数值分析课程设计学生题目文档.doc

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1、 数值分析课程设计学生题目 分组及任务要求：每个小组3-4人，每组的同学均应完成以下2个案例，一个案例最多4组选择，实践论文报告不得少于10页；一、可选的题目案例 1土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为 B，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。根据质量守恒定律可以得到Q=UBH （1.1）m其中 Q 是水的流量（m3 /s），U是流速（m /s），H是水的深度（）。在水工学中应用的有关流速的公式是U = 1S 1/ 2n(BH)2 / 3(B

2、+ 2H)2 / 3（1.2）这里 n是 Manning粗糙系数，的斜度系数，无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。把（1.2）代入（1.1）就得它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S是水渠也是一个到U = 1S 1/ 2n(BH)5 / 3(B + 2H)2 / 3（1.3）为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量的水），需要指定流量 Q和 B，求出水的深度。这样，就需要求解f (H) = 1S 1/ 2 (B + 2H)2 / 3 -Q = 0(BH)5 / 3（1.4）n一个具体 的案例是B = 20m, n = 0.03, S = 0.0

3、002, Q = 5m/s3求出渠道中水的深度 H。所涉及的知识非线性方程解法。案例 2在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应2A+B CA+D C其中 A，B，C和 D代表不同的物质。反应达到平衡是有如下的平衡关系： CCcC Ca dk =1,k =2cC C2ab其中k = 410 -4, k = 3.710 -2称为平衡常数， C (n = a,b,c,d)代表平衡状态时该物12n质的浓度。假定反应开始时各种物质的浓度为：C = 50, C = 20, C = 5, C = 10a ,0b ,0c ,0d ,0C物质浓度分别为 x, x，于是平衡时1 2而且反应达到

4、平衡时，由第一和第二种反应生成的x, x满足的方程为：12C + x + xc,0 1 2k =,(C - 2x)2(C - x)1a ,01b ,01C + x + xk =2c ,012(C - x )(C - x )a ,02d ,02用不同的数值方法求解上述方程。所涉及的知识非线性方程组解法。案例 3湖水在夏天会出现分层现象，接近湖面温度较高，越往下温度变低。这种上热下冷的现象影响了水的对流和混合过程，使得下层水域缺氧，导致水生鱼类的死亡。如果把水温看成深度的函数 T(x)，有某个湖的观测数据如下：T (C) x (m) 22.8 0 22.8 2.3 22.8 4.9 20.6 9.

5、1 13.9 13.7 11.7 18.3 11.1 22.9 11.1 27.2 环境工程师希望：1）用样条插值求出 T(x). dTd T2= 02）求在什么深度处达到最大（即）dxdx2所涉及的知识插值、数值微分。案例 4在排污管道设计中，工程师关心管道坡度、管子直径和污水流量之间的关系。对于圆截面管道这些量之间有如下经验公式：aQ = D S aa12aa am / s），S代表管道坡度（m/m），D代表圆管直径（ , ,其中 Q代表流量（3m），是21三个通过实验测定的经验参数。有一组实验数据如下：D(m)Q(m3 / s)实验序号S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.302

6、0.604 0.906 0.302 0.604 0.902 0.302 0.604 0.906 0.001 0.001 0.001 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.05 0.0385 0.2283 0.6655 0.1293 0.7948 2.3100 0.3053 1.8975 5.5000 a a a, ,用适当的数值方法求出12所涉及的知识最小二乘拟合。案例 5在研究建筑物通过地板散失热量时，我们需要计算建筑物下方建筑物是圆形的，其半径 r=2m（如图所示）假定：地基中的温度变化。假设i)室内温度恒定保持在 25C。ii)iii)iv)室外离开建筑物 2m以外（即

7、R4m）地基温度不受室内温度影响。地层 4m一下温度保持为 10C。室外地表温度随昼夜温度变化而变化，其变化规律为pT = 10 +10cos(2 t / 24)outer（5.1）时间单位为小时。我们再假设，地基是由均匀的黄土组成，其物性参数是r= 880kg /m3导热系数k = 0.94J /msoC密度比热 c = 1.17kJ /kg oC我们要研究的是半径 R=4m，高度 H=4m的一块柱形地基中的对称性，我们可以沿对称轴做一个垂直剖面，并建立坐标系（如图所示）在地基内 P温度应当满足柱坐标下的热传导方温度变化问题。由于几何上的程Tt 2T 1 T 2T =a 2+ r r z2

8、（5.2）r2其中 a 2 = kcr2m 4m y m4z 边界条件为25,T(r,0,t) = 10 +10cos(2 t / 24), 2 r 4r 2（5.3）（5.4）pT(r,4,t) = 10oC根据地层传热学中的傅立叶定律可以得知 w wpx - t ,0 z 4其中= 2ww T(4,z,t) = 10exp -z 1+ cos2a 22a 224因为随着时间的流逝，在开始一瞬间T(r,z,0)对后来温度变化的影响逐渐消失，所以T(r,z,0)可以任意假设，不妨设其为10C。值得指出的是我们需要知道的是足够长的时间之后（tT），24小时地基温度的变化和由建筑物内 P流失到地层

9、中的热量。所涉及的知识数值微分，线性方程组求解，数值积分。量r z分别去等步长Dr,Dz，令,对于变r =iDr , i = 0,1,2,L ,8iz = jDz, j = 0,1,2L ,8jDr = Dz=h = 0.5为了简便，我们可以取这样我们构造出了逼近（5.2 ）式的差分方程式。2tt4a2)Tn(0,j)T (0,j) =a 2Tn(1,j)+Tn(0,j +1)+Tn(0,j -1)+ (1-(5.5)(5.6)n+1h2h2l(i,j) =a2 mTn(i +1,j)+nTn(i -1,j)+Tn(i,j +1) +Tn(i,j -1)Tn+1iil+(1- 4a2 )Tn(

10、i,j)r, m = 2 , n =rr1t其中i+1i-l=2，h2riiiia 1，格式稳定）l这就是我们求解构造的差分方程。（要求24 案例 6数值分析课程中函数逼近算法的可视化设计包括插值与拟合案例 7数值分析课程中数值微积分算法的可视化设计包括数值微分与积分案例 8数值分析课程中方程数值求解算法的可视化设计包括解线性方程组或非线性方程的求根案例 9 （开放型）.具有背景的系数矩阵为三对角阵的线性方程组的数值求解方法的研究及实现。案例 10（开放型）特殊矩阵的矩阵分解方法研究及实现案例 11（开放型）选取需要拟合（或插值）的实际问题，利用数学建模的思路解决该问题。案例 12.求解线性方

11、程组迭代方法的收敛性问题研究。包括Jacobi、Gauss-seidel和松弛迭代。案例 13.Newton-Cotes求积方法的研究及实现需找到实际问题，通过建模转化为数值积分问题，利用Newton-Cotes求积方法求解该问题数值解。案例 14.复合求积方法的研究与实现。寻找到实际问题，通过建模转化为数值积分问题，利用复合求积方法求解该问题数值解。二、实践报告的具体要求1.课程设计报告的具体内容应包含实践问题描述、数值方法的基本理论、算法描述、程序实现、结果分析以及设计体会等。2要求A4纸打印，行间距1.5倍，段落间距0，页面设置中页边距上下左右分置为2.5cm。3课程设计题目使用三号黑体，正文内容使用小四宋体，别设标题使用四号黑体。三、课程设计报告封面（见下页） 理 学院School of Science数值分析实践报告专业：班级：组长：姓名（学号）组员 1：组员 2：组员 3：时 间：