2023年人教版八年级数学上册第一学期期末专题复习资料.pdf

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1、1、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算 全方位求角度类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想1在 ABC 中，A B35 ，C55 ，则 B 等于()A 50 B55 C45 D 40 周国年10312在 ABC 中，已知 A 2B3C，则 ABC 是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D 形状无法确定周国年 10313如图，在 ABC 中，C ABC 2A，BD 是 AC 边上的高，求DBC 的度数4如图，ABC 中，B26 ，C 70 ，AD 平分 BAC，AEBC 于 E，EFAD于 F，求 DEF 的度数周国年 1031图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质

2、周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图类型二综合内外角的性质周国年 10315如图，BD、CD 分别平分 ABC 和 ACE，A60 ，则 D 的度数是()A 20 B30 C40 D 60 第 5 题图第 6 题图6如图，B20 ，A C 40 ，则 CDE 的度数为 _ 7如图，AD 平分 BAC，EAD EDA.周国年 1031(1)求证：EAC B；(2)若 B50，C

3、AD E13，求 E 的度数类型三在三角板或直尺中求角度8(20152016 瑶海区期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是()A 120 B105 C90 D759将两个含 30 和 45 的直角三角板如图放置，则的度数是()A 10 B15 C20 D 25周国年 1031周国年 103110一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是 _ 11如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若1 55，则 2 的度数为_ 周国年 1031类型四与平行线结合图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如

4、图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图12(2015 南充中考)如图，已知B、C、E 在同一直线上，且CDAB，若 A75 ，B40，则 ACE 的度数为()A 35 B40 C115 D 145 13如图，ABCD，直线 PQ 分别交 AB、CD 于点 F、E，EG 是DEF 的平分线，交AB 于点 G.若PFA 40 ，那么 EGB 等于()A 80 B100 C110 D120 周国年103114如图，BD 是 ABC 的角平分线，DE BC，交 AB 于

5、点 E，A45 ，BDC 60 ，则 BDE _周国年103115如图，在ABC 中，点D 在 BC 上，点E 在 AC 上，AD 交 BE 于 F.已知 EGAD交 BC 于 G，EH BE 交 BC 于 H，HEG55.(1)求BFD 的度数；(2)若BAD EBC，C44，求 BAC 的度数类型五与截取或折叠相关16如图，把 ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形BCDE 的外部时，则 A 与1图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则

6、图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图和 2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A A 1 2 B 2A 1 2 C3A21 2 D 3A 2(1 2)周国年 103117如图，RtABC 中，ACB 90 ，A52 ，将其折叠，使点A 落在边 CB 上 A处，折痕为CD，则 ADB _ 第 17 题图第 18 题图18在 ABC 中，B70 ，若沿图中虚线剪去B，则 1 2 等于 _ 19如图(1)将ABC 纸片沿 DE 折叠成图，此时点A 落在四边形BCDE 内部，则A

7、与 1、2 之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由(2)若折成图 或图，即点 A 落在 BE 或 CD 上时，分别写出 A 与 2、A 与 1 之间的关系式(不必证明)；周国年 1031(3)若折成图 ，写出 A 与 1、2 之间的关系式(不必证明)1、参考答案与解析1C2.C 3解：设 Ax，则 C ABC2x.根据三角形内角和为180 知C ABC A图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如

8、图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图180，即 2x 2xx180 ，x 36，C 2x72.在 RtBDC中，DBC 90 C90 72 18.方法点拨：三角形中给出的条件含比例且不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解周国年 10314解：ABC中，B26 ，C70 ，BAC 180 B C180 26 70 84.AD 平分 BAC，DAC 12BAC 1284 42.在 ACE 中，CAE90 C 90 70 20，DAE DAC CAE 42 20 22.DEF AEF AEF DAE90，DEF DAE22.5B6

