湖南省邵阳市2022-2023学年高二下学期7月期末联考数学试题含答案.pdf

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1、2023 年邵阳市高二联考(数学)第 1 页(共 4 页)秘密启用前姓名准考证号2023 年邵阳市高二联考试题卷数学本试卷共 4 页,22 个小题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案写在试题卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔

2、和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 z 满足:z1+i=2i(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数为A.2-2iB.2+2iC.-2-2iD.-2+2i2.已知全集 U=R,设集合 A=x x-10,B=x x2-2x-30,则(UA)B=A.x 1x3B.x-2x1C.x x-1D.x x33.若 sin5+()=23,则 cos710+()=A.-23B.23C.-53D.534.函数 f x()=3sin

3、xex在区间-23,23的图象大致为A.B.C.D.2023 年邵阳市高二联考(数学)第 2 页(共 4 页)5.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有 A,B,C,D,E 共 5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一位同学选择,则 A 同学选择浙江大学的不同方法共有A.24 种B.60 种C.96 种D.240 种6.设非零向量 a,b 满足 a=8,b=4,a+b=6,则 a 在 b 上的投影向量为A.

4、-118bB.-118aC.-114bD.-114a7.已知点 P 在直线 y=-x-3 上运动,M 是圆 x2+y2=1 上的动点,N 是圆 x-9()2+y-2()2=16 上的动点,则 PM+PN 的最小值为A.13B.11C.9D.88.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,对任意的 xR 均有 f(x)f(x)ln3成立.若 f(-1)=1,则不等式 f(x)1B.x x-1 D.x x0,P(B)0,且 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立B.某医院住院的 8 位新冠患者的潜伏天数分别为 10,3,8,3,2,15,5,4,则该样本数据的第 75 百分位数为 8C

5、.若随机变量 B 7,12(),则方差 D 2()=14D.在回归模型分析中,残差平方和越小,模型的拟合效果越好11.设 A,B 是抛物线 C:y2=2x 上的两点,F 是抛物线 C 的焦点,则下列命题中正确的是A.若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F,则 AB 的最小值为 2B.若点 A 的坐标为(2,2),则 AF=52C.过点 P(0,1)且与抛物线 C 只有一个公共点的直线有且只有两条D.若 AF=3FB(点 A 在第一象限),则直线 AB 的倾斜角为32023 年邵阳市高二联考(数学)第 3 页(共 4 页)12.九章算术商功中记载:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为

6、鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣”.文中“堑堵”图(1)是指底面是直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥;文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图(1)所示,在堑堵 ABC-A1B1C1中,若 ABBC,A1A=AB=BC=2.则下列说法中正确的有A.四棱锥 C-AA1B1B 为阳马,三棱锥 B1-A1BC 为鳖臑B.点 N 在线段 A1C 上运动,则 BN+B1N 的最小值为 2 3C.G,H 分别为 A1B1,CC1的中点,过点 B,G,H 的平面截三棱柱 ABC-A1B1C1,则该

7、截面周长为 2 5+2173D.点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动,点 M 在棱 AB 上运动,若直线 C1M,AP 是共面直线,则点 P 的轨迹长度为 6三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.在等比数列 an中,a4=2,a7=54,则公比 q 为.14.已知函数 f(x)=3sin x+3()(0)的最小正周期为,则函数 y=f x()在区间 0,512上的最小值为.15.某市 2022 年高二数学联考学生成绩 XN(90,2),且 P(80X100)=35.现从参考的学生中随机抽查 3 名学生,则恰有 1 名学生的成绩超过 100 分的概率为.16.已

8、知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为 F,点 M,N 在双曲线 C 上,且关于原点 O对称.若 ON=OF,MNF 的面积为a24,则双曲线 C 的离心率为.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知等差数列 an的公差 d 不为 0,a4=7,且 a1,a3,a13成等比数列.(1)求数列 an的前 n 项和 Sn;(2)记 bn=1anan+1,nN,证明:b1+b2+b3+bnb0)上的一点,F1,F2为椭圆 C 的左、右焦点,B1,B2为其短轴的两个端点,B1B2是 PF1与 PF2的等

