(一个为最大值, 一个为最小值；(2)若函数/ (%)在闭区间3,川内有极值，则要先求出Q,加上的极值，再与 fa,/3)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.2 .已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题.已知 /在某点工。处有极值，求参数的值(取值范围)时，

6、应逆向考虑，可先将参数当 作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等 式)求解.【例3】 已知函数/(%)=/+江+力的图象上一点P(l, 0)且在点P处的切 线与直线3%+y=0平行.(1)求函数/(%)的解析式；(2)求函数/(%)在区间0,小073)上的最大值和最小值.解(1)因为/(%) = 3/+2以，曲线在P(l,0)处的切线斜率为/(l) = 3+2m 即 3+2a=3, a= 3.又函数过点(1, 0),即-2+力=0, b=2.所以 a=3, b=2, /(x)=x33+2.(2)由(1)得/(尤)=-3%2+2,得 /(X)= 3X26%.由/(

7、%)=0，得 =。或 %=2.当0V/W2时，在区间(0,。上，尸(%)0, /(%)在0,打上是减函数，所以 f(X)max =f(0) = 2, f(X)min =f (?) = t- 3尸 + 2.当2t3时，当x变化时，/(无)，/(%)的变化情况如下表:/(。一/1(0)=/-3产=产。-3)0,所以/Q)max=/(0) = 2.口类型4导数在生活中的应用解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数 的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案， 使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.(3)验证

8、数学问题的解是否满足实际意义.【例4】 如图，曲线是一条居民平时散步的小道，小道两旁是空地， 当地政府为了丰富居民的业余生活，要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动 场所.已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形，AB=144, AO= 150, CH=30,若以A3所在直线为x轴，A为原点，建立如图平面直角坐标系, 则曲线AH的方程为记规划的两块用地的面积之和为S(单位: 米).A M B X(1)求S关于，的函数S；(2)求S的最大值.思路探究(1)易知”(144, 120),代入A的方程即可求得参数。=10,从 而得到尸is/h，进而求得s的表达式.(2)利用换元法，令加=3

9、，贝u s= 150帆220加3+1 440加(0相12),通过求导确定极值点后，结合单调性即可得到 最大值.解(1)根据所建平面直角坐标系，可得点”(144, 120),所以120 = WIS, 解得4=10,又AM=t,所以PQ,1附)，所以S关于t的函数关系式为S(Z) = Z-(150 -1讨)+ (144。1讨=150%20，3+1 4403(0 V/V144).(2)令贝I 5=150/n2-20m3+l 440/n(0m0,解得 0V根8; 令 SVO,解得 8VmV12;所以函数S在区间(0, 8)上单调递增，在区间(8, 12)上单调递减，所以当相 =8时，S取得最大值，为10880平方米.所以S的最大值为10880平方米.