9、.80 7(1)证明：AD 平分 BAC，BADCAD.又 EAD EDA，EAC EAD CAD EDABAD B；(2)解：设 CAD x，则 E 3x.由(1)知 EAC B 50 ，EAD EDA(x 50).在 EAD中，E EAD EDA 180，3x 2(x 50)180，解得x16.E48.周国年 10318B9.B10.75 11.35 12.C13.C14.15 15解：(1)EHBE，BEH90.HEG 55，BEG BEH HEG 35.又 EG AD，BFD BEG 35；(2)BFD BAD ABE，BAD EBC，BFD EBC ABEABC.由(1)可知 BFD

10、 35，ABC35.C44，BAC 180 ABC C18035 44 101.16B17.14 18.250 19解：(1)延长 BE、CD，交于点 P，则 BCP 即为折叠前的三角形由折叠的性质知DAE DPE.连接AP.由三角形的外角性质知1 EAP EPA，2 DAP DPA，则 12 DAE DPE 2DAE，即 12 2A；(2)图中，22A；图中，12A；(3)图中，2 12A.2、类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是

11、周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图模型 1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1如图，AD，AE 分别是 ABC 的高和角平分线(1)已知 B40 ，C60 ，求 DAE 的度数；周国年 1031(2)设 B，C()，请用含 ，的代数式表示 DAE，并证明模型 2：求两内角平分线的夹角的度数2如图，ABC 中，ABC 和 ACB 的平分线交于点O.若 BOC 120 ，则 A _.3如图，ABC 中，点 P 是 ABC，ACB 的平分线的交点(1)若 A80，求 BPC

12、 的度数周国年 1031(2)有位同学在解答(1)后得出 BPC 90 12 A 的规律，你认为正确吗？请给出理由模型 3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4如图，在 ABC 中，BA1平分 ABC，CA1平分 ACD，BA1，CA1相交于点 A1.图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图(1)求证：A112A；(2)如图，

13、继续作A1BC 和 A1CD 的平分线交于点A2，得 A2；作 A2BC 和 A2CD的平分线交于点A3，得 A3依此得到A2017，若 A，则 A2017_.模型 4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5(1)如图，BO 平分 ABC 的外角 CBD，CO 平分 ABC 的外角 BCE，则 BOC与 A 的关系为 _；(2)请就(1)中的结论进行证明周国年 10312、参考答案与解析1解：(1)B 40，C 60，BAC180 B C 180 40 60 图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图

14、放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图80 .AE 是角平分线，BAE12BAC 1280 40.AD 是高，BAD90 B90 40 50，DAE BAD BAE50 40 10.(2)DAE 12()，证明如下：B，C()，BAC180()AE是角平分线，BAE12BAC90 12()AD 是高，BAD90 B90 ，DAEBADBAE 90 90 12（）12()2603 解：(1)BP，CP 为角平分线，PBC PCB 12(ABC ACB)12(180

15、A)12(180 80)50，BPC 180(PBC PCB)180 50 130.(2)正确，理由如下：BP，CP 为角平分线，PBC PCB 12(ABCACB)12(180 A)90 12A，BPC 180(PBC PCB)180 90 12A 9012A.周国年 10314(1)证明：CA1平分 ACD，A1CD 12ACD 12(A ABC)又 A1CD A1 A1BC，A1 A1BC12(A ABC)BA1平分 ABC，A1BC 12ABC，12 ABC A112(AABC)，A112A.周国年 1031(2)220175(1)BOC90 12A(2)证明：如图，BO，CO 分别是

16、 ABC 的外角 DBC，ECB 的平分线，DBC 21 ACB A，ECB 22 ABC A，21 22 2A ABC ACB A180，1 212A 90.又 1 2 BOC 180，BOC 180 (1 2)90 12 A.周国年 10313、解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧 明模型，先观察，再猜想，后证明类型一全等三角形的基本模型图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线

17、交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图1如图，ACAD，BC BD，A50 ，B90 ，则 C_.第 1 题图第 2 题图2如图，锐角 ABC 的高 AD，BE 相交于 F，若 BF AC，BC7，CD 2，则 AF 的长为 _.周国年 10313如图，点A，D，C，E 在同一条直线上，AB EF，ABEF，B F，AE10，AC 6，则 CD 的长为（）A 2 B4 C4.5 D 3 4如图，在 ABC，ADE 中，BAC DAE 90 ，ABAC，ADAE，点 C，D，E 在同一直线上，连接BD 交 AC 于点 F.(1)求证：BAD CAE；周国年 1031(2)猜想

