5.3.2 极大值与极小值.docx
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1、5.3- 2极大值与极小值课标要求1 .借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件2能利用导数求某些函数的极大值、极小值.素养要求通过理解函数的极值及其应用导数求极值的过程,发展学生的直观想 象与数学运算素养.问题导学 预习教材必备知识探究一、函数极大(小)值的概念.思考(1)如图是某处群山的截面图,你能指出山峰、山谷吗? ,yXiX2o x3-X提示在1, X3, %5处是山峰,在X2, %4处是山谷.你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗?提示 以山峰处为例来研究,在=x1处,它附近的函数值都比它小,且 在=处的左侧函数是单调递增的,且有了(%)0,在=处的右侧函数是单
2、 调递减的,且有了(%)0,当(5, JT2 + 3)时,都有 心)三心2),则称於2)为函数段)的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数的极值.温馨提醒(1)极值是一个局部性概念.由极值的定义知,极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内 最大或最小,即反映的是函数在某一点附近的大小情况.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.2 .做一做已知函数x)的导函数了(%)的图象如图所示,则函数八%)有()课堂小结1 .牢记2个知识点(1)极值的概念.(2)极值与导数的关系.2 .掌握2种方法(1)求极值的方法.(2)已知极
3、值求函数解析式的方法.3 .注意1个易错点对极值的充要条件把握不准致错.拓展延伸 分层精练-核心素养达成一、基础达标.下列函数中存在极值的是()A.yB.yxexC.y=2D.y=x3答案B解析 对于 y=xe, y,=le”, 令 y=o,得 x=o.在区间(一8, o), yo;在区间(o, +), yo.故犬=0为函数y=xex的极大值点.1 .函数八%)=(%1)的极小值点为()A.(0, -1)B.(0, 0)C.-lD.O答案D解析 由题意得了0)=+(工一l)e=xex,故#x)在(一8, 0)上是减函数,在(0, +8)上是增函数,故当x=0时,火幻的极小值为式0)= 1,故极
4、小值点为0.2 .(多选)定义在R上的可导函数y=/(%)的导函数的图象如图所示,以下结论正确 的是()A.-3是/(x)的一个极小值点B. 2和-1都是1%)的极大值点C式x)的单调递增区间是(一3,十8)D:/(x)的单调递减区间是(一8, -3)答案ACD解析 当3时,/。)0, x(3, +8)时/(幻三0, 一3是极小值点,无 极大值点,增区间是(一3, + ),减区间是(一8, 3).故选ACD.4.函数+在= 1处有极值为7,则等于()A. - 3 或 3B.3 或一9C.3D.-3答案c解析 /(x) = 3a2+2ax+b,/ ( 1) = 1 +a+b+a2+a = rl,
5、ee|f (1) =3 + 2q+ = 0,(2=3,(a=39解得z八或7 o b9 b3.当 a=3, /?=9 时,/(x) = 3+6x9 = 3(xl)(x+3),当一时,/(x)l时,/(x)0, x=l是极小值点;当=-3, b=3 时,/(x) = 3j6x+3 = 3(x1)20, x=l 不是极值点.,。=3.5.若函数4x)=一。在R上有小于0的极值点,则实数a的取值范围是()A.(-l, 0)B.(0, 1)C.(-8, -1)D.(l,+8)答案B解析由题意知/(x)=exa当。WO时,/(x)0恒成立,则火X)在R上单调递增,不符合题意.当 0 时,令/(x)=0,
6、解得 x=lnm当 x( 8, Ina)时,/(x)0.可知x=lna为x)的极值点,.ln a0,解得 a2或 a0, /(尤)=一:=大 I所以当aWO时,/(%)vO在(0, +8)上恒成立,所以函数7(%)在(0, +8)上单调递减,所以八%)在(0, +8)上没有极值点.2%9,求函数力=正二一2的极值.解函数的定义域为R.2 (f+1) -4。(X)(x2+l) 22 (x 1) (x+1)(x2+l) 2令/(x) = 0,得 X= 1,或 x=L当x变化时,f(x),人犬)的变化情况如下表:X(8,1)1(T,D1(1, +)了0+0於)-3/1由上表可以看出:当= 1时,函数
7、有极小值,且极小值为7(1)=3;当=1时,函数有极大值,且极大值为穴1)=-1.10.设x=l与x=2是函数,/(MQlnx+bd+x的两个极值点.试确定常数。和b的值;(2)判断=1, %=2是函数八%)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 解(l);/(x) = aln x+bf+x,./(x)=+2Z?x+1.由极值点的必要条件可知:f(l)=/(2)=0,,。+2。+1=0 且孩+4匕+1=0,21解得,=_Q,b=&(2)x=l是函数加)的极小值点,%=2是函数兀功的极大值点,理由如下:21由可知於)=-gin xx2+x,且其定义域是(0, +8),/(X)= |x-1_5+ 1
8、_(丁一1)(尤一2)3x .当 x(0, 1)U(2, +8)时,/。)0;所以,=1是函数x)的极小值点,X=2是函数x)的极大值点.二、能力提升11.若函数/(%)=京一当%2+3。2%3a2,在=3处取得极大值,则常数a的值为()A.3B.2C.3或2D.一3或一2答案A解析 ,* fix) =x2+3 3 a21,/(x)=2X25qx+34.由题意可得/(3) = 2X915。+34=0,整理得/5a+6=0,解得。=2或a=3.当 4 = 2 时,/(x) = 2f10x+12 = 2(x2)(x3),令 /(x)0,得 x3 ;令/(x)vO,得 2x3,此时,函数y=/(x)
9、在尤=3处取得极小值,不符合题意;当4 = 3时,了(幻=2/151+27 =。-3)(21一9).9-29令/(x)0,J32oWO,3+26/0,/. 1 Wo5.13 .已知函数,/(jOMTp+Qln x.若。=1,求函数人%)的极值,并指出是极大值还是极小值;2(2)若4=1,求证:在区间1, +8)上,函数人幻的图象在函数g(x)=#的图象 的下方.解 易知函数“x)的定义域为(0, +8),(x+1 ) (X1 )(x+1 ) (X1 )当 a 时,/(x)=52Inx, f(x)=x= 令/(x)=0,得 =1 或 x= 1(舍去).当 x(0, 1)时,f(x)O,因此函数)
10、在(1, +8)上是增函数.故X=1是“X)的极小值点,所以/(X)在x=l处取得极小值口.(2)证明 设 F(x) =(x) = x2+In x则 Fx) =x-r-2x2 =X则 Fx) =x-r-2x2 =X2x3+x2+1 (x-1) (2x2+x+1 )显然由2f+%+1 =2(%+; +(及龙。可知,当时,F(x)0,故b(x)在区间1, +8)上是减函数,又尸(1)= 一:0,所以在区间口, +8)上,F(x)WF0,即F(x)0恒成立,即危)g(x)恒成立.因此,当。=1时,在区间1, +8)上,函数“X)的图象在函数g(%)的图象的下 方.三、创新拓展.已知函数/(均二加+勿
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- 5.3 极大值 极小
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