2．5.2　圆与圆的位置关系.docx

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1、2. 5.2圆与圆的位置关系核心素养核心素养学习指导1 .能根据给定圆的方程，判断圆与圆的1 .逻辑推理、数学运算：圆与圆的位置位置关系.位置关系.关系的判断.2 ,能用圆和圆的方程解决一些简单的问2 .直观想象、数学运算：两圆相交及相题，体会用代数方法处理几何问题的思切的问题.想.必备知讴三1知识点圆与圆的位置关系通过两圆方程组成的方程组的实数解的个数进行判断.圆。方程圆C2方程Z0=相交; 元二次方程，内切或外切; 上 VOo内含或外离W.2.几何法若两圆的半径分别为门，n,圆心距为d,则两圆有以下位置关系:位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆外离0dr-n两圆内含dn n两圆相交

2、2r ridr- n两圆内切1d=n - rzl两圆外切d-r-ri-111已知圆 Ci： x2+y22/71+4+/7125 = 0,圆 C2： x1+y1+2x2my+/3=0,问：根为何值时，圆。与圆2外切？圆。与圆C2内含？则圆。的圆心。a, 3),半径门=gn .将圆。2的一般方程化成标准方程，为(% 5)2+。一6)2=16,则圆 C2 的圆心 02(5, 6),半径r2 = 4.两圆圆心距 d=|CC2| = 5, ri + r2=V + 4, |n r2| = 4yjTi ,所以|门一-2| + （y1）2 = 4.当圆心02到直线A8的距离为3也时，圆。2的半径为7 （36）

3、2+ （陋）2 =恒.此时，圆。2的方程为（X2）2+（丁一 1）2 = 20.综上可得，圆。2的方程为（X2）2+&-1）2 = 4或（x2）2 + （y1）2 = 20.【解】对于圆Cl,圆C2的方程，配方得 Ci: (xm)2+ (j+2)2 = 9,Q: (x+ l)2 + (ym)2 = 4.如果圆。与圆。2外切，则有寸(、+1) 2+ (2 m)2 =3 + 2,即 m2 + 3m10 = 0?解得tn=-5或m=2.故当m=-5或2时，圆Ci与圆C2外切.(2)如果圆G与圆。2内含，则有(m + 1) 2 + (2 m)v 1,整理得加2+3加+20, 解得 一 2m 1.故当一

4、 2m 1时，圆G与圆Q内含.题技巧几何法判断两圆位置关系的步骤(1)将两圆的方程化为标准方程.(2)求出两圆的圆心距d和半径门，及.(3)根据d与忻一卷|，为十以的大小关系作出判断.1 .圆Oi： f+yZxnO与圆。：12+,214,=0的位置关系是()A.外离 B.相交 C.外切 D.内切解析：选B.圆Oi： f+y2 2犬=。与圆。2： x2+j2 43；=0,故圆心坐标与半 径分别为 01(1)0),。2(0, 2), n = 1 ,r2 = 2, |。2|=小，r2 n = 1 ?r + n= 3, 15 0)的公共弦长为 2小，则a=.解析：两圆的公共弦所在的直线方程为1=0(。

5、0),圆/十丁2=4的圆心为(0, 0),半径为2,圆心到公共弦所在直线的距离d=1-11_1a，所以2小=24 电？，解得q=i.答案：1自测1 .圆(x+3)2+(y2)2=1 和圆(x3)2+。+6)2=144 的位置关系是()A.相切 B.内含 C.相交 D.外离解析：选B.因为两圆的圆心距2=寸(3+3) 2+(一6 2) 2 =10=1D. /+(y2p=1解析：选B.两圆圆心距2,圆M的半径为21 = 1,所以圆的方程为(x -2)2+/=l.3.已知圆f+y24x+6y=0和圆x2+y26x=0交于A, B两点，则公共 弦AB的垂直平分线的方程为()A. x+y+3 = 0B.

6、 2xy5 = 0C. 3xy9=0D. 4x3y+7=0解析：选C.由题意知公共弦A3的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,两圆的圆心分别为(2, -3), (3, 0),所以所求直线的斜率上=圆的圆心分别为(2, -3), (3, 0),所以所求直线的斜率上= 3 02-3=3,故所求直线方程为3xy9 = 0.4.已知以C(3, 4)为圆心的圆与圆/+V=i外切，求圆。的方程.解：设圆。的半径为人 则圆。的方程为(X3)2+。-4)2 = 3.由题意得两圆圆心距d=d (3 0) 2+(4 0) 2 =5,因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即5 =厂+ 1,解得r=4. 故圆。的