18、BD，CE 有何特殊位置关系，并说明理由类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5如图，RtABC 中，ABAC，BAC90，直线 l 为经过点 A 的任一直线，BDl于 D，CEl 于 E，若 BDCE，试问：图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图(1)AD 与 CE 的大小关系如何？请说明理由；周国年 1031(2)线段 BD

19、，DE，CE 之间的数量关系如何？请说明理由二、截长补短法6如图，在四边形ABDE 中，C 是 BD 边的中点，若AC 平分 BAE，ACE 90，猜想线段 AE、AB、DE 的长度满足的数量关系，并证明周国年1031三、倍长中线法7在 ABC 中，AB8，AC6，则 BC 边上的中线AD 的取值范围是（）A 6AD8 B2AD14 C1AD7 D无法确定周国年10313、参考答案与解析1110 2.33.A 4(1)证明：BAC DAE 90，BAC CAD DAE CAD，即 BAD CAE.在 BAD和 CAE中，AB AC，BAD CAE，AD AE，图中平分于于求的度数周国年类型二综

20、合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图 BAD CAE(SAS)(2)解：BDCE.理由如下：由(1)可知 BAD CAE，ABD ACE.BAC90，ABD AFB90.又 AFBDFC，ACEDFC 90，BDC 90，即BDCE.5解：(1)AD CE.理由如下：BD l 于 D，CE l 于 E，BDA AEC90 ，CAE ACE 90.BAC 90，B

21、AD CAE 90，BAD ACE.又ABAC，ABD CAE(AAS)，AD CE.(2)BD DECE.理由如下：由(1)可知 ABD CAE，BD AE，ADCE.又AEDEAD，BD DECE.周国年 10316解：AEABDE.证明如下：如图，在AE 上截取 AFAB，并连接 CF.AC 平分BAE，BAC CAF.又 AC AC，BAC FAC(SAS)，BC FC，ACB ACF.ACE 90，ACF FCE 90，ACB DCE 90，FCE DCE.又 C 为 BD 的中点，BC DC，DC FC.又CECE，FCE DCE(SAS)，DEFE，AEAFFE ABDE.周国年

22、 10317C 4、难点探究专题：动态变化中的三角形全等 以“静”制“动”，不离其宗类型一动点变化图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图1如图，RtABC 中，C90 ，AC6，BC3，PQ AB，点 P 与点 Q 分别在 AC和 AC 的垂线 AD 上移动，则当AP_ 时，ABC 和 APQ 全等周国年 10312如图，ABC

23、中，ABAC12cm，B C，BC8cm，点 D 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 2cm/s 的速度由B 点向 C 点运动，同时，点Q 在线段 CA 上由 C 点向A 点运动若点Q的运动速度为vcm/s，则当 BPD与 CQP全等时，v 的值为_【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】3(2016 达州中考)ABC 中，BAC 90，ABAC(ABC ACB 45 )，点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与 B，C 重合)，以 AD 为边在 AD 右侧作正方形ADEF，连接 CF.【方法 11】(1)观察猜想：如图，当点D 在线段 BC 上时，BC 与 CF

24、 的位置关系为 _；线段 BC，CD，CF 之间的数量关系为_(将结论直接写在横线上)(2)数学思考：如图，当点D 在线段 CB 的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明周国年 1031类型二图形变换4 如图甲，已知 A，E，F，C 在一条直线上，AECF，过 E，F 分别作 DE AC，BF AC，且 ABCD，连接 BD.(1)试问 OEOF 吗？请说明理由；周国年 1031(2)若 DEC 沿 AC 方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题