9、差中项.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l 与椭圆 C 交于点 M,N,与圆 O:x2+y2=45切于点 G,问:GM GN 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.22.(本小题满分 12 分)新宁崀山景区是世界自然遗产、国家 5A 级景区,其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源,现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查,若不游览“天下第一巷”景区记2 分,若继续游览“天下第一巷”景区记 4 分,假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为13,游客之间选择意愿相互独立.(1)从游客中随机抽取

10、2 人,记总得分为随机变量 X,求 X 的数学期望;(2)()记 pk(kN)表示“从游客中随机抽取 k 人,总分恰为 2k 分”的概率,求pk的前 4 项和;()在对游客进行随机问卷调查中,记 an(nN)表示“已调查过的累计得分恰为 2n 分”的概率,探求 an与 an-1(n2)的关系,并求数列an的通项公式.2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第 1 页(共 7 页)2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准数学一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A

11、 7.D8.B【详解】设 g(x)=f(x)3x,则 g(x)=f(x)-f(x)ln33x0.g(x)在 R 上单调递增.又 f(-1)=1,f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1)=1.f(1)=-1,g(1)=f(1)31=-13.f(x)-3x-1f(x)3x-13g(x)g(1)x1.故选:B.二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.AD 10.BC 11.ABD12.ABC【详解】对于 A 选项:易知 CB面 ABB1A1,四边形 ABB1A1为长方

12、形.四棱锥 C-AA1B1B 为“阳马”.在棱锥 B1-A1BC 中,A1BB1,B1BC,A1BC,A1B1C 为直角三角形.图(1)三棱锥 B1-A1BC 为鳖臑,故 A 正确.图(2)对于 B 选项:将B1A1C 沿 A1C 旋转与A1BC 共面且位于 A1C 的异侧,如图(1)所示.BN+B1N=BN+B1NBB1=2 3,故 B 正确.对于 C 选项:过 B,G,H 的截面如图(2)所示,易知 S 为A1B1R 的重心,BG=BH=5,GS=SH=173.截面周长为 2 5+2173.故 C 正确.对于 D 选项:C1M面 C1AB,又面 C1AB面 BCC1B1=BC1.又 C1M

13、,AP 共面,点 P 的轨迹为线段 BC1,且 BC1=2 2,故 D 错误.故选 ABC.2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第 2 页(共 7 页)三、填空题:本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.3 14.-32 15.4812516.52【详解】设双曲线的左焦点为 F,连 MF,NF,易知四边形 MFNF为矩形.设|MF|=m,|MF|=n,则m-n=2a,m2+n2=4c2,12mn=a24,由得:m2+n2-2mn=4a2.4c2-a2=4a2,即 4c2=5a2,e=52.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

14、步骤.17.解:(1)由题知:a32=a1a13,1 分故(a4-d)2=(a4-3d)(a4+9d).即(7-d)2=(7-3d)(7+9d).解得 d=0(舍去)或 d=2.3 分 an=a4+(n-4)d=2n-1.4 分Sn=n(a1+an)2=n2.5 分(2)由(1)知 bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)6 分=1212n-1-12n+1().7 分故 b1+b2+b3+bn=121-13()+13-15()+15-17()+12n-1-12n+1()=121-12n+1()=12-14n+2.9 分又 nN,b1+b2+b3+bn12.10 分2023 年邵阳市高二

15、联考参考答案与评分标准(数学)第 3 页(共 7 页)18.解:(1)方法一:由cos Aa+cos Bb=sin C2 3sin B,得b cos A+a cos Bab=sin C2 3sin B.由正弦定理得sin B cos A+sin A cos Ba sin B=sin C2 3sin B,3 分即sin(A+B)a sin B=sin C2 3sin B.又 A+B=180-C,故sin Ca sin B=sin C2 3sin B.5 分解得 a=2 3.6 分方法二:由cos Aa+cos Bb=sin C2 3sin B,及正、余弦定理可得b2+c2-a22abc+a2+c