7、方程为(x3)2 + (y4)2=16.、后达标一A基础达标检卜则1 .圆 Cl： f+y2=和 02： X2+y2 6y+5=。的位置关系为()A.外切B.内切C.相离D.内含解析：选A.方程/+y2 6y+5 = 0化为/十。-3）2=4,所以两圆的圆心为Ci（0, 0）,。2（。，3）,半径为ri = l, n = 2）而|。2| = 3 =n+及，则两圆相外切,故选A.2 .圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=Q的公共弦所在的直线方 程是y+1=0,贝女 ）A. E=-4, F=8B. E=4, F=-8C. =4, F=-8D. E=4, F=8工2 +2_21

8、+歹=0,99 得 4x+4/jt+j +2x+y4 = 0?E一4一 F=0,则 a = 1, 一4一 =1,解得石=4,b=8 .故选 C.3.已知圆A,圆3相切，圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆 B的半径为（）A. 6 cm 或 14 cmB. 10 cmC. 14 cmD.无解解析：选A.当两圆外切时，d=rA-rBy即10 = 4+厂/ 所以r8=6cm;当两 圆内切时，rBr=10,则r8= 10 + 4= 14（cm）.4.圆 x2+y2+4x4y+7 = 0 与圆 x2+y24x+10）；+13 = 0 的公切线的条数 是（）A. 1B. 2C. 3D. 4解

9、析：选D.两圆的圆心距（一2 2） 2+（2+5） 2 =诉，半径=1,r2 = 4,所以所以两圆相离）故有4条公切线,故选D.5 .已知直线=一x被圆M： x2+y2+Ey=o（E0）截得的弦长为2W，且圆N的方程为+产2%2y+l=0,则圆M与圆N的位置关系为（）A.相交B.外切C.相图C.相图解析:选A.圆M:12 + ,2 +硝=0（0）的圆心D.内切 半径为一7./-f所以4 =2 + ()2,解得 =4.所以圆M的圆心M(0, 2),半径为2.圆N的圆心N(l, 1),半径为1.因为 |MN|=d (01) 2+ (21) 2 =也，且 2lV|MN|=6C. (x4)2+(y6)

10、2=36D. (x+4)2+(y6户=36解析：选CD .由题意可设圆的方程为(xa)2 + (y6)2 = 36,又由两圆内切， 得、?+ (6 3) 2 =5,所以/=6,所以。=4,所求圆的方程为(x4)2 + (y 6)2 = 36 或(工+43+ (y6=36.7.两圆交于点A(l, 3)和8(加，1),两圆的圆心都在直线xy+4=0上， 则 m=.3 1解析：直线与两圆圆心所在直线垂直，所以； X 1 = 1 ,解得机= 1 m3. 答案：38 .已知两圆(x+2)2+(y2产=1与(x2)2 +。一5)2 =+1)相交，则实数一 的取值范围是.fk-i|5,4 r0,所以。=2,

11、所以“(0, 2),r 1=2 .又 N(l, 1),厂2=1,所 VXMN =y2 )所以|ri r2|MA| = 4,其圆心为(一2, 1),半径 H=2.对于 A, 因为圆。与圆M相交，所以有两条公切线，A正确；对于B,两圆方程相减得4x2y+5 = 0,即直线AB的方程为4x2y+5 = 0,易知圆心0(0,0)与圆心M( 2, 1)关于直线A3对称，又两圆半径相等，所以B正确；对于C,由B的结论， 可知|AB| = 2Yr2 (怨j,故C错误；对于D,若E, F分别是圆。和圆Af上的点，则|尸|的最大值为|MO| + r+R=/ +4,故D正确.故 选 ABD.12.已知 M, N

12、是圆 A： f+y22x=0 与圆 b f+y2+2x=()的公共 点，则BMN的面积为.解析：由题意,/+y2 2x=0,十了2+2%一4y=0,可知圆B的圆心坐标为(一1, 2),半径为小.联立1一 一2MN的距离为表1一 一2MN的距离为表=邛 ,线段MN的长度为2可得直线的方程为xy=0,所以8(1, 2)到直线啦,所以5MN的面积为J X啦 =1 .3 答案：(填13.已知点P(2, 2)和圆C：(冗+1)2+。一2尸16,则P在圆C“内”、“外”或“上”)；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为解析：由题知C( 1 , 2),圆。的半径为4 ,所以PC = 4(2+1) 2+(2 2) 2 =54,所以P在圆。外.设以P为圆心且和圆C 内切的圆的标准方程为(x2)2 +。+2)2 =己r0,则|PC| + 4 = r,即r=9,所 以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x2)2 + (y+2)2 = 81.答案：外(%2)2+。+2)2=8114.已知圆 C： x2+j?22x6y1=0C2：炉+产一。工-12y+45=0.(1)求证：圆。和圆C2相交；(2)求圆Ci和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：将圆C1的一般方程化成标准方程,为(X1)2 + 03)2=11,