25、图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图请说明理由5如图，在RtABC 中，ACB 90 ，点 D，F 分别在 AB，AC 上，CF CB，连接CD，将线段CD 绕点 C 按顺时针方向旋转90 后得 CE，连接 EF.(1)求证：BCD FCE；(2)若 EFCD，求 BDC 的度数4、参考答案与解析1 3 或6解析：ABC和 APQ全等，AB PQ，有ABC QPA或ABC PQA.当 ABC QPA 时，则有

26、 AP BC 3；当 ABC PQA 时，则有AP AC 6，当 AP 3 或 6 时，ABC 和 APQ 全等，故答案为3 或 6.22 或 3解析：当BD PC 时，BPD 与 CQP 全等点D 为 AB 的中点，BD图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图12AB 6cm，PC 6cm，BP862(cm)点 P 在线段 BC

27、上以 2cm/s 的速度由B点向 C 点运动，运动时间为1s.DBP PCQ，CQ BP 2cm，v2 12(cm/s);当 BDCQ 时，BDP QCP.PBPQ，B CQP.又 B C，C CQP，PQ PC，PB PC.BD 6cm，BC 8cm，PBPC，QC 6cm，BP4cm，运动时间为 4 22(s)，v6 23(cm/s)，故答案为 2 或 3.3解：(1)垂直BCCD CF(2)CF BC 成立；BCCD CF 不成立，正确结论：CD CF BC.证明如下：正方形 ADEF 中，ADAF，DAF BAC90，BADCAF.在 DAB 与 FAC 中，AD AF，BAD CAF

28、，ABAC，DAB FAC(SAS)，ABD ACF，DBCF.ACBABC45，ABD180 45 135，BCF ACFACBABDACB90，CF BC.CD DB BC，DB CF，CD CF BC.4解：(1)OE OF.理由如下：DE AC，BFAC，DEC BFA90 .AECF，AE EF CF EF，即AF CE.在RtABF和RtCDE中，ABCD，AF CE，RtABFRtCDE(HL)，BF DE.在 BFO和 DEO中，BFO DEO，BOF DOE，BFDE，BFO DEO(AAS)，OE OF.周国年 1031(2)结论依然成立理由如下：AECF，AEEFCF E

29、F，AFCE.同(1)可得BFO DEO，FOEO，即结论依然成立5(1)证明：将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转90 后得 CE，CD CE，DCE 90.ACB 90，BCD 90 ACD FCE.在 BCD和 FCE中，CB CF，BCD FCE，CD CE，BCD FCE(SAS)(2)解：由(1)可知 DCE 90，BCD FCE，BDC E.EFCD，E180 DCE 90，BDC 90.5、易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 易错归纳，各个击破类型一求长度时忽略三边关系1(2017 贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为（）A 12 B16 C

30、20 D 16 或 20周国年 1031图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图2学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”同学们经过片刻思考和交流后，小明同学举手说：“另两条边长为3、6 或 4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确：_，理由是

31、_周国年 10313已知等腰三角形中，一腰上的中线将三角形的周长分成6cm 和 10cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论周国年 10314.已知等腰三角形的一个内角为40 ，则这个等腰三角形的顶角为（）A 100 B40 C40 或 100 D60 5等腰三角形的一个外角等于100 ，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为（）A 40 ，40 B 80 ，20 C80 ，80 D50 ，50 或 80 ，20 图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置

32、则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图6已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1 4，则这个等腰三角形顶角的度数为_.类型三三角形的形状不明时没有分类讨论7等腰三角形的一个角是50 ，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A 25 B40 C25 或 40 D不能确定8 在 ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到的锐角为50 ，则 B 等于 _.9如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形已知一对合同三

33、角形的底角分别为x 和 y，则_(用含 x 的代数式表示)周国年103110 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20 ，求顶角的度数类型四一边确定，另两边不确定，求等腰三角形个数时漏解11(2016武汉中考)平面直角坐标系中，已知 A(2，2)、B(4，0)若在坐标轴上取点C，使 ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A 5 B6 C7 D8 12如图，在4 5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C 点有 _ 个5、参考答案与解