16、2-b22abc=c2 3b,3 分整理得2c2ac=c3.5 分解得 a=2 3.6 分(2)由 sinB+C2=sin A,得 cosA2=2sinA2cosA2.又 0A20,得 0 xe.由 g(x)e.3 分 g(x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+).4 分(2)f(x)g(x)ex+1-ax+1ln xx+2axex+1-ln x-x.设 h(x)=xex+1-ln x-x(x0),则 ah(x)min.6 分h(x)=(x+1)ex+1-x+1x=(x+1)ex+1-1x().7 分设(x)=ex+1-1x(x0),(x)=ex+1+1x20,(x)在(0,+

17、)上单调递增.而 110()=e1110-10e2-100.(x)在(0,+)上存在唯一零点 x0,x0110,1(),8 分且 ex0+1=1x0 x0+1=-ln x0.9 分当 x(0,x0)时,(x)0,h(x)0,h(x)0,h(x)在(x0,+)上单调递增.10 分 h(x)min=h(x0)=x0ex0+1-ln x0-x0=x01x0+(x0+1)-x0=2,a2,故 a 的取值范围是(-,2.12 分21.解:(1)将点 P-1,32()代入椭圆方程得1a2+34b2=1 1 分由题意可知:2|B1B2|=|PF1|+|PF2|,a=2b 2 分由得 a=2,b=1.3 分

18、椭圆 C 的方程为:x24+y2=1.4 分(2)当直线 l 的斜率不存在时,不妨取直线 l 的方程为:x=45,M45,45(),N45,-45(),OMON=0.OMON.在 RtOMN 中,|GM|GN|=|OG|2=45.5 分2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第 6 页(共 7 页)当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).直线 l 与圆 O 相切,|m|1+k2=45.即 m2=45(1+k2).6 分由x24+y2=1,y=kx+m,得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0,=(8mk)2-4(1+4k2

19、)(4m2-4)=165(16k2+1)0.x1+x2=-8mk1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,7 分 OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2,8 分=(1+k2)4m2-41+4k2+mk-8mk1+4k2+m2=5m2-4-4k21+4k2=4(1+k2)-4-4k21+4k2=0.OMON.10 分从而在 RtOMN 中,|GM|GN|=|OG|2=45.11 分 由得,|GM|GN|为定值45.12 分22.解:(1)X 可能取值为 4,6,8.1 分P(X=4)=23()2=49,P(X=6)=C1213()23()=49,P(X=8

20、)=13()2=19,3 分 X 的数学期望 E(X)=494+496+198=489=163.4 分(2)()“总分恰为 2k 分”的概率为23()k,数列pk是以首项为23,公比为23的等比数列,记前 n 项和为 Sn,则前 4 项和 S4=231-23()41-23=13081.7 分()方法一:“已调查过的累计得分恰为 2n 分”的概率为 an,得不到 2n 分的情况只有先得 2n-2 分,再得 4 分,概率为13an-1(n2),a1=23,所以 1-an=13an-1,即:2023 年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第 7 页(共 7 页)an=1-13an-1,9 分 a

21、n-34=-13an-1-34().10 分 an-34=a1-34()-13()n-1=-112-13()n-1.an=34+14-13()n.12 分方法二:得分2n 分可以先得(2n-2)分,再得2 分,也可以先得(2n-4)分,再得4 分,“已调查过的累计得分恰为 2n 分”的概率为 an,则“得(2n-2)分的概率为 an-1”,“得(2n-4)分”的概率为 an-2,所以 an=23an-1+13an-2,a1=23,a2=2323+13=79.8 分由 an=23an-1+13an-2,得 an+13an-1=an-1+13an-2,an+13an-1=an-1+13an-2=a2+13a1=79+1323=1,an=1-13an-1.9 分(后面同方法一)另解:由 an=23an-1+13an-2,得 an-an-1=-13(an-1-an-2),a2-a1=79-23=19,an-an-1=19-13()n-2=-13()n.9 分又 an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=23+191-13()n-11+1310 分=23+1121-13()n-1=34-112-13()n-1=34+14-13()n.12 分注:若解答题有不同解法,请酌情给分.