34、析1C 2不正确没考虑三角形三边关系3解：设腰长为xcm，腰长与腰长的一半是6cm 时，x12x 6，解得 x 4，底边图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图长 1012 48(cm)448，4cm、4cm、8cm不能组成三角形；腰长与腰长的一半是10cm 时，x12x10，解得x203，底边长61220383(cm)，三角形的三

35、边长为203cm、203cm、83cm，能组成三角形综上所述，三角形的腰长为203cm，底边长为83cm.4C5.D周国年10316120 或 20 7.C8.70 或 20 9 x 或 90 x解析：两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等，腰上的高相等 当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，y x，当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，y90 x.故答案为 x 或 90 x.10解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在其外部如图所示，得顶角ACB D DAC 90 20 110；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图所示，故顶角A90 ABD 90

36、20 70.综上所述，顶角的度数为110 或 70.12A12.5周国年10316、解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 形成精准思维模式，快速解题类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图1如图，在 ABC 中，ABAC，AE BE 于点 E，且 BE12BC，若

37、 EAB20 ，则BAC _.周国年 10312如图，在 ABC 中，ABAC，D 为 BC 边的中点，过点D 作 DE AB，DF AC，垂足分别为E，F.(1)求证：DE DF；(2)若 A90，图中与 DE 相等的有哪些线段(不说明理由)？3如图，ABC 中，AC 2AB，AD 平分 BAC 交 BC 于 D，E 是 AD 上一点，且EA EC，求证：EBAB.二、构造等腰三角形4如图，ABC 的面积为 1cm2，AP 垂直 ABC 的平分线 BP 于 P，则 PBC 的面积为()A 0.4cm2B0.5cm2 C0.6cm2D 0.7cm2周国年10315如图，已知 ABC 是等腰直角

38、三角形，A90，BD 平分 ABC 交 AC 于点 D，CE BD.求证：BD 2CE.图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图类型二巧用等腰直角三角形构造全等6(2016 铜仁中考)如图，在 ABC 中，AC BC，C90，D 是 AB 的中点，DE DF，点 E，F 分别在 AC，BC 上，求证：DE DF.类型三等腰(边)三角

39、形中截长补短或作平行线构造全等7如图，已知 AB AC，A108 ，BD 平分 ABC 交 AC 于 D，求证：BC ABCD.8如图，过等边 ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，且 PACQ，连 PQ 交 AC 边于 D.(1)求证：PD DQ；周国年 1031(2)若 ABC 的边长为 1，求 DE 的长6、参考答案与解析140图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度

40、数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图2(1)证明：如图，连接 AD.ABAC，D 是 BC 的中点，EAD FAD.又DE AB，DF AC，DEDF.(2)解：若 BAC 90，图中与 DE 相等的有线段DF，AE，AF，BE，CF.周国年 10313证明：如图，作EFAC 于 F.EAEC，AFFC12AC.AC2AB，AFAB.AD 平分 BAC，BAD CAD.又 AEAE，ABE AFE(SAS)，ABE AFE90.EBAB.4B 5证明：如图，延长BA 和 CE 交于点 M.CEBD，BEC BEM90.BD平分 ABC，MBE

41、 CBE.又 BE BE，BME BCE(ASA)，EM EC 12MC.ABC 是等腰直角三角形，BACMAC 90，BAAC，ABDBDA90.BEC90，ACM CDE 90 .BDA EDC，ABE ACM.又 ABAC，ABD ACM(ASA)，DBMC，BD 2CE.周国年10316证明：如图，连接CD.ACBC，D 是 AB 的中点，CD 平分 ACB，CDAB，CDB 90.ACB90，BCD ACD45，B180 CDB BCD 45 ，ACD B BCD，CD BD.EDDF，EDF EDC CDF 90.又 CDF BDF 90，EDC BDF，ECD FBD(ASA)，

42、DEDF.7证明：如图，在线段BC 上截取 BEBA，连接 DE.BD 平分ABC，ABDEBD.又BDBD，ABDEBD(SAS)，BEDA108，DEC 180 图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图DEB 72.又 AB AC，A108，ACB ABC 12(180 108)36，CDE DEB ACB 180 36 72，

43、CDE DEC，CD CE，BC BE EC ABCD.8(1)证明：如图，过P 作 PF BC 交 AC 于点 F，AFP ACB，FPD Q，PFD QCD.ABC 为等边三角形，A ACB60，AFP60，APF 是等边三角形，APPF.APCQ，PF CQ，PFD QCD(ASA)，PD DQ.周国年 1031(2)解：APF 是等边三角形，PE AC，AEEF.PFD QCD，CDDF，DEEF DF12AC.又AC 1，DE 12.图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周

44、国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图7、模型构建专题：共顶点的等腰三角形 明模型，悉结论类型一共直角顶点的等腰直角三角形1如图，已知ABC 和 DBE 均为等腰直角三角形(1)求证：AD CE；(2)猜想：AD 和 CE 是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由周国年 1031类型二共顶点的等边三角形2如图，等边ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC，连接 AE.(1)DBC 和 EAC 会全等吗？请说明理由；(2)试说

45、明 AEBC 的理由；(3)如图，将(1)中动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有 AEBC？证明你的猜想图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图7、参考答案与解析1(1)证明：ABC 和 DBE 均为等腰直角三角形，ABBC，BD BE，ABC DBE 90，ABC DBC DBE DBC，即 ABD

46、CBE，ABD CBE(SAS)，ADCE.(2)解：垂直 理由如下：如图，延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F.ABDCBE，BADBCE.BAD ABC BGA BCE AFC CGF 180，BGA CGF，AFC ABC90，AD CE.2解：(1)DBC 和EAC 全等理由如下：ABC 和 EDC 为等边三角形，BC AC，DC EC，ACB DCE 60，ACB ACD DCE ACD，即 BCD ACE，DBC EAC(SAS)(2)DBC EAC，EAC B 60.又 ACB 60，EAC ACB，AEBC.(3)仍有 AEBC.证明如下：ABC，EDC 为等边三

47、角形，BC AC，DC CE，BCA DCE 60，BCA ACD DCE ACD，即 BCD ACE.在DBC和 EAC中，BC AC，BCD ACE，CD CE，DBC EAC(SAS)，EAC B 60.又 ACB 60，EAC ACB，AEBC.周国年1031图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图8、类比归纳专题：证明线段

48、相等的基本思路 理条件、定思路，几何证明也容易类型一已知“边的关系”或“边角关系”用全等周国年 10311如图，已知ABAE，BC ED，B E，AFCD，F 为垂足，求证：(1)AC AD；(2)CF DF.周国年 10312如图，C90，BCAC，D、E 分别在 BC 和 AC 上，且 BDCE，M 是 AB 的中点求证：MDE 是等腰三角形类型二已知角度关系或线与线之间的位置关系用“等角对等边”3如图，在 ABC 中，CE、CF 分别平分 ACB 和 ACB 的外角 ACG，EFBC 交AC 于点 D，求证：DEDF.周国年 1031周国年 1031图中平分于于求的度数周国年类型二综合内

49、外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图4(2016 2017 孝南区期末)如图，在 ABC 中，ACB2B，BAC 的平分线AD交 BC 于 D，过 C 作 CNAD 交 AD 于 H，交 AB 于 N.(1)求证：ANAC；(2)试判断 BN 与 CD 的数量关系，并说明理由类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5如图，ABC 中，CAB 的平分线与BC 的

50、垂直平分线DG 相交于 D，过点 D 作DE AB，DF AC，求证：BECF.周国年 10316如图，在 ABC 中，C 90，AD 是 BAC 的平分线，DE AB 于 E，F 在 AC 上，BD DF.求证：(1)CF EB；(2)AB AF 2EB.周国年10318、参考答案与解析图中平分于于求的度数周国年类型二综合内外角的性质周国年如图分别平分和则的度数是第题图第题图如图则的度数的度数是将两个含和的直角三角板如图放置则的度数是周国年一副三角板如图所示叠放在一起则图中的度数是周国年线上且若则的度数为如图直线分别交于点是的平分线交于点若那么等于周国年如图是的角平分线交于点则周国年如图1证